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专题五 解析几何
第3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、考点透析
考点1 直线与圆锥曲线位置关系
1.(2025·江西省九江市·模拟)已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的
直线与C交于A ,B两点，A ,B在准线上的投影分别为A
′ ,B
′，线段A
′ F ,B
′ F分别交y轴于
点M , N .若| MN |=
√5，则p=( )
A. 1
2
B. 2
C. 2
√15
3
D. √5
2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知双曲线C : x
2
m −y
2
2 =1(m>0)的一条渐近线方程为
x−2 y =0，点F1，F2分别是C的左、右焦点，点A1，A2分别是C的左、右顶点，过点F2
的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线P A1的斜率为k1，直线P A2
的斜率为k2，则( )
A. 双曲线C的焦距为2
√10
B. | P F1|−| P F2|= 4
√2
C. | PQ|>4
√2
D. k1k2= 1
4
考点1 中点弦问题
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q 在双曲线
上，且点M(－2，1)为线段PQ 的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( )
A． B．
C． D．
2.(2025·重庆市·模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F1是椭圆E: x
2
4 + y
2=1的左焦点，点
A ,B分别是E的左、右顶点，直线l与椭圆E相交于M , N两点，则( )
A. 若直线l经过点F1，则| MN |的最小值为1
B. 若线段MN的中点坐标为(1, 1
2)
，则直线l的斜率为−1
4
C. 若直线l经过坐标原点，则
1
|M F1|
+
9
|N F1|
≥4
D. 若点P在椭圆E上(点P与A ,B不重合)，且∠PBA =2∠PAB，则tan ∠APB =−13
9
考点2 弦长、面积问题
1.(2025·天津市·模拟)抛物线C : y
2=2 px
的焦点F恰好是圆( x −1)
2+ y
2=1的圆心，过点F
且倾斜角为45
°的直线l与C交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程
为 ．
2.(2025·河南省开封市·模拟)已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过点F的直线l交C于A ,B
两点，与l平行的直线交C于D , E两点，其中B , D在x轴上方，M , N分别为AB , DE的中
点．
(1)当直线l不垂直于x轴时，证明：直线MN // x轴；
(2)若AN ⊥BN，求|DE|
|AB|；
(3)若AD⊥BE，求|DE|
|AB|．
考点3 切线问题
1.(2025·山西省·模拟)已知过点M (2,1)的直线交抛物线C : y
2= 4 x于A，B两点，过点A，
B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P，则| PM |的最小值为( )
A. 7
√5
5
B. √5
C. √2
D. 15
√17
17
2.(2025·河南省焦作市·模拟)若过点A(1,1)的直线l与抛物线Γ : y
2= 4 x交于B，C两点，以
B，C为切点分别作Γ的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
二、跟踪练习
1.(2025·山西省晋城市·模拟)已知直线l:mx +ny −m=0(m,n不同时为0，m,n∈R)，
⊙O: x
2+ y
2= 4，抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，则( )
A. 直线l与⊙O恒有两个交点
B. 直线l被⊙O截得的最短弦长为2
√3
C. ⊙O与抛物线C交于M , N两点，则| MN |= 4
√2
D. 当m=n=1时，直线l与抛物线C交于A ,B两点，则|| AF |−|BF ||=2
√2
2.(2025·河北省保定市·模拟)已知点M (3,0)，N (−3,0)，P，Q是坐标平面上的两个动点，
设满足| PM |⋅| PN |=t(t >0)的点P的轨迹为曲线C1，满足|QM |+|QN |=8的点Q
的轨迹为曲线C2，则( )
A. C1,C2均关于x轴对称
B. ▵QMN面积的最大值为3
√3
C. 当t =10时，点P的纵坐标的最大值大于1
D. 当C1，C2有公共点时，7≤t ≤16
3.(2025·广东省惠州市·模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线
反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y
2= 4 x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴
的光线l1
从点P(m,n)(n
2<4 m)射入，经过抛物线上的点A( x1, y1)反射后，再经抛物线
上另一点B( x2, y2)反射后，沿直线l2射出，经过点N，则下列结论中正确的是( )
A. 点A( x1, y1)关于x轴的对称点在直线l2上
B. 若n=2，PB平分∠ABN，则m=5
C. 若n=2，则抛物线上不存在点Q，使得QA ⊥QB
D. 存在点P使得点F是△POB的垂心
4.(2025·山西省吕梁市·模拟)已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个顶点分别是A(−2,0)，
B(2,0)，离心率为
√3
2
，直线y = 1
2 x +m(m≠±1)与该椭圆交于点P，Q，直线PA，PB，
BQ的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2的值为 ；若k1=2k3，则m= ．
5.(2025·山东省泰安市·联考)已知双曲线Γ : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)，左､右顶点分别为A1, A2
，
过M (−2,0)的直线l交双曲线于P ,Q两点．
(1)若b=
√10
4 , P在第一象限，▵M A2 P是等腰三角形，求P的坐标；
(2)连接QO并延长交双曲线于R，若A1 R⃗· A2 P⃗=1，求b的取值范围．
