文档文本内容
1
解密03 等差数列与等比数列
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
等差(比)数
列的基本运
算
【2017 新课标1 理4】记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
的公差为（ ）
1.等差、等比数列
基本量和性质的考
查是高考热点，经
常以小题形式出
现.
2.数列求和及数列
与函数、不等式的
综合问题是高考考
查的重点，考查分
析问题、解决问题
的综合能力．
【2020 新课标2 文14】记
为等差数列
的前n 项和．若
，则
________．
【2019 新课标3 文6 理5】已知各项均为正数的等比数列
的前
4 项和为15，且
，则
( )
【2019 新课标1 理14】记
为等比数列
的前n 项和．若
，则
_________．
等差(比)数
列的性质
【2020 新课标1 文10】设
是等比数列，且
，
，则
（ ）
【2020 新课标2 理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分
上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天
心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一
层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9
块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面
形石板(不含天心石)（ ）
【2020 新高考全国14】将数列
与
的公共项从小到
大排列得到数列
，则
的前n 项和为________．
等差(比)数
列的判断与
证明
【2019 新课标2 理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，
4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【2017 新课标1 文17】记
为等比数列
的前
项和，已知
．（1）求
的通项公式； （2）求
，并判断
，
，
成等差数列．
等差数列与
等比数列的
【2020 新高考全国卷18】已知公比大于的等比数列
满足：
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2
综合问题
．（1）求
的通项公式；
（2）【全国Ι 卷】记
为
在区间
中的项的个
数，求数列
的前
项和
．
（2）【全国Ⅱ卷】求
.
核心考点一 等差(比)数列的基本运算
1.等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；
2.等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；
1.【2017 新课标1 理4】记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
的公差为
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】设公差为
，
，
，
联立
解得
，故选C.
2.【2019 新课标3 文6 理5】已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，则
( )
A. 16 B. 8
C. 4
D. 2
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3
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为
，则
，解得
，
，故选C．
3.【2020 新课标2 文14】记
为等差数列
的前n 项和．若
，则
__________．
【答案】25
【解析】设
等差数列的公差
，可得
，即
，解得
，
，故答案为
．
4．【2019 新课标1 理14】记
为等比数列
的前n 项和．若
，则
____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为
，由已知
，所以
，又
，所以
，
所以
．
1.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2 B．－1 C. D.
【答案】B
【解析】S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0，即2q2－q－3＝0，解得
q＝－1(舍)或q＝，当q＝时，代入S2＝3a2＋2，得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.故选B．
2.已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n 项和Sn＝( )
A.n(n－2)
B.n(n－1)
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4
C.n(n＋1)
D.n(n＋2)
【答案】A
【解析】依题意a＝a2·a6，得(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10).解得a1＝－1.因此Sn＝na1＋×2＝n2－2n.
3.(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6 成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n 项和为Sn，求Sn的最小值.
【解析】（1）设{an}的公差为d.因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6 成等比数列，
所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).
解得d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.
（2）法一：由（1）知，an＝2n－12.
则当n≥7 时，an>0；当n＝6 时，an＝0；当n<6 时，an<0；
所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.
法二：由（2）知，Sn＝(a1＋an)＝n(n－11)＝－，又n∈N*，
∴当n＝5 或n＝6 时，Sn的最小值S5＝S6＝－30.
核心考点二 等差(比)数列的性质
1.等差数列常用性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.
2.等比数列常用性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
②an＝am·qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.
1.【2020 新高考全国14】将数列
与
的公共项从小到大排列得到数列
，则
的前n 项
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5
和为________．
【答案】
【解析】因为数列
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，数列
是以1 首项，以3 为公差
的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列
是以1 为首项，以6 为公差的等差数列，
所以
的前
项和为
，故答案为
．
2.【2020 新课标2 理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形
石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环
比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
【答案】C
【解析】设第n 环天石心块数为
，第一层共有n 环，则
是以9 为首项，9 为公差的等差数列，即
，设
为
前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为：
，因为下层比中层多729 块，所以
，
即
，
即
，解得
，
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6
所以
．故选C．
1.在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0.若an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝( )
A.38 B.20 C.10 D.9
【答案】C
【解析】在数列{an}中，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以数列{an}为等差数列.
由an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，得2an－a＝0，
又an≠0，解得an＝2.
又S2n－1＝38，即＝(2n－1)an＝38，
即(2n－1)×2＝38，解得n＝10.
2.已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A.25
B.20
C.15
D.10
【答案】B
【解析】在正项等比数列{an}中，Sn＞0.因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5 时取等号).
故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
3.已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则
log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.
【答案】21
【解析】因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，
令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，
∴数列{an}为等比数列，公比为a1，
由等比数列的性质有a3a5＝a，因为a3·a5＋a4＝72，则a＋a4＝72，
∵a4＞0，∴a4＝8，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝log287
＝21.
核心考点三 等差(比)数列的判断与证明
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证明数列{an}是等差（比）数列的方法：
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：
①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：
①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；
②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．
1. 【2017 新课标1 文17】记Sn为等比数列{an}的前n 项和.已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)得Sn＝＝＝[(－2)n－1]，
则Sn＋1＝[(－2)n＋1－1]，Sn＋2＝[(－2)n＋2－1]，
所以Sn＋1＋Sn＋2＝[(－2)n＋1－1]＋[(－2)n＋2－1]＝[2(－2)n－2]＝[(－2)n－1]＝2Sn，
∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
2.【2019 新课标2 理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).又因为a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列.
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为1，公差为2 的等差数列.
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
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1.已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.
(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；
(2)求数列的前n 项和Tn.
【解析】(1)证明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，
又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2 的等比数列．
(2)由(1)知，an－bn＝2n＋1，①
又an＋bn＝(3an－1－bn－1)＋(an－1－3bn－1)＝an－1＋bn－1，
又a1＋b1＝3＋(－1)＝2，
所以{an＋bn}为常数数列，an＋bn＝2，②
联立①②得，an＝2n＋1，
＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝－＝－(n∈N*)．
2.已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ 为常数.
(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，S＝a－λSn＋1，
∴S＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1，
则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.
∵an>0，知Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，
故Sn＋1＝2Sn＋λ.
(2)由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，
当n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋λ，
两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，
所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.
又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，
∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.
因此an＝
若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.
∴λ＝1，经验证得λ＝1 时，数列{an}是等比数列.
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9
核心考点四 等差数列与等比数列的综合问题
1.【2020 新高考全国18】已知公比大于的等比数列
满足：
．
（1）求
的通项公式；
（2）【全国Ι 卷】记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
（2）【全国Ⅱ卷】求
.
【解析】（1）由于数列
是公比大于的等比数列，设首项为
，公比为
，
依题意有
，解得
，所以
，所以数列
的通项公式为
．
（2）【全国Ι 卷】由于
，所以
对应的区间为
，则
；
对应的区间分别为
，则
，即有
个；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为
，则
，即有
个；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
．
所以
．
(2) 【全国Ⅱ卷】由于
，
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故
．
1.已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与其前n 项和Sn；
(2)将数列{an}的前4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3 项，记{bn}的前n 项
和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ 恒成立，求实数λ 的取值范围．
【解析】(1)由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，
∴an＝5－n，从而Sn＝(n∈N*)．
(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，
设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝，
∴Tm＝＝8，
∵
m随m 的增加而减少，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8.
又Sn＝＝－(n2－9n)＝－，
故(Sn)max＝S4＝S5＝10，
若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ，
则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ 的取值范围为(2，＋∞)．
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