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5.2 等比数列考点一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2024·安徽滁州·三模）已知 是单调递增的等比数列， ，则公比 的值是
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为 是等比数列，所以 ，则 ，解得 或 ，
又因为 是单调递增的等比数列，所以 ，所以公比 .故选：A.
【例1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列 中， ， ，记 为 的前n项和，则
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】设等比数列 公比为 ，则 ，因为 ，则 ，又 ，故 ，
， ，则 ．故选：D
【例1-3】（2024·福建福州·模拟预测）等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，
，则 （ ）
A．30 B．31 C．62 D．63
【答案】B
【解析】因为数列 为等比数列，且 ， ，所以 为递增数列.
，且 ，所以 ， ，所以 ， 。
所以 .故选：B
【一隅三反】1．（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． 或9 B．8或 C．8或9 D． 或
【答案】B
【解析】依题意， ，因为 ， ，所以 ，
故 ，即 ，即 ，
所以 或 或 （舍去），所以 或 .
故选：B
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． 或-1 C． D． 或1
【答案】D
【解析】依题意， ，因为 ，
故 ，
故 或
当 时， ；
当 ；
或1.
故选：D
3．（2024·浙江·三模）设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比
（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】由已知， ，两式相减得，，即 ，即 .
故选：A
4．（2024·山东·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设公比为 ，因为 ，所以 ，显然 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，则其公比 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，若 ，由 ，得到 ，不满足 ，所以 ，
由 ，得到 ①，由 ，得到 ②，
由① ②得 ，整理得到 ，解得 ，
故选：C.
考点二 等比中项的性质
【例2-1】（2024·四 川巴中·一模）已知 ， ，若a，b，c三个数成等比数列，则
（ ）
A．5 B．1 C． D． 或1
【答案】D
【解析】由题意知 ， ，a，b，c三个数成等比数列，则 ，故 ，
故选：D
【例2-2】（2024·浙江金华·三模）已知 是等比数列，若 ， ，则 的值为（ ）
A．9 B． C． D．81
【答案】A
【解析】由题得 ，而 ，则 ，
故选：A.
【例2-3】（23-24高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由 得 ，即 ，
因为等比数列 各项均为正数，所以 ，
故选：D.
【例2-4】（2024·江苏南通·二模）若 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ， 成等比数列，得 ，
即 ，
，所以 .
故选：B
【一隅三反】1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知数列 满足 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】 ，又 ，故数列 为等比数列，则 ，故 .故选：B.
2．（23-24·上海·阶段练习）已知数列 是等比数列，且 ，则 的值为 .
【答案】9
【解析】由等比数列的性质知： ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为：9
3．（23-24 上海·期中）正项等比数列 中， 与 是 的两个极值点，则
.
【答案】2
【解析】 ，
所以 与 是方程 的两根，
所以在正项等比数列 中， ，
所以 ，
故答案为：2.
4．（2024·湖南株洲·一模）在非直角 中， 、 、 成等比数列，则 的取值范围是
【答案】
【解析】由已知得 ，则
，
若 ，则 ，所以 ，
所以 ，这与 矛盾，故 ，
所以 ，
即 ， ，当且仅当 时取等号，
所以B的取值范围是 ．
考点三 等比数列片段和的性质
【例3-1】（2024·四川内江·三模）在等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则 的值为
（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【解析】因为 为等比数列，所以 成等比数列，
即 成等比数列，可得 ，所以 .
故选：C
【例3-2】（23-24 湖北恩施·期中）设 是等比数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【解析】 ， ，可得 ，
可得 ， ， ，则 .故选；A.
【一隅三反】
1．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】因为数列 为等比数列，且等比数列 的前项和为 ，
所以 成等比数列，则 ，
即 ，解得 或 .
设等比数列 公比为 ，则 ，
，则 ，得 .
故选：B
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，
所以 ， ，故 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
由等比数列性质可知， 成等比数列，公比为
所以 ，解得 ，
故选：A
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列 可知 ， ， 成等比数列，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .故选：B.
考点四 等比数列前n项和的最值
【例4-1】．（23-24 陕西渭南·期末）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 中的最大值是 D．数列 无最大值
【答案】ABC
【解析】由 ， ，可得 为单调递减的数列且 ，
由 可得， .
A选项： ，显然A正确；
B选项： ，
根据等比中项可得 ，显然B正确；
C选项：由 ， 为单调递减的数列且 ，
可知 的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1，
所以数列 中的最大值是 ，所以C正确；
D选项：由C正确可知， 有最大值，所以D错误.
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D． 是数列 中的最小值
【答案】AB
【解析】当 时，则 ，不合乎题意；
当 时，对任意的 ， ，且有 ，
可得 ，可得 ，此时 ，
与题干不符，不合乎题意；故 ，故A正确；
对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，
结合 可得 ，
结合数列的单调性可得 ， ，
故 ， ，
∴ ，故B正确；
因为 ，数列 为单调递减数列，
所以 是数列 中的最大值，故CD错误.
故选：AB.
2．（23-24高三上·江西·期中）在等比数列 中， ， ， ，若 为 的前 项和，为 的前 项积，则（ ）
A． 为单调递增数列 B．
C． 为 的最大项 D． 无最大项
【答案】BC
【解析】由 ，因此 .
又因为 则 .
当 时， ，则 ， ，则 ，与题意矛盾.
因此 .则 为单调递减数列，故选项A错误.
而 ，故 ，选项B正确.
又因为 为单调递减数列，则 ，
由 可知， ， ，
所以当 时， ，则 .
当 时， ，则 .
因此 的最大项为 ，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
3．（22-23高三上·福建三明·期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条
件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是数列 中的最大值
C． D．数列 无最大值【答案】C
【解析】等比数列 的公比为 ，则 ，由 ，则有 ，必有 ，
又由 ，即 ，又 ，则有 或 ，
又当 时，可得 ，由 ，则 与 矛盾
所以 ，则有 ，
由此分析选项：
对于A， ，故 ，故A错误；
对于B，等比数列 中， ， ，所以数列 单调递减，又因为 ，所以前 项积为
中， 是数列 中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列 中，则 ，则 ，故C正确；
对于D，由B的结论知 是数列 中的最大项，故D错误.故选：C
考点五 等比数列奇数项或偶数项的和
【例5-1】（2024湖北）已知等比数列 的公比 ，且 ，则
等于（ ）
A．100 B．80 C．60 D．40
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ，
选B.
【例5-2】（2024山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的
4倍，前3项之积为64，则 （ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B【解析】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和的4倍，∴ ，
设等比数列 的公比为 ，由等比数列的性质可得 ，即 ，
∴ ，∵ ,∴解得 ，
又前3项之积 ，解得 ，∴ .
故选:B.
【一隅三反】
1．（2024·浙江宁波·三模）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为
170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ，
则 ,所以 ，
结合等比数列求和公式有： ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
2．（2024湖北·期末）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则
这个数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S ,所有偶数项之和为S ，
奇 偶
则S =341,S =682,所以 ，
奇 偶
∴ ，解得n=5，
这个等比数列的项数为10，本题选择D选项.
3．（2024安徽芜湖·一模）等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，可得 ，又因为 所
以 ， ，解得 ，故选B.
考点六 等比数列的实际应用
【例6-1】（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初
步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个
人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的
地．”则该人第三天走的路程为（ ）
A．12里 B．24里 C．48里 D．96里
【答案】C
【解析】由题意可得，此人 天中每天走的路程是公比为 的等比数列，
设这个数列为 ，前 项和为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
即该人第三天走的路程为48里.
故选：C.
【例6-2】（23-24高三上·广东揭阳·期末）从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每
年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企
业2019年的销售额约为（参考数据： ， ）（ ）
A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元
【答案】A【解析】设 是等比数列，公比 ，
依题意， ，
解得 万元.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为 ，以后按约定自
动转存，那么该同学在 年元旦可以得到本利和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】记 年后得到的本利和为 ，根据题意知 ，
即数列 是一个首项为 ，公比为 的等比数列，
∴该同学 年元旦在银行存款 万元， 年元旦即 年后得到的本利和为：
（元）.
故选：A
2（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到
公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为
主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或
复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技
术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张
完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．
在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对
折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为 ，公比为 ，
故对折6次后，得到腰长为 的等腰直角三角形，
所以斜边长为 .
故选：A．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手
一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是 万，则
（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】根据题意可知，列不等式 ，
即 ，
又 ，可得 .
故选：B
4 ．（23-24 上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问
题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加
倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设 天后能打穿，则 ，化简为 ，令 ，则 ，又由函数的单调性可知 在 内
有唯一零点，所以至少需要 天.故选：C.
考点七 等比数列的综合运用
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知数列 的首项 ，且满足 （ ）．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【解析】（1）由 得 ，
又 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知， ，所以
所以 ，
当 时， 单调递增，故 ．
【一隅三反】
1．（2024·四川自贡·三模）已知数列 的前项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【解析】（1）数列 满足 ①，
当 时，有 ②，
① ②可得： ，
即 ，
变形可得 ，
故数列 是以 为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列 是以 为等差的等差数列，
若 ， ， 成等比数列，则有 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以 单调递减，又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故当 或 时， 取得最大值，
且 ．
2．（23-24 河南·期中）已知数列 的首项 且
(1)证明: 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ，显然 ，则 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知， ，所以 ，
则 ，
令 ，
故 ，
上两式相减得， ，
所以 ，
所以 .
一．单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知等比数列 的前n项和为 .若 ， ，则 （ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】C
【解析】等比数列 中，由 ，得 ，即 ，
设数列 的公比为 ，则 ，解得 ，由 ，得 ，
即 ，所以 .
故选：C
2．（2024·云南曲靖·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．36 B．54 C．28 D．42
【答案】D【解析】根据题意设等比数列 的首项为 ，公比为 ，易知 ；
由 可得 ，
两式相除可得 ，即 ；
所以 .
故选：D
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则
的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，
则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
若 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
故选：C.
4 ．（2024·重庆·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，显然 ，所以 .
故选：D
5．（22-23 全国·单元测试）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若等比数列 的公比为 ，
因为 ，
则 ，矛盾，故
设等比数列 公比为 ，则 ，
即等比数列 的前 项和 要满足 ，
又因为 ，所以 .
故选：B
7．（2024广东）数列 中， ，对任意 ，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，，
，则 ，解得 .
故选：C.
8．（2023·江西赣州·一模）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且 ，
则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【解析】由 可知公比 ，所以A错误；
又 ，且 可得 ，即B错误；
由等比数列前 项和公式可知 ，由指数函数性质可得 为单调递增，
即 无最大值，所以C错误；
设 为数列 前 项积的最大值，则需满足 ，可得 ，
又 可得 ，即 的最大值为 ，所以D正确.
故选：D
二．多选题
9．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ( 为常数)，则（ ）
A． B． 的公比为2 C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ．因为 是等比数列，所以 ，即 ，解得 ，则 错误；
的公比 ，则B正确；
因为 ，所以 ，则C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，则D错误．
故选：BC
10．（2024·吉林·模拟预测）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日
脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛
每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为 ，中间四天走
的路程之积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．此人第一天走了全程的一半
B．此人第五天和第六天共走了18里路
C．
D．
【答案】BCD
【解析】设此人第 天走了 里路，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列；
已知六天走的路程总和为 ，解得 ；
对于A，此人第一天走了全程的 ，大于全程的一半，即A错误；
对于B，已知 ，可得 ，即B正确；
对于C，中间两天走的路程之和为 ，
则 ，即C正确；
对于D，中间四天走的路程之积为 ，可知D正确；
故选：BCD11．（23-24 ·四川绵阳·期中）等比数列 的公比为 ，且 成等差数列，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】AB
【解析】因为 成等差数列，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
而 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选：AB.
三．填空题
12．（23-24 吉林长春·期末）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， ，且 ．则
．
【答案】
【解析】因为数列 是等差数列，且 ，所以 即
因为数列 是等比数列，且 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为： .
13．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前 项和为 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由等比数列的前 项和为 ，
可得 ， ， ，
所以 ，解得 ，经检验符合题意.
故答案为： .
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，记
，则使得 的最大正整数 的值为 .
【答案】
【解析】因为 ，可得 ，所以 或 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 且 ，
使得 的最大正整数 的值为 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 中， ， .(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为数列 中， ， ，
所以 ，且 ，
所以 是等比数列，公比为2，首项为2
（2）由(1)可得 ，即 ，
所以数列 的前 项和
16．（2024·浙江·三模）在直角坐标平面内有线段 ，已知点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是
线段 上靠近 的三等分点，……，点 是线段 （ ， ）上靠近 的三等分点，设点
的横坐标为 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ， ，求 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)【解析】（1）解：由题意得 所以 ，可得 ，
又由 ，所以
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）解：因为 ， ，所以 ，
因为数列 是公比为 的等比数列，所以 时， .
由累加法可得 时，
，即当 时， ，
经检验， 满足上式，所以数列 的通项公式 .
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 当 时，
(1)求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求
【答案】(1)3，7，证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 当 时， ，
所以 ， .
， ，又 ，当 为偶数时， 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
（2）由（1）知， ，
设 ，则 为偶数时，
当 为奇数时，
；
设 ， 为奇数时， ，
.
18．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)记 ，证明： 为等比数列；
(2)记 为 的前 项和，若 是递增数列，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）因为 ，即 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列.（2）由（1）可知： ，即 ，
所以
，
可知 ，
若 是递增数列，结合二次函数对称性可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
19．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，若 是递增数列，求实数 的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由 知 ，得 .
由已知有 ，
故 ，得 .
而 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）根据（1）的结论有 ，即 .
那么就有 .命题等价于 恒成立，即 .
此即 ，化简得到 .
从而要求 的取值范围使得 恒成立.
一方面，对该不等式取 可得到 ，即 ；
另一方面，若 ，则 ， ，
故我们恒有 ，即 .
所以 的取值范围是 .
