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专题 03 三次函数的图像与性质
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题型01 三次函数的零点......................................................................1
题型02 三次函数的极值、极值点..............................................................2
题型03 三次函数的切线......................................................................4
题型04 三次函数的对称性....................................................................5
题型 01 三次函数的零点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数概念
定义：形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)叫做三次函数
f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
−b−√b2−3ac −b+√b2−3ac
当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x = ，x =
1 3a 2 3a
二、三次函数的零点个数
若三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
a＞0 a＜0
b2−3ac>0
三 f (x )⋅f (x )<0
1 2
个
两个极值异与
零
图像与x轴有三个交点
点
个
b2−3ac>0
数 f (x )⋅f (x )=0
1 2
两
有一个极值为0
个
图像与x轴有两个交点
存在极值时b2−3ac>0
一 f (x )⋅f (x )>0
1 2
个
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数 的三个零点分别为 ， ， ，
若函数满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，则（ ）
A． B．若 ，则 的极大值点为
C．若 至少有两个零点，则 D． 在区间 上单调递增
3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 也有三个零点 ，则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．
D．
三、填空题
4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知 若函数 有两个零点，则
的取值范围为
5．（0分）（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若方程 有且
仅有两不等实根，则实数 的取值范围是 .题型 02 三次函数的极值、极值点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 f (x)的图像 f'(x)的图像 f (x)的性质
f'(x)≥0恒成立
{ a>0 { a>0
⇒ f (x)在R上递增
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值点
f'(x)≤0恒成立
{ a<0 { a<0
⇒ f (x)在R上递减
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值
增区间
(−∞，x )，(x ，+∞)
1 2
{ a>0 { a>0
⇒ 减区间(x ，x )
¿Δ>0 ¿b2>3ac 1 2
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
1 2
增区间(x ，x )
1 2
减区间
{ a<0 ⇒ { a<0 (−∞，x )，(x ，+∞)
¿Δ>0 ¿b2>3ac 1 2
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
2 1
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数 在 处取得极大值，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若 是函数 的极小值点，
则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 ， 是 的导函数，
则下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 、 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
二、多选题
4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数 ，2为 的极大值点，则
下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4为函数 的极小值点，则
C．若 在 内有最小值，则 的取值范围是
D．若 有三个互不相等的实数解，则 的取值范围是
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数 ，则（ ）
A．函数 一定有两个极值点 B．当 时，
C．当 时， 的极小值为0 D． 在区间 上的值域为
三、填空题
6．（0分）（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 两个极值点分别为
椭圆与双曲线的离心率，则实数 的取值范围是 .
题型 03 三次函数的切线
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
二、多选题2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数 ，则（ ）
A． 时， 是 的极大值点
B．若 存在三个零点，则
C．当 时，过点 可以作 的切线，有且只有一条
D．存在 ，使得
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 时，若 有3个零点，则实数 的取值范围是
B． 时，过 可作函数 的切线有两条
C．若直线 与曲线 有3个不同的交点 ， ， ，且 ，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
4．（24-25高三上·浙江·开学考试）三次函数 叙述正确的是（ ）
A．函数 可能只有一个极值点
B．当 时，函数 的图象关于点 中心对称
C．当 时，过点 的切线可能有一条或者两条
D．当 时，在点 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
三、填空题
5．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数 ，若过点 可作曲线 的
三条切线，则 的取值范围是 ．
题型 04 三次函数的对称性
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的韦达定理
设f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的三个零点分别为x ，x ，x ，则
1 2 3b
(1)x +x +x =−
1 2 3 a
c
(2)x x +x x +x x =
1 2 2 3 3 1 a
d
(3)x x x =−
1 2 3 a
1 1 1 c
(4)
+ + =−
x x x d
1 2 3
二、三次函数的对称性
( b ( b ))
结论1 三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点 − ，f − 中心对称
3a 3a
结论2 已知三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x ，两个极值点分别为x ，x
0 1 2
f (x )−f (x ) 2 a
，则 1 2 = f' (x )=− (x −x ) 2
x −x 3 0 2 1 2
1 2
结论3 若y=f (x)图像关于点(m，n)对称，则y=f'(x)图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）设函数 ，则（ ）
A． 有三个零点 B． 是 的极小值点
C． 的图象关于点 对称 D．当 时，
3．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）设 ，函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 时，函数 为增函数 B．点 为函数 图象的对称中心
C．存在a，使得函数 有且仅有一个极值点 D．函数 至少有一个零点
4．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 只有一个零点
B．若函数 的对称中心为 ，则C．若函数 在 上为减函数，则
D．当 时，设 的三个零点分别为 ， ，曲线 在点 ， ， 处的切
线斜率分别记为 ， ， ，则
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设函数 ，其中 是常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是函数 的极值点，证明：函数 的图象关于点 成中心对称．
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 ，若对任意 ，
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·期中）已知实数a满足 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数 ，若 的图象上存在两点 ， ，使
得 的图象在 ， 处的切线互相垂直，且过点 只能作1条切线与 的图象相切，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数y=f (x)的导函数为y=g(x)，且 ，则
（ ）A．点 是曲线y=g(x)的对称中心 B．函数 有三个零点
C．函数 只有一个极值点 D．当 时，
5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为
B． 图象的对称中心为
C．当 时， 在区间 内单调递减
D．当 时， 有两个极值点
6．（24-25高三上·广西·期中）已知函数 ，则（ ）
A．若 ，则 有三个零点 B．若 ，则函数 存在 个极值点
C． 在 单调递减，则 D．若 在 恒成立，则
7．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 的极小值点，则 在 上单调递减
B．若 是 的极大值点，则 且
C．若 ，且 的极小值大于0，则 的取值范围为
D．若 ，且 在 上的值域为 ，则 的取值范围为
8．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 ，其中实数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 有且仅有3个零点时， 的取值范围是
C．若直线 与曲线 有3个不同的交点 ，且 ，则
D．当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）若存在实数b使得方程 有四个不等的实根，则mn
的值可能为（ ）
A． B．2025 C．0 D．
10．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若函数 有三个零点 ，则下列说法
中正确的是（ ）A．
B．
C．若 成等差数列，则
D．若 成等比数列，则
三、解答题
11．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数 .
(1)试确定函数 的极大值与1的大小关系，并说明理由；
(2)若函数 有3个零点，求实数 的取值范围.
