专题五 解析几何
第1 讲 直线与圆
一、考点透析
考点1 直线方程
1.(多选题)(苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正
确的是( )
A．不论a 为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a 变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a 为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0 对称
D．如果l1与l2交于点M，O 为坐标原点，则|MO|的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，a×1＋(－1)×a＝0 恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A 正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a 变化时，x＝0，y＝1 恒成立，
所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a 变化时，x＝－1，y＝0 恒成立，
所以l2恒过定点B(－1，0)，故B 正确；
对于C，在l1上任取点，其关于直线x＋y＝0 对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1
＝0，则
左边不恒等于0，故C 不正确；
对于D，联立解得即M，所以|MO|＝＝≤，所以|MO|的最大值是，故D 正确．
2.(2025·四川省绵阳市·模拟)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1:2 x + y −8=0和
l2: x−3 y +10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ．
【答案】x + 4 y −4 =0
【解析】解：设l1与l的交点为A(a,8−2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(−a,2a−6)在l2上，
代入l2的方程得−a−3(2a−6)+10=0，解得a= 4，
即点A(4,0)在直线l上，
又点P(0,1)在直线l上，
所以直线l的方程为x
4 + y =1，
即x + 4 y −4 =0．
故答案为x + 4 y −4 =0．
考点2 圆的方程
1.(2025·海南省·模拟)已知圆C与直线l1: x−y +1=0和l2: x−y +5=0都相切，且圆心在y
轴上，则圆C的方程为( )
A. x
2+( y +3)
2=8
B. x
2+( y +3)
2=2
C. x
2+( y −3)
2=8
D. x
2+( y −3)
2=2
【答案】D
【解析】解：设所求圆的方程为x
2+( y −b)
2=r
2(r >0)，
圆心C(0,b)到直线l1: x−y +1=0的距离d1为：
d1=|0−b+1|
√1
2+(−1)
2 =|1−b|
√2
；
圆心C(0,b)到直线l2: x−y +5=0的距离d2为：
d2=|0−b+5|
√1
2+(−1)
2 =|5−b|
√2
；
由于圆C与直线l1: x−y +1=0和l2: x−y +5=0都相切，所以圆心到这两条直线的距离相
等，则|1−b|
√2
=|5−b|
√2
=r，解得b=3,r =
√2，
所以圆的方程为x
2+( y −3)
2=2．
故选：D．
2.(2025·陕西省西安市·模拟)已知点A(−1,1)，⊙M的方程为( x −1)
2+( y +1)
2=10，P
Q为⊙M上的动点，满足∠PAQ =90°，则PQ中点的轨迹方程为 ．
【答案】x
2+ y
2=3
【解析】解：由题意设线段PQ的中点为B( x , y)，∠PAQ =90
°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有|BP|=|BQ|=|BA |，
连
接
MB，
则
MB⊥PQ，
故
|BM |
2+|BQ|
2=| MQ|
2，
所
以
|BM |
2+|BA |
2=| MQ|
2，
又因为A(−1,1), M (1,−1),| MQ|=
√10，
所以( x−1)
2+( y +1)
2+( x +1)
2+( y −1)
2=10，化简整理有x
2+ y
2=3．
故答案为：x
2+ y
2=3．
3．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190 年)的著作《圆锥曲线论》是古代
世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0 且
k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：
(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P 满足|PA|＝2|PO|，则r 的值为________．
【答案】1 或5
【解析】设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，
整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P 是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，
所以两圆相切．圆(x＋1)2＋y2＝4 的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，
圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2，0)，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1；当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5.
所以答案为：1 或5
考点3 直线与圆相关位置关系
1.(2025·
陕
西
省
·
模
拟
)
已
知
圆
C :( x−1)
2+( y −2)
2=25，
直
线
l:(2m+1)x +(m+1) y −10m−7=0，则直线l与圆C的公共点个数为( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 与m有关，不能确定
【答案】C
【解析】解：直线l:(2 x + y −10)m+( x + y −7)=0，
令{
2 x + y −10=0
x + y −7 =0 ，解得{
x =3
y = 4 ,
即直线l恒过定点A(3,4)，
由(3−1)
2+(4−2)
2=8<25知，点A在圆C内，故直线l恒与圆C相交．
故选：C．
2.(2025· 湖南省永州市· 模拟) 直线l: y =kx +2与圆O: x
2+ y
2= 4交于A ,B两点，
OA⃗⋅OB⃗=−2
，则k为( )
A. √3
B. ±
√3
C. 1
3
D. ±1
【答案】B
【解析】解：设A(x1, y1),B(x2, y2)，
由{
y =kx +2
x
2+ y
2= 4
得，(k
2+1) x
2+ 4 kx =0，则x1+ x2=−4 k
k
2+1
, x1 x2=0，
y1 y2=(k x1+2)(k x2+2)=k
2 x1 x2+2k (x1+ x2)+ 4 = 4−4 k
2
k
2+1
，
由
OA⃗⋅OB⃗=−2
得，x1 x2+ y1 y2= 4−4 k
2
k
2+1
=−2⇒k =±
√3，
故选：B．
考点4 直线与圆、圆与圆的最值、范围问题
1.(2025·湖北省武汉市·模拟)过直线y =−x +1上任一点P向圆x
2+( y +1)
2=1作两条切线，
切点为A ,B.则| AB|的最小值为( )
A.
√2
2
B.
√3
2
C. √2
D. √3
【答案】C
【解析】解：因为过圆外一点(x0, y0)，作圆的两条切线时，有两个切点，
切点弦方程为x0 x + y0 y =r
2，
所以根据题意设本题中圆外点P(x0,1−x0)，则AB的方程为x0 x +(2−x0)( y +1)=1，
化简可得：x0 x +(2−x0) y +1−x0=0，
所以圆心C(0,−1)到直线AB的距离为：d =
1
√x0
2+(2−x0)
2 ，
所以| AB|=2
√r
2−d
2=2 √
1−(
1
√x0
2+(2−x0)
2)
2
=2 √
1−
1
x0
2+(2−x0)
2，
=2 √
1−
1
2 x0
2−4 x0+ 4
=2 √
1−
1
2( x0−1)
2+2
，
当x0=1时，| AB|的最小值为 √2．
故选：C．
2.(2025·云南省·模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P是圆C：( x −1)
2+( y −2)
2= 4上的动
点，B(−2,−4)，则tan∠PBC的最大值为( )
A. 2
√21
21
B. 4
√29
29
C. 2
√41
41
D.
√2
2
【答案】C
【解析】解：因为点P是圆( x −1)
2+( y −2)
2= 4上的任意点，
当直线PB与此圆相切时，tan∠PBC的值最大，
又BC =
√3
2+6
2=3
√5
，PC =2，
则PB =
√BC
2−PC
2=
√45−4 =
√41
，
则tan∠PBC = PC
PB = 2
√41
= 2
√41
41
．
故选：C．
3.(2025· 江西省南昌市· 模拟) 若存在实数a使得⊙C1: x
2+ y
2−2ax−1+a
2=0与
⊙C2:( x −1)
2+( y +1)
2=r
2(r >0)内切，则r的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】解：将⊙C1
方程配方得：⊙C1:( x −a)
2+ y
2=1，则C1(a,0)，半径为1，
由⊙C2:( x −1)
2+( y +1)
2=r
2可得C2(1,−1)，半径为r，
因⊙C1与⊙C2内切，则有|C1C2|=|r −1|，
由于|C1C2|=
√(a−1)
2+1⩾1，则得|r −1|⩾1，解得r ⩾2，即r的最小值为2．
故选：B．
4.( 多选题)(2025· 福建省福州市· 模拟) 已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点C满足
|CA |=2|CB|，记C的轨迹为Γ .过点A的直线与Γ交于P，Q两点，直线BP与Γ的另一
个交点为M，则( )
A. 点Q，M关于x轴对称
B. △PAB的面积的最大值为6
√3
C. 当∠PMQ = 45
∘时，| PQ|= 4
√2
D. 直线AC的斜率的范围为[−
√3,
√3]
【答案】AC
【解析】解：设点C( x , y)，由|CA |=2|CB|，得
√(x +3)
2+ y
2=2
√(x−3)
2+ y
2，整理
得Γ的方程为(x −5)
2+ y
2=16，则动点C的轨迹是以点H (5,0)为圆心，4为半径的圆，如
图所示．
对于A项，因为| PA |=2| PB|，| MA |=2| MB|，所以| PA |
| MA | =| PB|
| MB| ，所以
∠PAB=∠MAB，
又轨迹Γ的图像关于x轴对称，所以点Q，M关于x轴对称，故A 项正确．
对于B项，当点P位于点(5,4)时，△PAB的面积最大，S△PAB= 1
2 ×6×4 =12，故B 项错误．
对于C项，由∠PMQ = 45
∘，可得∠PHQ =90°，则|PQ|=
√2|QH|= 4
√2，故C 项正
确．
对于D项，设直线AC与圆H相切，设直线AC的方程为y =k (x +3)，则|5k −0+3k|
√k
2+1
= 4，
解得k =±
√3
3 ，故直线AC的斜率的范围为[−
√3
3 ,
√3
3 ]，故D 项错误．
故答案为：AC．
二、跟踪练习
1.(2025·广东省东莞市·联考)已知直线l1：ax +(a+2) y +2=0与l2：x +ay +1=0平行，则
实数a的值为( )
A. −1或2
B. 0或2
C. 2
D. −1
【答案】D
【解析】解：由题意知a
1 = a+2
a
，即a·a−(a+2)=0，即a
2−a−2=0，解得a=2或−1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=−1．
故选：D．
2.(2025·四川省成都市·模拟)若坐标原点O关于动直线l:mx −y −m+1=0(m∈R)的对称
点为A，则点A的轨迹为( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
【答案】A
【解析】解：由mx−y −m+1=0得m( x−1)−( y −1)=0，所以直线l过定点B(1,1)，
又|OB|=| AB|=
√2，所以点A到点B的距离为 √2，
所以点A的轨迹为以B为圆心的圆．
故选：A．
3.(2025·广东省惠州市·模拟)已知圆x
2+ y
2= 4，直线l：y = x +b，若圆上恰有三个点到直
线l的距离等于1，则b的值为( )
A. 0
B. ±1
C. ±
√2
D. ±3
√2
【答案】C
【解析】解：圆x
2+ y
2= 4的圆心坐标是O(0,0)，半径为2，
因为圆上恰有三个点到直线l距离等于1，
所以圆心O到直线l：x−y +b=0的距离d为1，
即|b|
√2
=1，得b=±
√2．
故选：C．
4.(2025· 湖北省省直辖县· 模拟) 已知直线l与圆( x −2)
2+( y −3)
2=1和圆
( x +1)
2+( y +1)
2=36均相切，则l的方程为( )
A. x +2 y −23=0
B. x +2 y +23=0
C. 3 x + 4 y −23=0
D. 3 x + 4 y +23=0
【答案】C
【解析】解：圆( x −2)
2+( y −3)
2=1的圆心为M (2,3)，半径为R1=1，
圆( x +1)
2+( y +1)
2=36的圆心为N (−1,−1)，半径为R2=6，
∵| MN |=
√(2+1)
2+(3+1)
2=5= R2−R1
，
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以l:( x +1)
2+( y +1)
2−( x −2)
2−( y −3)
2=36−1，
整理得l:3 x + 4 y −23=0，
故选：C．
5.(2025·上海市市辖区·模拟)定义：min( P ,C )表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小
值．已知P是圆( x −1)
2+ y
2=9上的动点，圆C : x
2+ y
2=1，则min( P ,C )的取值范围
为 ·
【答案】[1,3]
【解析】解：记O为坐标原点，O在圆( x −1)
2+ y
2=9内，
O到圆( x −1)
2+ y
2=9的圆心距离d为1，圆的半径r为3，
根据圆内一点到圆上一点的最大最小值公式，
有|OP|min=r −d =3−1=2，|OP|max =r +d =3+1= 4，
所以|OP|∈[2,4]，而圆C的半径rc为1，
则min( P ,C )=|OP|−rc∈[1，3]，
故min(P ,C)的取值范围为[1,3]．
6.( 多选题)(2025· 福建省龙岩市· 模拟) 已知直线l: x +ay −3=0与圆
C : x
2+ y
2−8 x +6 y +16=0，则下列说法正确的是( )
A. 当a=2时，直线l与圆C相交
B. 若直线l与圆C相切，则a= 4
3
C. 圆C上一点P到直线l的最大距离为 √10+3
D. 若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a= 3
4
【答案】AC
【解析】解：对于A：当a=2时，直线l: x +2 y −3=0，圆C的方程可化为
( x −4)
2+( y +3)
2=9，
所以圆心C(4 ,−3)，半径r =3，则圆心C到直线l的距离d =|4−3×2−3|
√1
2+2
2
=
√5<3，
所以直线l与圆C相交，故A 正确；
对于B：因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d =|4−3a−3|
√1+a
2
=3，解得
a=−4
3
，故B 错误；
对于C：因为直线l恒过定点(3,0)，所以圆心C到直线l的最大距离
√(3−4)
2+(0+3)
2=
√10，
则圆C上一点P到直线l的最大距离为 √10+r =
√10+3，故C 正确；
对于D：因为圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，
所以圆心C到直线l的距离d =|4−3a−3|
√1+a
2
=1，解得a=0或a= 3
4
，故D 错误．
故选：AC．
7．（25-26 高三上·河北·期中）已知圆
与
轴正半轴交于点
，
直线：
与圆
交于点
，直线
分别交
于
两点，圆心
到直线
的距离等于
，
(1)求圆
的方程；
(2)当
取得最小值时，求直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）圆
的圆心为
，半径为
，
直线
的一般形式为
，
圆心
到直线
的距离为：
，解得
或
，
因为
，所以
，故圆
的方程为
.
（2）圆
与
轴正半轴交于点
，所以
，
设
联立直线与圆
的方程
，
消元得
，
，则
，
且
，
，直线
的方程为
，
与直线
联立
，解得
点横坐标
，同理
点横坐
标
，
计算
，
分母展开并代入韦达定理化简得：
，
，
故
，
因为
两点在直线
上，所以
，
设
且
，则
，
当
，得
或
，即
在
、
上单调递增，
当
，得
，即
在
上单调递减，
在
上，
，
当
，则
，即
，当
，则
，即
，
所以
上
，
在
上，
时
，且
，则
，
在
上，
，且
时
，则
，
综上，
，故
时
，
因此直线的方程为
.
