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拓展拔高 7 数列中的奇偶项问题
【高考考情】数列是高中数学中非常重要的一个知识点,也是高考必考的内容.
与数列有关的题目类型较多,其中,分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数
项和偶数项的通项公式一般会有所不同,要解答此类问题,我们需要灵活运用分
类讨论思想和分组求和方法.
【解题思路】解答此类问题的基本思路:(1)结合题意寻找数列中奇数项和偶数
项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔
开.(2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化
简,便可求得数列的和.
视角一 含有(-1)n的递推公式
[例 1] (多选题)已知数列{a }满足 a =1,a =(-1)n+1(a -n)+n,记{a }的前 n 项和为
n 1 n+2 n n
S ,则( )
n
A.a +a =100 B. a -a =4
48 50 50 46
C.S =600 D. S =601
48 49
【解析】选BCD.因为a =1,a =(-1)n+1(a -n)+n,所以当n为奇数时,a =a =a =1;当
1 n+2 n n+2 n 1
n为偶数时,a +a =2n.
n n+2对于A,由a +a =2n,所以a +a =96,A错误;
n n+2 48 50
对 于 B, 因 为 a +a =92,a +a =96, 两 式 相 减 可 得 a -a =4,B 正 确 ; 对 于
46 48 48 50 50 46
C,S =a +a +a +…+a +[(a +a )+(a +a )+…+(a +a )]=24×1+2×(2+6+…+46)
48 1 3 5 47 2 4 6 8 46 48
(2+46)×12
=24+2× =600,C正确;
2
对于D,S =S +a =600+1=601,D正确.
49 48 49
思维升华：含有(-1)n类型问题的解法
(1)通项公式中含有(-1)n:
①等差数列的通项公式乘(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和;
②等比数列的通项公式中含有(-1)n,其前n项和可写成分段的形式,考查最值问题,
3 1
如等比数列{a }的通项公式为 a =(-1)n-1· ,则其前 n 项和为 S ,求 T =S - 的取值
n n 2n n n n S
n
范围,n分奇偶讨论,求出取值范围;
③裂项相消法求和
4n 1 1
如a =(-1)n· =(-1)n·( + ),求和时通过(-1)n实现正负交替.
n (2n-1)(2n+1) 2n-1 2n+1
(2)递推公式中有(-1)n:寻找间隔两项之间的关系,如 a +(-1)na =2n→n 为奇数时,
n+1 n
{ a -a =2n →a +a =2;n为偶数时,{ a +a =2n →
n+1 n n+2 n n+1 n
a +a =2n+2 a -a =2n+2
n+2 n+1 n+2 n+1
a +a =4n+2→得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.
n+2 n迁移应用
数列{a }中,a =1,a =2,数列{b }满足b =a +(-1)na ,n∈N*.
n 1 2 n n n+1 n
(1)若数列{a }是等差数列,求数列{b }的前100项和S ;
n n 100
【解析】(1)因为{a }为等差数列,且a =1,a =2,
n 1 2
所以公差d=1,所以a =n.
n
所以b
n
={ a
n+1
-a
n
=1,n为奇数,
a +a =2n+1,n为偶数,
n+1 n
{ 1,n为奇数,
即b =
n 2n+1,n为偶数,
所以b 的前100项和
n
S =(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
100 1 3 99 2 4 100
=50+(5+9+13+…+201)
50×(50-1)
=50+50×5+ ×4=5 200.
2
(2)若数列{b }是公差为2的等差数列,求数列{a }的通项公式.
n n
【解析】(2)由题意得,b =a -a =1,公差d=2,
1 2 1
所以b =2n-1.
n
所以{b
2n-1
=a
2n
-a
2n-1
=4n-3,①
b =a +a =4n-1,②
2n 2n+1 2n
由②-①得,a +a =2,
2n+1 2n-1
所以a =2-a ,
2n+1 2n-1又因为a =1,所以a =a =a =…=1,
1 1 3 5
所以a =1,所以a =4n-2,
2n-1 2n
{ 1,n为奇数,
综上所述,a =
n 2n-2,n为偶数.
视角二 已知条件明确的奇偶项问题
{
n,n为奇数,
[例2]已知数列{a }的前n项和为S ,a = 求S .
n n n 1 n n
( )2,n为偶数,
2
【解析】方法一:当n为偶数时,S =a +a +…+a =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
n 1 2 n 1 3 n-1 2 4 n
n
1 1
n [1-( )2]
1 1 1 n [1+(n-1)]· 2 2 n2 1 n
=(1+3+…+n-1)+[( )1+( )2+…+( ) ]= 2 + = +1-( ) .
2 2
2 2 2 1 4 2
2 1-
2
当n为奇数时,n-1是偶数,
S = +a =(n-1)2+1-(1 n-1+n=(n+1)2+1-(1 n-1.
n S
n-1
n
4 2
) 2
4 2
) 2
{(n+1)2 1 n-1
+1-( ) 2 ,n为奇数,
4 2
综上,S =
n
n2 1 n
+1-( ) 2,n为偶数.
4 2
{
n,n为奇数,
方法二:因为a =
n 1 n
( ) 2,n为偶数,
2
1
所以a =2n-1,a =( )n,
2n-1 2n 2
所以S =a +a +…+a =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )=(1+3+…+2n-1)+
2n 1 2 2n 1 3 2n-1 2 4 2n1 1
[1-( ) n ]
1 1 1 (1+2n-1)·n 2 2 1
[( )1+( )2+…+( )n]= + =n2+1-( )n.
2 2 2 2 1 2
1-
2
1 1 1
S =S -a =n2+1-( )n-( )n=n2+1-( )n-1.
2n-1 2n 2n 2 2 2
综上所述,
{(n+1)2 1 n-1
+1-( ) 2 ,n为奇数,
S = 4 2
n
n2 1 n
+1-( )2,n为偶数.
4 2
思维升华
{f (n),n为奇数
形如 a = 的结构,可分为两种情况:(1)邻项等差、等比数列,如已知
n g(n),n为偶数
a =1,a ={a +1,n为奇数, 的解题思路:
1 n+1 n
2a ,n为偶数
n
将n用2k-1或2k替代,当n=2k-1时,a =a +1;
2k 2k-1
当 n=2k 时,a =2a =2(a +1) a +2=2(a +2) 构造出以 a +2 为首项、2 为
2k+1 2k 2k-1 2k+1 2k-1 1
⇒ ⇒
公比的等比数列,先求出a 的通项公式,再求出a 的通项公式.
2k-1 2k
(2)数列{a }与其他数列的关系,如 a ={ b ,n为奇数, 的解题思路:先求出其他数
n n n
log b ,n为偶数
2 n
列的通项公式,再求出{a }的通项公式.
n
迁移应用
已知数列{a }是等差数列,它的前 n(n∈N*)项和为 S ,数列{b }是等比数列,
n n nb >0,a =3,b =1,b +S =12,a -2b =a .
n 1 1 3 2 5 2 3
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
【解析】(1)设等差数列{a }的公差为d,等比数列{b }的公比为q,
n n
则由{b +S =12, 得{ q2+6+d=12,
3 2
a -2b =a , 3+4d-2q=3+2d,
5 2 3
{d=2, {d=-3
解得 或 (舍去),
q=2 q=-3
所以a =3+2(n-1)=2n+1,b =2n-1.
n n
{2
,n为奇数
(2)若c = ,设数列{c }的前n项和为T ,求T .
n S n n 2n
n
b ,n为偶数
n
【解析】(2)由a =3,a =2n+1,得S =n(n+2),
1 n n
{ 2
则c = ,n为奇数.
n n(n+2)
2n-1,n为偶数.
{1 1
即c = - ,n为奇数.
n n n+2
2n-1,n为偶数.
1 1 1 1 1
所以T =(c +c +…+c )+(c +c +…+c )=[ (1- )+( - )+…+( - )]+
2n 1 3 2n-1 2 4 2n 3 3 5 2n-1 2n+1
1 2(1-4n) 1+22n+1 1
(2+23+…+22n-1)=1- + = - .
2n+1 1-4 3 2n+1
视角三 数列中连续两项和或积的问题(a +a =f(n)或a ·a =f(n))
n n+1 n n+1
[例3]已知数列{a }满足a =1,a +a =4n.
n 1 n+1 n
(1)求数列{a }的前100项和S ;
n 100【解析】(1)因为a =1,a +a =4n,
1 n+1 n
所以S =(a +a )+(a +a )+…+(a +a )
100 1 2 3 4 99 100
=4×1+4×3+…+4×99
=4×(1+3+5+…+99)
=4×502=10 000.
(2)求数列{a }的通项公式.
n
【解析】(2)由题意,a +a =4n,①
n+1 n
+ =4(n+1),②
a a
n+2 n+1
由②-①得,a -a =4,
n+2 n
由a =1,a +a =4,得a =3.
1 1 2 2
n+1
当n为奇数时,a =a +( -1)×4=2n-1,
n 1
2
n
当n为偶数时,a =a +( -1)×4=2n-1.
n 2
2
综上所述,a =2n-1.
n
思维升华
递推公式为a +a =f(n)或a ·a =f(n)的形式,求通项公式或数列求和的方法
n+1 n n+1 n
(1)求通项公式:由 a +a =f(n+1)与上式作差可得隔项递推公式 a -a =f(n+1)-
n+2 n+1 n+2 n
f(n),对于后一种可由 a ·a =f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式a =f (n+1),
n+2 n+1 n+2
a f (n)
n然后求解.
(2)求前 n 项和 S :求出通项公式,则 S =S +S ;或者利用 a +a =f(n),可直接并项
n n 奇 偶 n+1 n
求和.
迁移应用
1
在数列{a }中,已知a =1,a ·a =( )n,记S 为{a }的前n项和,b =a +a ,n∈N*.
n 1 n n+1 2 n n n 2n 2n-1
(1)判断数列{b }是否为等比数列,并写出其通项公式;
n
1
【解析】 (1)因为a ·a =( )n,
n n+1 2
所以a ·a =(1)n+1,所以a =1,
n+1 n+2 n+2
2 a 2
n
1
即a = a .
n+2 n
2
因为b =a +a ,
n 2n 2n-1
1 1
b a +a a + a 1
所以 n+1= 2n+2 2n+1=2 2n 2 2n-1= ,
b a +a 2
n 2n 2n-1 a +a
2n 2n-1
1
所以数列{b }是公比为 的等比数列.
n
2
1
因为a =1,a ·a = ,
1 1 2
2
1 3
所以a = ,b =a +a = ,
2 1 1 2
2 2
3 1 3
所以b = ×( )n-1= ,n∈N*.
n 2 2 2n
(2)求数列{a }的通项公式;
n1 1
【解析】(2)由(1)可知 a = a ,所以 a ,a ,a ,…是以 a =1 为首项, 为公比的等比
n+2 n 1 3 5 1
2 2
1 1
数列;a ,a ,a ,…是以a = 为首项, 为公比的等比数列,
2 4 6 2
2 2
1 1
所以a =( )n-1,a =( )n,
2n-1 2n
2 2
n-1
{ 1
( ) 2 ,n为奇数,
2
所以a =
n
n
1
( )2,n为偶数.
2
(3)求S .
n
1 1 1
1-( ) n [1-( ) n ]
2 2 2 3
【解析】(3)因为S =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )= + =3- ,
2n 1 3 2n-1 2 4 2n 1 1 2n
1- 1-
2 2
3 1 4
又S =S -a =3- - =3- ,
2n-1 2n 2n 2n 2n 2n
3
{ 3- ,n为偶数,
n
所以S =
22
n
4
3- ,n为奇数.
n+1
2 2
