文档文本内容
专题一 函数与导数
微专题二 导数中的极值点偏移和隐零点问题
题型一 极值点偏移问题
【命题分析】
隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题
目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，
导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的
压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度
大．
【核心知识】
极值点偏移问题
1．极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对
称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函
数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两
倍，我们把这种现象叫做极值点偏移．
2．极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样．
3．极值点偏移的图形定义
(1)左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.
(2)左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0.
(3)左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0.
4．极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现x1＋x2，，等条件而求证不等式成
立的时候，即可视为极值点偏移考察．
5．答题模板(对称构造)
若已知函数f(x)满足f(x1)＝f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：x1＋x2<2x0.
(1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；
假设此处f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
(2)构造F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；
注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)＝f(x)－f(2x0－x)的形式．
(3)通过求导F′(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得
出f(x0＋x)与f(x0－x)的大小关系；
假设此处F(x)在(0，＋∞)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>F(x0)＝f(x0)－
f(x0)＝0，从而得到：x>x0时，f(x0＋x)>f(x0－x)．
(4)不妨设x1<x0<x2，通过f(x)的单调性，f(x1)＝f(x2)，f(x0＋x)与f(x0－x)的大小关
系得出结论；
接上述情况，由于x>x0 时，f(x0＋x)>f(x0－x)且x1<x0<x2，f(x1)＝f(x2)，故f(x1)＝
f(x2)＝f[x0＋(x2－x0)]>f[x0－(x2－x0)]＝f(2x0－x2)，又因为x1<x0，2x0－x2<x0且f(x)在
(－∞，x0)上单调递减，从而得到x1<2x0－x2，从而x1＋x2<2x0得证．
(5)若要证明f′<0，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而
得出该处函数导数值的正负，从而结论得证．此处只需继续证明：因为x1＋
x2<2x0，故<x0，由于f(x)在(－∞，x0)上单调递减，故f′<0.
5．其他方法
(1)比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关
系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法
用比值(一般用t 表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继
而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．
(2)对数均值不等式
两个正数a 和b 的对数平均定义：L(a，b)＝
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：≤L(a，b)≤(此式记为对数平均不
等式)．
取等条件：当且仅当a＝b 时，等号成立．
(3)指数不等式
在对数均值不等式中，设a＝em，b＝en，则E(a，b)＝根据对数均值不等式有如
下关系：e≤E(a，b)≤.
【典例研析】
1．(2025·河北邯郸阶段练习)已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.
2．(2024·北京西城高二期中)已知函数f(x)＝x－ln x－a.
(1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
3．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x2＋ax(a∈R)．
(1)若函数y＝f′(x)有两个零点，求a 的取值范围；
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x1＋x2>2.
4．已知函数f(x)＝ln x－ax2.
(1)讨论函数f(x)的单调性：
(2)若x1，x2是方程f(x)＝0 的两不等实根，求证：x＋x>2e.
5．(2025·江苏无锡阶段练习)已知函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝ax－ln x－2.
(1)若a>0，当f(x)与g(x)的极小值之和为0 时，求正实数a 的值；
(2)若f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，求证：＋>.
题型二 隐零点问题
【核心知识】
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确
解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围(数值计算不在考查之
列)．
1．基本步骤
第1 步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝
0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；
第2 步：以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达
式；
第3 步：将零点方程f′(x0)＝0 适当变形，整体代入f(x)最值式子进行化简：
(1)要么消除f(x)最值式中的指对项；
(2)要么消除其中的参数项，从而得到f(x)最值式的估计．
2．函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0，那么在
开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得
f(x0)＝0.
3．隐零点的同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有
同构特征，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐
零点合适的代换化简方向．
f(x)＝⇒f(ln x)＝
f(x)＝xex⇒f(－ln x)＝－⇒x2ex＋ln x＝0，
所以在解决形如ex＝⇔x＋ln x＝0，这些常见的代换都是隐零点中常见的操作．
4．针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方
程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明
不等式．构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒
成立问题．在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法
取含参的特殊值来确定零点存在区间．
【典例研析】
6．(2025·湖南二模)已知函数f(x)＝eax－aex－ax(a>0，x>0)．
(1)证明：f(1)＋a≥0.
(2)若f(x)有且只有一个零点，求a 的范围．
7.(2025·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)＝2ae2x＋2(a－1)ex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．
8．(2025·山东济南一模)已知a，b∈R，函数f(x)＝ex－a－bx，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝0 时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)存在零点．
①当b＝0 时，求a 的取值范围；
②求证：a2＋b2>2.
9．(2025·安徽期末)已知函数f(x)＝sin x.
(1)证明：∀x∈，f(x)>2x－tan x；
(2)判断函数g(x)＝－f(x)的零点的个数，并说明理由．
【限时训练】（限时：60 分钟）
1．(2024·全国模拟预测)已知函数f(x)＝(x－1)2ex－ax，且曲线y＝f(x)在点(0，
f(x))处的切线方程为y＝－2x＋b.
(1)求实数a，b 的值；
(2)证明：函数f(x)有两个零点．
2．(2025·江苏扬州阶段练习)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(其中a∈R)．
(1)当a＝－1 时，求f(x)的单调区间；
(2)对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a 的取值范围．
3．(2025·山东阶段练习)已知函数f(x)＝，g(x)＝ebx－b，a，b∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值为1，证明：对任意的b∈R，f(x)≤g(x)；
(3)当b＝1 时，若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．
4．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x2＋1，h(x)＝asin x＋1(a>0)．
(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)讨论函数F(x)＝f(x)－h(x)在(0，π)上的零点个数．
5．(2025·江西南昌二模)已知f(x)＝xax－ex＋1(a>1)．
(1)当a＝e 时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a≥e 时，求证：f(x)≥0；
(3)当1<a≤时，试讨论函数f(x)的零点个数．
6．已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)若a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，x1，x2是方程f(x)＝的两个实数根，证明：x1＋x2>2.
7．(2025·内蒙古包头阶段练习)设f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)ln a(a>0)．
(1)若f(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)存在两个极值点x1、x2(x1<x2)，求证：x1＋x2>2.
8．(2025·陕西渭南二模)已知函数f(x)＝(2x－1)ex－a(x－1)．
(1)当a＝0 时，求曲线y＝f(x)在x＝0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围；
(3)若不等式f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围．
