专题8.8 直线与圆锥曲线的位置关系（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】..................................................................................................................5
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】..............................................................................................................................5
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】..........................................................................................................................6
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】.........................................................................................7
【题型5 圆锥曲线中的参数范围及最值问题】.....................................................................................................9
【题型6 圆锥曲线中的定点、定值问题】...........................................................................................................10
【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】....................................................................................................................11
【题型8 圆锥曲线与其他知识的综合问题】.......................................................................................................13
1、直线与圆锥曲线的位置关系
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解直线与圆锥曲线位置
关系的判断方法
(2)掌握直线被圆锥曲线所截
的弦长公式
(3)能利用方程及数形结合思
想解决焦点弦、中点弦问题
2023 年新高考I 卷：第22 题，
12 分
2023 年新高考Ⅱ卷：第21 题，
12 分
2023 年全国甲卷（理数）：第
20 题，12 分
2024 年新高考I 卷：第16 题，
15 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第10 题，
6 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第19 题，
17 分
2025 年全国一卷：第10 题，6
分、第18 题，17 分
2025 年全国二卷：第16 题，15
分
2025 年天津卷：第18 题，15
分
圆锥曲线是高考的重点、热点内
容，直线与圆锥曲线的位置关系是每
年高考必考内容.从近几年的高考情况
来看，本节内容主要以解答题的形式
考查，有时也会以多选题的形式考
查，考查方向主要有两个方面：一是
平面解析几何通性通法的研究；二是
圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定
点、定值或定直线等问题的求解；高
考复习时要加强圆锥曲线这方面内容
的训练.
从近几年的高考趋势来看，圆锥
曲线有时会与向量、数列等知识结合
考查，其思维要求高，计算量较大，
需要灵活求解.
知识点
1 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则：
直线与圆锥曲线相
交
；直线与圆锥曲线相
切
；直线与圆锥曲线相
离
.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
知识点
2 圆锥曲线中的弦长问题
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m 交椭圆
+
=1 (a>b>0)于
，
两点，
则
或
.
2．双曲线的弦长问题
(1)弦长公式：直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长d
.
(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与
圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
(4)双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x 轴上还是在
y 轴上，双曲线的通径总等于
.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A
,B
两点，则|AB|=
=
或
|AB|=
=
(k 为直线的斜率，k≠0).
知识点
3 圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题
1．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系.
设
，
，代入椭圆方程
+
=1 (a>b>0)，得
，
①-②可得
+
=0，
设线段AB 的中点为
，当
时，有
+
=0.
因为
为弦AB 的中点，从而转化为中点
与直线AB 的斜率之间的关系，这就是处理弦中点
轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB 是椭圆
+
=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB 所在直线的斜率存在时，弦AB 的中点M 的坐标为
，则弦AB 所在直线的斜率为
，即
.
2．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类
问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转
化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线
=2px(p>0)上一点A
与焦点F(
,0)的距离为|AF|=
，若MN 为抛物线
=2px(p>0)的
焦点弦，则焦点弦长为|MN|=
+
+p(
,
分别为M,N 的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A
,B
，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程
弦长公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
知识点
4 圆锥曲线中最值问题的解题策略
1. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数
方法、不等式方法等进行求解.
知识点
5 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
1．圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题
以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想
方法来处理，具体操作流程如下：
(1)变量——选择合适的参变量；
(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；
(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.
一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使
得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.
2．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线 l 过定点问题
解法：设动直线方程（斜率存在）为y =kx +t，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n，得y =k (x +m)+n，
故动直线过定点(−m,n)；
(2)动曲线 C 过定点问题
解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3．求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无
关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
4．圆锥曲线中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨
迹，主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
知识点
6 圆锥曲线中的探索性问题的解题策略
1. 圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成
立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对
参数的讨论.
【方法技巧与总结】
1．已知M，N 是椭圆C：
+
=1 (a>b>0)上的两点，点O 为坐标原点，且P 是M，N 的中点，则
.
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则
.
3．若曲线为抛物线，P
为弦MN 的中点：
(开口向右)，
(开口向左)，
(开口向上)，
(开口向下).
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】
【例1】（24-25 高二上·江西·期末）直线x
a + y
b =1与椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【变式1-1】（2025·北京门头沟·一模）“k =± 1
2
”是“直线y =k (x−3)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共
点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·天津·二模）“k = 1
2
”是“直线y =kx +1与抛物线y
2=2 x只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（24-25 高二上·浙江温州·期末）已知直线l: y =k( x +3)+1与曲线C : y = 1
2
❑√4−x
2有两个公
共点，则k 的取值范围是（ ）
A．(−6
5 ,0)
B．[−1
5 ,0)
C．(−6
5 , 1
3 )
D．(−6
5 ,−1
5 ]
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】
【例2】（24-25 高二上·重庆·期末）已知椭圆C : y
2
9 + x
2=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A
，B，△ABF的面积是2❑√10
5
，则| AB|=（ ）
A．3 ❑√5
5
B．6 ❑√5
5
C．
❑√185
5
D．2❑√185
5
【变式2-1】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C : y
2−x
2
3 =1的两个焦点分别为F1, F2，过F1的直线与双
曲线C的同一支交于A，B两点，且|B F1)=2|A F1)，则线段AB的长度为（ ）
A．9
4
B．9
C．27
4
D．6
【变式2-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线y
2= 4 x焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A ,B两点
（点A在第一象限），其准线与x轴交于点K，若线段BF的垂直平分线恰好过K，则|AB)=（ ）
A．8 ❑√3
3
B．4 ❑√3
3
C．❑√3
D．2
【变式2-3】（25-26 高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1的左焦点为F1，不经过F1且斜
率为❑√3的直线交C于A，B两点.当△F1 AB的周长最大时，|AB)=（ ）
A．8
5
B．8 ❑√3
5
C．16
5
D．16 ❑√3
5
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】
【例3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，A 为C 上一
点，|AF )的最小值为1.
(1)求C 的方程；
(2)设点M (4,0)，斜率不为0 的直线AM与C 交于另一点B.
（i）若弦AB中点的纵坐标为−36
31
，求直线AB的斜率；
（ii）若D 为C 上一点，且点D 与点A 关于x 轴对称，证明：B , D , F三点共线.
【变式3-1】（2025·广东广州·三模）已知双曲线C : x
2−y
2
3 =1．
(1)若直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为(3,3)，求直线l 的方程；
(2)若P 为双曲线C 右支上异于右顶点的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，x 轴上是否存在定点
M (t ,0)(t <0)，使得∠PFM =2∠PMF？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2025·云南·模拟预测）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2=1(a>1)的焦距为2❑√3
，抛物线
C : y
2=2 px ( p>0)的焦点F是E的一个顶点.
(1)求抛物线C的标准方程：
(2)若直线l与C交于M , N两点，且点Q (2,2)为线段MN的中点.
（i）求直线l的方程；
（ii）若O为坐标原点，求△OMN的面积.
【变式3-3】（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(−❑√2,1)，长轴长为2❑√5
，过
点C (−1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段AB中点的横坐标是−1
2
，求直线l的斜率；
(3)在x轴上是否存在点M，使⃗MA ⋅⃗MB+
5
3k
2+1
是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】
【例4】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知直线l与抛物线y
2=2 px ( p>0)交于A、B两点，且
OA ⊥OB，OD⊥AB于点D (1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
【变式4-1】（2025·浙江金华·三模）双曲线C
′: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√3
，过左焦点F的直
线l与双曲线的左支、右支分别交于点A ,B，当直线l与y轴垂直时，|AB)=2❑√3.
(1)求双曲线C
′的方程；
(2)点C (12,0)满足CB∥OA，其中O是坐标原点，求四边形OABC的面积.
【变式4-2】（24-25 高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点P(x , y)到点F (1,0)的距离与它到直线x = 4
的距离之比为1
2
，过点F的直线l与动点P的轨迹C相交于A ,B两点．
(1)求动点P的轨迹C的方程．
(2)是否存在直线l，使得△AOB的面积为❑√3？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2025·天津·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，左顶点为A，上顶点为
B ,△OAB的面积为❑√3．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P(0,−3)的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点M , N（M 在P , N之间），求S△OMN
S△OPM
的取值范围．
【题型5 圆锥曲线中的参数范围及最值问题】
【例5】（2025·天津南开·二模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2, M(1, 3
2)
为C上一点，且在△F1 M F2中，tan∠M F1 F2= 3
4
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(1,3)的直线l与椭圆C交于A ,B两点（点A在点B的上方），线段AB上存在点Q，使得
|PA)
|PB) =|QA)
|QB)，求|Q F1)+|Q F2)的最小值．
【变式5-1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点P在圆O: x
2+ y
2= 4上，作PD垂直于y轴，垂足为D，点
M为PD中点．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)直线l: y =kx +m与y轴交于点Q，与E交于A、B两个相异点，且⃗AQ =3⃗QB，求m
2的取值范围．
【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM 相交于
点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M 的轨迹方程C；
(2)若直线l 与C 交于P，Q 两点，且⃗OP⋅⃗OQ =0（点O 为坐标原点），求|PQ)的取值范围．
【变式5-3】（2025·湖北十堰·三模）已知点A、B在抛物线C : x
2=2 py ( p>0)上，O为原点，且△OAB是
以AB为斜边的等腰直角三角形，斜边长为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P在圆Q: x
2+( y + 4)
2= 4
上，过点P分别作的直线l1
、l2
与抛物线C相切于M、N两点，求
tan ∠MPN的取值范围．
【题型6 圆锥曲线中的定点、定值问题】
【例6】（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，其右焦点F 到一条
渐近线的距离为❑√3.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l：y =kx +m(k >0,m>0)与双曲线C 交于不同的两点A，B，且以线段AB为直径的圆经过点
P(1,0)，证明：直线l过定点.
【变式6-1】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，离心
率为1
2
，△AOB的面积为❑√3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y =kx（k存在且不等于0）与椭圆交于P，Q两点，直线PA与y轴交于点M，直线QA与直线y =b
交于点N，判断k PB−k MN是否为定值并证明．
【变式6-2】（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线x−2 y + 4 =0与抛物线C ：x
2= 4 y交于A ,B两点，且
A ,B分别在第一、二象限，Q为线段AB的中点．设C在点A ,B处的切线交于点P，D为曲线段AB（不含
端点）上一点，C在点D处的切线与直线PA , PB分别交于点M , N．
(1)证明：
①直线PQ⊥x轴；
②四边形MPNQ的面积为定值；
(2)设△PMN的外接圆为圆E，问：圆E是否过定点（点P除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，
请说明理由．
【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的短轴长为2❑√3
，过左焦点
F (−1,0)作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点．设AB，CD的中点分别为M
，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线MN是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】
【例7】（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，点P(3, 3
2)
在椭圆C
上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点Q(0,6)的直线（非y 轴）交椭圆于A，B 两点，过点A 作y 轴的垂线与直线BP 相交于点D，求证：
线段AD 的中点在定直线上．
【变式7-1】（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，上、
下顶点分别为B1，B2，四边形B1 F1B2 F2为正方形，点E (2a,0)，且△B1 E B2的面积为4 ❑√2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F(
❑√2b
2
,0)
的直线l与C交于M，N两点，求证：|ME)
|NE) =|MF)
|NF)
；
(3)已知直线l: y =kx +2交椭圆C于P，Q两点，直线P B1，Q B2相交于点A.试判断点A是否在定直线上，
若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【变式7-2】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线Γ: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)过点P(❑√3,❑√6)，渐近线方程
为y =± ❑√3 x．
(1)求Γ的方程；
(2)已知点A (1,0)，过点Q (1,2)作动直线l与双曲线右支交于不同的两点B、C，点H在线段BC上（不含端
点）．
①若H为BC的中点，△AQH的面积为7，求直线l的斜率；
②直线AB、AH、AC分别与y轴交于点D、E、F，若E为DF的中点，证明：点H恒在定直线
3 x−2 y −3=0上．
【变式7-3】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)，过点D (0,2)的直线l与C交于不同的
两点A ,B.当直线l的倾斜角为135
°时，|AB)= 4 ❑√30.
(1)求C的方程；
(2)在线段AB上取异于点A ,B的点E，且满足|DA)
|DB) =|AE)
|EB) ，试问是否存在一条定直线，使得点E恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【题型8 圆锥曲线与其他知识的综合问题】
【例8】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，点P(1,1)到C的两条渐近线距离
之比为1:3，过点P的直线l与C交于A ,B两点，且当l的斜率为0 时，AB = ❑√5.
(1)求C的方程；
(2)若点A ,B都在C的右支上，且l与x轴交于点Q，设⃗PA =m⃗AQ ,⃗PB =n⃗BQ，求m+n的取值范围.
【变式8-1】（2025·河南周口·模拟预测）已知点P1(t +1,t )在抛物线C : x
2= 4 y上，过点P1作斜率为−1的
直线交C于另一个点Q1，设P2与Q1关于y 轴对称，再过P2作斜率为−1的直线交C于另一个点Q2，设P3与
Q2
关于y 轴对称，以此类推一直作下去，设Pn(xn, yn)(n∈N
*)．
(1)求t 的值；
(2)求数列{xn)的通项公式，并求数列{
1
xn+ yn)
的前n项和T n
的取值范围；
(3)求△Pn Pn+1 Pn+2(n∈N
*)的面积．
【变式8-2】（2025·贵州铜仁·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√2
2
，短轴长为6，过右
焦点的直线与C交于M , N两点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知点Q(8, y0)，
（ⅰ）当y0=0时，求△QMN面积的取值范围；
（ⅱ）当y0∈R时，证明：⃗QM ⋅⃗QN >0．
【变式8-3】（2025·福建福州·模拟预测）已知F为抛物线E: y
2=2 px( p>0)的焦点，点C(4,0)满足
|CF |=3|OF |，其中O为坐标原点，过F的直线交E于A.B 两点，点A在第一象限，过点A作直线AB 的
垂线，交x轴正半轴于点M，直线BC 交直线AM 于点N．记△ACF ,△BCF ,△CMN的面积分别为
S1,S2,S3．
(1)求E的准线方程；
(2)证明：
1
| AF | +
1
|BF | =1；
(3)求(S1−S2)S3
的最小值及此时点A的坐标．
一、单选题
1．（2025·北京·三模）“k = 1
2”是“直线y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·北京通州·一模）已知点F 为抛物线y
2= 4 x的焦点，过点F 且倾斜角为π
3
的直线与抛物线交于
A、B 两点，则|AB)等于（ ）
A．16
B．6
C．16
3
D．4
3．（2025·辽宁·三模）过椭圆C : x
2
5 + y
2
4 =1的左焦点F 作倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 交于A，B 两
点，则
1
| AF | +
1
|BF | =（ ）
A．5
4
B．4
5
C．
❑√5
2
D．2❑√5
5
4．（2025·内蒙古包头·二模）直线l与双曲线x
2
4 −y
2=1交于P ,Q两点，线段PQ的中点为M (4,1)，则直
线l的方程为（ ）
A．y = x−3
B．y =−x−3
C．y = x +5
D．y =−x +5
5．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆x
2
2 + y
2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A
，B两点，则| AB|=（ ）
A．8 ❑√2
7
B．20 ❑√2
7
C．
❑√2
7
D．13 ❑√2
7
6．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，准线为
直线x =−3，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（ ）
A．24
B．18
C．16
D．12
7．（2025·海南·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线C : y
2=2 px( p>0)上一点A(1, y0)到其焦点和准
线的距离之和为4，过C 的焦点F 的直线交C 于P，Q 两点．当S△POQ=2❑√3时，⃗FP⋅⃗FQ
的值为（ ）
A．−12
B．−10
C．−8
D．−6
8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆C : x
2
3 + y
2=1的右焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线分别
与C相交于A，B和P ,Q，则四边形APBQ面积的最小值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．5
2
二、多选题
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线C : y
2=6 x的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B 两点，过
A 作直线l
x
：=−3
2
的垂线，垂足为D，过F 且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（ ）
A．| AD|=| AF |
B．| AE|=| AB|
C．| AB|≥6
D．| AE|⋅|BE|≥18
10．（2025·江苏·模拟预测）设抛物线E: x
2=2 py( p>0)的焦点为F，直线y =kx +1(k >0)与抛物线相交
于A( x1, y1)，B( x2, y2)两点，与x轴交于点C，|AF)= 5
2 ,|BF)= 4，则下列说法正确的是（ ）
A．y1 y2=2
B．p= 4
C．|AB)= 3
2
❑√17
D．△AFB与△AFC的面积之比为3:1
11．（2025·宁夏银川·三模）已知椭圆E: x
2
9 + y
2
5 =1的左右焦点分别为F1, F2，过F1的直线l与E交于A ,B
两点，则下列说法正确的是（ ）
A．|AB)∈[
10
3 ,6)
B．若|A F1)=2|B F1)，则|AB)=5
C．若直线l与y轴的交点P是线段A F1的中点，则△AO F1的面积为5
3
D．若直线l与y轴的交点P是线段A F1的中点，直线m与椭圆相切于点A，过点A 且与直线m垂直的直
线n与椭圆的长轴交于点Q，则|Q F1):|Q F2)=13:5
三、填空题
12．（24-25 高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数k，直线kx −y +1=0与椭圆x
2
6 + y
2
n =1恒有公共
点，则实数n的取值范围为
.
13．（2025·浙江嘉兴·一模）过点M (6,4)的直线与抛物线y
2=8 x相交于A ,B两点，若M恰为AB的中点，
则线段AB的长为
.
14．（2025·广东·一模）F1, F2分别为双曲线x
2−y
2
3 =1的左、右焦点，A ,C两点在双曲线上且关于原点
对称（点A在第一象限），直线C F2
与双曲线的另一个交点为点B，若|A F1)−|B F2)=6，则△ABC的面
积为
．
四、解答题
15．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√2
2
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点(0,−2)的直线l 交C 于A ,B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为❑√2，求| AB|．
16．（2025·黑龙江大庆·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为
､
F1, F2
，过点
P(0, 2❑√5b
5 )
作斜率为k的直线l交C于M , N两点.当k =0时，M F2⊥x轴，且|M F1)= 6 ❑√5
5
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若|MN )=3|PM )⋅|PN )，求直线l的方程.
17．（2025·天津·高考真题）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P 为x =a上一点，
且直线PF的斜率为1
3
，△PFA的面积为3
2
，离心率为1
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF 平分∠AFB.
18．（2025·浙江嘉兴·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别是
､
F1(−2❑√3,0), F2(2❑√3,0)，并且经过点A(2❑√3,4).
(1)求C的方程；
(2)过点F2的直线交双曲线的右支于M , N两点（点M在第一象限），过点M作直线x = 2❑√3
3
的垂线，垂足
为D.
（i）求证：直线DN经过定点；
（ii）记△ODN的面积为S，求S的取值范围.
19．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为2❑√2
3
，下顶点为A，右顶
点为B，| AB|= ❑√10．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足|AP)⋅|AR)=3．
（i）设P(m,n)，求R的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，Q是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线OP的斜率的3 倍，求| PQ|的最大值．
