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5.4 数列的求和方法考点一 公式法
【例1】（2023·惠州）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：设 的公比为 （ ），
因为 ，且 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，解得 ，所以
（2）解：由（1） ，
【一隅三反】
1.（2024嘉兴）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
【解析】（1）解：设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，解得 ，
（2）解： ，且 ，故数列 为等比数列，且首项为2，公比为4，
因为
2．（辽宁省2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，且 ，则 ，
即 ，所以数列 是首项为 ，公比为7的等比数列，
所以 ，则 ；
（2）由（1）可知， ，
，即 ，只有当 时，等号成立，
所以 ，只有当 时，等号成立，
当 时， ，成立，当 时， ，
综上可知， .
考点二 裂项相消法
【例2-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 也是等差数列．
(1)求数列 的公差；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列 的公差为d，则 ．
因为 是等差数列，所以 为常数．
，
所以 ，解得
（2）因为 ，所以 ．
，
故 ．
【例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 为等比数列 的前 项和，若 成等差数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列 的公比为 ，
由 成等差数列可得 ，故 ，解得 ，
由 可得 ，解得 ，
故 ，即数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ，
故 ，
又因为 为递增数列，则 ，又当 时，
所以 ，故 .
【例2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 （ ）中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列的 前 项和为 ，证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）∵ ，∴ ，
（方法一）
，
∴
化简得： ，
∴ .
（方法二）
，
∴
.
【例2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【解析】（1）证明：令 ，又 ，则有
，
又 ，所以
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以
【一隅三反】
1.（2023·河南）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的值和数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ； ；(2) .
【解析】(1)由 得： ；
为正项数列， ， ；
当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足 ； .
(2)由（1）得： ，
.
2．（2022·重庆）数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ， (2) 或
【解析】(1)解：当 ， ，①
， ，②
①－②得 （*）在①中令 ，得 ，也满足（*），所以 ， ，
(2)解：由（1）知， ，
故 ，
于是，
因为 随n的增大而增大，
所以 ，解得 或
所以实数m的取值范围是 或 .
3（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，即 ，
又因为 ，满足上式，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 .
（2）因为 ，
所以 .
考法三 错位相减法【例3-1】（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）当 时， ，
，
，
当 时， ，
整理得 ，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
① ②得；
法二：
，
设 ，
且 ，解得 ，
，
即 ，其中 ，
，
.
【例3-2】（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）数列 满足 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，
当 时， 也满足上式，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减的， ，
所以 ．
【一隅三反】
1．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)已知 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ,
两式相减得 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）知， ，
所以数列 的前 项和为 ，
可得 ，
两式相减得 ，
所以 ．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 , 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当 时, ,解出 ,又 ,则 ；
当 时,由 两式相减得 ,两边同时除以
即 ,即 ,
利用上述等式有 , ,
因此 ,即 , ,
当 时, , 满足 ,因此 ；（2）由（1）可知, ,则 ,
两边同时乘以 得, ,
错位相减得 ,
即
整理得， .
3．（2024·河南·三模）已知数列 的各项都为正数，且其前 项和 .
(1)证明： 是等差数列，并求 ；
(2)如果 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2) .
【解析】（1）当 时， 或 ，
因为 ，所以 ，
，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ，
故 是首项为1，公差为 的等差数列，
；（2）由（1）知 ，
，
，
则 ，
，
所以 .
考法四 分组转化法
【例4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ，
， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 为等差数列，设公差为d，
由 ，得 ， 即 ，
由 ， ， 成等比数列得 ， ，
化简 得 ，因为 ，所以 ．所以 ．
综上 ．
（2）由 知 ， ，
又 为公比是3的等比数列， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
.
综上 .
【例4-2】（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ；（2）由（1）可得 ，
所以
.
【例4-3】（2024·全国·模拟预测）数列 满足 ， ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知，数列 是等差数列，设数列 的公差为 ．
可转化为
，
即 ，
即 ， ，即 ，
， ．
（2）由题可得 ，，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
综上所述,
【一隅三反】
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，由 及 ，
得 ，
解得 ，于是 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
所以
.
2．（2024·全国·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前n项和为 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
即 ，
当 时 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，
所以 ，
即 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列 中， ，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） 成等差数列，
，即 ，而 ，
为等比数列，
又 ，得 .
（2） ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
，
.
考法五 倒序相加法
【例5-1】（2024·上海·模拟预测）已知 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函
数 的图象上.
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，令 ，求数列 的前2024项和 .
【答案】(1)
(2)1012
【解析】（1）因为点 均在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，即 ，
当 时，
，
因为 满足上式，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
①，
又
②，
①+②，得 ，
所以 .【一隅三反】
1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 满足： ，数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由数列 满足： ，
当 时，可得 ，
两式相减，可得 ，所以 ，
当 ，可得 ，所以 ，适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由数列 满足 ，
则 .
（3）由（2）知 ，
可得 ，则 ，
两式相加可得 ，所以 .
2．（23-24 湖南益阳·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)求数列 的前99项的和 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【解析】（1）由 ①
得 ②
①－②得： ，
在①式中令 得 ， 合适上式，所以对任意的正整数n都有：
（2） ，
两式相减得：
整理得：
（3） ，
所以所以 ，为定值，则
且 ，两式相加得 ，因此
3．（23-24 福建龙岩·期末）已知函数 满足 ，数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，其前 项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：函数 满足 ，数列 满足 ，
则 ，
所以， ，
故 .
（2）解：由（1）可得 ，
则 ，
所以， ，上式 下式可得 ，
所以， ，则 ，
所以， ，
由 可得 ，则 ，
因为 ，
因为函数 在 上单调递增，
且 ，故当 时， 取最大值 ，故 .
因此，实数 的取值范围是 .
考法六 插项数列
【例6】（2024·河南·一模）在等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若记 为 中落在区间 内项的个数，求 的前k项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）等差数列 中，由 ，得 ，而 ，解得 ，
因此数列 的公差 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，由 ，得 ，整理得 ，因此正整数 满足 ，从而得 ，
所以 的前k项和为 .
【一隅三反】
1.（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的前91
项和．
【答案】(1) .
(2)11563.
【解析】（1）当 时， ．
又 时，得 ，也满足上式，
故 ．
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 前91项中有87项来自 ，
所以
．
2．（23-24 ·江苏南京·期末）已知数列 ，其中数列 是等差数列，且满足 ，
， ．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设数列 的前 项和为 ，记集合 且 ，求集合 中所有元素的和 ．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
又数列 是等差数列，所以 的公差 ，
故数列 的通项公式 ，
所以 ，
即 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ，
则 ．
（3）由（1）知 ，
当 为偶数时， ，
故
，
此时，由 ，又 且 ，所以解得 ，即 ．
当 为奇数时， ，此时 ．
综上可得
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，数列 的首项为1，且满足 ．若
，则数列 的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【解析】因为函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且是奇函数．
， ，
，
， ，即 ，
数列 的前2023项和为 ．
故选：B．
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且
只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 个球，第1
层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 ，则 （ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D
【解析】在第 堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第 层的球的个数多n，
记第n层球的个数为 ，则 ，
得 ，
其中 也适合上式，则 ，
在第n堆中，
，
当 时， ，解得 .
故选：D.
3．（23-2 4西晋城·阶段练习）已知数列 满足， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
所以 ， ， ， ， （ ， ），
累乘可得 ，又 ，得 .
设 ①，
则 ②，
①-②得 ，
，
，.
故选：C.
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 满足 ，则数列 的前5
项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时，
，
，
两式相减可得： ，所以 ，
又 时， ，所以 不满足 ，
所以 ，设 ，数列 的前 项和 ，
所以 ，
设数列 的前5项和为：
.
故选：D.5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数 的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
所以 ，①
因为 ，所以 ， ，
所以化简①可得 ，
所以虚部为 ，
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 是以6为首项，9为公比的等比数列．
所以
；方法二：因为当 时， ，即 ，
又 ，所以 是首项为2，公比为3的等比数列，故 ．
由 ，得 ，两式相减得 ．
当 为偶数且 时， ，
以上式子相加得 ，又 ，所以 ．
又 满足上式，所以 ．
当 为奇数且 时， ，
以上式子相加得 ，又 ，所以 ，
又 满足上式，所以 ．
综上， ，
所以 ．
故选：D
7（2024·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ，不等式
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ， ，又 ，
数列 是首项为1、公差为1的等差数列，
， ，
①，
②，
① ②得， ，
， 不等式 ，
即 ，
故 对任意的 恒成立．
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
，
故选：A．
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若数列 的前 项
和为 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得数列 是首项为3，公差为2的等差数列，则 ，
于是 ，
当 为偶数时，，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，因此 ，
由不等式 恒成立，得 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
二． 多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列 的前 项和分别为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． 的前10项和为 D． 的前10项和为
【答案】ABD
【解析】 ，所以 是首项 ，公差 的等差数列，
，故选项A正确.
令 ，则 ，
，
又 ， ，
，故选项C错误.
又 ， ，
又 ， ， ，
是首项为 ，公比 的等比数列，，故选项B正确.
又 ，
是首项为 ，公比为 的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
10．（2024·江西·三模）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等差数列
C．数列 的前 项和为 D． 能被3整除
【答案】BCD
【解析】由 可得： ，所以数列 是等比数列，即 ，
则 显然有 ，所以 不成等比数列，故选项A是错误的；
由数列 是等比数列可得： ，即 ，故选项B是正确的；
由 可得：前 项和 ，故选项C是正确的；
由
，故选项D是正确的；
方法二：由 ，1024除以3余数是1，所以 除以3的余数还是1，从而可得 能补3整除，故
选项D是正确的；
故选：BCD．
11（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则（ ）A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
【答案】ABD
【解析】对于A，设等差数列 的首项和公差为 ，
所以 ，化简可得： ，
又因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，
所以数列 的前n项和为 ，故C错误；
对于D，令 ，
所以数列 的前n项和为：
，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题
12．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，
且 ，则满足 的正整数 的最小值为 .【答案】15
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，解得 .
所以正整数 的最小值为15.
故答案为：15
13．（2024·辽宁大连·二模）在 中，三边 ， ， 所对应的角分别是 ， ， ，已知 ， ， 成等比
数列.若 ，数列 满足 前 项和为 ， .
【答案】
【解析】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ,
又 ，所以 ，即 ，
由 知 ，所以 ，
， 为偶数，
， 为奇数，所以
.
故答案为：
14．（2024·山西临汾·三模）已知首项为1的正项数列 ，其前 项和 ．用 表示不超过
的最大整数，则 ．
【答案】745
【解析】当 时，
当 时， ，整理得 ，
所以，数列 是以1为首项和公差的等差数列，
所以 ，故 ，
因为当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ；
所以
.
故答案为：745
四． 解答题
15．（2024·陕西咸阳·三模）数列 满足 ， .
(1)求数列 通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）数列 中， ， ，显然 ，则 ，
数列 是首项为1，公差为1的等差数列， ，
所以数列 通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
所以 .
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于1的等比数列 满足： ，且 是 和 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 是 和 的等差中项，
所以 ，又 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
又因为数列 是 的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）知 ,
①，
②，
得 ,
.
17．（2024·云南昆明·三模）正项数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， ，(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【解析】（1）当 时， ，即 ， ，
所以 ，同理 ．
当 时， ，化简得：
，因为 ，所以 ，
即 ，故 ，又 ，所以 ．
同理， 或 ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以当 为奇数时，
，
，
同理当 为偶数时， ．所以 .
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是 与 的等
差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，得 ，
即 ，即 ①，
所以 ②，
①-②，得 ，
即 .
又 ，所以 .
由 是 与 的等差中项，得当 时，
，解得 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 .
（2）由（1）得 ，则，
所以
，
所以 ，
所以 .
19．（2023高三·全国·专题练习）已知 、 是函数 的图象上的任意两点，
点 在直线 上，且 ．
(1)求 的值及 的值；
(2)已知 ，当 时， ，设 ， 数列 的前 项和，
若存在正整数 ， ，使得不等式 成立，求 和 的值；
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）根据点 在直线 上，设 ，则 ， ，
， ．
①当 时， ， ；②当 时， ，
；
综合①②得， ．
（2）由（1）知，当 时， ．
， ，
时， ①
②
① ②得， ，则 ．
又 时， 满足上式， ．
， ．
， ，
，
， ，
， 为正整数， ，
当 时， ， ， ．
