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专题二 数列
第1 讲 等差、等比数列
一、考点透析
考点1 等差(比)数列的基本运算
1．（2025·全国二卷·真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
.
故选：B.
2.(2025·安徽省芜湖市·模拟题)若等比数列{an}的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的首
项a1=( )
A. −192
B. 192
C. ±192
D. −193
【答案】B
【详解】由a3= 48，a5=12，得{
a1q
2= 48
a1q
4=12
，得q
2= 1
4
，所以a1= 48
q
2 = 48×4 =192．
故选：B．
3．（2025·全国二卷·真题多选题）记
为等比数列
的前n 项和，
为
的公比，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】对A，由题意得
，结合
，解得
或
（舍
去），故A 正确；
对B，则
，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
对D，
，
，
则
，故D 正确；
故选：AD.
考点2 等差(比)数列的性质及应用
1.(2025·四川省成都市·期中)已知{an}为等差数列，{an}前n项和为Sn
，a1+a4+a7=1，
S5=5，则a6=( )
A. −1
B. −1
3
C. 1
2
D. 3
【答案】A
【解析】解：因为 S5=5 ，
所以 5(a1+a5)
2
=5a3=5 ，
所以 a3=1 ，
又因为 a1+a4+a7=1 ，
即 3a4=1 ，解得 a4= 1
3
，
所以等差数列的公差 d =a4−a3=−2
3
，
所以 a6=a3+3d =1−2=−1 ．
故选：A．
2.(2025·湖北省武汉市·联考)已知等差数列{an}的公差d ≠0，若a2，a5，a9构成等比数列，
则a2
a1
= ．
【答案】9
8
【解析】解：据题意得a2=a1+d，a5=a1+ 4 d，a9=a1+8d，
因为a2
，a5
，a9
构成等比数列，所以a5
2=a2⋅a9
，
得：(a1+ 4 d )
2=(a1+d )(a1+8d )，则a1
2+8a1d +16d
2=a1
2+9a1d +8d
2，可得a1=8d，
所以a2
a1
= a1+d
a1
=1+ 1
8 = 9
8
，
故答案为9
8
．
3.(2025·河南省·期中)一个等差数列共有2n+1项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，
则此数列第n+1项为( )
A. 31
B. 30
C. 29
D. 28
【答案】C
【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：{
a1+a3+⋯+a2n+1=(n+1)an+1=319
a2+a4+⋯+a2n=nan+1=290
,
所以an+1=(n+1)an+1−nan+1=319−290=29．
故选：C．
4．（2025·全国一卷·真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项和为4，前8 项和
为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【详解】法一：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
当
时，
，即
，则
，显然不成立，舍去；
当
时，则
，
两式相除得
，即
，
则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：
.
法二：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
所以
，
，
所以
，则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，
所以该等比数列公比为
.
故答案为：
.
5.(2025·江西省九江市·模拟)九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开
跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1
周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，
每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训
练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是( )
A. 736公里
B. 724公里
C. 692公里
D. 660公里
【答案】C
【解析】解：记第一周跑步量为a1=2，
由题意，则S4=2+ 4+8+16=30，
所以前4周的跑步量为等比数列，
所以a5=16×2=32,则a10=32+5×2= 42,a11= 42+2= 44，
故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则(32+ 42)×6
2
=222，
第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，
所以小宝同学跑步的总量是30+222+ 440=692公里．
故选：C．
考点3 等差、等比数列的判断与证明
1.(2025·河南省·联考)已知{an}为非常数数列，则“{2
an}为等比数列”是“{an}为等差数
列”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】解：因为{an}为非常数数列，
若{2
an}为等比数列，则2
an+1
2
an =2
an+1−an=q(q≠1)为常数，
所以an+1−an为非零常数，所以数列{an}为等差数列，充分性成立;
若{an}为等差数列，则an+1−an=d(d ≠0)为常数，
所以2
an+1
2
an =2
an+1−an=2
d(2
d≠1)为常数，所以{2
an}为等比数列，必要性成立;
所以“{2
an}为等比数列”是“{an}为等差数列”的充要条件．
故选C．
2.(2025·江苏省·模拟)正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A1，B1，C1，D1作
第二个正方形A1B1C1 D1，然后再取正方形A1B1C1 D1各边中点A2，B2，C2，D2作第三
个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为( )
A. 2−1
2
12
B. 2(1−1
2
10 )
C. 2−1
2
11
D. 2(1−1
2
11 )
【答案】D
【解析】解：第一个正方形的边长为1，面积S1=1
2=1，
取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边
长的
√2
2 (由勾股定理计算可得)，
因此第二个正方形的面积S2=(
√2
2 )
2
= 1
2
，
同理，第三个正方形的面积S3= 1
2 ×S2= 1
4
，
以此类推，各正方形面积构成首项a1=1，公比q = 1
2
的等比数列，
前11个正方形的面积和为等比数列前11项和，根据等比数列求和公式
S11=
1×[1−( 1
2 )
11]
1−1
2
=2(1−1
2
11 )
．
故选：D．
3.(2025·湖北省武汉市·模拟)数列{an}满足an+1an= 4 an−4，下列说法正确的是( )
A. {an}可能为常数列
B. 数列{
1
an−2 }是等差数列
C. 若a1=3，则∑
n=1
10
1
an−2 = 65
2
D. 数列{ 1
an
}可能为公差不为0的等差数列
【答案】ABC
【解析】解：对于A，令an+1=an=a，
由an+1an= 4 an−4，可得a
2= 4 a−4，解得a=2，
所以{an}可能为常数列，A 正确；
对于B，当a1=2时，
由an+1an= 4 an−4，得an(an+1−2)=2(an−2)，
则a2=2,a3=2,a4=2,⋯,an=2，
此时
1
an−2无意义，
an+1an= 4 an−4中，若an=0，则0=−4，矛盾，故an≠0，
当a1≠2时，则an+1= 4−4
an
，则
1
an+1−2 =
1
4−4
an
−2
=
1
2−4
an
=
an
2an−4 =
1
an−2 + 1
2，
数列{
1
an−2 }是公差为1
2的等差数列，B 正确；
对于C，a1=3，由选项B 得等差数列{
1
an−2 }的首项为
1
a1−2 =1，公差为1
2，
1
an−2 =1+ 1
2 (n−1)= n+1
2
，其中
1
a10−2 = 10+1
2
= 11
2 ，
则由等差数列求和公式得∑
i=1
10
1
ai−2 =
10×(1+ 11
2 )
2
= 65
2
，C 正确；
对于D，若数列{ 1
an
}为公差不为0的等差数列，由B知，an≠0，
由an+1an= 4 an−4，得an+1= 4−4
an
，
则1
an+1
−1
an
=
1
4−4
an
−1
an
= an
2−4 an+ 4
4 an(an−1)不会是非零常数，D 错误．
故选：ABC．
4．（2025·全国一卷·真题）设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
二、跟踪练习
1．（2025·北京·真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数
列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，
因为
成等比数列，且
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
.
故选：C.
2.(2025·山东省菏泽市·模拟)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4= 4 a3−4 a2，则
S4
a1+a2
=( )
A. 5
B. 9
C. −9
D. −5
【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a4= 4 a3−4 a2
，可得a2q
2= 4 a2q−4 a2
，
因为a2≠0，所以(q−2)
2=0，所以q =2，
所以
S4
a1+a2
= a1+2a1+ 4 a1+8a1
a1+2a1
= 15a1
3a1
=5．
故选A．
3.(2025· 福建省厦门市· 期中) 已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn
，若
(S15−S11)(S15−S12)<0，则( )
A. a13+a14<0
B. S11<S15<S12
C. 当n=14时，Sn取最大值
D. 当Sn<0时，n的最小值为27
【答案】BD
【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn
，由(S15−S11)(S15−S12)<0，
得(a15+a14+a13+a12)(a15+a14+a13)=6a14(a14+a13)<0(∗)，即a13a14< −a14
2 ≤0，
对于A，由上分析，a13,a14
异号，而a1>0，则数列{an}是递减等差数列，
因此a14<0，故由(∗)可得a14+a13>0，A 错误；
对于B，S15−S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0，则S15>S11，
又S15−S12=a13+a14+a15=3a14<0，则S15<S12，B 正确；
对于C，由选项A 知，a13>0，a14<0，又数列{an}是递减等差数列，
则当n=13时，Sn取得最大值，C 错误；
对于D，因S26= 26(a1+a26)
2
=13(a14+a13)>0，S27= 27(a1+a27)
2
=27a14<0，
由选项A 知，当n≥14时，an<0，则当n≥27时，Sn<0，D 正确．
故选：BD
4.(2025·江苏省·模拟)设Sn
是数列{an}的前n项和，且a1=1，Sn=(2Sn+1)Sn+1
，则a5
S11
=
( )
A. −1
2
B. −2
3
C. −2
D. −3
4
【答案】B
【解析】解：∵Sn=(2Sn+1)Sn+1
，a1=1，
∴Sn= Sn+1+2Sn⋅Sn+1，1
Sn+1
−1
Sn
=2，1
S1
= 1
a1
=1，
∴{
1
Sn}
是以1为首项，公差为2的等差数列，
∴1
Sn
=2n−1，Sn=
1
2n−1，S11= 1
21，
a5= S5−S4= 1
9 −1
7 =−2
63
，
∴a5
S11
=−2
63 ×21=−2
3
．
故选：B．
5.(2025·陕西省汉中市·模拟)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将
其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的
每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为
1mm､公差为4 mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190mm，则
该鬼工球的层数为( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】B
【解析】解：已知每层与其外一层球面的间距构成首项a1=1mm、公差d = 4 mm的等差数
列.设该鬼工球的层数为n，
由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前n项和，即Sn=190mm，
根据等差数列前n项和公式Sn=na1+ n(n−1)
2
d，
将a1=1，d = 4，Sn=190代入可得：n·1+ n(n−1)
2
·4 =190，即2n
2−n−190=0，
得到n1=10，n2=−19
2 (因为层数n为正整数，所以舍去)，
该鬼工球的层数为10．故选：B．
6.(2025· 河南省· 模拟) 在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2=2a1+a3，S4=30，
S2=38−a5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任意排列，cn表示其中同时满足条件①b1=a1和
②bi+1
bi
∈[ 1
4 ,4 ](i=1，2，…，n−1)的排列的个数，T n
为数列{cn}的前n项和．
(i)证明：cn+3=T n+n+2；
(ii)证明：c2025−1能被2整除．
【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，
由3a2=2a1+a3
，得3a1q =2a1+a1q
2，
∴3q =2+q
2，解得q =1或q =2，
若q =1，则由S4=30，得a1= 15
2
，
∴S2=15，38−a5=38−15
2 = 61
2
与S2=38−a5矛盾，
∴q≠1，
若q =2，则由S4=30，得a1=2，
∴S2=6，38−a5=38−2×2
4=6，符合S2=38−a5
，
∴a1=2，q =2，
∴an=2
n，
故数列{an}的通项公式为：an=2
n．
(2)证明：(i)∵b1=2，∴b2= 4或b2=8，
当b2= 4，则b2，b3，⋯，bn各项分别除以2后，
恰是a1，a2，…，an−1满足条件①②的排列，其个数为cn−1；
当b2=8，b3= 4，则b4=16，此时b4，b5，⋯，bn各项分别除以8后，
恰是a1，a2，⋯，an−3满足条件①②的排列，其个数为cn−3；
当b2=8，b3≥16，设bk +1是该排列中第一个出现的2的偶数次幂，
则前k个数应是2，2
3，2
5，⋯，2
2k −1，而bk +1应是2
2k或2
2k −2，
由条件②知，排在bk +1后的各数，要么都小于bk +1，要么都大于bk +1，
∵4在bk +1后面，此时仅有1个排列，即递增排出所有2的奇数次幂，
再依递减的顺序排出所有的2的奇数次幂，
综上，得到递推关系cn=cn−1+cn−3+1(n≥4)，
∵c4=c3+c1+1，c5=c4+c2+1，⋯，cn+2=cn+1+cn−1+1，cn+3=cn+2+cn+1，
将所有式子相加，得：cn+3=c1+c2+⋯+cn+n+c3，
∵c3=2，∴cn+3=T n+n+2，得证．
(ii)cn的余数依次为：1，1，0，0，0，1，0，1，1，0，0，0，1，0，1，…，猜测余
数列以7为周期，
事实上，令2mod cn表示cn除以2的余数，
则2mod cn+7=2mod(cn+6+cn+ 4+1)
=2mod(cn+5+cn+3+cn+ 4+2)
=2mod(2cn+ 4+cn+2+cn+3+3)
=2mod(cn+2+1+cn+3)
=2mod(2cn+2+cn+2)=2mod(cn)，
∴数列{2mod cn}的周期为7，
又2025=7×289+2，
∴2mod c2025=2mod c2=1，
∴c2025−1能被2整除，命题得证．
