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1
解密05 空
几何体的表面
和体
间
积
积
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
空间几何体
的表面积
【2018 新课标1 文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为
，
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方
形，则该圆柱的表面积为( )
简单几何体的表面
积与体积计算，主
要以选择题、填空
题的形式呈现，在
解答题中，有时与
空间线、面位置证
明相结合，面积与
体积的计算作为其
中的一问.
【2018 新课标2 理16】已知圆锥的顶点为
，母线
，
所成
角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为_______．
【2017 新课标1 文18】如图，在四棱锥
中，
，且
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，
，且四棱锥
的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
【2015 新课标1 文18】如图四边形
为菱形，
为
与
交点，
平面
， （I）证明：平面
平面
；
（II）若
，
三棱锥
的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
空间几何体
的体积
【2018 新课标2 文16】已知圆锥的顶点为
，母线
，
互相
垂直，
与圆锥底面所成角为
，若
的面积为，则该圆
锥的体积为________．
【2019 新课标3 文理16】学生到工厂劳动实践，利用
打印技
术制作模型．如图，该模型为长方体
挖去四棱
锥
后所得的几何体，其中
为长方体的中心，
分别为所在棱的中点，
，
打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，制作该模
型所需原料的质量为________
．
【2020 新课标1 文19】如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的
圆心，
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
．
（1）证明：平面
⊥平面
；
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2
（2）设
，圆锥的侧面积为
，求三棱锥
的体
积．
多面体与球
的切、接问
题
【2020 新课标1 理10 文12】已知
为球
的球面上的三个
点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
【2020 新课标2 理10 文11】已知
是面积为
的等边三角
形，且其顶点都在球
的球面上．若球
的表面积为
，则
到
平面
的距离为（ ）
【2020 新课标3 理15 文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为
3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【2020 新高考全国16】已知直四棱柱
的棱长均为
，
．以
为球心，
为半径的球面与侧面
的交线长为________．
【2017 新课标1 文16】已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是球
的直径．若平面
平面
，
，
，三棱锥
的体积为9，则球
的表面积为
．
【2019 新课标1 理12】已知三棱锥P‒ABC 的四个顶点在球O 的球
面上，
，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分
别是
、
的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为( )
核心考点一 空间几何体的表面积
柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
1.【2018 新课标1 文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为
，
，过直线
的平面截该圆柱所得
的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
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A．
B．
C．
D．
【解析】截面面积为8 ，所以高
2 2
h
，底面半径
2
r
，所以表面积为
2
( 2)
2
2
2 2 2
12
S
，故选B．
2．【2017 新课标1 文18】如图，在四棱锥
中，
，且
（1）证明：平面
平面
；（2）若
，
，且四棱锥
的
体积为
，求该四棱锥的侧面积．
【解析】（1）由已知
，得
，
．
由于
，故
，从而
平面
．
又
平面
，所以平面
平面
．
（2）在平面
内作
，垂足为
．
由（1）知，
平面
，故
，可得
平面
．
设
，则由已知可得
，
．
故四棱锥
的体积
．
由题设得
，故
．
从而
，
，
．
可得四棱锥
的侧面积为
．
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1．【2018 新课标2 理16】已知圆锥的顶点为
，母线
，
所成角的余弦值为
，
与圆锥底面所
成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________．
【解析】因为母线SA，SB 所成角的余弦值为
7
8 ，所以母线SA，SB 所成角的正弦值为
15
8
，
因为
SAB
△
的面积为5 15 ，设母线长为l ，所以
2
1
15
5 15
2
8
l
，
2
80
l
，
因SA与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为
2
cos 4
2
l
l
，因此圆锥的侧面积为
2
2
40 2
2
rl
l
．
2．【2015 新课标1 文18】如图四边形
为菱形，
为
与
交点，
平面
，
（I）证明：平面
平面
；
（II）若
，
三棱锥
的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
G
E
D
A
C
B
【解析】(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．
∵ABCD 为菱形，∴ BD⊥AC，
∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．
(Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°可得，
AG=GC=
，GB=GD=
． 在RtΔAEC 中，可得EG=
．
∴ 在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=
．
∴
，解得x =2．
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由BA=BD=BC 可得AE= ED=EC=
．
∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 的面积均为
．
所以三棱锥E-ACD 的侧面积为
．
核心考点二 空间几何体的体积
柱体、锥体和球的体积公式：
①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
②V 锥体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
③V 球＝πR3.
1．【2018 新课标2 文16】已知圆锥的顶点为
，母线
，
互相垂直，
与圆锥底面所成角为
，
若
的面积为，则该圆锥的体积为________．
【解析】如下图所示，
30
SAO
，
90
ASB
，又
2
1
1
8
2
2
SAB
S
SA SB
SA
△
，
解得
4
SA
，所以
1
2
2
SO
SA
，
2
2
2 3
AO
SA
SO
，所以该圆锥的体积为
2
1
8
3
V
OA
SO
．
2.【2019 新课标3 文理16】学生到工厂劳动实践，利用
打印技术制作模型．如图，该模型为长方体
挖去四棱锥
后所得的几何体，其中
为长方体的中心，
分别为
所在棱的中点，
，
打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为___________
．
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【解析】由题意得，
，四棱锥O−EFG 的高3cm，
∴
．又长方体
的体积为
，
所以该模型体积为
，其质量
．
3.【2020 新课标1 文19】如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
．
（1）证明：平面
⊥平面
；
（2）设
，圆锥的侧面积为
，求三棱锥
的体积．
【解析】（1）连接
，
为圆锥顶点，
为底面圆心，
平面
，
在
上，
，
是圆内接正三角形，
，
，
，即
，
，
平面
平面
，
平面
平面
；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为
，圆锥的侧面积为
，
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，解得
，
，
在等腰直角三角形
中，
，
在
中，
，
三棱锥
的体积为
．
1.【2018 江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.
【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都
是.则该正八面体的体积为×()2×1×2＝.
2.如图，四边形ABCD 是边长为2 的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面
体ABEF 的体积为( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】∵ ED⊥平面ABCD 且AD⊂平面ABCD，∴ ED⊥AD.
∵ 在正方形ABCD 中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴ AD⊥平面CDEF
.
易知FC＝＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.
∵ VE－ABCD＝ED×S 正方形ABCD×＝2×2×2×＝，VB－EFC＝BC×S△EFC×
＝2×2×1××＝，
∴ VABCDEF＝＋＝.又VF－ABCD＝FC×S 正方形ABCD×＝1×2×2×＝，
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VA－DEF＝AD×S△DEF×＝2×2×2××＝，VA－BEF＝－－＝.故选B.
3．【2019 新课标2 文17】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
【解析】（1）因为在长方体
中，
平面
；
平面
，所以
，
又
，
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）设长方体侧棱长为
，则
，
由（1）可得
；所以
，即
，
又
，所以
，即
，解得
；
取
中点
，连结
，因为
，则
；
所以
平面
，
所以四棱锥
的体积为
．
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核心考点三 多面体与球的切、接问题
球的相关性质：
1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；
不经过球心的平面截的圆叫小圆。
2、球心和截面圆心的连线垂直于截面，即有
多面体的外接球模型：
1、长方体的外接球直径为体对角线，则
；
正方体的外接球半径为
；正方体的内切球半径为
。
2、圆柱模型：
在三棱锥
中，已知
平面
，则外接球半径为
，
则
，其中
为
外接圆半径。
3、圆锥模型
在正三棱锥
中，先求出高线长
，
在
中，
解方程求出
，
其中
为
外接圆半径。
4、正四面体（构造正方体）、对棱相对的三棱锥（构造长方体）
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P
A
B
C
O
O1
P
A
C
O1
B
O
10
C
A
D
B
如上左：正四面体
可构造如图正方体（所有面对角线相等）；
如上右：对棱相等的三棱锥
可构造如图长方体（对面的对角线相等）。
1．【2020 新课标1 理10 文12】已知
为球
的球面上的三个点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设圆
半径为
，球的半径为
，依题意，得
，由正弦定理
，
，根据球的截面性质
平面
，
，
球
的表面积
．故选A．
2．【2020 新课标2 理10 文11】已知
是面积为
的等边三角形，且其顶点都在球
的球面上．
若球
的表面积为
，则
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．
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【解析】设球
的半径为
，则
，解得
．设
外接圆半径为
，边长为
，
是面积为
的等边三角形，
，解得
，
，
球心
到平面
的距离
．故选C．
3.【2019 新课标1 理12】已知三棱锥P‒ABC 的四个顶点在球O 的球面上，
，△ABC 是边
长为2 的正三角形，E，F 分别是
、
的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】解法一:
为边长为2 的等边三角形，
为正三棱锥，
，又
，
分别为
、
中点，
，
，又
，
平面
，
平面
，
，
为正方体一部分，
，即
，故选D．
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解法二:设
，
分别为
中点，
，且
，
为边长为2 的等边三角形，
又
中余弦定理
，作
于
，
，
为
中点，
，
，
，
，又
，
两两垂
直，
，
，
，故选D．
1．【2020 新课标3 理15 文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积
为_________．
【解析】方法1：等面积法
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中
，且点M
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为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为
，
由于
，故
，
设内切圆半径为
，则
，解得
，其体积
．故答案为
．
方法2：几何法
如右图，当球与圆锥内切时体积最大，设球的半径为
，由题意知
，圆锥的高
．由
得
，则
，故球的体积
．故答案为
．
2.【2017 新课标1 文16】已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是球
的直径．若平
面
平面
，
，
，三棱锥
的体积为9，则球
的表面积为 ．
【解析】取
的中点
，连接
，因为
，所以
，
因为平面
平面
，所以
平面
．设
，
，所以
，即球的表面积为
3．【2020 新高考全国16】已知直四棱柱
的棱长均为
，
．以
为球心，
为半径的球面与侧面
的交线长为________．
【解析】如图，取
的中点为
，
的中点为
，
的中点为
，因为
，直四棱柱
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的棱长均为2，所以
为等边三角形，所以
，
，又四棱柱
为直四棱柱，所以
平面
，所以
，因为
，所以
侧面
，设
为侧面
与球面的交线上的点，则
，
因为球的半径为
，
，所以
，
所以侧面
与球面的交线上的点到
的距离为
，
因为
，所以侧面
与球面的交线是扇形
的弧
，
因为
，所以
，
所以根据弧长公式可得
．故答案为
．
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