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平行线的性质及平移（提高）知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系
和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不
可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行
线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的
长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，
即平行线间的距离处处相等．
要点三、图形的平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．
要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角
的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点诠释：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的
对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、
移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1.如图，已知AB∥CD，AP 平分∠BAC，CP 平分∠ACD，求∠APC 的度数.
【答案与解析】
解：作PM∥AB，交AC 于点M，如图：
∵AB∥CD
∴∠CAB+∠ACD=180°
∵PA 平分∠CAB，PC 平分∠ACD
∴∠1+∠4=90°
∵AB∥PM∥CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠2+∠3=90°
∴∠APC=90°
【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的
过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．
举一反三：
【变式】（2016•重庆模拟）如图，已知AB GH
⊥
，CD GH
⊥
，直线CD，EF，GH 相交于一点O，若
∠1=42°，则∠2 等于（ ）
A．130° B．138°
C．140° D．142°
【答案】B
解：如图：
AB GH
⊥
∵
，CD GH
⊥
，
GMB= GOD=90°
∴∠
∠
，
AB CD
∴
∥
，
BPF= 1=42°
∴∠
∠
，
2=180°
BPF=180°
42°=138°
∴∠
∠
﹣
﹣
，
故选B．
类型二、两平行线间的距离
2.下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的
平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是
拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得
出平行四边形面积的大小.
【答案】图3，图2
【解析】
解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）
÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3 平行四边形的面积最大，图2 三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一
半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
举一反三：
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1 厘米，则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
类型三、图形的平移
3.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?
【答案与解析】
解：图①DE 和AC 平行，但不相等，DE 和BC 相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎
样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR 沿射线
PM 方向移动PM 长即可得到三角形MNO．
所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．
【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是
平移变换．
举一反三：
【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 (填写序号)．
（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；
（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．
【答案】（2）（6）．
解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；
（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；
（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；
（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；
（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；
（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．
∴可以看成平移的是（2）（6）．
4. （2015 春•天津期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长
为100 米，则荷塘周长为
．
【思路点拨】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案．
【答案】200m．
【解析】
解：∵荷塘中小桥的总长为100 米，
∴荷塘周长为：2×100=200（m）
故答案为：200m．
【总结升华】此题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的
和是解题关键．
举一反三：
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作
为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
类型四、平行的性质与判定综合应用
5. (湖南模拟)如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，下面给出三个论
断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏
中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述
出来．
已知：如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，________，________，试说明
________．
【答案与解析】
解：三个论断分别可以组成①②
③；①③
②；②③
①三种不同情形的命题，选择其
中任何一个即可．
以①②
③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试
说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判
断其是否正确．
【高清课堂：平行线的性质及命题403103 平行线的性质练习1】
举一反三：
【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .
【答案】115°
6.如图，AB∥CD，点M，N 分别为AB，CD 上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB 平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N 与
∠MP1 P2+∠P2ND 的关系，并证明你的结论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB 平行，
直接写出你得到的结论.
【答案与解析】
解：（1）75°；
（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND
证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.
又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.
∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.
（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.
【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.
举一反三：
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A 是120°，第二
次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
则∠C 是( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
