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2025二轮复习大题规范练（四）
一、基础保分练
1．（2024·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与二次曲线 只有一个公共点，
求实数a的值．
2．（24-25高三上·福建·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ，求 的值．
3．（2024·福建龙岩·三模）若数列 是公差为1的等差数列，且 ，点 在函
数 的图象上 ，记数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明: .
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
为正方形，E为线段 的中点， ．(1)求证： ；
(2)求点E到平面 的距离．
5．（2024·河南开封·二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
上顶点为 ，且 ．
(1)求 的离心率；
(2)射线 与 交于点 ，且 ，求 的周长．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至
2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份
2015~2023．
已知 ， ， ， ．
(1)可否用线性回归模型拟合 与 的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明．
(2)若根据所给数据建立回归模型 ，可否用此模型来预测2024年和2034年
我国的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数 ．
二、能力增分练
7．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数 ，其
中 是自然对数的底数．
(1)当 ，证明： 为定值，并求出函数 的对称中心；
(2)当 时，若 在定义域上单调递增，求实数 的最小值．
8．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，再将函数 图象
上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若 在区
间 上没有零点，求 的取值范围.
9．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
10．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面
为矩形，且平面 平面 分别为棱 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的大小为120°，求 的值．
11．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线 过点 ，左、右顶
点分别为 ， ，直线 与直线 的斜率之和为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点 的直线 交双曲线右支于 ， （ 在第一象限）两点， ，
是双曲线上一点， 的重心在 轴上，求点 的坐标．
12．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根
据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随
机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
满
车站编号 不满意 合计
意
10 28 40
11 3
合计 85
完善表格数据并计算分析：依据小概率值 的独立性检验，在这两个车站中，能否
认为旅客满意程度与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有 的概率改为当前终
到站的西侧一站，有 的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原
定终到站编号为11的列车P经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值.
附： ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
三、拓展培优练
13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 处的切线过原点，求 的取值；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围.
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为a,b,c，若
内一点P满足 ，则称点P为 的布洛卡点，θ为
的布洛卡角．如图，已知 中， ，点P为 的布洛
卡点，θ为 的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．证明： ．
15．（2024·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活
动．盒中装有 个除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一
次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小
球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列
的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的
值．
16．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） 的方程，
若曲面 和三元方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元方程
的解；②以三元方程 的任意解 为坐标的点均在曲面
上，则称曲面 的方程为 ，方程 的曲面为 .已知空间中某单叶双
曲面 的方程为 ，双曲面 可视为平面 中某双曲线的一支绕 轴旋转一
周所得的旋转面，已知直线 过C上一点 ，且以 为方向向量.
(1)指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线 在曲面 上；
(3)若过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面
上，且过点 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.
17．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物
线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、
D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资
源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，
成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，
哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万人） 45 50 60 65 80
(1)计算 的相关系数 （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数
的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖
规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅
游团中有5个男游客和 个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为
，当 取多少时， 最大？
参考公式： ， ， ，
参考数据：．
