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专题 03 三次函数的图像与性质
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题型01 三次函数的零点......................................................................1
题型02 三次函数的极值、极值点..............................................................7
题型03 三次函数的切线.....................................................................14
题型04 三次函数的对称性...................................................................19
题型 01 三次函数的零点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数概念
定义：形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)叫做三次函数
f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
−b−√b2−3ac −b+√b2−3ac
当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x = ，x =
1 3a 2 3a
二、三次函数的零点个数
若三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
a＞0 a＜0
b2−3ac>0
三 f (x )⋅f (x )<0
1 2
个
两个极值异与
零
图像与x轴有三个交点
点
个
b2−3ac>0
数 f (x )⋅f (x )=0
1 2
两
有一个极值为0
个
图像与x轴有两个交点
存在极值时b2−3ac>0
一 f (x )⋅f (x )>0
1 2
个
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数 的三个零点分别为 ， ， ，
若函数满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题设得函数关于 对称，进而有 、 ，且 ，结合
，得到 是 的两个零点，根据二次函
数性质求得 、 ，即可求 的范围.
【详解】由 ，即 ，故函数关于 对称，
所以 ，则 ，
故 ，
令 ，且开口向上，对称轴为 ，
由题意 ，且 ，它们也是 的两个零点，
所以 ，且 ，故 ，则 ，
所以 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到 是 的两个零点，且
，且 为关键.
二、多选题
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，则（ ）
A． B．若 ，则 的极大值点为
C．若 至少有两个零点，则 D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD【分析】A选项，代入计算，得到 ；B选项，求导，得到函数单调性，得到 为极
小值点，B错误；C选项，分 和 两种情况，结合B选项，得到函数极值情况，从而得到不等式，
求出 ；D选项，分 和 两种情况，得到 ，得到D正确.
【详解】A选项， ，
故 ，A正确；
B选项， ，若 ，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为极小值点，B错误；
C选项， ，当 时， ，故 在R上单调递增，不会有两个零点，舍去；
当 时，由B选项知， 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 处取得极小值，在 取得极大值，
且当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于 ，
其中 ， ，
要想 至少有两个零点，则 ，
解得 ，C正确；
D选项，由C选项知，当 时， 在R上单调递增，满足在区间 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
其中 ，故 ，所以 在区间 上单调递增，
综上， 在区间 上单调递增，D正确
故选：ACD
【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次
函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.
3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 也有三个零点 ，则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．
D．
【答案】ABD
【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据 关于 对称，结合等差中项即可求解
B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得 ，即可利
用三元平方关系求解D.
【详解】由 可得 ，
要使 有三个不同的零点 ，
则 有两个不相等的实数根，故 ，
即 ，A正确，
由于 为二次函数，关于 对称，因此
，
故 关于 对称，因此 成等差数列，故 是 的对称中心，则 ，故B正确，
当 时，作出 的图象，则 的图象与 的图象交点如图所示，
由于 ，故 ，故C错误，
对于D，根据 ，
展开可得 ，
故 ，
同理可得 的三个实数根为 ，
则 ，
故 ，
因此 ，
故 ，
即得 ，故D正确，
故选：ABD
关键点点睛：根据因式分解可得 ，进而根据
求解.
三、填空题
4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知 若函数 有两个零点，则
的取值范围为
【答案】
【分析】首先利用导数说明函数在各段的单调性与最大值，即可画出函数图象，依题意可得 与
y=f (x)的图象有两个交点，数形结合即可得解.
【详解】当 时， ，则 ，所以当 时，f′(x)>0，函数 单调递增；
当 时，f′(x)<0，函数 单调递减.
所以当 时， .
当 时， ，则 ，
当 时，f′(x)>0，函数 单调递增；当 时，f′(x)<0，函数 单调递减.
所以 时， .
画出函数 的图象如图所示：
因为函数 有两个零点，所以 与y=f (x)的图象有两个交点，
由图可知 或 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若方程 有且仅有两不
等实根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意，构造函数 ，方程 有且仅有两不等实根，即直线
与函数y=g(x)的图象有两个交点，作出函数的图象，根据交点的情况得到答案.
【详解】当 时，方程 可化为 ，即 ，
当 时，方程 可化为 ，即 ，令 ，方程 有且仅有两不等实根，即直线 与函数y=g(x)的图象
有两个交点，
当 时， ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 取极
小值 .
当 时， ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；当 时， 取极小值
一2.
根据以上信息，作出 的图象如图，
由图可知，当 或 时，直线 与函数y=g(x)的图象有两个交点，即方程 有
且仅有两不等实根.
故答案为： .
题型 02 三次函数的极值、极值点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 f (x)的图像 f'(x)的图像 f (x)的性质
f'(x)≥0恒成立
{ a>0 { a>0
⇒ f (x)在R上递增
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值点f'(x)≤0恒成立
{ a<0 { a<0
⇒ f (x)在R上递减
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值
增区间
(−∞，x )，(x ，+∞)
1 2
{ a>0 { a>0
⇒ 减区间(x ，x )
¿Δ>0 ¿b2>3ac 1 2
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
1 2
增区间(x ，x )
1 2
减区间
{ a<0 ⇒ { a<0 (−∞，x )，(x ，+∞)
¿Δ>0 ¿b2>3ac 1 2
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
2 1
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数 在 处取得极大值，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在 处是否取得极大值，即可得答案.
【详解】由题设 ，则 ，可得 或 ，
当 时 ，
当 或 时 ，则 在 和 上递增，
当 时 ，则 在 上递减，
此时在 处取得极小值，不符；
当 时 ，
当 或 时 ，则 在 和 上递增，
当 时 ，则 在 上递减，
此时在 处取得极大值，符合；
综上， .故选：C
2．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若 是函数 的极小值点，
则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得 ，即可得到 的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入
计算，即可得到结果.
【详解】由 可得 ，
又 是函数 的极小值点，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
即 是 的极大值点，不符合题意，故舍去；
当 时， ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
即 是 的极大值点， 是 的极小值点，符合题意，
此时 ，
所以 的极大值为 .
故选：D
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 ， 是 的导函数，
则下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为D．若 、 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项；利用不等式解
集与方程的关系可得出函数 的解析式，利用导数求出函数的极小值，可判断C选项；利用根与系数
的关系结合 可判断D选项.
【详解】对于A选项，若函数 为奇函数，
则 ，
且 ，
所以， ，
即 对任意的 恒成立，则 ，可得 ，
所以，“ ”是“ 为奇函数”的充要条件，A对；
对于B选项，易得 ，
因为函数 为增函数，则 ，可得 ，
所以，“ ” “ ”，
若取 ，则 成立，即“ ” “ ”，
所以，“ ”是“ 为增函数”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，因为不等式 的解集为 且 ，
则 、 为方程 的两个根，设方程 的第三个根为 ，
则 ，
若 ，则不等式 的解集为 ，不合乎题意；
若 ，则不等式 的解集为 ，合乎题意；
若 ，则不等式 的解集为 ，不合乎题意；
若 ，则不等式 的解集为 ，不合乎题意；
若 ，则不等式 的解集为 ，不合乎题意.
所以， ，则 ，
，列表如下：增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的极小值为 ，C对；
对于D选项，若 、 是方程 的两个不同的根，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，可得 ，
由于 ，解得 或 ，D对.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数 的定义域；
（2）求导；
（3）解方程 ，当 ；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值；
②如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值.
二、多选题
4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数 ，2为 的极大值点，则
下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4为函数 的极小值点，则
C．若 在 内有最小值，则 的取值范围是
D．若 有三个互不相等的实数解，则 的取值范围是
【答案】AD
【分析】先求得f′(x)，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A， ，， ，则 或 ，而 ，则 ，
令f′(x)>0，得 或 ，令f′(x)<0，得 ，
故 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；，
∴f (x)的极大值点为 ， ，A对.
对于B，若4为极小值点，则 ，则 ，B错.
对于C， 在 内有最小值，则 在 处取得最小值 ，
， ，
即 ，
， ，故C错误.
对于D， 有三个互不相等的实数解， ，
则 ，故 ，故D正确；
故选：AD
【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和
极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.
条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉
及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数 ，则（ ）
A．函数 一定有两个极值点 B．当 时，
C．当 时， 的极小值为0 D． 在区间 上的值域为
【答案】BCD
【分析】对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的
符号可判断其正误.
【详解】对于A，当 时， ，该函数在 上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B， ，
而 ，故 ，故 ，所以 ，
故B正确；对于C， ，
若 ，则 ，此时当 或 时，f′(x)>0，
当 时，f′(x)<0，故 在 处取极小值 ；
若 ，则 ，此时当 或 时，f′(x)<0，
当 时，f′(x)>0，故 在 处取极小值 ；
故C正确；
对于D，当 ， 时，
则当 或 时，f′(x)<0，当 时，f′(x)>0，
故 在 为减函数，在 上为增函数，
取 ，则 ，
考虑方程 在 上是否有解，
设 ，则 ，
，
由零点存在定理可得 在 上存在零点，设该零点为 ，则 ,
则 在 上的值域为 ，
故D成立，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再
结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可.
三、填空题
6．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 两个极值点分别为椭圆与
双曲线的离心率，则实数 的取值范围是 .
【答案】【分析】根据题意可得方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，根据一元二次
方程根的分布可得结果.
【详解】椭圆离心率 ，双曲线离心率 .
由题意得， .
∵函数 两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率，
∴方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
∴ ，解得 .
故答案为： .
题型 03 三次函数的切线
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】设出切点 ，求导，得到切线方程，将 代入切线方程，得到
，故 有三个实数根，令 ，求导，得
到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为 ，则 ，
，故 ，且切线方程为 ，
因为 在切线上，故 ，
整理得 ，
因为过点 可作曲线 三条切线，
故 有三个实数根，
设 ，则 ，
由 得， 或 ，
因为 ，由 得 或 ，此时 单调递增，
由 得 ，此时 单调递减，所以 的极大值点为 ，极小值点为 ，
故 要有三个实数根的充要条件为 ，
即 ，解得 .
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
二、多选题
2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数 ，则（ ）
A． 时， 是 的极大值点
B．若 存在三个零点，则
C．当 时，过点 可以作 的切线，有且只有一条
D．存在 ，使得
【答案】ACD
【分析】求出极大值点判断A； 有三个零点，求出 的范围判断B；利用导数的几何意义求解判断
C；取 ，求出函数图象对称中心计算判断D.
【详解】对于A，当 时， ，当 或 时， ，
当 时， ，因此 是 的极大值点，A正确；
对于C，当 时， ， ，设切点为 ， ，
则切线方程为 ，由切线过点 ，得 ，此方程有唯一解，
因此过点 可以作 的切线，有且只有一条，C正确；
对于B，当 时， 在 上取得极大值 ，在 处取得极小值 ，函数 存在三个零点，则 ，解得 ，
当 时， 在R上单调递增， 最多一个零点；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 处取得极大值 ，在 上取得极小值 ，
则 最多一个零点，于是 存在三个零点， ，B错误；
对于D，取 ，则 ， ，
令 ，
则 ， ， ，
因此当 时， ，D正确.
故选：ACD
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 时，若 有3个零点，则实数 的取值范围是
B． 时，过 可作函数 的切线有两条
C．若直线 与曲线 有3个不同的交点 ， ， ，且 ，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
【答案】AD
【分析】求导后分析函数的单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得A正确；设切点 ，由导
数的意义求出斜率，再由点斜式得到直线方程，然后由点在切线上代入解方程，由根的个数可得B错误；
再次构造函数 ，从而求出对称中心点 即可得C错误；根据函数存在极值点 ，再结合令
，求出 即可得D正确；
【详解】对于A，当 时， ， ，
令 ，解得 ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，若 有3个零点，则极大值 ，极小值 ，
所以实数 的取值范围是 ，故A正确；
对于B，当 时， ，
设切点为 ，则 ，所以切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又点 在切线上，且 ，
代入可得 ，
整理可得 ，解得 或 ，
所以应该有三条切线，故B错误；
对于C，令g(x)=f′(x)，则 ，得 ，则三次函数 的对称中心是 .
当直线 与曲线y=f (x)有3个不同的交点A(x ,y )，B(x ,y )， ，且 时，
1 1 2 2
所以点 一定是对称中心，所以 ，故C错误；
对于D：若 存在极值点 ，则 ， ， ，
令 ，得 ，
因为 ，于是 ，
所以 ，
化简得： ，
因为 ，故 ，于是 ，即 ，故D正确；
故选：AD.
4．（24-25高三上·浙江·开学考试）三次函数 叙述正确的是（ ）
A．函数 可能只有一个极值点
B．当 时，函数 的图象关于点 中心对称
C．当 时，过点 的切线可能有一条或者两条D．当 时，在点 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
【答案】BD
【分析】求导，令 ，利用 结合二次函数的图象可判断A；利用 是奇函数，可判断B；
设切点(x ,f (x ))，切线方程为 ，结合已知可得 ，求解可
1 1
判断C；在点(x ,f (x ))处的切线为 ，与曲线方程联立方程求解可判断D.
0 0
【详解】对于A选项： ，令 ，
即 ，
当 时，方程 有两个不同根， 有两个极值点；
当 时， 无个极值点，故A错误；
对于B选项： ，又 是奇函数，关于点 对称，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故B正确；
对于C选项：设切点(x ,f (x ))，则切线方程为 ，
1 1
因为过点(x ,f (x ))，所以 ，
0 0
即 ，
整理得 ，所以 ，或 ，由于 ，
则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D选项：在点(x ,f (x ))处的切线为 ，
0 0
与曲线联立方程组 化简得， ，
所以 ，或 ，由于 ，则方程组有两个不同解，
即有两个不同交点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
5．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数 ，若过点 可作曲线 的
三条切线，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将问题转化为方程有三个实数根的问题，再利用导函研究函数的极值求解作答.
【详解】设过点 作曲线 的切线的切点坐标为 ，
由 求导得： ，则切线斜率 ，
切线方程为 ，
于是 ，整理得 ，
令 ，求导得 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值 ，当 时，函数 取得极小值 ，
因为过点 作曲线 的切线有三条，则方程 有3个不等实根，
即函数 有3个零点，由三次函数的性质知， ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
题型 04 三次函数的对称性
【解题规律·提分快招】一、三次函数的韦达定理
设f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的三个零点分别为x ，x ，x ，则
1 2 3
b
(1)x +x +x =−
1 2 3 a
c
(2)x x +x x +x x =
1 2 2 3 3 1 a
d
(3)x x x =−
1 2 3 a
1 1 1 c
(4)
+ + =−
x x x d
1 2 3
二、三次函数的对称性
( b ( b ))
结论1 三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点 − ，f − 中心对称
3a 3a
结论2 已知三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x ，两个极值点分别为x ，x
0 1 2
f (x )−f (x ) 2 a
，则 1 2 = f' (x )=− (x −x ) 2
x −x 3 0 2 1 2
1 2
结论3 若y=f (x)图像关于点(m，n)对称，则y=f'(x)图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】求出导函数，利用导函数的符号及极值的概念判断A，根据单调性及极值的符号判断B，先利用
奇函数定义求得 的对称中心，进而利用平移法求得 的对称中心判断C，根据导
数的几何意义求得切点坐标，进而求解切线方程判断D.
【详解】由题意， ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，所以 是极值点，故A正确；
因为 ， ，
所以函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为R， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位长度得到 的图象，
所以点(0,1)是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，当切点为 时，
切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误．
故选：AC
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）设函数 ，则（ ）
A． 有三个零点 B． 是 的极小值点
C． 的图象关于点 对称 D．当 时，
【答案】BCD
【分析】由函数的零点定义，即可判断A；利用导数研究函数的单调性，即可判断B；利用函数对称性的
定义，可判断C；利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，令 ，解得 或 ，
所以 有两个零点，故A错误；
对于B， ，
令 ，解得 或 ，
当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 是 的极小值点，故B正确；
对于C，因为
，即 ，
则 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由对于A的分析可知，当 时， 单调递增，
则当 时， 单调递增，
又当 时， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
3．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）设 ，函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 时，函数 为增函数 B．点 为函数 图象的对称中心
C．存在a，使得函数 有且仅有一个极值点 D．函数 至少有一个零点
【答案】BD
【分析】根据 可判断B，利用导函数 的性质与图象，结合零点存在性定理可判
断ACD.
【详解】由题意， ， ，
因为对 ，有 ，
所以点 为函数 图象的对称中心，故B正确；
函数 的导函数 ， ，
①当 时， 恒成立，此时函数 是 上的减函数，
则函数 没有极值点，又 ， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 有一个零点；
②当 时， ，则方程 有唯一解 ，
当 时， ，当 时， ，所以函数 是 上的减函数，
则函数 没有极值点，又 ， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 有一个零点；
③当 时，由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以方程 有两个不相等的根，不妨设 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，
此时，函数 有两个极值点，
又 时， ， 时， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 至少有一个零点；
综上所述，当 时，函数 为减函数，故A错误，
当 时，函数 没有极值点，且有一个零点，当 时，函数 有两个极值点，且至少有
一个零点，故C错误，D正确；
故选：BD.
4．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 只有一个零点
B．若函数 的对称中心为 ，则
C．若函数 在 上为减函数，则
D．当 时，设 的三个零点分别为 ， ，曲线 在点 ， ， 处的切
线斜率分别记为 ， ， ，则
【答案】ABD
【分析】利用导数研究函数的单调性与极值可判定A；利用函数对称性的充要条件可判定B；利用函数单
调性判定导函数的符号，参变分离计算参数可判定C；利用零点将函数式变形，通过导数计算斜率之间的
关系，化简计算即可.
【详解】对于A， 时， ，
令 ，令 ，
即y=f (x)在 上单调递增，在 上单调递减，
则y=f (x)的极大值为 ，极小值 ，
又 ，即函数y=f (x)只有一个零点，在区间(−1,1)内，故A正确；对于B，若函数 的对称中心为 ，
则有
，
即 ，所以 ，故B正确；
对于C，可知 ，若函数 在 上为减函数，
则有 在 上恒成立，
分离参数得 在 上恒成立，
结合对勾函数的性质可知： ，
故 ，故C错误；
对于D，当 时， ，
令 ，令 ，
即y=f (x)在 上单调递增，在 上单调递减，
则y=f (x)的极大值为 ，极小值 ，
又 ，
即函数y=f (x)有一个零点，分别在区间 内，
则有 ，故 ，
所以 ，
，
则
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：对于函数零点个数的判定可通过研究其单调性与极值、最值结合图形分析；对于三次
函数的对称性，除了利用对称性的充要条件待定系数计算，也可以利用二阶导函数的零点计算；已知函数
的单调区间可利用导数的符合化为恒成立问题参变分离计算；对于D项，利用零点变形函数式，再求导，
转化三个零点对应切线斜率之间的关系是关键.
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设函数 ，其中 是常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是函数 的极值点，证明：函数 的图象关于点 成中心对称．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）含参的单调性讨论问题，求导后分 ， ， 讨论即可；
（2）先利用函数的极值点求出函数的表达式，再求出点 的坐标，然后验证 即可；
【详解】（1） ，
令 得 ，
若 ，则 ，
所以当 或 时 单调递增，
当 时 单调递减；
若 ，则f′(x)≥0（当且仅当 时取得等号）， 在R上单调递增；若 ，则 ，
所以当 或 时 单调递增，
当 时， 单调递减．
综上，若 ，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减；若
，则 在R上单调递增；若 ，则当 时， 单调递增，当
时， 单调递减．
（2）证明： ，依题意 是方程 的根，
所以 ，解得 ，
又当 时，方程 有两个不相等的根 和 ，
所以当 时，f′(x)>0，当 时，f′(x)<0，
所以 是 的极大值点，符合题意，
故 ，
所以 ，
因为
，
所以函数 的图象关于点 成中心对称．
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 ，若对任意 ，
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】问题等价于 在 单调递增，根据分段函数在定义域内单调递增的等价条件求解即可.
【详解】解：设 .
由对任意 ，都有 ，
即 ，也就是 ，
所以 在 单调递增.
当 时， 单调递增，
所以 ，所以 ；
当 时， 单调递增，
所以 恒成立，即 恒成立，
又因为 ，所以 ，
所以只需 即可，
所以 或 ，
所以 .
在 单调递增，
还应该满足 ，
即 或 ，又因为 ，
所以 .
故选：A
2．（24-25高三上·四川·期中）已知实数a满足 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的单调性且 ， ，再利用指数函数、一次函数的性质确定参
数 的范围，结合零点存在性定理判断零点个数.
【详解】由题设 ，易知 或 时， ， 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，且 ， ，
由 ，即 ，而 在R上递增， 在R上递减，
显然 ， ，故 ，
所以 ，又 趋向 时 趋向 ， 趋向 时 趋向 ，
综上， 共有3个零点.
故选：C
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数 ，若 的图象上存在两点 ， ，使
得 的图象在 ， 处的切线互相垂直，且过点 只能作1条切线与 的图象相切，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设得到 ，设过点 的直线与 相切于点 ，利用导数的几何意义及
过两点直线的斜率得到 ，构造函数 ，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
单调区间，再结合 的图象与题设条件，即可求出结果.
【详解】设 ， ，因为 ，所以 ，
由题有 有解，
又 ，所以 ，即 ，
设过点 的直线与 相切于点 ，
则有 ，整理得到 ，
令 ，则 ，
由 ，得到 或 ，由 ，得到 ，
即 的单调递增区间为 ，(1,+∞)，递减区间为(0,1)，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
的图象如图，又过点 只能作1条切线与 的图象相切，
所以 或 ，又 ，所以 或 ，
故选：C.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，通过设过点 的直线与 相切于点 ，根据题
设得到 ，从而将问题转化成 只有一解，构造函数 ，利用导数求出函数
的单调区间，进而得出函数图象，数形结合，即可解决问题.
二、多选题
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数y=f (x)的导函数为y=g(x)，且 ，则
（ ）
A．点 是曲线y=g(x)的对称中心 B．函数 有三个零点
C．函数 只有一个极值点 D．当 时，
【答案】ACD
【分析】选项A根据 是奇函数，图象关于点 对称可判断；选项B根据导数求得单调性和极
值可判断；选项C根据导数判断函数的单调性进而可得；选项D先构造函数 利用单调性
判断 ，进而利用 的单调性可得.
【详解】选项A：因为 是奇函数，图象关于点 对称，
所以 的图象关于点 对称，A正确；
选项B：因为 ，由 解得 或 ， 解得 ，
所以 在区间 单调递增，(−1,1)单调递减， 单调递增，
且 ， ， ，所以 有两个零点，B错误；
选项C：因为 ，所以 在区间 单调递减， 单调递增，即 只有一个极值点，C正确；
设 ， ，
由ℎ ′(x)>0解得 ，ℎ ′(x)<0解得 ，
所以ℎ(x)在区间 单调递减，(0,+∞)单调递增，
，所以 ，
因为 在区间 单调递增，所以由 ，
得 ，D正确，
故选：ACD．
5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为
B． 图象的对称中心为
C．当 时， 在区间 内单调递减
D．当 时， 有两个极值点
【答案】BD
【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A，利用函数的奇偶性判定B，利用导
数研究函数的单调性结合特殊值法排除C，利用极值点的定义可判定D.
【详解】对于A：当 至少一个不为0，则 为三次或者一次函数，值域均为R；
当 均为0时，值域为 ，错误；
对于B：函数 满足 ，
可知 为奇函数，其图象关于 中心对称，
所以 的图象为 的图象向上移动两个单位后得到的，
即关于(0,2)中心对称，正确；
对于C： ，当 时，取 ，
当 时， 在区间 上单调递增，错误；
对于D： ，当 时， 有两个不相等的实数根，
所以函数 有两个极值点，正确.
故选：BD.
6．（24-25高三上·广西·期中）已知函数 ，则（ ）A．若 ，则 有三个零点 B．若 ，则函数 存在 个极值点
C． 在 单调递减，则 D．若 在 恒成立，则
【答案】ABD
【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。
函数在某个区
间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范
围.
【详解】对于选项A：若 ， ， ，由 ，得： ，
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，得： 在x∈(−1,1)上单调递减；
当 和(1,+∞)时，f′(x)>0，得： 在 和(1,+∞)上单调递增；
所以函数 有极大值 ， 有极小值 ，
所以三次函数 有三个零点，故A选项正确；
对于选项B，若 ， ，
由 ，得 有两个解，
当 和 时，f′(x)>0，
在 和 上单调递增；
当 时，f′(x)<0，
在 上单调递减，
所以 存在两个极值点，故B选项正确；
对于选项C，由题意可知： 是 解集的子集，
当 时，显然 恒成立；
当 时， ，由于 ，可得： ，即 ；
综上可得： ，故C选项错误；
对于选项D，当 时， 恒成立，
当 ，令 ，则 ，令 （ ），
，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
故 ，则 ；
当 ，令 ，则 ，
令 （ ），
，
当 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
所以 ，则 ；
综上所述：若 在 恒成立，则 ，故D选项正确.
故选：ABD
7．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 的极小值点，则 在 上单调递减
B．若 是 的极大值点，则 且
C．若 ，且 的极小值大于0，则 的取值范围为
D．若 ，且 在 上的值域为 ，则 的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据
，即可结合极值点定义求解吧，根据
即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D.
【详解】 ,若 是 的极小值点,则 ，
故 有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值，
故由三次函数的图象可知，若 是 的极小值点，则极大值点在 的左侧，在 上不单调，A错误.
，若 是 的极大值点，则 ，
所以 .
若 没有极值点. 的解为 .
因为 是 的极大值点，所以 ，即 B正确.
若 ，则 .
因为 的极小值大于0，所以 只有一个零点，且 的极大值点与极小值点均大于0，
所以方程 无实数根，且方程 的2个实数根均大于0，
所以 解得 ，C正确.
若 ，则 .
令 ，若 ，即 单调递增，符合题意.
由 ，解得 或 ，
此时 的2个解为 .
当 时， ，所以 在 上单调递减，
即当 ， 时， ，不符合题意.
当 时， ，
所以 在 上的最大值为 ，且 ，不符合题意.
综上，若 ，且 在 上的值域为 ，则 的取值范围为 ，D正确，
故选：BCD
8．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 ，其中实数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 有且仅有3个零点时， 的取值范围是
C．若直线 与曲线 有3个不同的交点 ，且 ，则D．当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
【答案】BCD
【分析】选项A根据导函数及 可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对
称中心可得；选项D，先求过点 的切线方程，将切线个数转化为 与 图
象交点个数，进而可得.
【详解】选项A：由题意可得 ，
令 解得 或 ，
因为 ，所以令f′(x)>0解得 或 ，令f′(x)<0解得 ，
故 在区间 或 上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A错误，
选项B：要使 有且仅有3个零点时，只需 即 ，解得 ，故B正确；
选项C：若直线 与曲线y=f (x)有3个不同的交点 ，且 ，
则点 是三次函数 的对称中心，
设 ，则 ，
令 ，得 ，故 的对称中心为(1,f (1))， ，故C正确；
选项D： ，设切点为 ，
所以在点 处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以 ，
解得 ，
令 ，
过点 可以作曲线y=f (x)的切线条数可转化为y=g(x)与 图象交点个数，
，
因为 ，所以 得 或 ， 得 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， 图象如图所示，所以当 时，y=g(x)与 图象有3个交点，
即过点 可以作曲线y=f (x)的3条切线，故D正确，
故选：BCD
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）若存在实数b使得方程 有四个不等的实根，则mn
的值可能为（ ）
A． B．2025 C．0 D．
【答案】AD
【分析】将问题转化为 至少存在三个变号零点，利用导数研究其单调性，并讨论参数
符号判断变号零点个数，即可确定参数符号，进而得答案.
【详解】令 ，则 ，
令 ，且该函数至少存在三个变号零点，且 ，
当 时，
在 上， ，即 递增，
在 上， ，即 递减，
若 ，则 ，知 至多有一个变号零点；
故 ；
当 时，
在 上， ，即 递增，
在 上， ，即 递减，
若 ，则 ，知 至多有一个变号零点；
故 ；
当 时， ，即 在定义域上递增，
此时， 至多有一个变号零点，不符合题意；
综上， 只能为负数.故选：AD
【点睛】关键点点睛：问题化为 至少存在三个变号零点，对应参数的符号即可.
10．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若函数 有三个零点 ，则下列说法
中正确的是（ ）
A．
B．
C．若 成等差数列，则
D．若 成等比数列，则
【答案】BC
【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式 求解可得；B项
利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根
与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用 分别表示 即可判断.
【详解】A项，由题意得 有三个零点，
则 至少有三个单调区间，故 有两个不等实根，
所以 ，解得 ，故A错误；
B项，由题意可知 ，
则 ，
，
同理
，故B正确；
C项，
，
若 成等差数列，则 ，
则 ， ，则 ，
所以 ，即 ，故C正确；
D项，若 成等比数列，则 ， ，故 ， ，
则 ，由 ，可知 ，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要
注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，
如B项中三元并列结构式 的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题
解决清晰简捷.
三、解答题
11．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数 .
(1)试确定函数 的极大值与1的大小关系，并说明理由；
(2)若函数 有3个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)函数 的极大值大于1，理由见解析；
(2) .
【分析】（1）利用导数研究 的单调性，进而确定其极大值，结合单调性与 比较大小即可；
（2）根据（1）所得单调性，只需保证极小值 即可求参数范围.
【详解】（1）函数 的极大值大于1，理由如下：
由题设 ，令 ，解得 ，
当 或 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 时 取得极大值，由单调性知 ，
所以函数 的极大值大于1.
（2）由（1）知，当 时 有极大值，且极大值为 ，因为 ， 且当 时 有极小值，
要使函数 有3个零点，应满足 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
