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让更多的孩子得到更好的教育
垂径定理—知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1．理解圆的对称性；
2．掌握垂径定理及其推论；
3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五
个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不
能是直径）
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1. 如图，⊙O 的两条弦AB、CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径
是 ．
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【答案】.
【解析】作OM⊥AB 于M、ON⊥CD 于N，连结OA，
∵AB=CD，CE=1，ED=3，
∴OM=EN=1，AM=2，
∴OA=
2
2
2 +1 = 5 .
【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O 两弦AB、CD 垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O 半径．
【答案】如图所示，过点O 分别作OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，则四边形MONH 为矩形，连结OB，
∴
1
2
MO
HN
CN
CH
CD
CH
1
1
(
)
(3
8)
3
2.5
2
2
CH
DH
CH
，
1
1
1
(
)
(4
6)
5
2
2
2
BM
AB
BH
AH
，
∴ 在Rt△BOM 中，
2
2
5
5
2
OB
BM
OM
．
【高清ID 号： 356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
【变式2】
（2015 春•安岳县月考）如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦
CD 长．
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【答案与解析】解：过O 作OF⊥CD，交CD 于点F，连接OD，
F
∴为CD 的中点，即CF=DF，
AE=2
∵
，EB=6，
AB=AE+EB=2+6=8
∴
，
OA=4
∴
，
OE=OA
AE=4
2=2
∴
﹣
﹣
，
在Rt
OEF
△
中，∠DEB=30°，
OF=
∴
OE=1，
在Rt
ODF
△
中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF=
=
，
则CD=2DF=2
．
【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
2. 已知：⊙O 的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD 间的距离.
【思路点拨】
在⊙O 中，两平行弦AB、CD 间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD 的弦心距，则
可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD 间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O 的圆心O 位于AB、CD 之间时，作OM⊥AB 于点M，
并延长MO，交CD 于N 点.分别连结AO、CO.
∵AB∥CD
∴ON⊥CD，即ON 为弦CD 的弦心距.
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
=8+6
=14(cm)
图
1
图2
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(2)如图2 所示，当⊙O 的圆心O 不在两平行弦AB、CD 之间(即弦AB、CD 在圆心O 的同侧)时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
∴⊙O 中，平行弦AB、CD 间的距离是14cm 或2cm.
【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O 中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2 或8．
类型二、垂径定理的综合应用
3. （2016•乐山模拟）李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数
据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，
BD=320cm，且AB，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最
高点离地面的高度是多少？
【思路点拨】如图，连接AC，作AC 的中垂线交AC 于G，交BD 于N，交圆的另一点为M．则MN 为直径．
取MN 的中点O，则O 为圆心，连接OA、OC．运用垂径定理和勾股定理即可求解．
【答案与解析】
解：如图，连接AC，作AC 的中垂线交AC 于G，交BD 于N，交圆的另一点为M．则MN 为直径．取MN 的
中点O，则O 为圆心，连接OA、OC．
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD
∵AB=CD
∴ABCD 为矩形
∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm
∴AG=GC=160cm，
设⊙O 的半径为R，得R2=（R
40
﹣
）2+1602，解得R=340cm，
340×2=680（cm）．
答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练勾股定理的表达式及垂径定理的内容，注意
构造直角三角形．
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4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于E，BF⊥l 于F．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB 除外)(不再标注
其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB、CD 延长线交于⊙O 外一点；
在图②中AB、CD 交于⊙O 内一点；
在图③中AB∥CD．
(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．
(3)证明：过O 作OG⊥l 于G．由垂径定理知CG＝GD．
∵ AE⊥l 于E，BF⊥l 于F，
∴ AE∥OG∥BF．
∵ AB 为直径，
∴ AO＝OB，
∴ EG＝GF，
∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
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