专题7.5数列的综合应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 7.5 数列的综合应用 练基础 1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列 和正项等比数列 }， ， 是 ， 的等差中项， 是 ， 的等比中项，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国 乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数 列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形 的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆 放的层数可以是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫 免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不 应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的 ，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元， 余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第 月月底小王手中有现款为 ，则下列论述正确的有（ ）(参考数据： ) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列 的部分项 ， ， ，……构 成等比数列 ，且 ， ， ，则 ___________. 5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列 满足： ，点 在函数 的图像上，其中 为常数，且 （1）若 成等比数列，求 的值； （2）当 时，求数列 的前 项的和 . 6.（2021·江苏高考真题）已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列 中， 为其前 项和，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 数列 的前 项和为 且 求 的取值范围. 8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列 中， .等差数列 的前两项依次为 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 . 9．（2021·重庆高三三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．（1）求数列 的通项公式： （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列 中， ，且 成 等比数列． （1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： ． 练提升 TIDHNE 1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多 长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建 立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明 它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作， 得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的 最小值为__________． 2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和为 ，实数 使得 对任意 恒成立，求 的 取值范围. 3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列 是公比为 的等比数列，② 是公 差为1的等差数列，③ ，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题 完整，并加以解答. 设数列 的前 项和为 ， ，对任意的 ，都有___________.已知数列 满足 ， 是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a}的前n项和为S， ，数列{b}是等差数列， n n n 且b＝a，b＝a． 1 1 6 5 （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 ，记数列{c}的前n项和为T，证明：3T＜1． n n n 5．（2021·全国高三其他模拟）在① ；② ；③ 成等差数列这三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a}是各项均为正数的等比数列，前n项和 n 为S，a＝2，且___. n 1 （1）求数列{a}的通项公式； n（2）若 （ ），求数列{b}的前n项和T. n n 6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列 满足 ，记数 列 的前 项和为 ， （1）求证：数列 为等比数列，并求其通项 ； （2）求 的前 项和 及 的前 项和为 ． 7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a}中，公比 ，其前n项和为S，且S=6，___________. n n 2 （1）求数列{a}的通项公式； n （2）设 ，且数列{c}满足c=1，c ﹣c=b b，求数列{c}的通项公式. n 1 n+1 n n+1 n n 从①.S=30，②.S﹣S=96，③.a 是S 与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线 4 6 4 3 3 上，并作答. 8．（2021·全国高三其他模拟）从① ，② ，③ 中任选一个填入下面的 空中，并解答． 设等比数列 的公比 ，且____． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{ }满足 ， 且 = ，n∈ （ 是等比数列， 是等差数列），记数列{ }的前n项和为 ，{ }的前n项和为 ，若公比数q等于公差数d，且（1）求数列{ }的通项公式； （2）记 为数列{ }的前n项和，求 （n≥2，且n∈ ）的最小值． 10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列 的前n项和为 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实 数 的取值范围. 练真题 TIDHNE 1.（2020·北京高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数 列 （ ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a}的前n项和S，公差d≠0， ．记b=S，b =S – n n 1 2 n+1 2n+2 S， ，下列等式不可能成立的是（ ） 2n A．2a=a+a B．2b=b+b C． D． 4 2 6 4 2 6 3.（2019年浙江卷）设 a,bR ，数列 a n  中， a n a,a n1 a n 2 b ， bN ,则（ ） 1 1 b ,a 10 b ,a 10 A. 当 2 10 B. 当 4 10 b2,a 10 b4,a 10 C. 当 10 D. 当 104．（2020·江苏省高考真题）设{a}是公差为d的等差数列，{b}是公比为q的等比数列．已知数列 n n {a+b}的前n项和 ，则d+q的值是_______． n n {a } n S a 4 a S b  5.（2019年浙江卷）设等差数列 n 的前 项和为 n， 3 ， 4 3，数列 n 满足：对每 nN,S b ,S b ,S b n n n1 n n2 n成等比数列. {a },{b } （1）求数列 n n 的通项公式； a C  n ,nN, （2）记 n 2b 证明： C C +C 2 n,nN. n 1 2 n 6.（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的 等比数列， ． （I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明