专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】..................................................................................................................6
【题型2 圆的弦长问题】..........................................................................................................................................8
【题型3 圆的切线方程、切线长问题】................................................................................................................10
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】............................................................................................................11
【题型5 直线与圆位置关系中的最值问题】.......................................................................................................13
【题型6 直线与圆的实际应用】............................................................................................................................15
【题型7 圆与圆的位置关系】................................................................................................................................19
【题型8 两圆的公共弦】........................................................................................................................................20
【题型9 两圆的公切线】........................................................................................................................................21
1、直线与圆、圆与圆的位置关系
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能根据给定直线、圆的方
程，判断直线与圆、圆与圆
的位置关系
(2)能用直线和圆的方程解决
一些简单的数学问题与实际
问题
2023 年新高考I 卷：第6
题，5 分
2023 年新高考Ⅱ卷：第15
题，5 分
2023 年全国乙卷（理数）：
第12 题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：
第10 题，5 分
2025 年全国一卷：第7 题，5
分
2025 年天津卷：第12 题，5
分
直线与圆、圆与圆的位置关系是高
考的重点、热点内容.从近几年的高考
情况来看，直线与圆结合命题时，主要
考察直线与圆的位置关系、圆的弦长问
题等，有时会与距离公式等内容结合考
查，多以选择题或填空题的形式考查，
难度不大；有时也会出现在压轴题的位
置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较
大，需要学会灵活求解.
知识点
1 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置
相交
相切
相离
交点个数
两个
一个
零个
图形
d 与r 的关系
d<r
d=r
d>r
方程组解的
情况
有两组不
同的解
仅有一组解
无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数
解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即
Δ<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断，当d<r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与
圆相切；当d>r 时，直线与圆相离.
2．自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k(
)，则由垂直关系可知切线斜率为
，由点斜式方程可求得切
线方程.如果k=0 或k 不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆
上一点P
的切线方程为
.
②经过圆
上一点P
的切线方程为
.
③经过圆
+Dx+Ey+F=0 上一点P
的切线方程为
.
4．圆的弦长问题
设直线l 的方程为y=kx+b，圆C 的方程为
，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l 三者具有关系式：
.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A
，B
.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组
消元后得一元二次方程，由一元二次
方程中根与系数的关系可得
或
的关系式，通常把
或
叫作弦长公式.
知识点
2 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称
为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆
与
的圆心距为d，则d=
，两圆的位置关系表示如下：
位置关系
关系式
图示
公切线条
数
外离
d>r1+r2
四条
外切
d=r1+r2
三条
相交
|r1-r2|
<d<r1+r2
两条
内切
d=|r1-r2|
一条
内含
0≤d<|r1-r2|
无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当Δ>0 时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0 时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0 时，两
圆无公共点，包括内含与外离.
2．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆
:
，①
圆
:
，②
①-②，得
，③
若圆
与圆
相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若
为圆
与圆
的交点，则点
满足
且
，所以
.即点
适合直线方程，故
在③所对应的直线上，③表示过两圆
与
交点的
直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理
求出公共弦长.
3．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5 种情况
①外离时，有4 条公切线，分别是2 条外公切线，2 条内公切线；
②外切时，有3 条公切线，分别是2 条外公切线，1 条内公切线；
③相交时，有2 条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1 条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设
公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b 的方程组，求出k,b 的值即可.要注意公切线
的斜率可能不存在.
知识点
3 与圆有关的最值问题的解题策略
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4 ①，当直线l 与圆C 相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r 为圆的半径，d 为圆
心到直线的距离；
②如图2-5-1-4 ②，当直线l 与圆C 相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4 ③，当直线l 与圆C 相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值
( 取值范围
) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参
数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何
性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如
的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【方法技巧与总结】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】
【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线l: x +ay −a=0与圆C : x
2+ y
2+2 y −5=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定的
【答案】C
【解题思路】先求出直线经过的定点A (0,1)，求出圆C的圆心C(0,−1)和半径r = ❑√6，由|CA |=2<❑√6
即可判断.
【解答过程】因直线l: x +a( y −1)=0过定点A (0,1)，
由C : x
2+ y
2+2 y −5=0配方得：x
2+( y +1)
2=6，可得圆心为C(0,−1)，半径为r = ❑√6，
因为|CA |=2<❑√6，所以点A在圆C内，故直线l与圆C相交.
故选：C.
【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“a>0”是“直线x−ay +2a−1=0(a∈R)与圆x
2+ y
2=1相交”
的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据直线与圆的位置关系求出a 的取值范围，再集合的包含关系得条件关系..
【解答过程】由题知，圆的圆心为(0,0)，半径为1，
设圆心到直线x−ay +2a−1=0 (a∈R)的距离为d
则d = |2a−1)
❑√1+(−a)
2 <1，解得：0<a< 4
3 .
而{a|0<a< 4
3)为{a|a>0)的真子集，
故“a>0”是“0<a< 4
3 ”的必要不充分条件，
即“a>0”是“直线x−ay +2a−1=0(a∈R)与圆x
2+ y
2=1相交”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式1-2】（2025·辽宁·三模）已知直线l: y = x +m和圆O: x
2+ y
2=2，则“m=2”是“直线l 与圆O 相
切”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】首先求出直线与圆相切时m的取值，再根据充分必要条件的定义判断.
【解答过程】由圆O: x
2+ y
2=2，可得圆心O(0,0)，半径r = ❑√2，
若直线l: y = x +m与圆相切O: x
2+ y
2=2，
则圆心O到直线l的距离d =r = ❑√2，则d = |m)
❑√1+1 = ❑√2，解得m=±2，
所以“m=2”是“直线l与圆O相切”的充分不必要条件.
故选：C.
【变式1-3】（2025·江苏·二模）已知圆C：x
2+( y −2)
2= 10
3 ，将直线l1：❑√3 x−y =0绕原点按顺时针方
向旋转30°后得到直线l2，则（ ）
A．直线l2过圆心C
B．直线l2与圆C相交，但不过圆心
C．直线l2与圆C相切
D．直线l2与圆C无公共点
【答案】B
【解题思路】首先得到直线l1的倾斜角，即可得到直线l2的倾斜角，从而求出直线l2的方程，再求出圆心到
直线的距离，即可判断.
【解答过程】直线l1：❑√3 x−y =0即y = ❑√3 x，斜率为❑√3，倾斜角为60°，
将直线l1绕原点顺时针方向旋转30°得到直线l2，则直线l2的倾斜角为30°，
所以直线l2的方程为y =
❑√3
3 x，即x−❑√3 y =0，
圆C：x
2+( y −2)
2= 10
3 的圆心坐标为C (0,2)，半径r =
❑√10
❑√3 ，
圆心到直线l2的距离d = 2❑√3
2
= ❑√3<
❑√10
❑√3 ，
∴直线l2与圆C相交但不过圆心.
故选：B.
【题型2 圆的弦长问题】
【例2】（2025·重庆·三模）直线 l:❑√3 x−❑√2 y +5=0 截圆 O: x
2+ y
2=9 所得的弦长为（ ）
A．2
B．4
C．2❑√5
D．❑√5
【答案】B
【解题思路】首先求出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式来求解弦长.
【解答过程】因为圆O:x
2+ y
2=9，圆心坐标(0,0)，半径为3.
圆心到直线的距离为：d =|❑√3×0−❑√2×0+5)
❑√(❑√3)
2+(−❑√2)
2 = ❑√5.
根据弦长公式可得：弦长L=2
❑√r
2−d
2=2
❑√3
2−(❑√5)
2= 4.
故选：B.
【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线y =k (x−3)+1与圆(x−1)
2+( y −2)
2=25交于A、B两点，则
|AB)的最小值为（ ）
A．5
B．10
C．2❑√5
D．4 ❑√5
【答案】D
【解题思路】先求出直线所过的定点M，再根据直线l与CM垂直时，弦| AB|最小，结合圆的弦长公式即
可得解.
【解答过程】根据题意，圆(x−1)
2+( y −2)
2=25，圆心C的坐标为(1,2)，半径r =5，
直线l: y =k (x−3)+1，恒过定点M (3,1)，且点M (3,1)在圆内，
当直线l与CM垂直时，弦| AB|最小，
此时|CM |= ❑√4+1= ❑√5，
则| AB|的最小值为2❑√25−5= 4 ❑√5.
故选：D.
【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知圆O: x
2+ y
2=1，过点A (2,0)的直线与圆O交于B、C两点，且
⃗
AB =⃗BC，则|BC)等于（ ）
A．
❑√2
2
B．3
2
C．3 ❑√2
2
D．
❑√6
2
【答案】D
【解题思路】根据题意，设B(x1, y1)，C (x2, y2)，由向量关系可得x2=2 x1−2, y2=2 y1，代入圆的方程
即可得到x1, y1，再由两点间距离公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设B(x1, y1)，C (x2, y2)，且A (2,0)，
由⃗AB =⃗BC可得(x1−2, y1)=(x2−x1, y2−y1)，即x2=2 x1−2, y2=2 y1，
将B ,C代入圆O方程可得{
x1
2+ y1
2=1
x2
2+ y2
2=1)，
即(2 x1−2)
2+(2 y1)
2=1，化简可得4 x1
2−8 x1+ 4+ 4 y1
2=1，
将y1
2=1−x1
2代入可得4 x1
2−8 x1+ 4 + 4(1−x1
2)=1，解得x1= 7
8，
则y1
2=1−(
7
8)
2
= 15
64 ，
所以|BC)=|AB)= ❑√(x1−2)
2+ y1
2= ❑√(
7
8 −2)
2
+ 15
64 =
❑√6
2
.
故选：D.
【变式2-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线kx −y −k +1=0与圆
x
2+ y
2= 4相交于A ,B两点，则|AB)的最小值为（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．2❑√2
D．2❑√3
【答案】C
【解题思路】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解..
【解答过程】直线kx−y −k +1=0可化为：k (x−1)−y +1=0，
令{
x−1=0
−y +1=0)，得{
x =1
y =1)，所以直线过定点P(1,1)，
圆x
2+ y
2= 4的圆心为O(0,0)，半径r =2，
当OP⊥AB时，|AB)有最小值，如图所示：
即圆心到直线的距离dmax=|OP)= ❑√2,| AB|min=2
❑√r
2−dmax
2 =2❑√2，
所以|AB)的最小值为2❑√2.
故选：C.
【题型3 圆的切线方程、切线长问题】
【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点P(3, 1)作圆C : x
2+ y
2+2 x + 4 y −4 =0的切线，记其中一个切点为
A，则|PA)=（ ）
A．16
B．4
C．21
D．❑√21
【答案】B
【解题思路】求出圆C的圆心和半径，再利用切线长定理求解.
【解答过程】圆C :( x +1)
2+( y +2)
2=9的圆心C(−1,−2)，半径r =3，
则| PC |=
❑√(−1−3)
2+(−2−1)
2=5，
所以|PA)=
❑√| PC |
2−r
2= 4.
故选：B.
【变式3-1】（24-25 高二上·河北石家庄·期末）过点P(1,−1)且与圆C : x
2+ y
2−4 x +2=0相切的直线方
程为（ ）
A．x + y =0
B．x−y −2=0
C．x−y =0
D．x−y +2=0
【答案】A
【解题思路】经分析知点P(1,−1)在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜
率为−1，结合直线点斜式方程即可求解.
【解答过程】圆C : x
2+ y
2−4 x +2=0的标准方程为：(x −2)
2+ y
2=2，故圆心C(2，0)，
∵点P(1,−1)在圆C : x
2+ y
2−4 x +2=0上，
∴过点P 的切线与CP 垂直，且kCP= −1−0
1−2 =1，
∴过点P(1,−1)的切线斜率为−1，
故所求直线方程为：y +1= −( x−1)，
整理，得：x + y =0.
故选：A.
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知P 为直线l: x−y +1=0上一点，过点P 作圆C :(x−1)
2+ y
2=1的
一条切线，切点为A，则|PA)的最小值为（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】A
【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】连接CA，则|PA)=
❑√|PC)
2−1，
而|PC)的最小值为点C 到直线l 的距离d = |1−0+1)
❑√1
2+(−1)
2 = ❑√2>1，
所以|PA)min=
❑√(❑√2)
2−1=1.
故选：A.
【变式3-3】（25-26 高二上·全国·单元测试）已知圆C的圆心为C(0,2)，且经过点(2,2)，过点
P(−2,−1)作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（ ）
A．2 x +3 y −2=0
B．2 x +3 y +2=0
C．2 x−3 y −2=0
D．2 x−3 y +2=0
【答案】A
【解题思路】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出AB的斜率即可求解.
【解答过程】由题意，圆C的半径为❑√(0−2)
2+(2−2)
2=2,∴圆C的标准方程为x
2+( y −2)
2= 4．
当斜率不存在时，过点P(−2,−1)的直线为x =−2，与圆C相切于点(−2,2)．
由圆的切线的性质可知，
AB⊥CP ,∴k AB= −1
kCP
=
−1
2−(−1)
0−(−2)
=−2
3，
∴直线AB 的方程为y −2=−2
3 ( x +2)，即2 x +3 y −2=0．
故选：A.
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】
【例4】（2025·广东茂名·二模）已知圆C : x
2+ y
2=1，直线x + y −m=0(m∈R)，若圆C上有且仅有一点
到直线l的距离为1，则m=（ ）
A．2
B．2❑√2
C．±2
D．±2❑√2
【答案】D
【解题思路】利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】由题意有：圆心(0,0)到直线x + y −m=0的距离为2，
所以d = |m)
❑√1+1 =|m)
❑√2 =2⇒|m)=2❑√2⇒m=±2❑√2，
故选：D.
【变式4-1】（2025·四川·三模）已知圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y −20=0上恰有两个点到直线
l: x + y +m=0(m>0)的距离为2，则m 的取值范围是（ ）
A．(3 ❑√2,7 ❑√2)
B．(3 ❑√2+1,7 ❑√2+1)
C．(2❑√2,7 ❑√2)
D．(2❑√2+1,7 ❑√2+1)
【答案】B
【解题思路】求得圆心到直线的距离d，由r −2<d <r +2求解即可.
【解答过程】由题意可得圆C :(x−1)
2+( y +2)
2=25，则圆心C (1,−2)，半径r =5，
则圆心C到直线l 的距离d =|m−1)
❑√2
.
因为圆C上恰有两个点到直线l 的距离为2，
所以r −2<d <r +2，即3<|m−1)
❑√2
<7，又m>0，
解得：3 ❑√2+1<m<7 ❑√2+1.
故选：B.
【变式4-2】（2025·山东青岛·三模）若圆x
2+ y
2= 4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，则实数a取值
范围是
.
【答案】(−2❑√6,0)∪(0,2❑√6)
【解题思路】由题意，将问题转化为圆x
2+ y
2= 4与圆(x−a)
2+( y −b)
2=9有两个公共点，即两圆相交，从
而运用两点间的距离公式建立不等式关系，求出实数a的取值范围．
【解答过程】根据题意，圆x
2+ y
2= 4的圆心为O(0,0)，半径r =2，
若圆x
2+ y
2= 4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，
则圆x
2+ y
2= 4与圆(x −a)
2+( y −b)
2=9有两个公共点，即两圆相交，
因为(x −a)
2+( y −b)
2=9的圆心为C (a,1)，半径R =3，
所以|R−r)<|OC)< R+r，即3−2<
❑√a
2+1<3+2，
则0<a
2<24，即−2❑√6<a<0或0<a<2❑√6，实数a的取值范围是(−2❑√6,0)∪(0,2❑√6)．
故答案为：(−2❑√6,0)∪(0,2❑√6)．
【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若圆C : x
2+ y
2+2 x +m=0上恰有三个不同的点到直线
l: x + ❑√3 y +2=0的距离为1，则m=
.
【答案】−5
4
【解题思路】先求出圆C的圆心坐标和半径，以及圆心到l的距离，结合题意可得圆C的半径为3
2，进而建
立方程求解即可.
【解答过程】由圆C : x
2+ y
2+2 x +m=0，即(x +1)
2+ y
2=1−m，则m<1，
圆C的圆心坐标为(−1,0)，半径为r = ❑√1−m，
圆心(−1,0)到l的距离为d =|−1+2)
❑√1+3 = 1
2，
因为圆C上恰有三个不同的点到l的距离为1，所以圆C的半径为3
2，
则
❑√1−m= 3
2，解得m=−5
4 .
故答案为：−5
4 .
【题型5 直线与圆位置关系中的最值问题】
【例5】（2025·河南信阳·模拟预测）P是圆(x−a
2)
2+( y −a)
2=1上的动点，Q是直线y = x +2上的动点，
则|PQ)的最小值为（ ）
A．❑√2−1
B．❑√2
C．7 ❑√2
8
−1
D．7 ❑√2
8
【答案】C
【解题思路】判断圆与直线的位置关系为相离，可得| PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【解答过程】由题意得，圆(x −a
2)
2+( y −a)
2=1的圆心为(a
2,a)，半径r =1.
因为(a
2,a)到直线y = x +2的距离d =|a
2−a+2)
❑√2
=|(a−1
2)
2
+ 7
4)
❑√2
≥7 ❑√2
8
，
当且仅当a= 1
2时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以| PQ|的最小值为d −r = 7 ❑√2
8
−1.
故选：C.
【变式5-1】（2025·北京·三模）经过点(0,0)，半径为2 的圆的圆心为A，则点A 到直线x−y +2=0的距
离最大值为（ ）
A．❑√2
B．2+ ❑√2
C．2−❑√2
D．3 ❑√2
【答案】B
【解题思路】先确定圆心A的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心A到直线x−y +2=0的距离
最大值.
【解答过程】已知圆经过点(0,0)，半径为2，设圆心A的坐标为( x , y)，
可得圆心A到点(0,0)的距离为2，
即❑√( x −0)
2+( y −0)
2=2，化简可得x
2+ y
2= 4，
所以圆心A的轨迹是以原点(0,0)为圆心，2为半径的圆.
可得原点(0,0)到直线x−y +2=0的距离为：d0=|0−0+2|
❑√1
2+(−1)
2 = ❑√2，
所以点A到直线x−y +2=0的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即dmax= ❑√2+2.
故选：B.
【变式5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线l：(2+t ) x−(1+t ) y −12−8t =0，Q是圆O：
x
2+ y
2= 4上的一动点，则点Q到直线l的距离d的取值范围为（ ）
A．[0,4 ❑√2−2)
B．[0,4 ❑√2+2)
C．[0,4 ❑√2+2)
D．[1,4 ❑√2−2)
【答案】B
【解题思路】先将直线方程变形求出直线所过的定点P，再结合点P与圆O的位置关系，分析点P到直线l
距离的最值情况，进而确定距离d的取值范围.
【解答过程】直线l：(2+t ) x−(1+t ) y −12−8t =0，可化为(x−y −8)t +2 x−y −12=0，
由¿，解得x = 4，y =−4，所以l过定点P(4 ,−4)，
又因为点Q在圆O上，且|OP)= 4 ❑√2，圆O的圆心为O(0,0)，半径r =2，
所以当OP⊥l，且Q，O，P三点共线时，点Q到直线l的距离d最大，最大为4 ❑√2+2，
此时kOP= −4−0
4−0 =−1，所以直线l的斜率为1，即2+t =1+t，无解，
故直线l不存在，所以d <4 ❑√2+2；
当直线l与圆O相交或相切时，点Q到直线l的距离d最小，最小为0，
故点Q到直线l的距离d的取值范围为[0,4 ❑√2+2)．
故选：B．
【变式5-3】（2025·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x
2+ y
2=1，点A (2,0)，B (0,2)，P是线段AB上
的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为
1；②四边形PCOD的面积的最大值为❑√3；③⃗PC ⋅⃗PD的最小值为−1；④⃗PC ⋅⃗PD的最大值为3
2．其中
所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①④
【答案】B
【解题思路】利用数形结合，将面积PCOD的最值转化为求|OP)的最值，即可判断①②；利用数量积和
三角函数表示⃗PC ⋅⃗PD，再转化为利用对勾函数的单调性求最值.
【解答过程】如图，当点P是AB的中点时，此时OP⊥AB，|OP)最短，最小值为❑√2，
当点P与点A或点B重合时，此时|OP)最长，最大值为2，
因为PC , PD是圆O的切线，所以PC ⊥OC，PD⊥OD，
则四边形PCOD的面积为|PC)|OC)=|PC)=
❑√|PO)
2−1，
所以四边形PCOD的面积的最小值为❑√2−1=1，最大值为❑√4−1= ❑√3，故①②正确；⃗
PC ⋅⃗PD =|⃗PC)|⃗PD)cos∠CPD =|⃗PC)
2×(2cos
2∠OPC −1),
=|⃗PC)
2×(2|⃗PC)
2
|⃗PO)
2 −1)= 2|⃗PC)
4
|⃗PO)
2 −|⃗PC)
2= 2(|⃗PO)
2−1)
2
|⃗PO)
2
−|⃗PO)
2+1，
=|⃗PO)
2+
2
|⃗PO)
2 −3，|⃗PO)
2∈[2,4)，
设y =t + 2
t −3,t ∈[2,4)，函数单调递增，最小值为0，最大值为3
2，故③错误，④正确.
故选：B.
【题型6 直线与圆的实际应用】
【例6】（24-25 高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12 米，拱高4 米，现有一船宽8 米，则这条
船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据❑√21≈4.6，❑√5≈2.2）.
A．2.5 米
B．2.7 米
C．2.6 米
D．3.1 米
【答案】C
【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，
再将x = 4代入求得纵坐标判断.
【解答过程】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建
立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，
则B(−6,0)，E(−4,0)，F(4,0)，C(6,0)，
设圆拱桥所在圆的方程为x
2+( y −b)
2=r
2，
由已知得：36+b
2=r
2；(4−b)
2=r
2
解得b=−5
2，r = 13
2 .
故圆的方程为x
2+( y + 5
2)
2
= 169
4
令x = 4，解得y =
❑√105
2
−5
2 ≈2.6
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米），
故选：C.
【变式6-1】（24-25 高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测
范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发，径直驶向位于海监船正北
40km的B处岛屿，速度为28km /h．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1 小时
B．0.75 小时
C．0.5 小时
D．0.25 小时
【答案】C
【解题思路】以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距
离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【解答过程】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，
由题意可知A(30,0)，B(0,40)，圆O方程x
2+ y
2=25
2，半径r =25，
直线AB方程：x
30 + y
40 =1，即4 x +3 y −120=0，
设O到AB距离为d，
则d = |−120)
❑√4
2+3
2 =24<25，故直线与圆相交，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
如图，设直线与圆交点为M , N，取MN中点H，连接OH，则OH ⊥MN，
所以MN =2
❑√O N
2−O H
2=2
❑√r
2−d
2=2
❑√25
2−24
2=14，
设监测时间为t，则t = 14
28 = 1
2（小时），
故轮船能被海监船检测到的时间是0.5 小时．
故选：C．
【变式6-2】（24-25 高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长
方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 ❑√3m，行车道总宽度BC 为2❑√11m，侧墙EA、FD 高为2m，弧顶高
MN 为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有
0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是
．
【答案】3.5m
【解题思路】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全
高度差即可.
【解答过程】如下图，圆弧的圆心O 在直线MN 上，过B 作BG⊥AD，交圆弧于点G，作GH ⊥MN于
点H，连接OE、OG.
由题可知，MP=5−2=3m，EP = 1
2 AD =3 ❑√3m，GH = 1
2 BC = ❑√11m
设OE =OM =r，则OP =r −3
在△OEP中，有O E
2=O P
2+ E P
2
即r
2=(r −3)
2+(3 ❑√3)
2，解得r =6
∴OH =
❑√OG
2−G H
2=
❑√6
2−(❑√11)
2=5m
∴MH =OM −OH =6−5=1m
∴BG = NH = MN −MH =5−1= 4 m
故车辆通过隧道的限制高度是4−0.5=3.5m.
故答案为：3.5m.
【变式6-3】（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）在气象台A正西方向100 ❑√3km处有一台风中心，它正向
北偏东60
∘方向移动，移动速度的大小为20km/h，距台风中心100km以内的地区都将受到影响，若台风中
心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时．
【答案】5
【解题思路】以气象台为圆心，作半径为100 的圆交台风轨迹于CD 两点，计算CD 两点的长度即可求得
气象台所在地受到台风影响的时间．
【解答过程】如图所示，可设台风中心初始位置为B，气象台为A，AB =100 ❑√3，
以A 为圆心，100为半径作圆A 交台风运动轨迹于C、D 两点，CD 为圆A 的弦，
而台风向北偏东60°移动，可知∠DBA =30°，
过A作BD 的垂线，垂足为E，
在直角△ABE中，∠ABC =30°，则AE = 1
2 AB =50 ❑√3，
在直角△ACE中，由勾股定理得CE =
❑√A C
2−A E
2=50，
所以CD =2CE =100，
故持续时间为100
20 =5小时．
故答案为：5．
【题型7 圆与圆的位置关系】
【例7】（2025·安徽·一模）圆O: x
2+ y
2=1与圆M :( x +1)
2+( y −2❑√2)
2=16的位置关系是（ ）
A．内切
B．外离
C．外切
D．内含
【答案】A
【解题思路】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系.
【解答过程】圆O 与圆M 的半径分别为1，4，圆心坐标分别为(0，0)，(−1，2❑√2)，
则|OM )= ❑√1+8=3= 4−1，故圆O 与圆M 的位置关系是内切.
故选：A.
【变式7-1】（2025·浙江温州·三模）已知圆x
2+ y
2=1和圆(x−3)
2+ y
2=r
2(r >0)有公共点，则r的取值范
围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．[2,4)
C．[3,4)
D．[1,4)
【答案】B
【解题思路】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【解答过程】由题可得|r −1)≤3≤r +1，
解得：2≤r ≤4．
故选：B.
【变式7-2】（2025·山东临沂·一模）圆C1: x
2+ y
2=1与圆C2: x
2+ y
2−6 x−8 y +9=0的位置关系是
（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出圆心距即可判断.
【解答过程】圆C1: x
2+ y
2=1的圆心C1(0,0)，半径r1=1，
圆C2: x
2+ y
2−6 x −8 y +9=0，即C2:( x −3)
2+( y −4)
2=16，圆心C2(3,4)，半径r2= 4，
则|C1C2|=
❑√3
2+ 4
2=5=r1+r2，所以两圆外切.
故选：C.
【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）圆x
2+ y
2−2 x−2 y +1=0与圆x ²+ y ²+ 4 x +6 y +9=0的位置关系是
（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【答案】B
【解题思路】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与
圆的位置关系即可.
【解答过程】圆x
2+ y
2−2 x−2 y +1=0即(x−1)
2+( y −1)
2=1，圆心为(1,1)，半径为1；
圆x ²+ y ²+ 4 x +6 y +9=0即(x +2)
2+( y +3)
2= 4，圆心为(−2,−3)，半径为2；
圆心距为❑√(1+2)
2+(1+3)
2=5，因为5>1+2，所以两个圆外离.
故选：B.
【题型8 两圆的公共弦】
【例8】（24-25 高三下·黑龙江·阶段练习）圆x
2+ y
2−4 =0与x
2+ y
2−4 x + 4 y −12=0的公共弦长为
（ ）
A．2❑√2
B．2❑√3
C．❑√14
D．4
【答案】A
【解题思路】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【解答过程】圆C1：x
2+ y
2−4 =0 ①，所以C1(0,0)，r1=2.
圆C2：x
2+ y
2−4 x + 4 y −12=0 ②，所以C2(2,−2)，r2=2❑√5.
因为r2−r1<|C1C2)=2❑√2<r2+r1，所以圆C1与圆C2相交.
因此公共弦所在直线的方程为①−②：x−y +2=0，
圆C1的圆心到公共弦的距离为d =|0−0+2|
❑√1
2+1
2
= ❑√2，
即公共弦长为l =2
❑√R
2−d
2=2❑√4−2=2❑√2.
故选：A.
【变式8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1: x
2+ y
2=5与圆O2: x
2+ y
2−2 x −4 y =0交于A，B 两
点，则| AB|=（ ）
A．
❑√5
2
B．❑√5
C．❑√15
D．
❑√15
2
【答案】C
【解题思路】根据题意，两圆方程相减即可得到直线AB的方程，再由弦长公式，即可得到结果.
【解答过程】因为圆O1: x
2+ y
2=5与圆O2: x
2+ y
2−2 x−4 y =0交于A，B 两点，
则直线AB的方程即为两圆相减，可得2 x + 4 y −5=0，
且圆O1: x
2+ y
2=5，半径为❑√5，
O1(0,0)到直线2 x + 4 y −5=0的距离d = |−5)
❑√2
2+ 4
2 =
❑√5
2 ，
所以| AB|=2
❑√
(❑√5)
2−(
❑√5
2 )
2
= ❑√15.
故选：C.
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1: x
2+ y
2= 4，圆C2: x
2+ y
2−4 x−4 y + 4 =0，两
圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．x + y +2=0
B．x + y −2=0
C．x + y +1=0
D．x + y −1=0
【答案】B
【解题思路】两圆方程作差即可.
【解答过程】由圆C1: x
2+ y
2= 4，圆C2: x
2+ y
2−4 x −4 y + 4 =0，
两式作差得，4 x + 4 y −4 = 4，即x + y −2=0，
所以两圆的公共弦所在直线方程是x + y −2=0.
故选：B.
【变式8-3】（2025·黑龙江·模拟预测）圆C1: x
2+ y
2−2 x =10与圆C2:(x +2)
2+( y −4)
2=16的公共弦长为
（ ）
A．2❑√7
B．❑√7
C．❑√6
D．2❑√6
【答案】A
【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为3 x−4 y +7 =0，即可利用点到线的距离公式以
及圆的弦长公式求解.
【解答过程】C1,C2的圆心和半径分别为C1(1,0),C2(−2,4)，r = ❑√11, R = 4,
R−r <|C1C2)=5< R+r，故两圆相交，
将两个圆的方程作差得6 x−8 y +14 =0，即公共弦所在的直线方程为3 x−4 y +7=0，
又知C2(−2,4)，R = 4，
则C2(−2,4)到直线的3 x−4 y +7=0的距离d =|3×(−2)−4×4 +7)
❑√3
2+ 4
2
= 15
5 =3，
所以公共弦长为2
❑√4
2−3
2=2❑√7，
故选：A.
【题型9 两圆的公切线】
【例9】（2025·山东·模拟预测）已知圆C1: x
2+ y
2= 4与圆C2:( x +a)
2+( y +2)
2=9有三条公切线，则a=
（ ）
A．❑√21
B．❑√29
C．± ❑√29
D．± ❑√21
【答案】D
【解题思路】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解.
【解答过程】由题知，两圆外切，由圆C1方程得C1(0,0)，半径r1=2，
由圆C2方程得C2(−a,−2)，半径r2=3，则❑√a
2+ 4 =2+3=5，解得a=± ❑√21.
故选：D.
【变式9-1】（24-25 高三下·山东·开学考试）圆C1: x
2+ y
2+8 x −2 y +9=0和圆
C2: x
2+ y
2+6 x −4 y +11=0的公切线方程是（ ）
A．y =−x +1
B．y =−x +1或y = x +5
C．y =−x +5
D．y = x +1或y =2 x +5
【答案】A
【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与
公切线的关系求解出公切线的方程.
【解答过程】解：C1:( x + 4)
2+( y −1)
2=8，圆心C1(−4,1)，半径r1=2❑√2，
C2:( x +3)
2+( y −2)
2=2，圆心C2(−3,2)，半径r2= ❑√2，
因为|C1C2)= ❑√2=r1−r2，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，kC1C2=1，
所以切线斜率为−1，
由方程组{
x
2+ y
2+8 x−2 y +9=0
x
2+ y
2+6 x−4 y +11=0)解得{
x =−2
y =3 )，
故圆C1与圆C2的切点坐标为(−2,3)，
故公切线方程为y −3=−( x +2)，即y =−x +1．
故选：A.
【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）圆C1: x
2+ y
2+ 4 x +6 y −23=0与圆C2:(x−2)
2+( y −1)
2= 4的公切
线长为
.
【答案】4
【解题思路】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线
长.
【解答过程】由题可得，由圆C1:(x +2)
2+( y +3)
2=36，
则圆心为C1(−2,−3)，半径为r1=6，
由圆C2:(x−2)
2+( y −1)
2= 4，
则圆C2的圆心为C2(2,1)，半径为r2=2.
则两圆心的距离|C1C2)=
❑√(2+2)
2+(1+3)
2= 4 ❑√2，
因为6−2<|C1C2)<6+2，所以圆C1与圆C2相交.
如图，设切点为P ,Q，作C2C ⊥C1 P于点C，
所以圆C1与圆C2的公切线长为|PQ)=|C C2)=
❑√|C1C2)
2−(r1−r2)
2= ❑√32−16= 4.
故答案为：4.
【变式9-3】（24-25 高二上·重庆·期中）已知圆C1: x
2+ y
2=1与圆C2:(x −a)
2+( y −1)
2=16(a>0)有3条公
切线，则实数a的取值是
.
【答案】2❑√6
【解题思路】根据条件得到圆C1与圆C2外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.
【解答过程】因为圆C1: x
2+ y
2=1与圆C2:(x−a)
2+( y −1)
2=16(a>0)有3条公切线，所以圆C1与圆C2外
切，
又圆C1: x
2+ y
2=1的圆心为C1(0,0)，半径为r1=1，C2:(x −a)
2+( y −1)
2=16(a>0)的圆心为C2(a,1)，
半径为r2= 4，
所以❑√a
2+1=1+ 4 =5，得到a
2=24，又a>0，所以a=2❑√6，
故答案为：2❑√6.
一、单选题
1．（2025·北京海淀·三模）已知直线y =kx−2与圆C :(x −1)
2+( y −1)
2=1有公共点，则k的最小值是
（ ）
A．2
3
B．3
4
C．4
3
D．3
2
【答案】C
【解题思路】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可.
【解答过程】由题可知，直线与圆有交点，故圆心C(1,1)到直线y =kx−2的距离d，小于等于半径1，
即|k −3|
❑√k
2+1
≤1，故(k −3)
2≤k
2+1，也即−6k ≤−8，解得k ≥4
3 ，则k的最小值为4
3 .
故选：C.
2．（2025·河南·模拟预测）已知不重合的圆C1,C2都过点(−1,2)，且均与两坐标轴相切，则圆C1,C2的公
共弦长为（ ）
A．1
B．❑√2
C．2❑√2
D．3 ❑√2
【答案】B
【解题思路】分析出两圆公共弦的端点，利用两点间的距离公式可求公共弦长.
【解答过程】如图：
因为两圆C1,C2都过点(−1,2)，且均与两坐标轴相切，所以C1,C2必在直线y =−x上，
点A (−1,2)关于直线y =−x的对称点为B (−2,1)，则线段AB即为圆C1,C2的公共弦.
因为|AB)=
❑√(−2+1)
2+(1−2)
2= ❑√2.
故选：B.
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线3 x + 4 y + 4 =0与圆M : x
2+ y
2−2ax =0(a>0)相切，则圆M和
圆N :( x −1)
2+( y −1)
2=1的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【解题思路】由直线与圆相切求出a，进而判断两圆位置关系.
【解答过程】圆M : x
2+ y
2−2ax =0(a>0)的圆心M (a,0)，半径r1=a，
由直线3 x + 4 y + 4 =0与圆M相切，得|3a+ 4|
❑√3
2+ 4
2 =a，解得a=2，
圆N :( x−1)
2+( y −1)
2=1的圆心N (1,1)，半径r2=1，
而| MN |=
❑√(a−1)
2+(0−1)
2= ❑√2∈(1,3)，所以圆M和圆N相交.
故选：C.
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线l: x−y + 4 =0与圆x
2+ y
2=9交于A ,B两点，过A ,B分别作l的
垂线与x轴交于C , D两点，则|CD)=（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4
【答案】C
【解题思路】利用垂径定理求得| AB|，由题意可得直线l的倾斜角为α = 45°，根据cosα =| AB|
|CD| ，可求
|CD|.
【解答过程】由x
2+ y
2=9，可得圆心O(0,0)，半径r =3，
圆心O(0,0)到直线l: x−y + 4 =0的距离为d =|0−0+ 4|
❑√1+1
=2❑√2，
所以| AB|=2
❑√r
2−d
2=2，又因为l的斜率为1，故直线l的倾斜角为α = 45°，
所以cosα =| AB|
|CD| ，所以|CD|=| AB|
cos 45° =2❑√2.
故选：C.
5．（2025·四川成都·模拟预测）过点P(m,3)作圆C :( x +2)
2+( y +2)
2=1的切线，切点为Q，则|PQ)的
最小值为（ ）
A．2❑√6
B．5
C．❑√26
D．4+ ❑√2
【答案】A
【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到| PQ|与| PC |的关系，最
后根据| PC |的最小值求出| PQ|的最小值.
【解答过程】已知圆C的方程为( x +2)
2+( y +2)
2=1，可得圆心C(−2,−2)，半径r =1.
因为PQ 为圆C的切线，所以CQ⊥PQ，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理可得| PQ|
2=| PC |
2−|CQ|
2.
已知|CQ|=r =1，则| PQ|
2=| PC |
2−1.
点P(m,3)，根据两点间距离公式，可得| PC |=
❑√(m+2)
2+(3+2)
2=
❑√(m+2)
2+25.
因为(m+2)
2≥0，当且仅当m=−2时，(m+2)
2=0，此时| PC |取得最小值，| PC |min= ❑√0+25=5.
因为| PQ|
2=| PC |
2−1，当| PC |取最小值5时，| PQ|min
2 =5
2−1=24，
则| PQ|min= ❑√24 =2❑√6.
| PQ|的最小值为2❑√6.
故选：A.
6．（2025·山东泰安·二模）已知直线l与圆( x−2)
2+( y −3)
2=1和圆( x +1)
2+( y +1)
2=36均相切，则l的
方程为（ ）
A．x +2 y −23=0
B．x +2 y +23=0
C．3 x + 4 y −23=0
D．3 x + 4 y +23=0
【答案】C
【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【解答过程】圆( x −2)
2+( y −3)
2=1的圆心为M (2,3)，半径为R1=1，
圆( x +1)
2+( y +1)
2=36的圆心为N (−1,−1)，半径为R2=6
∵| MN |=
❑√(2+1)
2+(3+1)
2=5= R2−R1
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以l:( x +1)
2+( y +1)
2−( x −2)
2+( y −3)
2=36−1
整理得l:3 x + 4 y −23=0，
故选：C.
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上到直线y = ❑√3 x +2的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(1,3)
C．(3,+∞)
D．(0,+∞)
【答案】B
【解题思路】先求出圆心E (0,−2)到直线y = ❑√3 x +2的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【解答过程】由题意，
在圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)中，圆心E (0,−2)，半径为r，
到直线y = ❑√3 x +2的距离为1的点有且仅有 2个，
∵圆心E (0,−2)到直线y = ❑√3 x +2的距离为：d =|0×❑√3−(−2)×1+2)
❑√(❑√3)
2+(−1)
2
=2，
故由图可知，
当r =1时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有一个点（A点）到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1；
当r =3时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有三个点（B ,C , D点）到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1；
当则r的取值范围为(1,3)时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有两个点到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1.
故选：B.
8．（2025·山西吕梁·三模）已知点M 为圆O: x
2+ y
2= 4与y 轴负半轴的交点，直线l: y =kx + 3
2与圆O 交于
A，B 两点，则△ABM面积的最大值为（ ）
A．3
B．14
3
C．4
D．13
4
【答案】B
【解题思路】注意到直线l: y =kx + 3
2过点C(0, 3
2)，将直线与圆方程联立，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则
△ABM面积为1
2|CM )|x1−x2)，然后由韦达定理可得面积关于k 的表达式，据此可得答案.
【解答过程】注意到直线l: y =kx + 3
2过点C(0, 3
2)，将直线方程与O: x
2+ y
2= 4联立，
可得x
2+(kx + 3
2)
2
= 4⇒(k
2+1) x
2+3kx −7
4 =0，其判别式为9k
2+7(k
2+1)>0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+ x2= −3k
k
2+1
，x1 x2=
−7
4
k
2+1
.
又S△ABM = 1
2|CM )|x1−x2)，M (0,−2)，
则S△ABM = 7
4
❑√(x1+ x2)
2−4 x1 x2= 7
4
❑√
16(k
2+1)−9
(k
2+1)
2
= 7
4
❑√
16
k
2+1
−
9
(k
2+1)
2
= 7
4
❑√
−9(
1
(k
2+1)
2 −
16
9(k
2+1))= 7
4
❑√
−9(
1
(k
2+1)
−8
9)
2
+ 64
9 ≤14
3 ，
当且仅当
1
k
2+1
= 8
9 ⇒k
2= 1
8 ⇒k =±
❑√2
4 时取等号.
故选：B.
二、多选题
9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P(2,1)在圆C上，则
（ ）
A．y轴与圆C可能相切
B．直线x + y =0与圆C可能相交
C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2
D．原点O与圆C上的点的距离的最大值为❑√5+1
【答案】AC
【解题思路】A，设圆C : (x−a)
2+( y −b)
2=1，令a=1举例说明；B，令t =a+b，利用关系式
(2−a)
2+(1−b)
2=1求出t的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆C与x轴相
交求出b的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求|OC)+1=
❑√a
2+b
2+1的最值，再利用几
何意义即可求出.
【解答过程】设圆C : (x −a)
2+( y −b)
2=1，
因点P(2,1)在圆C上，则(2−a)
2+(1−b)
2=1，
若a=1，则b=1，则圆C : (x −1)
2+( y −1)
2=1，此时y轴与圆C相切，故A 正确；
令t =a+b，则a+b−t =0，
因直线a+b−t =0与圆(2−a)
2+(1−b)
2=1有交点，则|2+1−t )
❑√2
≤1，
得3−❑√2≤t ≤3+ ❑√2，
则圆心C到直线x + y =0的距离d =|a+b)
❑√2 = t
❑√2 ∈[
3 ❑√2−2
2
, 3 ❑√2+2
2 )，
则d >1，故直线x + y =0与圆C不可能相交，故B 错误；
因(2−a)
2=1−(1−b)
2≥0，得0≤b≤2，
令y =0，则(x −a)
2+( y −b)
2=1化为(x −a)
2=1−b
2，
故当b∈[0,1)时圆C与x轴相交，
弦长为2
❑√1−b
2≤2，等号成立时b=0，故C 正确；
因(2−a)
2+(1−b)
2=1，
则❑√a
2+b
2可以理解为以P(2,1)为圆心，以1为半径的圆上的点到(0,0)的距离，
则❑√a
2+b
2的最大值为|OP)+1= ❑√5+1，
故|OC)+1=
❑√a
2+b
2+1≤❑√5+1+1= ❑√5+2，
故原点O与圆C上的点的距离的最大值为❑√5+2，故D 错误.
故选：AC.
10．（2025·宁夏银川·二模）已知圆C :( x +2)
2+ y
2= 4，直线l:(m+1)x +2 y −1+m=0(m∈R)，则
（ ）
A．直线l 与圆C 可能相切
B．当m=0时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1
C．直线l 与直线2 x−(m+1) y =0垂直
D．若圆C 与圆x
2+ y
2−2 x +8 y +a=0恰有三条公切线，则a=8
【答案】CD
【解题思路】对于A 项，求出直线l经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B 项，代入
m=0，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C 项，根据两直线的系数计算即可
得出；对于D 项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案.
【解答过程】对于A 项，整理直线l:(m+1)x +2 y −1+m=0(m∈R)
可得出m(x +1)+ x +2 y −1=0，
解方程组{
x +1=0
x +2 y −1=0)可得，直线l过定点A (−1,1).
圆C :( x +2)
2+ y
2= 4的圆心为C (−2,0)，半径为r =2，
则|AC)=
❑√(−2+1)
2+(0−1)
2= ❑√2<2，
所以点A在圆内，即直线l过圆内一定点，
所以，直线l 与圆C 一定相交.故A 错误；
对于B 项，当m=0时，直线l化为x +2 y −1=0.
此时有圆心C (−2,0)到直线l的距离d =|−2×1−1)
❑√1
2+2
2
= 3 ❑√5
5
，且1<d <2，
因此圆C 上只有两个点到直线l 的距离等于1.故B 错误；
对于C 项，因为(m+1)×2−2(m+1)=0，
所以直线l 与直线2 x−(m+1) y =0垂直.故C 正确；
对于D 项，要使圆C 与圆x
2+ y
2−2 x +8 y +a=0恰有三条公切线，则应满足两圆外切.
圆x
2+ y
2−2 x +8 y +a=0可化为(x−1)
2+( y + 4)
2=17−a (a<17)，
圆心为M (1,−4)，半径为R = ❑√17−a.
因为两圆外切，所以有|MC)=r + R，
即❑√17−a+2=
❑√(−2−1)
2+(0+ 4)
2=5，
整理可得❑√17−a=3，化简可得17−a=9，
解得a=8.故D 项正确.
故选：CD.
11．（2025·辽宁·三模）已知直线4 x +3 y −12=0与x 轴、y 轴交于A ,B两点，点P 为圆
C :( x−3)
2+( y −4)
2= 4上的动点，则（ ）
A．直线AB与圆C 相离
B．△ABC 的面积为12
C．当∠PBA最小时，| PB|= ❑√5
D．点P 到直线AB距离的最大值为32
5
【答案】AC
【解题思路】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A 正确；由点到直线的距离公式，结合三角
形的面积公式，可判定B 错误；当当∠PBA最小时，直线PB与圆相切，利用切线长公式，可判定C 正
确；根据圆的性质，可得判定D 错误.
【解答过程】由圆C :( x−3)
2+( y −4)
2= 4，可得圆心为C(3,4)，半径为r =2，
对于A 中，圆心坐标C到直线4 x +3 y −12=0的距离为d =|12+12−12|
❑√3
2+ 4
2
= 12
5 >r =2，
所以直线AB与圆C相离，所以A 正确；
对于B 中，由点C 到直线AB的距离为12
5 ，则△ABC的面积S△ABC = 1
2 ×5× 12
5 =6，所以B 项错误；
对于C 中，如图所示，当∠PBA最小时，直线PB与圆相切，此时| PB|=
❑√BC
2−4 = ❑√5，所以C 正
确；
对于D 中，由点P 到直线AB距离的最大值为d +r = 12
5 +2= 22
5 ，所以D 错误．
故选：AC.
三、填空题
12．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆x
2+ y
2=1和圆(x −3)
2+ y
2=r
2(r >0)有一个公共点，则r的值为
．
【答案】2或4
【解题思路】由两圆位置关系构造方程求解即可.
【解答过程】圆x
2+ y
2=1和圆(x−3)
2+ y
2=r
2(r >0)有一个公共点，则两圆内切或外切，
由题可得|r −1|=3(r >0)或r +1=3，解得r =2或r = 4．
故答案为：2或4.
13．（2025·上海·模拟预测）圆x
2+ y
2−2 x−4 y + 4 =0上的点到直线3 x + 4 y + 4 =0的距离最大值为
.
【答案】4
【解题思路】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到
直线的距离的最大值.
【解答过程】因为C : x
2+ y
2−2 x−4 y + 4 =0⇒(x−1)
2+( y −2)
2=1，
所以圆心坐标为C (1,2)，半径r =1.
所以圆上的点到3 x + 4 y + 4 =0的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即AB的长度.
所以d =|3+8+ 4)
❑√3
2+ 4
2 +1= 4.
故答案为：4.
14．（2025·天津·高考真题）l1: x−y +6=0，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
( x +1)
2+( y −3)
2=r
2(r >0)交于C、D 两点，| AB|=3|CD|，则r =
．
【答案】2
【解题思路】先根据两点间距离公式得出| AB|=6 ❑√2，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式
|CD|=2
❑√r
2−d
2列等式求解即可.
【解答过程】因为直线l1: x−y +6=0与x轴交于A (−6,0)，与y轴交于B (0,6)，所以
| AB|=
❑√6
2+6
2=6 ❑√2，所以|CD)=2❑√2，
圆( x +1)
2+( y −3)
2=r
2的半径为r，圆心(−1,3)到直线l1: x−y +6=0的距离为d =|−1−3+6|
❑√2
= ❑√2，
故|CD)=2
❑√r
2−d
2=2
❑√r
2−(❑√2)
2=2❑√2，解得r =2；
故答案为：2.
四、解答题
15．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆C：x
2+ y
2−2 x−2 y −2=0，直线l：x−y +2=0.
(1)求圆C的圆心及半径；
(2)求直线l被圆C截得的弦AB的长度.
【答案】(1)圆心(1,1)，半径r =2
(2)2❑√2
【解题思路】（1）将圆C的方程化为圆的标准方程，即可求解；
（2）首先求出圆心C到直线l的距离，再根据勾股定理计算即可求解.
【解答过程】（1）圆C：x
2+ y
2−2 x−2 y −2=0的标准方程为：(x −1)
2+( y −1)
2= 4，
∴圆C的圆心为(1,1)，半径为r =2.
（2）由（1）可知：圆C的圆心为C (1,1)，半径为r =2.
取弦AB中点E，连接CE，BC，如图所示.
由圆的性质可知CE⊥AB，|BE)=|AE)= 1
2|AB).
∴圆心C (1,1)到直线l：x−y +2=0的距离d =|CE)=|1−1+2)
❑√1
2+1
2 = ❑√2.
在Rt△CEB中，|BE)=
❑√|BC)
2−|CE)
2=
❑√2
2−(❑√2)
2= ❑√2，∴|AB)=2|BE)=2❑√2，
即直线l被圆C截得的弦AB的长度为2❑√2.
16．（25-26 高二上·四川内江·开学考试）过点P(1,−3)的圆C :(x−4)
2+( y −2)
2=9的两条切线l1,l2，切
点为A ,B，求：
(1)求切线l1,l2的方程；
(2)求切线段|PA),|PB)的长度．
【答案】(1)x =1或8 x−15 y −53=0
(2)|PA)=|PB)=5
【解题思路】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可；
（2）根据切线长的性质可得|PA)=|PB)，进而结合图形求解即可.
【解答过程】（1）由圆C :(x−4)
2+( y −2)
2=9，则圆心为(4,2)，半径为3，
当切线斜率不存在时，切线方程为x =1，
此时圆心(4,2)到切线方程为x =1的距离为3，等于半径，满足题意；
当斜率存在时，设切线方程为y +3=k (x−1)，即kx−y −k −3=0，
则|4 k −2−k −3)
❑√k
2+1
=3，解得k = 8
15，
则切线方程为8
15 x−y −8
15 −3=0，即8 x−15 y −53=0.
综上所述，切线方程为x =1或8 x−15 y −53=0.
（2）由切线的性质，得|PA)=|PB)，
当切线为x =1时，此时切线与x轴垂直，
则|PA)=|PB)=2−(−3)=5.
17．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，Q (2,0)，过点P(2,4)作直线l 与圆O: x
2+ y
2= 4交于不
同的两点M , N．
(1)若直线l 的斜率为1，求|MN )；
(2)设直线QM，QN的斜率分别是k1，k2，探索k1+k2是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理
由．
【答案】(1)2❑√2
(2)k1+ k2是定值，且定值为−1
【解题思路】（1）先计算圆心(0,0)到直线l 的距离，再利用垂径定理计算即可；
（2）设l: y −4 =k (x−2)，与圆O方程联立，利用韦达定理化简即可.
【解答过程】（1）依题意，得直线l: y −4 = x−2，即y = x +2，
则圆心(0,0)到直线l 的距离d = |2)
❑√2 = ❑√2，所以|MN )=2❑√4−2=2❑√2．
（2）依题意，直线l 的斜率存在且不为零，设M (x1, y1), N (x2, y2)，l: y −4 =k (x−2)，
联立{
y −4 =k (x−2)
x
2+ y
2= 4 )，得(1+ k
2) x
2−4 k (k −2) x + 4 k
2−16 k +12=0，
则x1+ x2= 4 k (k −2)
1+ k
2
，x1 x2= 4 k
2−16 k +12
1+k
2
，
所以k1+k2=
y1
x1−2 +
y2
x2−2 = k (x1−2)+ 4
x1−2
+ k (x2−2)+ 4
x2−2
=2k +
4
x1−2 +
4
x2−2
=2k +
4(x1+ x2−4)
x1 x2−2(x1+ x2)+ 4 =2k +
4×[
4 k (k −2)
1+k
2
−4)
4 k
2−16 k +12
1+ k
2
−2× 4 k (k −2)
1+k
2
+ 4
=2k −(2k +1)=−1，
所以k1+ k2是定值，且定值为−1．
18．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知圆C1:( x −1)
2+( y +1)
2= 4，圆C2:( x −m)
2+ y
2=m
2(m>0)．
(1)若两圆内含，求实数m的取值范围．
(2)是否存在实数m，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(0,1)
(2)存在，m=
❑√6
2 ．
【解题思路】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于|r1−r2)，进而求得m的范围.
（2）根据圆的弦长公式进行求解即可.
【解答过程】（1）由题意，得C1(1,−1)，半径r1=2,C2(m,0)，半径r2=m(m>0)．
因为两圆内含，所以|C1C2)<|r1−r2)，
所以❑√(m−1)
2+1<|2−m|，即(m−1)
2+1<(2−m)
2，解得m<1，
又因为m>0，所以0<m<1，故m的取值范围为(0,1)．
（2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为(m−1)x + y −1=0．
假设存在实数m，使得两圆公共弦的长度为2，
因为C1(1,−1)，半径r1=2，
所以点C1到直线(m−1)x + y −1=0的距离d = ❑√4−1= ❑√3．
又因为d =|m−3|
❑√(m−1)
2+1，所以
|m−3|
❑√(m−1)
2+1
= ❑√3，
解得m
2= 3
2，因为m>0，所以m=
❑√6
2 ．
19．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线x + y −1=0上且过点A(2,2)的圆C1与直线
3 x−4 y +5=0相切，其半径小于5．若圆C2与圆C1关于直线x−y =0对称．
(1)求圆C2的方程；
(2)求圆C1与圆C2公切线段的长度；
(3)过直线y =2 x−6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PC C2 D面积最小时，求直
线CD 的方程．
【答案】(1)( x +1)
2+( y −2)
2=9
(2)3 ❑√2
(3)4 x−2 y −1=0
【解题思路】（1）设C1(a,1−a)，根据题意列出关于a的方程，求得a即可；
（2）首先得两圆相交，进一步得所求为|C1C2)=3 ❑√2；
（3）首先得四边形PC C2 D面积最小时，点P的坐标，进一步即可求解.
【解答过程】（1）由题意，设C1(a,1−a)．
∵圆C1过点A(2,2)，且与直线3 x−4 y +5=0相切，
∴
❑√(a−2)
2+(1−a−2)
2=|3a−4(1−a)+5|
5
，∴(a−2)(a−62)=0．
∵圆C1的半径小于5，
∴a=2，此时圆C1的半径为3，圆心为C1(2,−1)，故方程为( x−2)
2+( y +1)
2=9．
∵圆C2与圆C1关于直线x−y =0对称，∴圆C2的方程为( x +1)
2+( y −2)
2=9．
（2）由（1）知圆C1:( x −2)
2+( y +1)
2=9，圆心为C1(2,−1)，半径为r1=3，
圆C2:( x +1)
2+( y −2)
2=9，圆心为C2(−1,2)，半径为r2=3，
∴|C1C2)=
❑√(2+1)
2+(−1−2)
2=3 ❑√2,|r1−r2)<|C1C2)< r1+r2,∴两圆相交，有两条公切线．
又r1=r2,∴公切线段的长度等于|C1C2)=3 ❑√2．
（3）圆C2的半径r2=3，
则四边形PC C2 D的面积S =2S△PC2 D=2× 1
2 ×| PD|×3=3| PD|．
设P(b,2b−6)，
∵| PD|=
❑√(b+1)
2+(2b−8)
2−9=
❑√5(b−3)
2+11，
∴当b=3时，| PD|min= ❑√11，此时四边形PC C2 D的面积最小，为3 ❑√11, P(3,0)．
∵C , D在以|PC2)为直径的圆上，圆的方程为( x−1)
2+( y − 1)
2=5，
又圆C2的方程为( x +1)
2+( y −2)
2=9，
∴两个方程相减，可得直线CD 的方程为4 x−2 y −1=0．
