文档文本内容
1
解密11
曲
的方程与性
圆锥
线
质
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
圆锥曲线的
定义及标准
方程
【2020 新课标1 理4】已知
为抛物线
：
上一
点，点
到
的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则
( )
1.圆锥曲线的方程
与几何性质是高考
的重点，多以选择
题、填空题或解答
题的第一问的形式
命题.
2.直线与圆锥曲线
的位置关系是命题
的热点，尤其是有
关弦长计算及存在
性问题，运算量
大，能力要求高，
突出方程思想、转
化、化归与分类讨
论思想方法的考
查.
【2020 新课标1 文11】设
是双曲线
的两个焦
点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的面积为(
)
【2019 新课标1 理10 文12】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点．若
，
，则C 的方程为( )
【2020 新课标3 理11】设双曲线
：
的
左、右焦点分别为
，
，离心率为
，
是
上一点，且
．若
的面积为
，则
( )
【2019 新课标3 文理15】设
，
为椭圆
的两个
焦点，
为
上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，则
的坐标为________.
圆锥曲线的
几何性质
【2020 新课标3 文14】设双曲线
：
的一
条渐近线为
，则
的离心率为_________．
【2020 新课标1 理15】已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若
AB 的斜率为3，则C 的离心率为_______．
【2019 新课标1 理16】已知双曲线C：
的
左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于
A，B 两点．若
，
，则C 的离心率为
________．
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2
【2016 新课标3 文12 理11】已知
为坐标原点，
是椭圆
：
的左焦点，
分别为
的左右顶点，
为
上一点，且
轴．过点
的直线与线段
交于点
，与
轴交于点
，若直线
经过
的中点，则
的离心率
为（ ）
直线与圆锥
曲线的综合
问题
【2013 新课标1 理10】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦
点为
，过点
的直线交椭圆于
两点，若
的中点坐
标为
，则椭圆
的方程为( )
【2020 新高考全国13】斜率为
的直线过抛物线
：
的
焦点，且与
交于
，
两点，则
=_______．
【2019 新课标1 理19】已知抛物线C：
的焦点为F，斜率
为
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．（1）若
，求l 的方程；（2）若
，求
．
【2020 新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆
：
过
点
，点
为其左顶点，且
的斜率为
，（1）求
的
方程；（2）点
为椭圆上任意一点，求
的面积的最大值．
(2020·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右
焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O 为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知
点C 满足3OC＝OF，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB
与以C 为圆心的圆相切于点P，且P 为线段AB 的中点，求直线AB
的方程.
核心考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d 为M 点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
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2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x 轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y 轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x 轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y 轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
1．【2020 新课标1 理4】已知
为抛物线
：
上一点，点
到
的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则
（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，即
，解得
．
故选C．
2.【2020 新课标1 文11】设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【解析】方法1：不妨设
，则
，因为
，所以点
在以
为直
径的圆上，即
是以P 为直角顶点的直角三角形，故
，
又
，所以
，
解得
，所以
，故选B．
方法2：点
的轨迹方程为
，联立
，解得
（得到点
的纵坐标），所以
，故选B．
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方法3：由二级结论焦点三角形
的面积为
，故选B．
3.【2019 新课标1 理10 文12】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点．
若
，
，则C 的方程为( )
A．
B．
C．
D．
【解法1】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设
，则
，由椭圆
的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
，又
互补，
，两
式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
【解法2】如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
中，由余弦定理推论得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选
B．
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【解法3】由
利用向量或相似三角形的性质得点
，代入椭圆方程得
，所以，
，故选B．
【解法4】由椭圆的极坐标方程得
得
，再利用余弦定理得出关于
的方程．
4．【2020 新课标2 理19】已知椭圆
：
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，
的
中心与
的顶点重合．过
且与
轴垂直的直线交
于
两点，交
于
两点，且
．
（1）求
的离心率；
（2）设
是
与
的公共点，若
，求
与
的标准方程．
【解析】（1）
，
轴且与椭圆
相交于
、
两点，则直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
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抛物线
的方程为
，联立
，解得
，
，
，即
，
，即
，即
，
，解得
，因此椭圆
的离心率为
；
（2）由（1）知
，
，椭圆
的方程为
，
联立
，消去
并整理得
，解得
或
（舍去），
由抛物线的定义可得
，解得
．
因此，曲线
的标准方程为
，曲线
的标准方程为
．
1．【2020 新课标3 文7 理5】设
为坐标原点，直线
与抛物线C：
交于
，
两点，
若
，则
的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
与抛物线
交于
两点，且
，根据抛物线的对称性可以确定
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，所以
，代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，故选
B．
2.【2020 新课标3 理11】设双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，
是
上一点，且
．若
的面积为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】方法1：
，
，根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
，即
，解得
，故选A．
方法2：
的面积为
，离心率
，所以
，故选A．
3．【2019 新课标3 文理15】设
，
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限.
若
为等腰三角形，则
的坐标为___________.
【解析】由已知可得
，
．∴
．
设点
的坐标为
，则
，
又
，解得
，
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，解得
（
舍去），
的坐标为
．
核心考点二 圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的重要性质：
(1)椭圆、双曲线中a，b，c 之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
1．【2020 新课标1 理15】已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C
上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为_______．
【解析】联立
，解得
，所以
．依题可得
，
，
即
，变形得
，因此
的离心率为
．故答案为
．
2．【2016 新课标3 文12 理11】已知
为坐标原点，
是椭圆
：
的左焦点，
分别为
的左右顶点，
为
上一点，且
轴．过点
的直线与线段
交于点
，与
轴交于点
，若直线
经过
的中点，则
的离心率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
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【解析】解法1：由题意设直线的方程为
，分别令
与
得
，
，由
，得
，即
，整理得
，所以椭圆离
心率为
，故选A。
解法2：设
，则直线
的方程为
，由题意可知
，
和
三点共线，则
，化简得
，则
的离心率
．故选A．
3.(多选题)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是( )
A.若a＝2b，则椭圆Ω 的离心率为
B.若椭圆Ω 的离心率为，则＝
C.若点F1，F2分别为椭圆Ω 的左、右焦点，直线l 过点F1且与椭圆Ω 交于A，B 两点，则△ABF2的周长为
4a
D.若点A1，A2分别为椭圆Ω 的左、右顶点，点P 为椭圆Ω 上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2
的斜率之积为－
【解析】若a＝2b，则c＝b，所以e＝，A 不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，B 正确；根据椭圆
的定义易知C 正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积
是·＝＝＝－，D 正确.故选BCD.
1．【2020 新课标3 文14】设双曲线
：
的一条渐近线为
，则
的离心率
为_________．
【解析】由双曲线方程
可得其焦点在
轴上，因为其一条渐近线为
，所以
，
．故答案为
．
2.【2019 新课标1 理16】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直
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线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，
，则C 的离心率为____________．
【解析】如图，由
得
又
得OA 是三角形
的中位线，即
由
，得
则
有
，
又OA 与OB 都是渐近线，得
又
，得
．又渐近线OB 的斜率为
，所以该双曲线的离心率为
．
3.(多选题)双曲线C：－＝1 的右焦点为F，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法
正确的是( )
A.双曲线C 的离心率为
B.双曲线－＝1 与双曲线C 的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO 的面积为
D.|PF|的最小值为2
【解析】对于A，因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以双曲线C 的离心率为，所以A 正确；对于B，它们的
渐近线都是直线y＝±x，所以B 正确；对于C，结合PO⊥PF，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，不妨设点
P 在渐近线y＝x 上，则直线PF 的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，由解得所以点P，所以△PFO 的
面积S＝××＝，所以C 正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C 的一条渐近线为直线y＝x，所以|PF|的最
小值就是点F 到渐近线的距离，为，所以D 错误.故选ABC.
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核心考点三 直线与圆锥曲线综合问题
1.直线与圆锥曲线相交的弦：
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)
时，|AB|＝|x1－x2|＝＝.
2.过抛物线焦点的弦：
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F 的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，
弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
1．【2020 新高考全国13】斜率为
的直线过抛物线
：
的焦点，且与
交于
，
两点，则
=_______．
【解析】
，代入抛物线方程得
，
，故答案为
．
2．【2019 新课标1 理19】已知抛物线C：
的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，与
x 轴的交点为P．（1）若
，求l 的方程；（2）若
，求
．
【解析】（1）设直线方程为：
，
，
由抛物线焦半径公式可知：
联立
，得
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12
则
，解得
直线的方程为：
，即
（2）设直线方程为：
，
联立
，得
，则
，
，
则
3．【2020 新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆
：
过点
，点
为其左顶点，且
的斜率为
，（1）求
的方程；（2）点
为椭圆上任意一点，求
的面积的最大值．
【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：
，即
．
当
时，解得
，所以
，
椭圆
过点
，可得
，解得
.
所以
的方程为：
.
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(2)设与直线
平行的直线方程为：
，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与
距离比较远的直线与椭圆的切点为
，此时
的面积取得
最大值.
联立直线方程
与椭圆方程
，
可得
，即
，
所以
，即
，解得
，
与AM 距离比较远的直线方程：
，
直线AM 方程为：
，
点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，即
，
由两点之间距离公式可得
.
所以△AMN 的面积的最大值为：
.
1．【2013 新课标1 理10】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆
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于
两点，若
的中点坐标为
，则椭圆
的方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】设
，则
，
=－2，
①
②
由①减②得：
，
∴
=
=
=
，又
=
=
，∴
=
，又9=
=
，解得
=9，
=18，∴椭圆方程为
，故选D．
2．【2010 新课标理20】设
分别是椭圆
的左、右焦点，过
斜率为1 的
直线与
相交于
两点，且
成等差数列，
（1）求
的离心率； （2） 设点
满足
，求椭圆
的方程．
【解析】（I）由椭圆定义知
，又
，得
的方程为
，其中
．
设
，
，则A、B 两点坐标满足方程组
化简的
则
因为直线AB 斜率为1，所以
得
故
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所以E 的离心率
（II）设AB 的中点为
，由（I）知
，
．
由
，得
，即
得
，从而
故椭圆E 的方程为
．
3.【2020 天津卷】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O
为原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C 满足3OC＝OF，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P，
且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.
【解析】(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.
由a2＝b2＋c2，得a2＝18.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.
依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，
设直线AB 的方程为y＝kx－3.联立
消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0 或x＝.
依题意，可得点B 的坐标为.
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，
所以点P 的坐标为.
由3OC＝OF，得点C 的坐标为(1，0)，
故直线CP 的斜率kCP＝＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以，直线AB 的方程为y＝x－3 或y＝x－3.
即直线AB 的方程为x－2y－6＝0 或x－y－3＝0.
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