文档文本内容
专题二 数列
第2 讲 数列求通项
一、考点透析
考点1 定义法求通项
1.(2025·江西省南昌市·期中)设T n
为数列{an}的前n项积，已知an+1
T n+1
−an
T n
=2，则a2025=( )
A. 2024
2025
B. 2025
2026
C. 4048
4049
D. 4049
4051
考点2 由递推关系求通项
方向1 累加法与累乘法
1.已知数列{an}中，a1＝1，1
an+1
－1
an
＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
2.(2025·河南省·联考)如图，在△OMN的边OM和ON上，分别分布着一系列点M 1，M 2，
⋯，M n，⋯和N 1，N 2，⋯，N n，⋯，使得M n N n// M n+1 N n+1，且所有梯形
M n N n N n+1 M n+1的面积均相等.设an=O M n，其中a1=1，a2=2，△O M 1 N 1的面积为1．
(1)求梯形M 1 N 1 N 2 M 2的面积;
(2)求数列{an}的通项公式．
方向2 构造法求通项
1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟)如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个
区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入A区域，仓鼠每次随机选择一个
通道进入相邻的区域，设经过n次随机选择后仓鼠在A区域的概率为xn，则( )
A. x1=0
B. xn+1
2
= xn xn+2
C. x2n+1> x2n−1
D. x2n−1+ x2n< 1
2
2.(2025·河南省·联考)记Sn
为数列{an}的前n项和，且a1=1，2Sn+1−Sn=2n+2．
(1)求a2；
(2)证明：{an−2}为等比数列；
(3)求Sn．
3.(2025·宁夏银川市·模拟)记数列{an}的前n项和为Sn
，已知a1=3，nan+1=2Sn+3n．
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{
2n+1
Sn Sn+1}
的前n项和T n．
方向3 倒数法求通项
1.(2025·广东省深圳市·模拟题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
2+an
(n∈N
∗)，则下列结
论正确的是( )
A. {
1
an
+1}
为等比数列
B. an+1>an
C. {
1
an}
的前n项和Sn=2
n+1−n−2
D. {2
nanan+1}的前n项和T n=1−
1
2
n+1−1
2.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟)已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
2an+1
．
(1)证明：数列{
1
an}
为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：1
3 ⩽Sn< 1
2
．
方向4 多项递推关系求通项
1.(2025· 浙江省杭州市· 模拟) 某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用
A1, A2,⋅⋅⋅, A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向
其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不
同路线有ai条，其中1≤i≤16，i∈N，则∑
i=1
7
a2i= ．
2.已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则这个数列的通项公式为
.
3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公
式an＝________．
考点3 由an与Sn 的关系求通项
1.(2025·河南省开封市·模拟)数列{an}的前n项和Sn
满足：Sn=n
2+2n+3,n∈N
∗，则数列
{an}的通项公式an= ．
2.(2025·
广
东
省
深
圳
市
·
模
拟
)
在
①Sn=n
2−2
n;②a1=1，
an+1= √Sn+1+ √Sn;
2
③
√Sn−1=an
这三个条件中，请选择一个合适的条件,补充在下题横
线上(只要写序号)，并解答该题．
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有 ．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
an+1
Sn⋅Sn+1
，数列{bn}的前n项和为T n
，证明：3
4 ≤T n<1．
二、跟踪练习
1.（多选题）(2025·四川省成都市·模拟)已知数列{an}中，a3= 1
8
，an−an+1=−3an+1an，
n∈N
∗，其前n项和为Sn，则( )
A. a1= 1
14
B. an=
1
17−3n
C. an≥a7
D. S10<0
2.(2025·河南省·模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn
，a1=3，an+1=2Sn+3
n+1．
(1)求证：数列{
Sn
3
n}
是等差数列．
(2)设bn= Sn
4
n
，数列{bn}的前n项和为T n
，求T n
．
3.(2025·河南省·联考)已知{an}是等差数列，a1=1，数列{an⋅cosnπ }的前2n项的和为2n，
数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3bn−2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn= 2(13−an)
bn
，求cn
的最小值．
4.已知各项均不相等的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，对任意的n∈N*且n≥2，有3an＝an＋1＋
2an－1，则an＝________．
