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压轴题突破练 2
1．(2022·绵阳模拟)已知函数f(x)＝x＋－(a－1)ln x－2，其中a∈R.
(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
(2)讨论f(x)在区间[1，e]上的零点个数．
解 (1)由f(x)＝x＋－(a－1)ln x－2，
得f′(x)＝1－－＝(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，与f(x)存在极值点矛盾；
②若a>0，则由f′(x)＝0，解得x＝a，
故当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
故f(x)存在唯一极小值点x＝a，
故极小值f(a)＝a＋1－(a－1)ln a－2＝(a－1)(1－ln a)＝0，
解得a＝1或a＝e.
(2)f′(x)＝1－－＝(x>0)，
①若a≤1，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
故f(x)在[1，e]上单调递增，
∵f(1)＝a－1≤0，f(e)＝e＋－a－1＝(e－1)·>0，
∴由零点存在性定理，得f(x)在[1，e]上有1个零点；
②若1<a<e，当x∈[1，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，e]时，f′(x)>0，
∴f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，
∴f(x) ＝f(a)＝(a－1)(1－ln a)>0，
min
此时f(x)在[1，e]上无零点；
③若a≥e，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
故f(x)在[1，e]上单调递减，
∵f(1)＝a－1>0，f(e)＝(e－1)≤0，
∴f(x)在[1，e]上有1个零点．
综上，当1<a<e时，f(x)在[1，e]上无零点，
当a≤1或a≥e时，f(x)在[1，e]上有1个零点．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为8，且点M在C上．(1)求C的方程；
(2)若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分(O为坐标原点)，求△AOB面
积的最大值．
解 (1)依题意可知解得
故C的方程为＋＝1.
(2)易得直线OM的方程为y＝－x，
设A，B，R为AB的中点，其中y＝－x，
0 0
因为A，B在椭圆上，所以
两式相减可得k ＝＝－×＝－×＝.
AB
可设直线l的方程为y＝x＋m，
联立
整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0，
则Δ＝300m2－64>0，
解得－8<m<8，则x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
则|AB|＝·＝，
原点O到直线l的距离d＝＝，
则△AOB的面积S＝|AB|·d＝××＝.
当且仅当m2＝32，即m＝±4时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2.
