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微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似
为定值的情形，通过直线代换可得：
，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为
“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：
kPA
kPB
=
y1−t
x1
y2−t
x2
= x2 y1−tx 2
x1 y2−tx 1
=kx 1 x2+(m−t )x2
kx 1 x2+(m−t )x1
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到
和
之间的关
系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整
理成对称型.
具体办法：
①联立方程后得到韦达定理：{x1+x2=f (t )¿ ¿¿¿代入之后进行代换消元解题.
②利用点在椭圆方程上代换
题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题
【精选例题】
【例1】已知双曲线
的左顶点为A，右焦点为F，P 是直线
上一点，且P 不在x
轴上，以点P 为圆心，线段PF 的长为半径的圆弧AF 交C 的右支于点N．
(1)证明：
；
(2)取
，若直线PF 与C 的左、右两支分别交于E，D 两点，过E 作l 的垂
线，垂足为R，试判断直线DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）过N 作l 的垂线，垂足为H，且与圆弧AF 交于点M，则
，结合圆的知识可得
，
，设点
，则
，由
，可得
，即得
（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得
，进而求解；（2）设直线PF 的方程为
，由题意可得
，联立方程组，结合韦达定理可得
，
，由题知，直线DR 的方程为
，令
，化简即可求解.
【详解】（1）证明：过N 作l 的垂线，垂足为H，且与圆弧AF 交于点M，则
，
连接AM，PM，NF．因为在圆P 中，
，所以
．
由题易知右焦点
，设点
，则
，整理得
．
因为
，
所以
，所以
．
【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线
为双曲线
的准线，根据双曲线的第二定义，可知
，即
，即得
．】
在圆P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得
，
所以
．
（2）由题知双曲线
，渐近线为：
，右焦点为
，
直线PF 的斜率不为0，设直线PF 的方程为
因为直线PF 与C 的左，右两支分别交于E，D 两点，则
．
设
，
联立方程组
，得
，
则
．
由题知，直线
的方程为
，
令
，得
，
所以直线DR 过定点
.
【跟踪训练】
1.已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点
，
，
，
为椭圆
上关于
轴对称的两点（不与点B 重合），
，直线
与椭圆
交于另一点
，直线
垂直于直线
，
为垂足．
(1)求
的方程；
(2)证明：（i）直线
过定点，（ii）存在定点
，使
为定值．
【答案】(1)
；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）设方程为
，代入
点的坐标，得出方程组，求解即得.
（2）（i）设
的方程为
，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出
的
方程为
，令
，整理可得
，即可得出定点；（ii）由已知可得
，即
可得出
的轨迹，得出答案.
【详解】（1）设
的方程为
，则
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）（i）依题意，直线
的斜率存在且不为0，设
的方程为
，
设点
，
，则
，
由
消去
并整理得
，则
，
，
，显然
，
直线
的斜率
，直线
的方程为
，
令
，则
，
所以直线
恒过定点
.
（ii）令直线
过的定点
为点
，由
，
在
上，得
，
则点
在以
为直径的圆上，从而
的中点
为定点，使
为定值
.
【点睛】思路点睛：设
的方程为
，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.
进而整理化简，即可得出定点坐标.
2.椭圆C:
的一个焦点为
，且过点
．
(1)求椭圆C 的标准方程和离心率；
(2)若过点
且斜率不为0 的直线与椭圆C 交于M，N 两点，点P 在直线
上，且NP 与x 轴平行，
求直线MP 恒过的定点．
【答案】(1)标准方程为C：
，离心率为
；(2)
【分析】（1）法一：由题意可得
，解方程即可求出
，可求出椭圆C 的标准方程和离心
率；法二：由椭圆的定义求出
，再结合
求出
，可求出椭圆C 的标准方程和离心率；
（2）设方程为
，
，
，联立直线MN 方程和椭圆的方程可得
，
表示出直线MP 方程，对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上，令
，将
代入化简
即可得出答案.
【详解】（1）法一：由题意
，可得
，
则椭圆C 的标准方程为C：
，离心率为
；
法二：设椭圆的左焦点为
，
则由椭圆的定义知
，
所以
，又
，得
，则椭圆C 的标准方程为C：
，
离心率为
；
（2）因为直线MN 过点
且斜率不为0，
所以设直线MN 方程为
，
，
，则
，
联立
，消去x 得，
，
所以
，所以
，
直线MP 方程为
，由对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上，
所以令
，得
，且
，
所以
，
可得
，直线MP 恒过的定点
．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程或截距式
来证明.
题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题
【精选例题】
【例1】椭圆
的长轴长为4，且椭圆C 过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知A、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0 的直线交椭圆C 于点M、N，直线
与
直线
交于点P，记
、
、
的斜率分别为
、
、
，问
是否是定值，如果是，求出该
定值，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)
是定值2，理由见解析
【分析】（1）先求出
，将
代入求出
，得到椭圆方程；
（2）设直线
：
，联立椭圆方程，设
，得到两根之和，两根之积，表达出
，
，
，计算出
，将两根之积代入，化简得到
，再代入两根之和，得到
是定值2.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
将
代入椭圆方程
中得，
，解得
，
故椭圆方程为
（2）因为
，
，所以
，
，
，
设直线
：
，
联立
与
可得，
，
恒成立，
设
，则
，
直线
：
，令
得
，故
，
，
，
，
则
.
为定值2.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【例2】已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为
，点P
为椭圆上一
点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1 的直线l 与椭圆交于M，N 两点，记直线AM 的斜率为k1，直线BN
的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l 斜率的值．
【答案】（1）
＋
＝1；（2）
.
【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P
在椭圆上求出椭圆的标准方程;
(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1, 设M(x1，y1)，N(x2，y2), 联立方程
组消去y,再将k1＝2k2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.
【详解】(1)因为椭圆的离心率为
，所以a＝2c.
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝
c.
所以椭圆的标准方程为
＋
＝1.
又因为点P
为椭圆上一点，所以
＋
＝1，解得c＝1.
所以椭圆的标准方程为
＋
＝1.
(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组
消去y 可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－
，x1x2＝－
.
因为k1＝
，k2＝
，且k1＝2k2，所以
＝
.
即
＝
. ①
又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以
＝
(4－
)，
＝
(4－
)． ②
将②代入①可得：
＝
，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3
＋10
＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝
或k＝
，又因为k>1，所以k＝
.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题
的能力,属于中档题.
【跟踪训练】
1.已知点F 为椭圆
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N
两点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为
证明
为定值．
解析：方法1.先联
，消x 得
，易知△>0，则
．
，代入目标信息得，
稍作整理，即可得
，为定值，得证．
2．已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线
上.过
的左焦点F 作直线
交
的左支于A、B 两点.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由.
(3)点
，直线
交直线
于点
.设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值.
【答案】(1)
；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求
，进而可得双曲线方程；
（2）设
，
，
，联立方程，利用韦达定理可得
，结合圆的性质分
析判断；
（3）用
两点坐标表示出直线
，得点
坐标，表示出
，结合韦达定理，证明
为定值.
【详解】（1）由题意，双曲线
的离心率为
，且
在双曲线
上，
可得
，解得
，
，所以双曲线的方程为
.
（2）双曲线
的左焦点为
，
当直线的斜率为0 时，此时直线为
，与双曲线
左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0 时，设
，
联立方程组
，消
得
，易得
，
由于过点
作直线交
的左支于
两点，
设
，
，则
，
，
可得
，
因为
，
，
则
，
即
，可得
与
不相互垂直，
所以不存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上.
（3）由直线
，得
，
所以
，又
，
所以
，
因为
，所以
，且
，
所以
，即
为定值.
【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次
方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，
务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方
程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题
【精选例题】
【例1】已知
为
的两个顶点，
为
的重心，边
上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点
的轨迹
的方程.
(2)已知点
，直线
与曲线
的另一个公共点为
，直线
与
交于点
，
试问：当点
变化时，点
是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，证明见解析
【分析】（1）依题意
，根据椭圆的定义可知
的轨迹
是以
、
为焦点的椭圆（不包括长
轴的端点），从而求出椭圆方程；
（2）设直线
的方程为：
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，
即可得到
，再求出直线
、
的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直
线方程.
（1）
解：因为
为
的重心，且边
上的两条中线长度之和为6，
所以
，
故由椭圆的定义可知
的轨迹
是以
为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且
，所以
，
所以
的轨迹
的方程为
；
（2）
解：设直线
的方程为：
，
，
，
联立方程
得：
，
则
，
，
所以
，
又直线
的方程为：
，
又直线
的方程为：
，
联立方程
，解得
，
把
代入上式得：
，
所以当点
运动时，点
恒在定直线
上
【例2】已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得
的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线
与
的方程，联立直线方程，
消去
，结合韦达定理计算可得
，即交点的横坐标为定值，据此可证得点
在定直线
上.
【详解】（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
则由
可得
，
，
双曲线方程为
.
（2）由(1)可得
，设
，
显然直线的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，且
，
与
联立可得
，且
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
，
由
可得
，即
，
据此可得点
在定直线
上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
【跟踪训练】
1.已知圆
，圆
，动圆
与圆
和圆
均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与轨迹
交于
两点，记直线
与直线
的交点为
．
试问：点
是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)点
恒在定直线
上
【分析】（1）设动圆的圆心为
，利用两圆外切和内切的关系得到
，由椭圆
的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；
（2）设直线的方程为
，直曲联立，结合韦达定理得到
，求出直线
与直线
的方程，进而得到点
满足的关系式，整理化简可得点
恒在定直线
上．
【详解】（1）设点
的坐标为
，圆
的半径为
．
由已知条件，得
．
①当动圆
与圆
外切，与圆
内切时，
，
从而
．
②当动圆
与圆
内切，与圆
外切时，
，
从而
．
综上可知，圆心
的轨迹
是以
为焦点，6 为长轴长的椭圆．
易得圆
与圆
交于点
与
，
所以动圆圆心
的轨迹
的方程为
．
（2）设直线的方程为
，
．
联立直线与轨迹
的方程，得
消去
并整理，得
．
所以
，
，
则有
．
由已知条件，得直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
则点
的坐标
满足
．
又
，
所以
．
把
代入上式，得
．
故点
恒在定直线
上．
2.已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，
到直线
的距离为
，
且
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，椭圆
的左、右顶点分别为
，
，证明：
直线
与
的交点在定直线上.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出直线
的方程，利用点到直线的距离公式得到
，再由
，即
可求出
、
，从而求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，设
，
，消元，列出韦达定理，即可得到直线
、
的方
程，设直线
与
的交点坐标为
，求出
，即可得解.
【详解】（1）依题意可得直线
的方程为
，即
，
则
到直线
的距离为
.
又
，
，故
，
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由（1）得
，所以直线的方程为
，
由
可得
，
设
，
，显然
，
所以
，
，故
.
由（1）可得
，
，则直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
设直线
与
的交点坐标为
，则
，
故
，
解得
，故直线
与
的交点在直线
上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3.已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭
圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
【答案】(1)椭圆方程为
，离心率为
；(2)
点在定直线
上．
【分析】（1）由长轴长求得
得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；
（2）设动直线方程为
，设
，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得
，
写出直线
方程，联立求得
点横坐标
，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得
，即为
定直线方程．
【详解】（1）由题意
，
，所以椭圆方程为
，
，
，则
，离心率为
；
（2）由题意设动直线方程为
，设
，
，
由
得
，
显然
，
直线
方程为
，直线
方程为
，
联立方程组
，得
又
，代入得
，
由
，
得
，即
，
所以
，
所以
点在定直线
上．
【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为
，设出动直线方程代入椭圆方
程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线
方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对
称性确定定直线与
轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与
轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般
情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）．
1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为
，
，点M 在椭圆E 上，
，
的
周长为
，面积为
．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线l 与椭圆E 交于C，D 两点（不同于左右顶点），
记直线AC 的斜率为
，直线BD 的斜率为
，问是否存在实常数
，使得
，恒成立？若成立，求
出
的值，若不成立，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在实数
【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出
,即可写出椭圆方程；
（2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算
化简求解即可.
【详解】（1）依题意，得
，即
，
解得
，所以椭圆E 的方程为
．
（2）
依题意，可设直线l 的方程为
，
联立方程
，化简整理，得
，
易得
恒成立，
设
，
，由韦达定理，
得
，可得
，
于是
，
故存在实数
，使得
恒成立．
2．椭圆
的左、右顶点分别为A，B，过左焦点
的直线与椭圆交于C，D 两点
（其中C 点位于x 轴上方），当CD 垂直于x 轴时，
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD 的斜率分别为
，问；
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为3．
【分析】（1）根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将
表示出化简即可.
【详解】（1）因为椭圆
的左焦点为
，
所以
，将
代入
，得
，
故
，所以
解得
，所以
，
所以椭圆方程为
.
（2）
因为直线CD 过点
， 且点C 位于x 轴上方，
所以直线CD 斜率不为0，设直线CD 的方程为
，
联立
消去x 得，
方程
的判别式
，
设
，由已知
，
于是
，
所以
，
又椭圆
的左顶点A 的坐标为
，右顶点B 的坐标为（2，0），
所以
，
因为
，
所以
，
所以
所以
定值，定值为3．
3．已知圆
，圆
，动圆
与圆
和圆
均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与轨迹
交于
两点，记直线
与直线
的交点为
．
试问：点
是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点
恒在定直线
上
【分析】（1）设动圆的圆心为
，利用两圆外切和内切的关系得到
，由椭圆
的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；
（2）设直线的方程为
，直曲联立，结合韦达定理得到
，求出直线
与直线
的方程，进而得到点
满足的关系式，整理化简可得点
恒在定直线
上．
【详解】（1）设点
的坐标为
，圆
的半径为
．
由已知条件，得
．
①当动圆
与圆
外切，与圆
内切时，
，
从而
．
②当动圆
与圆
内切，与圆
外切时，
，
从而
．
综上可知，圆心
的轨迹
是以
为焦点，6 为长轴长的椭圆．
易得圆
与圆
交于点
与
，
所以动圆圆心
的轨迹
的方程为
．
（2）设直线的方程为
，
．
联立直线与轨迹
的方程，得
消去
并整理，得
．
所以
，
，
则有
．
由已知条件，得直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
则点
的坐标
满足
．
又
，
所以
．
把
代入上式，得
．
故点
恒在定直线
上．
4．已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与
椭圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
【答案】(1)椭圆方程为
，离心率为
；
(2)
点在定直线
上．
【分析】（1）由长轴长求得
得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；
（2）设动直线方程为
，设
，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得
，
写出直线
方程，联立求得
点横坐标
，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得
，即为
定直线方程．
【详解】（1）由题意
，
，所以椭圆方程为
，
，
，则
，离心率为
；
（2）由题意设动直线方程为
，设
，
，
由
得
，
显然
，
直线
方程为
，直线
方程为
，
联立方程组
，得
又
，代入得
，
由
，
得
，即
，
所以
，
所以
点在定直线
上．
【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为
，设出动直线方程代入椭圆方
程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线
方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对
称性确定定直线与
轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与
轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般
情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）．
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，O 为坐标原点，点
在椭圆C 上，
且
，直线过点
且与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知
，
，若直线
，
交于点D，探究：点D 是否在某定直线上？若是，求出
该直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D 在直线
上．
【分析】（1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；
（2）由题意先确定M、N 位置，设直线与
、
坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出
、
纵
坐标关系式，再利用点
、
坐标表示直线
、
，法一、求出D 点横坐标化简计算即可；法二、直
接利用直线
、
方程作比计算
为定值，计算即可.
【详解】（1）设
，
，
，
则
，
则
，解得
（
舍去），
则
，①
代入点
得
，②
联立①②，解得
，
，
故椭圆C 的标准方程为
；
（2）
依题意，
，
，
设直线
，联立
，
整理得
，
；
设
，
，
则
，
，
所以
.
可设直线
，直线
，
法一：联立
得
，
故点D 在直线
上．
法二：故
，
解得
，
故点D 在直线
上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．已知椭圆
：
，
为椭圆
的右焦点，三点
，
，
中恰有两点在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设点
为椭圆
的左右端点，过点
作直线交椭圆
于
，
两点（不同于
），求证：直
线
与直线
的交点
在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对称性得到点
，
在椭圆
上，结合焦点坐标，得到方程组，求出
，
，求出椭圆方程；
（2）设直线
的方程为
，联立椭圆方程，设
，
，
，得到两根之和，
两根之积，由
和
共线得到方程组，联立后得到
，求出
，得到交点
在定直
线上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为
为椭圆
的右焦点，所以
①,
由对称性得，点
，
在椭圆
上，代入得
②,
联立①②解得，
，
，
所以椭圆
的标准方程为：
.
（2）由条件知直线
与直线
不重合，故直线
的斜率不为0，
设直线
的方程为
，
联立
，可得
，
设
，
，
，
则
，
，
，
由（1）可得
，
，
由
共线得：
③，
由
共线得：
④，
由③÷④消去
并整理得，
，
即
，所以
，
综上所述，直线
与直线
的交点
在定直线
上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
7．已知
是椭圆
的左焦点，
为坐标原点，
为椭圆上任意一点，椭圆的离心率
为
，
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
，
为椭圆的左，右顶点，点
，当
不与
，
重合时，射线
交椭圆
于点
，直线
，
交于点
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，列出关于
的方程，即可求解；（2）首先设直线
的方程为
，
与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线
的方程，并且联立方程求点
的轨
迹方程，再利用两直线的倾斜角表示
,利用斜率表示
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
，解得
，
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）由题知
不与
轴重合，设直线
的方程为
，
联立方程组
，消
整理得
，
，
设
、
，则
，
.
因为
的方程为
，
的方程为
两直线方程联立得：
因为
.所以
，解得
.
所以动点
的轨迹方程为
由椭圆的对称性不妨设
，直线
、
的倾斜角为
，
，
由图可知
，且
，因为
，则
，
因为
，
，
所以
当且仅当
时等号成立，此时
，
，所以
的最大值为
.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立
两直线方程可化简求得点
的轨迹，再利用倾斜角表示
.
8．已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，
，
分别为椭圆
的左、右
顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为的直线，直线与椭圆
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，直线
与直线
交于点
，求证：点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出
，即可得出椭圆
的方程；
（2）设
，
，直线的方程为
，与椭圆方程联立得到
，代入
的表达
式，即可得出
为定值；
（3）根据（1）中的结论，设
，则
，求出直线AP、BQ 的方程，联立即可求出点M 的坐标，
从而可知其在定直线上．
【详解】（1）依题可得
，解得
，所以
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）设
，
，因为直线过点
且斜率不为，
所以可设的方程为
，代入椭圆方程
得
，
其判别式
，所以
，
.
两式相除得
，即
．
因为
分别为椭圆
的左、右顶点，所以点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，
．
从而
．
（3）由（1）知
，设
，则
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
可得
，
所以直线
与直线
的交点
的坐标为
，
所以点
在定直线
上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
