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微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似
为定值的情形，通过直线代换可得：
，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为
“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：
kPA
kPB
=
y1−t
x1
y2−t
x2
= x2 y1−tx 2
x1 y2−tx 1
=kx 1 x2+(m−t )x2
kx 1 x2+(m−t )x1
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到
和
之间的关
系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整
理成对称型.
具体办法：
①联立方程后得到韦达定理：{x1+x2=f (t )¿ ¿¿¿代入之后进行代换消元解题.
②利用点在椭圆方程上代换
题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题
【精选例题】
【例1】已知双曲线
的左顶点为A，右焦点为F，P 是直线
上一点，且P 不在x
轴上，以点P 为圆心，线段PF 的长为半径的圆弧AF 交C 的右支于点N．
(1)证明：
；
(2)取
，若直线PF 与C 的左、右两支分别交于E，D 两点，过E 作l 的垂
线，垂足为R，试判断直线DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【跟踪训练】
1.已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点
，
，
，
为椭圆
上关于
轴对称的两点（不与点B 重合），
，直线
与椭圆
交于另一点
，直线
垂直于直线
，
为垂足．
(1)求
的方程；
(2)证明：（i）直线
过定点，（ii）存在定点
，使
为定值．
2.椭圆C:
的一个焦点为
，且过点
．
(1)求椭圆C 的标准方程和离心率；
(2)若过点
且斜率不为0 的直线与椭圆C 交于M，N 两点，点P 在直线
上，且NP 与x 轴平行，
求直线MP 恒过的定点．
题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题
【精选例题】
【例1】椭圆
的长轴长为4，且椭圆C 过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知A、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0 的直线交椭圆C 于点M、N，直线
与
直线
交于点P，记
、
、
的斜率分别为
、
、
，问
是否是定值，如果是，求出该
定值，如果不是，请说明理由.
【例2】已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为
，点P
为椭圆上一
点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1 的直线l 与椭圆交于M，N 两点，记直线AM 的斜率为k1，直线BN
的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l 斜率的值．
【跟踪训练】
1.已知点F 为椭圆
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N
两点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为
证明
为定值．
2．已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线
上.过
的左焦点F 作直线
交
的左支于A、B 两点.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由.
(3)点
，直线
交直线
于点
.设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值.
题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题
【精选例题】
【例1】已知
为
的两个顶点，
为
的重心，边
上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点
的轨迹
的方程.
(2)已知点
，直线
与曲线
的另一个公共点为
，直线
与
交于点
，
试问：当点
变化时，点
是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【例2】已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【跟踪训练】
1.已知圆
，圆
，动圆
与圆
和圆
均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与轨迹
交于
两点，记直线
与直线
的交点为
．
试问：点
是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
2.已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，
到直线
的距离为
，
且
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，椭圆
的左、右顶点分别为
，
，证明：
直线
与
的交点在定直线上.
3.已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭
圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为
，
，点M 在椭圆E 上，
，
的
周长为
，面积为
．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线l 与椭圆E 交于C，D 两点（不同于左右顶点），
记直线AC 的斜率为
，直线BD 的斜率为
，问是否存在实常数
，使得
，恒成立？若成立，求
出
的值，若不成立，说明理由．
2．椭圆
的左、右顶点分别为A，B，过左焦点
的直线与椭圆交于C，D 两点
（其中C 点位于x 轴上方），当CD 垂直于x 轴时，
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD 的斜率分别为
，问；
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3．已知圆
，圆
，动圆
与圆
和圆
均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与轨迹
交于
两点，记直线
与直线
的交点为
．
试问：点
是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
4．已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与
椭圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，O 为坐标原点，点
在椭圆C 上，
且
，直线过点
且与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知
，
，若直线
，
交于点D，探究：点D 是否在某定直线上？若是，求出
该直线的方程；若不是，请说明理由．
6．已知椭圆
：
，
为椭圆
的右焦点，三点
，
，
中恰有两点在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设点
为椭圆
的左右端点，过点
作直线交椭圆
于
，
两点（不同于
），求证：直
线
与直线
的交点
在定直线上运动，并求出该直线的方程.
7．已知
是椭圆
的左焦点，
为坐标原点，
为椭圆上任意一点，椭圆的离心率
为
，
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
，
为椭圆的左，右顶点，点
，当
不与
，
重合时，射线
交椭圆
于点
，直线
，
交于点
，求
的最大值.
8．已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，
，
分别为椭圆
的左、右
顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为的直线，直线与椭圆
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，直线
与直线
交于点
，求证：点
在定直线上.
