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微考点6-6 圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用
【考点分析】
斜率和（积）构造与韦达定理
目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定
点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点
，在椭圆上的动点
，
那么：
①
，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直
接代入韦达定理求解.
②
,这里对交叉项
的处理可进一步代入直线
方程：
，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很
重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
③
.
可进一步代入直线方程：
，化简可得：
【精选例题】
【例1】已知椭圆
的离心率为
，点
在C 上．过C 的右焦点F 的直线交C
于M，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若动点P 满足
，求动点P 的轨迹方程．
【例2】已知点
在双曲线
上，直线（不过点
）的斜率为
，且交双曲线
于
、
两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)求证：直线
、
的斜率之和为定值.
【例3】已知
为坐标原点，椭圆
的离心率为
，椭圆的上顶点到右顶点的距离为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为
、
，过点
作直线与椭圆交于
、
两点，且
、
位于第一象
限，
在线段
上，直线
与直线
相交于点
，连接
、
，直线
、
的斜率分别记为
、
，求
的值．
【例4】已知椭圆
的离心率是
，且过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 的左、右顶点分别为
，
，且P，Q 为椭圆C 上异于
，
的点，若直线
过点
，是
否存在实数
，使得
恒成立．若存在，求实数
的值；若不存在，说明理由．
【例5】已知椭圆
：
的右焦点
在直线
上，
分别为
的左、右顶
点，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)已知
，是否存在过点
的直线交
于
，
两点，使得直线
，
的斜率之和等
于-1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
【例6】双曲线C：
的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交双曲
线C 于B，D 两点，且
是直角三角形．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)M，N 是C 右支上的两动点，设直线AM，AN 的斜率为k1，k2，若
，试问：直线MN 是否经过
定点？证明你的结论．
【跟踪训练】
1.已知椭圆
的左右顶点分别为
，上顶点为
为椭圆
上异于四个顶点的任意一点，直
线
交
于点
，直线
交
轴于点
.
(1)求
面积的最大值；
(2)记直线
的斜率分别为
，求证：
为定值.
2.已知点
为双曲线
上一点，
的左焦点
到一条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)不过点
的直线
与双曲线
交于
两点，若直线PA，PB 的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
3.已知椭圆
：
，
，点
在椭圆
上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过点
且不与
轴垂直的直线与椭圆
交于
，
两点，
，证明
，
斜率之积
为定值．
4.在平面直角坐标系中，已知两定点
，
，M 是平面内一动点，自M 作MN 垂直于AB，垂足
N 介于A 和B 之间，且
．
(1)求动点M 的轨迹
；
(2)设过
的直线交曲线
于C，D 两点，Q 为平面上一动点，直线QC，QD，QP 的斜率分别为
，
，
，且满足
．问：动点Q 是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明
理由．
5.设椭圆
的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为
．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
6.设抛物线
的焦点为F，过F 且斜率为1 的直线l 与E 交于A，B 两点，且
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设
为E 上一点，E 在P 处的切线与x 轴交于Q，过Q 的直线与E 交于M，N 两点，直线PM 和PN
的斜率分别为
和
．求证：
为定值．
7.已知椭圆
经过点
，离心率为
．过点
的直线l 与椭圆E 交于不同的
两点M，N．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为
和
，求
的值．
1．已知
为坐标原点，过点
的动直线与抛物线
相交于
两点．
(1)求
；
(2)在平面直角坐标系
中，是否存在不同于点
的定点
，使得
恒成立？若存在，求出
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2．设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为1 的直线与
交于
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知过点
的直线与
交于不重合的两点
，且
，直线
和
的斜率分别为
和
.求证：
为定值.
3．已知双曲线
的左､右顶点分别为
，点
在
上，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线
与
交于
两点，记直线
的斜率分别为
，若
，求
的值.
4．已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆
的左、右顶点，
、
分别为椭
圆
的左、右焦点，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设与
轴不垂直的直线交椭圆
于
、
两点（
、
在
轴的两侧），记直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
．
（i）求
的值；
（ii）若
，求
面积的取值范围．
5．已知曲线C 上的任意一点到直线
的距离是它到点
的距离的
倍.
(1)求曲线C 的方程;
(2)设
，
，过点
的直线l 在y 轴的右侧与曲线C 相交于A，B 两点，记直线AM，BN 的
斜率分别为
，
，求直线l 的斜率k 的取值范围以及
的值.
6．已知椭圆
的离心率
，短轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为
的动直线与椭圆
交于
、
两点，点
是直线
上一定点，设直线
、
的斜率分别为
、
，若
为定值，求点
的坐标.
7．在平面直角坐标系内，已知
两点关于原点对称，且
的坐标为
. 曲线
上的动点
满足当直
线
的斜率
都存在时，
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知直线过点
且与曲线
交于
两点，问是否存在定点
，使得直线
关于
轴对称？
若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.
8．在平面直角坐标系
中，
是直角三角形，
，
，点
，
分别在
轴和
轴
上运动，点
关于
的对称点为
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若过点
的直线与点
的轨迹交于
，
两点，
，求直线
，
的斜率之和.
