文档文本内容
第19 讲 数列的概念及其表示
知识清单
知识点01.数列的有关概念
知识点02.数列的分类
知识点03.数列与函数的关系
知识点04.两个常用结论
知识点05.数列的函数性质
题型讲解
题型一：由an 与Sn 的关系求通项公式
题型二：由数列的递推关系求通项公式（累加
法）
题型三：由数列的递推关系求通项公式（累
乘法）
题型四：数列的性质（数列的单调性）
题型五：数列的性质（数列的周期性）
题型六：数列的性质（数列的最值）
好题必刷
知识点01.数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫
做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项和，记作Sn，即
Sn=a1+a2+…+an
知识点02.数列的分类
内容预览
知识清单
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大
小关系
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点03.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值
是数列的第n 项an，记为an=f(n).
知识点04.两个常用结论
(1)若数列{an}的前n 项和为Sn，则an={
S1,n=1,
Sn−Sn−1,n≥2,n∈N
∗.
(2)在数列{an}中，若an最大，则{
an≥an−1,
an≥an+1;若an最小，则{
an≤an−1,
an≤an+1,n≥2，n∈N*.
知识点05.数列的函数性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an).
(2)周期性——若an+k=an(k 为非零常数)，则{an}为周期数列，k 为{an}的一个周期.
【题型一】 由an 与Sn 的关系求通项公式
【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】写出等比数列的通项公式、前n 项和与通项关系、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出
.
【详解】由题意，
，
在等比数列
中，
，
设公比为q，
，解得
，
∴
，
当
时，
，解得：
，
∴
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，
∴
.
故选：A.
【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{
}的前n 项和
满足：
，且
＝2，那么
＝（ ）
A．2
B．10
C．11
D．56
【答案】A
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项
题型方法
【分析】令
，可得
，再利用
求解即可.
【详解】
中，令
，
即
，
所以
，
故选：A.
【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】
，当
时，
，两式相减即可得解，注意验证
是否成立即可.
【详解】由题意
，
当
时，
，两式相减得，
，解得
，
在
中，令
，可得
，故
也满足
，
综上所述，所求即为
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·云南红河·三模）已知
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
取得最大值时
的值.
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项
【分析】（1）根据
与
的关系即可求解；
（2）由（1）得
，通过作差法比较
与
的大小，从而得到数列
的单调性，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，解得
；
当
时，
，即
.
因为
也满足
，所以
.
（2）由（1）得
，所以
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
，
故当
或
时，
取得最大值.
【题型二】 由数列的递推关系求通项公式（累加法）
【例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求等比数列前n 项和、由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项
【分析】由累加法及等比数列前
和公式可得
，即可得到
.
【详解】由
，知
，
所以
，即
，
故
，又
适合上式，故
．
故选：C.
【变式1】（2025·四川·模拟预测）已知数列
中，
，
（
，且
），则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求等差数列前n 项和、累加法求数列通项
【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求出通项公式.
【详解】当
时，
，即
，而
，
所以
，
满足上式，
所以所求通项公式为
.
故选：C
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，
，则
的值为
.
【答案】1
【知识点】累加法求数列通项
【分析】根据题意利用累加法运算求解.
【详解】因为
，可知
，
可得
，
，
，
，
各式相加可得
，即
，所以
.
故答案为：1.
【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创
造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0 的等差数
列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等差数列”．
定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等差数列”．例如：数列
，它的后
项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为的等差数列，则称数列
为二阶等差数列．
(1)若数列
满足
，
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前
项依次为
，求
的前
项和
；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】数列新定义、组合数的性质及应用、累加法求数列通项
【分析】（1）结合等差数列的定义及题设定义求证即可；
（2）结合已知设
，结合累加法得到
，
，进而结合组合数公式求解即可；
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
是首项为
，公差为
的等差数列，
则
是一阶等差数列，数列
为二阶等差数列
（2）因为
是“三阶等差数列”，所以
是“二阶等差数列”，
设
，所以
是“一阶等差数列”．
由题意得
，
，
，所以
，
所以
是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有：
，
满足上式，所以
，
因为
满足上式，
.
【题型三】 由数列的递推关系求通项公式（累乘法）
【例3】（2025·江西·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．2024
B．2025
C．
D．
【答案】B
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、排列数的计算、累乘法求数列通项
【分析】根据数列
满足的关系式，利用
之间的关系结合累乘法可求得
，代入计算可得结果.
【详解】由
可得
，
即
，因此
；
因此
，
可得
，
所以
.
故选：B
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项
【分析】根据题意，利用
与
的关系，推得
，结合累乘法，即可求得
的值，得到答案.
【详解】数列
中，满足
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，即
，所以
，
又由
，则
.
故选：B.
【变式2】数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【知识点】累乘法求数列通项
【分析】根据累乘法求通项公式即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，…，
，
累乘得
，
，
所以
，
，
由于
，所以
，
，
显然当
时，
满足
，
所以
，
故答案为：
.
【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
.
【答案】
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项
【分析】借助
与
的关系及累乘法计算即可得.
【详解】当
时，
，即
，
，
则
，即
，
则有
，
，
，
，
则
，
当
时，
，符合上式，故
.
故答案为：
.
【变式4】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列
满足：当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
则称数列
为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6 为和积交替数列，分别求实数a，b 的值；
(2)若数列
为和积交替数列，且
，
.
（i）若3 是数列
中的项，求实数的值；
（ii）若
，证明：
.
【答案】(1)
或
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析
【知识点】数列新定义、累乘法求数列通项、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值.
（2）（i）根据和积交替数列的定义，由
递推出后面的项，由
范围，求出后面项的大小范围，判断3 可能出现
的位置，求出参数的值.
（ii）根据和积交替数列的定义，由
递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过
对数运算，证明命题.
【详解】（1）由题知
，
，
解得
，或
；
（2）（i）由题知
，则
，
，
由
，则
；
，
由
，则
；
，但
，
，
所以
；而
，…
以此类推，当
，
时，
.
所以若3 是数列
中的项，
则
或
或
，解得
或
.
（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知
，且
，
所以
，同取以2 为底的对数，得
，
即
.又
，所以
，
则
，
累乘整理，得
，
所以
时，
.
当
时，
符合上述不等式，
所以
，结论得证.
【题型四】 数列的性质（数列的单调性）
【例4】（2025·贵州黔南·三模）数列
满足
，若数列
单调递增，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据数列的单调性求参数
【分析】依题意可得
，解得即可.
【详解】因为
单调递增，所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：D
【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
（
），若
是单调递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据数列的单调性求参数
【分析】由题可得
，然后讨论
与4 的大小可得答案.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
，不符合题意.
若
，则
为等比数列，所以
.
当
时，
为单调递减数列，不符合题意；
当
时，
为单调递增数列，符合题意.
综上，
.
【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知
，若
的前
项和为
，
为递增数列，则
范围为 ．
【答案】
【知识点】根据数列的单调性求参数
【分析】根据
的前
项和为
，
为递增数列，可知数列
从第二项开始要为正数，然后即可求
范围.
【详解】因为
的前
项和为
，
为增数列，
所以数列
从第二项开始要为正数，
，
则
范围为
.
故答案为：
【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列
，其前
项和是
，且
．若
为递增数列，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】利用
关系得
，且
得
，结合数列的单调性求参数范围.
【详解】由题设
，
又
各项均不为零，则
，
由
，则
，
又
为递增数列，则
，
而
，即
，则
，
综上，
，即
的取值范围是
.
故答案为：
【变式4】（24-25 高三上·河北秦皇岛·期末）若对
，都有
，则称
与
为“k 级相邻数
列”．
(1)设
的前n 项和
，且
，试判断
与
是否为“2 级相邻数列”，并说明理由；
(2)若
，且为“4 级相邻数列”，求k 的取值范围；
(3)已知
，由数列
的所有项组成的集合M 中恰好有2 个元素，若
与
为“1 级相邻
数列”，求满足条件的数列
的个数．
【答案】(1)
与
是“2 级相邻数列”
(2)
(3)
【知识点】数列新定义、利用an 与sn 关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】（1）根据题意，求出数列
的通项为
，数列
的通项为
，计算
即可；
（2）分别把
与
的通项代入
，得
，构造函数
，根据函数单调性求解即可；
（3）根据条件集合
有
共6 种不同的情况，每种情况下考虑数列
的不同情况，
并对应研究数列
的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的
.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
当
时，也
成立，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
与
是“2 级相邻数列”
（2）由
，
所以
，
又
与
为“4 级相邻数列”，所以
，得
，又
令
，得
，
所以
单调递减，所以
的最大值为
，且
，
所以
，
（3）因为
与
为“1 级相邻数列”，所以
当
时，
有2 种不同选择；
时，
有3 种不同选择；
时，
有3 种不同选择，
时，
有2 中不同选择.
由数列
的所有项组成的集合M 中恰好有2 个元素，所以
有
共6 种不同的情况.
当M＝{1，2}时，数列
可能是1 个1、3 个2 的排列（有4 种不同的排列）；也可能是2 个1、2 个2 的排列（有
种不同的排列）；还可能是3 个1、1 个2 的排列（有4 种不同的排列）.
1 个1、3 个2 的每一种排列，2 个1、2 个2 的每一种排列，3 个1、1 个2 的每一种排列对应的数列
分别有
种不同的情况，
贡献
个不同的数列
；
同样
时也各贡献528 个不同的数列
；
时也分是1 个2、3 个3 的排列（有4 种不同的排列）；也可能是2 个2、2 个3 的排列（有
种不同的
排列）；还可能是3 个2、1 个3 的排列（有4 种不同的排列），贡献
个不同的数列
；
时贡献
个不同的数列
；
共计有
个不同的数列
；
即满足条件的数列
的个数为3470．
【点睛】思路点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如单调性
等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关.
【题型五】 数列的性质（数列的周期性）
【例5】（2025·重庆·三模）已知
，则数列
前2025 项的第1 百分位数是（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．
【答案】A
【知识点】总体百分位数的估计、数列周期性的应用
【分析】所求为数列
的前2025 项从小到达排列后的第21 项，由此即可求解.
【详解】因为
，故所求为数列
的前2025 项从小到达排列后的第21 项，
当
时，
，
当
时，
，
故数列
的前2025 项有
个
，
个，
所以数列
的前2025 项从小到达排列后的第21 项为
.
故选：A.
【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，且对任意
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】数列周期性的应用
【分析】首先令
求出m 的值，再求出数列的周期，结合周期即可求得
，则答案可求.
【详解】令
可得
，
代入数据得：
，解得
，
所以
，
令
，解得
，令
，解得
，令
，解得
，
，
可得数列
的周期为3，则
，
故选：D.
【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列
满足
，
，
，则
的
个位数字是 ．
【答案】
【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】设数列
各项的个位数字构成数列
，利用列举法可得出数列
是周期为
的周期数列，即可得解.
【详解】设数列
各项的个位数字构成数列
，
因为斐波那契数列
满足
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由上可知，
，即数列
是周期为
的周期数列，
因为
，故
的个位数字是
.
故答案为：.
【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）数列
满足
，若
，则
．
【答案】
【知识点】数列周期性的应用
【分析】根据题意，由递推公式代入计算可得数列
是以4 为周期的周期数列，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，所以
，则
，
不妨取
，
．
由
，可得
，
，
，
，
可发现数列
是以4 为周期的周期数列．
，所以
，
则
．
故答案为：
【变式4】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列
中，若
，记
被
（
为大于1 的正整数）除所得余数为
，称数列
为数列
的“模
数列”.若存在最小的正整数
，使得由
构成的集合为
，
则称
为数列
的“覆盖周期”.已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：
是等差数列；
(2)若
，数列
的公差为
的“模4 数列”为
，求
的前50 项的和；
(3)若
，数列
的“模6 数列”为
，求出使数列
的“覆盖周期”
的数列
的公差
的所有值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
或
【知识点】数列新定义、由递推关系证明数列是等差数列、数列周期性的应用
【分析】（1）先根据已知两个等式相减，利用
得到
与
关系①；同理推出
与
关系②；
①②相减得出
，再代入
验证
，从而证明是等差数列.
（2）先由
和公差求出
表达式，再分别算出
、
、
、
对应
的值，根据
，用12 组
的和加上
、
的值得到结果.
（3）已知
和
表达式，结合
范围和正整数条件，分别取
，算出
和
的值，找出满足
的
.
【详解】（1）已知
，
.
两式相减：
因为
，所以
①
同理可得
②
① ②得：
，即
.
在
中令
，得
，
化简得
，所以
是等差数列.
（2）已知
，公差为，则
.
分别计算
，
；
，
；
，
；
，
.
，所以
前50 项和为
.
（3）已知等差数列
首项
，可得
，且
，
，即
可能取值为，
，，
，.
下面我们对
的每一个可能取值进行分析：
当
时：
根据通项公式
，可得
的值依次为
.
假设
是
除以
的余数，那么
的值依次为
，之后数列
会重复出现这
个数，即周期
，满足题意.
当
时：
由通项公式
，可得
的值依次为
.
的值依次为
，数列
的周期为，不满足周期
的条件.
当
时：
根据通项公式
，可得
的值依次为
.
的值依次为
，数列
的周期为
，不满足周期
的条件.
当
时：
由通项公式
，可得
的值依次为
.
的值依次为
，数列
的周期为，不满足周期
的条件.
当
时：
根据通项公式
，可得
的值依次为
.
的值依次为
，之后数列
会重复出现这
个数，即周期
，满足题意.
综上，符合条件的
的值为或.
【题型六】 数列的性质（数列的最值）
【例6】（2025·湖北·模拟预测）已知数列
前
项和为
，
，
，
，则
的最大值为
（ ）
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项
【分析】先根据
与
的关系求数列
的通项公式，再判断数列
的单调性，求数列
的最大的项.
【详解】因为
中，
，
当
时，
；
当
时，
，用
代替
得：
，
两式相减得：
.
又
，
所以数列
是以1 为首项，以2 为公比的等比数列，所以
.
所以
，
由
或
.
所以数列
中，有：
，即数列
中，
最大，且
.
故选：B
【变式1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025 年2 月7 日在哈尔滨盛大开幕，
场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围
成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1 的正三角形
，第一步，
把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成
雪花曲线
；重复上述两步，形成雪花曲线
，记雪花曲线
的周长为
，则数列
的最大项
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据规律填写数列中的某项、确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长
的通项公式，再据此得出数列
的通项公式，
最后通过分析该数列的单调性来确定最大项.
【详解】对于初始的正三角形
，边长
，周长
,
由构造规则可知，从
到
，每一条边都变为原来的
倍.
因为
有3 条边，
的边数是
条，且每条边长度为
，所以
.
从
到
，同样每一条边变为原来的
倍，
的边数是
条，每条边长度为
，所以
.
以此类推，可得
,代入
可得：
,
令
,则
,
则
,
令
，解得
,
令
，解得
.
所以
，
.
故选：B
【变式2】（2025·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
.设
，若不等式
对于任意
都成立，则正数
的最大值为 .
【答案】
【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题、确定数列中的最大（小）项
【分析】由已知等式变形得出
，可知数列
是等比数列，确定该数列的首项和公比，可
求出数列
的通项公式，可求出
的表达式，由参变量分离法得
，令
，分析数列
的单调性，求出
的最小项的值，即可得出实数
的最大值.
【详解】因为数列
满足
，
，
，
则
，且
，
所以，数列
是首项为，公比为的等比数列，
所以
，故
，
由
，
可得
，
令
，
所以，
，
对任意的
，
，故
，则
，故数列
为递增数列，
所以，
，
因此，实数
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
是首项和公差均为1 的等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）利用等差数列通项求出
，再利用前
项和与第
项的关系求出
.
（2）由（1）求出
，再作差判断单调性求出最小值.
【详解】（1）由
是首项和公差为1 的等差数列，得
，则
，
当
时，
，由
，得
满足上式，
所以数列
的通项公式
.
（2）由（1）得
，则
，
当
，
时，
，当
，
时，
，
所以当
时，
的最小值为
.
一、单选题
1．（2025·山东泰安·模拟预测）定义数列
的“匀称值”为
，若
的匀称值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an 与sn 关系求通项或项、数列新定义
【分析】根据数列
的“匀称值”得
，两式相减即可求解.
好题必刷
【详解】
，
，
两式相减得
，所以
.
故选：D.
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
大小
【答案】B
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【分析】利用递推关系可得
，又可得
，进而可得
，可求
.
【详解】因为
，所以
，
由
，可得
，
又
，
所以
，
所以
.
故选：B.
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯一的最小项，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数
【分析】当
时，解
，得出单调性，判断出在
时，取最小值：
；当
，利用二次函数的
对称性和最值，建立关于
的不等式组求解．
【详解】当
时，
，令
，得：
，
解得：
或
，因此可知：
；
又当
时，
，当
时，
，所以
在
时，取最小值：
．
当
时，
，则该代数式对应函数对称轴为直线
，
因为
是
中唯一的最小项，所以
，且
，
解得
，且
，
即
．
故选：B
4．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840 种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未
来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H 老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集
合
，
，
为数列
的前
项和，若
取
中每个数字的概率相同．记
为事件“
等于奇数”的概率，当
趋近于无穷大时，
的近似值为
，则（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、计算古典概型问题的概率
【分析】集合A 中有1 个奇数和4 个偶数，因此每次选择奇数的概率为
，选择偶数的概率为
，利用马尔科夫链可
以建立起
的递推公式，即可得到答案.
【详解】
中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为
，取到偶数的概率为
，
的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.
设
，
，有
；
考虑递推关系：
代入
，
，
，
当
时，
，为奇数的概率为
，故
.
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
所以
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：A
5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
满足
，
，则使得
成立的最小自然数
为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式
【分析】化简递推关系可得
，证明数列
为常数数列，由此求出
，进而求解
即可..
【详解】由
，则
，
所以
，则数列
为常数列，
又
，则
，即
，为递增数列，
因为
，
，
所以使得
成立的最小自然数
为8.
故选：D.
6．（2025·上海·三模）设数列
的各项均为非零的整数，其前
项和为
．设
为正整数，若
为正偶数时，
都有
恒成立，且
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．22
C．26
D．31
【答案】B
【知识点】确定数列中的最大（小）项、数列新定义
【分析】不妨设
，要使得
取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出
，
，
，
，
，
，
，满足的不等式组，，得到
的最小值
，进而求得
时，
有最小值，即可求解.
【详解】因为
，所以
互为相反数，不妨设
，
要使得
取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，
满足
，取
的最小值为
，
则
满足
，因为
，故取
的最小值
，
满足
，因为
，
，故取
的最小值
，
同理，取
的最小值
，所以
，
满足
，取
的最小值
，
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
，
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
，
同理，取
的最小值
，所以
，
所以
，
因为数列
的各项均为非零的整数，
，所以当
时，
有最小值22．
故选：B．
7．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断数列的增减性、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性
质
【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD.
【详解】对于A，由
，得
，
，则
，A 错误；
对于B，由
，得
，当
时，
，B 错误；
对于CD，由
，得
，则
，
即
，则当
时，
，
，因此
，
，
，
，而
，C 正确，D 错误.
故选：C
8．（2025·江西·模拟预测）若数列
满足
且
，则称数列
为“对数
底数列”.已知正
项数列
是“对数2 底数列”且
，则当
且
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义
【分析】根据定义
，即
，再利用累乘
，平方后再由
根据递推关系可得答案.
【详解】因为正项数列
是“对数2 底数列”，所以
，所以
，
所以
且
，
以上式子相乘得
，所以
，
所以
，得
，
即
，得
，因为
，所以
；
同理，
，所以
，所以
，
所以
.故
.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·海南海口·模拟预测）若数列
满足：
，已知
，则
（ ）
A．14
B．15
C．17
D．18
【答案】ABD
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【分析】本题考查数列的递推关系，由数列的递推式求出数列的前4 项，再求和即可．
【详解】解：由题意可知，当
为偶数时，
；当
为奇数时，
，
因为
，所以
，则
或
，
若
，则
或
，
所以
或
；
当
时，则
，所以
，
综上所述，
的所有可能取值为14，15，18．
故选：ABD．
10．（2025·福建泉州·模拟预测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下
递推的方法定义：数列
的前n 项和为
，且满足：
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
是偶数
D．
【答案】BD
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、数列新定义
【分析】根据题设递推关系写出前8 项并求
判断A、B；列举出相关项判断
的奇偶性及数列的周期性，并得到相
关递推关系判断C、D.
【详解】由题设
，
，
，
，故A 错误；
由上分析，
，故B 正确；
由
知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
*
*
*
@
@
*
@
*
*
*
@
@
*
@
……
显然，该数列奇偶数出现以7 为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3 个奇数，2 个偶数，
1 个奇数，1 个偶数，而
，故
是奇数，故C 错误；
由
，
，
，…，
，且
，
,
所以
，又
，
故
，故D 正确．
故选：BD.
三、填空题
11．（2025·湖北黄石·模拟预测）无穷数列
由
个不同的数组成，
为
的前
项和，若对任意
，则整数
的最大值为 .
【答案】7
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】利用
，推断数列
即可求解.
【详解】当
时，
或或
，
当
时，若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
若
，
，所以
，
所以当
时，
，
所以要涉及最多的不同的项数列
可以为：
，
所以整数
的最大值为7.
故答案为：7.
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16 处打卡景观．若这16 处景观分别用
表示，某游客按照
箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则
从入口出发到达景观
的不同路线有
条，其中
，
，则
.
【答案】609
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【分析】由题意知路线数满足斐波那契递推，从而计算得到结果.
【详解】由题意知，
，
，
，
，
，…，
（
且
），
所以路线数满足斐波那契递推，则前14 项分别为
则
，
，
，
，
.
则
.
故答案为：609.
13．（2025·全国·二模）已知项数为
的数列
满足
，若数列
中存在连续三项
，使得
成立，则称数列
为“友好数列”.当
时，“友好数列”的个
数为 ；当
时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 .
【答案】 6
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、计算古典概型问题的概率、数列新定义
【分析】对于①：当
时，分
、
讨论可得答案；对于②：当
时，根据容斥原理可得答案.
【详解】对于①：当
时，数列共有
种可能.需满足
，
分情况讨论：
：
可取0，1，2，对应
，共3 种；
：
可取0，1，共2 种；
：
可取0，共1 种；
总数为
.
对于②：当
时，数列共有
种可能.
需满足存在至少一个三元组满足条件：
计算满足前三个条件的数列数目：前三个元素满足
，有6 种可能，
任意，共有
种.
计算满足后三个条件的数列数目：后三个元素满足
，有6 种可能，
任意，共有
种.
计算同时满足两个条件的数列数目：需满足
，
，有4 种可能.
根据容斥原理，总数为
，所以概率为
.
故答案为：6；
.
四、解答题
14．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所
示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到
黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
，最后落入
袋或
袋中.一次游戏中小球落入
袋记分，落入
袋
记
分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得
分的概率为
.
(1)求
、
、
；
(2)求出
的通项公式.
【答案】(1)
，
，
(2)
【知识点】独立事件的乘法公式、递推法求概率、独立重复试验的概率问题、构造法求数列通项
【分析】（1）计算出小球落入
袋、
袋的概率，可得出
的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得
、
的值；
（2）游戏过程中累计得
分可以分为两种情况：得到
分后的一次游戏小球落入
袋中（
分），或得到
分
后的一次游戏中小球落入A 袋中（
分），由此可得出
，推导出数列
为常数列，可得
出
，进而推导出
为等比数列，结合等比数列的通项公式可求得
的通项公式.
【详解】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入
袋，
故概率
，
小球落入
袋中的概率
.
故
，
，
.
（2）游戏过程中累计得
分可以分为两种情况：
得到
分后的一次游戏小球落入
袋中（
分），
或得到
分后的一次游戏中小球落入
袋中（
分），
故
，
故
为常数列且
，故
即
.
，
故
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
故
，
所以
的通项公式为
.
15．（2025·湖北·三模）若圆锥曲线上的点列
经过一系列变换后得到的点列
在椭圆上，则称
为“下蛋点
列”．已知抛物线
的焦点为
，数列
满足
，点
在抛物线C 上．
(1)求
，
．
(2)若
，记
，
．
①证明：
；
②若点列
是“下蛋点列”，请判断
是否恒为偶数，并说明理由．
【答案】(1)
，
(2)①证明见解析 ；②
恒为偶数，理由见解析
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】（1）先由焦点坐标求出抛物线方程，再由点
在抛物线C 上，得到
，由
依
次可求得
，
的值；
（2）①由
，再结合累乘法证明；②由
，变形得
，从而
，结合累加法化简得到
，又
，从而
得证.
【详解】（1）因为焦点为
，所以
，抛物线方程为
，
点
在抛物线C 上，
故
，故
，
于是
，
．
（2）由（1）可知
，
①
．
累乘得
．
又
，故
．
②由题可知，点列
是“下蛋点列”，因此先找
和
的关系．
因为
，
，
所以
，
累加得
，
又
，故
，
结合
，故
，即
，
因此
恒为偶数．
16．（2025·福建福州·模拟预测）记
为正整数
，
的最大公约数，正整数数列
满足
.
(1)求
时，求
，
；
(2)当
时，求所有满足
的正整数
；
(3)当
时，证明：不存在满足
的正整数
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质
【分析】（1）根据题目中最大公约数的定义求解即可，
（2）利用引理对于正整数
，有
.并用数学归纳法证明这个引理，并用这个引理结合题目含义得到对于正
整数
，
.即
时，不存在满足
的正整数
从而得到当且仅当
满足
.
（3）先假设存在正整数
满足
，利用引理：当
时，
，并用数学归纳法证明这个引理，并用
这个引理得到
，所以
和
或
，利用这两种情况得到
和
进而得到矛盾从而证明出不存在满足
的正整数
.
【详解】（1）当
时，因为
所以
，
.
（2）因为
从而
满足题意.
引理1：对于正整数
，有
.
当
时，
成立.
假设当
时，
成立；
当
时，
从而当
时也成立，即引理1 得证.
所以对于正整数
，有
回到原题，由引理1 知：对于正整数
，
.
即
时，不存在满足
的正整数
综上所述，当且仅当
满足
.
（3）当
时，
.
若
，则
；若
，则
.
所以，若存在正整数
满足
，则
假设存在正整数
满足
，记
，则
.
引理2：当
时，
.
当
时，
成立；当
时，
成立.
假设当
时，
成立；
当
时，
从而得到
，考虑到
的最小性，等号不能成立.
所以
，从而当
时也成立，即引理2 得证.
回到原题，显然
是严格递增数列，因为
，所以
.
由引理2 可知：
，所以
.
类似地，可以得到
或
当
时，
与
矛盾
当
时，
与
矛盾
综上所述，不存在满足
的正整数
.
17．（2025·甘肃白银·模拟预测）设
和
是整数数列，若对于任意
，都有
，我们就称数列
和
为一组耦合数列.
(1)若数列
和
为一组耦合数列，且
，都有
，且
，求数列
的通项公式；
(2)若数列
和
为一组耦合数列，证明：
；
(3)若数列
和
为一组耦合数列，探究是否存在
，使得对于某个
，从
，
，…，
中任取一个数，
这个数是c 的概率大于
.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在
【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义
【分析】（1）由耦合数列的性质求解即可；
（2）将
变形为
，再化简可证明；
（3）由
可知
，令
，求出从
，
，…，
中
任取一个数，这个数是的概率，即可得出答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
或
，
又因为
，即
，
.
（2）因为
，
所以
.
（3）由（2）知，
，
因为
和
是整数数列，
则
，使得对于某个
，
，有
，
此时
，
所以
，取此
，
则
，
令
，则
到
中至少有
个
等于，
则从
，
，…，
中任取一个数，这个数是的概率大于
，
故存在.
18．（2025·广东广州·三模）对于数集
，其中
，
，定义“伴随向量集”
．若对任意
，存在
，使得
，则称A 为“好集”．
(1)已知数集
，请写出数集
的“伴随向量集”
，并判断
是否为“好集”（不需要证明）；
(2)若有限集
为“好集”，求证：
，且当
时，
；
(3)若有限集
为“好集”，且
，求
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】向量垂直的坐标表示、由递推数列研究数列的有关性质、集合新定义
【分析】（1）根据“伴随向量集”的概念写出集合
，再根据“好集”的概念判断集合
是否为“好集”.
（2）先取
，根据“好集”的概念，可证明
；在利用反证法，证明
.
（3）根据“好集”的概念，探索集合
中元素的构成，得到数列
的结构特点，再求
.
【详解】（1）根据“伴随向量集”的定义可得：
.
因为
，
，
，
，
，
，
所以对任意
，存在
，使得
，故集合
为“好集”.
（2）取
，因为集合
是“好集”，所以存在
，使得
，即
.
因为
，所以
.
因为
，所以存在
，
或
，
.
所以
.
假设
，取
，因为集合
是“好集”，所以存在
，使得
.
因为
，所以
异号.
若
，则
，而
，
，所以
不可能成立；
若
，则
，而
，
，所以
不可能成立.
故假设错误，即
.
又
，且
，所以
.
（3）有限集
为“好集”，且
，
，所以
.
取
，由 “好集”定义，存在
，使得
，所以
异号.
若
，则
，因为
，
，所以
；
若
，则
，因为
，
，所以该式不成立.
类似的：考虑向量
，
，…，可得序列
，
，
，…，
都在集合
中.
由
.
19．（2025·湖南·模拟预测）已知正整数
，定义
聚合数列
如下：设
已知，此后每一项取值
为其前
项平均数的相反数，即
，其中
.
(1)对于
聚合数列，若
，求
；
(2)对于
聚合数列，记
为
中的最大值，求证：
（i）若
的正负不全相同，则存在实数
，使得
且
；
（ii）存在正整数
，使得
.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义
【分析】（1）由
聚合数列的定义求解即可；
（2）（i）只需考虑
不为0 的情形，取
，其中，
，结合聚合数列的定义
即可得证；（ii）只需考虑
，根据聚合数列的定义证明
，对任意
成立，
是固定的
小于1 的正实数，进一步即可得证.
【详解】（1）
（2）（i）只需考虑
不为0 的情形，否则命题不证自明.
记
，不妨设
与
异号，则
，
从而
.
根据聚合数列定义，
与
异号，所以
的符号不完全相同，
得到
其中，
，取
，即二者中的最大值符合要求.
（ii）只需考虑
，否则命题自证.
若
的正负不完全相同，重复使用（Ⅰ）中的步骤
.
设
，则
，对任意
成立.
如果
全正或全负，则根据聚合数列的定义，
与
不同号，此时
的正负不完全相同，
可将
视为第一项再进行上面的过程，根据聚合数列的定义，显然有
.
重复上面的过程可证
，对任意
成立.
故在最开始便可不不妨设
的正负不完全相同.在此基础上再考虑
，
亦可不不妨设其正负不完全相同（否则只需要考虑
）.
可以得到
，对任意
成立.
是固定的小于1 的正实数.
取足够大的正整数
满足
，从而
，则
，证毕.
