2025 年高考数学全真模拟卷 02（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）若(1−i)z=2，则|z+1)=（ ）
A．❑√5 B．❑√3 C．1 D．5
【解题思路】先由(1−i)z=2求出复数z，从而可求出z+1，进而求出|z+1).
2 2(1+i)
【解答过程】由(1−i)z=2，得z= = =1+i，
1−i (1−i)(1+i)
所以z+1=2+i，
所以|z+1)=❑√22+12=❑√5，
故选：A.
2．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“a>1,b>1”是“ab>1”的必要条件
B．∀x>0,ex>2x
C．∀x>0,2x≥x2
a
D．a+b=0的充要条件是 =−1
b
【解题思路】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.
【解答过程】对于A，当a=2,b=1时，满足ab>1，但不满足a>1,b>1，故“a>1,b>1”不是“ab>1
”的必要条件，故错误；e x
对于B，根据指数函数的性质可得，对于∀x>0, ( ) >1，即ex>2x，故正确；
2
对于C，当x=3时，2x<x2，故错误；
a
对于D，当a=b=0时，满足a+b=0，但 =−1不成立，故错误.
b
故选：B.
3．（5分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量|⃗a|=3,|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|，则|⃗a+⃗b|=（ ）
A．❑√3 B．2 C．❑√5 D．3
【解题思路】对|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|两边平方化简可得⃗b2+2⃗a⋅⃗b=0，再对|⃗a+⃗b|平方化简后再开方即可.
【解答过程】由|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|两边平方得，⃗a2+⃗b2−2⃗a⋅⃗b=⃗a2+4⃗b2+4⃗a⋅⃗b，
所以⃗b2+2⃗a⋅⃗b=0，
所以|⃗a+⃗b|2= ⃗a2+⃗b2+2⃗a⋅⃗b=|⃗a|2=9，
所以|⃗a+⃗b|=3，
故选：D.
4．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的
热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩
取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
235
D．估计这组数据的中位数为 分
3
【解题思路】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算
成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.
【解答过程】对A，由题意，10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1，解得a=0.005，故A正确；
70+80
对B，由直方图可得估计这组数据的众数为 =75分，故B正确；
2
对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为10×(0.01+0.015)=0.25，故估计成绩低于60分的有1000×0.25=250人，故C正确；
对D，由A可得区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的频率分别为
0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，
因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5，0.1+0.15+0.15<0.5，故中位数位于[70,80)内.
220
设中位数为x，则0.1+0.15+0.15+0.03×(x−70)=0.5，解得x= ，故D错误.
3
故选：D.
5．（5分）（2024·贵州贵阳·三模）过点 的直线 与圆 相交于不同的
A(−3,−4) l C:(x−3) 2+(y−4) 2=9
两点M，N，则线段MN的中点P的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
【解题思路】设 P(x,y), 根据垂径定理得到CP⊥AP，再转化为⃗CP⋅⃗AP=0，写出相关向量，代入化
简即可.
【解答过程】设P(x,y)，根据线段MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AP，
所以⃗CP⋅⃗AP=0，又A(−3,−4),C(3,4),⃗AP=(x+3,y+4),⃗CP=(x−3,y−4)，
所以(x+3)(x−3)+(y+4)(y−4)=0，即x2+ y2=25，
所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分，
故选：D.
6．（5分）（2024·全国·模拟预测）若函数f(x)=❑√6sinωx(ω>0)的图象与函数g(x)=❑√6cosωx的图
象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则ω=（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 4 6 8
π
【解题思路】解法一，令f(x)=g(x)，可得ωx=kπ+ (k∈Z)，不妨取k=0，1，2，得三个连续的
4交点依次为A (
π
,❑√3 ) ，B
(5π
−❑√3 ) ，C
(9π
,❑√3 ) ，求得△ABC的高，再根据f (x)与g(x)图象求
4ω 4ω 4ω
得△ABC的高，建立方程求得结果.
解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)=❑√6sinωx和g(x)=❑√6cosωx的图象，求得△ABC
的高为2❑√3，可得△ABC的边长为4即f (x)的周期为4，得解.
【解答过程】解法一 由{f(x)=❑√6sinωx)，令 ，得 ，
f(x)=g(x) tanωx=1
g(x)=❑√6cosωx
π π
所以ωx=kπ+ (k∈Z)，不妨取k=0，1，2，得三个连续的交点依次为A ( ,❑√3 ) ，
4 4ω
(5π
)
(9π
)
B −❑√3 ，C ,❑√3 ，
4ω 4ω
9π π ❑√3(9π π )
因为△ABC为正三角形， − 为△ABC的边长， − 为△ABC的高，
4ω 4ω 2 4ω 4ω
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(x)=❑√6sinωx和g(x)=❑√6cosωx的图象的交点处
❑√2
sinωx=cosωx=± ，
2
❑√2
所以△ABC的高为2×❑√6× =2❑√3，
2
❑√3(9π π )
所以 − =2❑√3，
2 4ω 4ω
π
解得ω= ．
2
故选：A．
解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)=❑√6sinωx和g(x)=❑√6cosωx的图象，
设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接AB，AC，BC，
则△ABC为正三角形，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(x)=❑√6sinωx和g(x)=❑√6cosωx的图象的交点处❑√2
sinωx=cosωx=± ，
2
❑√2
所以|BD|=2×❑√6× =2❑√3，
2
2π π
所以|AC|=4，所以f(x)=❑√6sinωx的最小正周期T=4，即 =4，所以ω= ．
ω 2
故选：A．
7．（5分）（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面
ABCD，点P为圆弧AD上的动点.当三棱锥P−BCD的体积最大时，PC与半圆面APD所成角的余弦值为
（ ）
❑√2 ❑√3 ❑√6 ❑√3
A． B． C． D．
3 6 6 3
【解题思路】过点P作OP⊥AD于点O，易得点P位于圆弧AD的中点时，V 最大，证明CD⊥面
P−BCD
PAD，则∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，再解Rt△PCD即可.
【解答过程】过点P作OP⊥AD于点O，
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD=AD，OP⊂面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
1 1 2 2
则V = × ×2×2⋅OP= OP≤ ，
P−BCD 3 2 3 3
当且仅当OP=1，即点P位于圆弧AD的中点时，V 最大，此时O为AD的中点，
P−BCD
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，
所以∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，
在Rt△PCD中，CD=2,PD=❑√1+1=❑√2,PC=❑√4+2=❑√6，
PD ❑√3
所以cos∠CPD= = ，
PC 3
❑√3
即PC与半圆面APD所成角的余弦值为 .
3故选：D.
8．（5分）（2023·四川成都·一模）已知函数 ，若 时， 恒成
y=(2−x)(lna) 2−4lna+x+2 x∈[0,2) y≥0
立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,e) B．[e,+∞) C．(0,1) D．[1,+∞)
【解题思路】当 时， ，所以问题转化为 ，求解
x=0 y=2(lna) 2−4lna+2=2(lna−1) 2≥0 −4lna+4≥0
即可.
【解答过程】由 可得 ，
y=(2−x)(lna) 2−4lna+x+2 y=[1−(lna) 2)x+2(lna) 2−4lna+2
当a=e时，y=0符合题意；
当a≠e时，y是关于x的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，
又当 时， ，
x=0 y=2(lna) 2−4lna+2=2(lna−1) 2≥0
当x=2时，y=−4lna+4，
所以−4lna+4≥0，即lna≤1，解得0<a<e，
综上，0<a≤e.
故选；A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1
9．（6分）（2024·新疆喀什·三模）已知函数f (x)=❑√3sinxcosx−cos2x+ ，则下列说法正确的是
2
（ ）
π
A．f
(x)=sin(
2x−
)
6
B．函数f (x)的最小正周期为2π
π
C．x= 是函数f (x)图象的一条对称轴
3π
D．函数f (x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移 个单位长度得到
12
【解题思路】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B由周期计算公式可得答案；
π
C将x= 代入由A选项所得化简式中可得答案；
3
D由函数图象平移知识可得答案．
1 ❑√3 1 π
【解答过程】Ａ选项，f (x)=❑√3sinxcosx−cos2x+ = sin2x− cos2x=sin ( 2x− ) ，故A正
2 2 2 6
确；
2π
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为 =π，故B错误；
2
π π π π
C选项，将x= 代入2x− = ，f (x)在此时得最大值，故x= 是函数f (x)图象的一条对称轴，故C
3 6 2 3
正确；
π π π
D选项，y=sin2x的图象向右平移 个单位得sin2
(
x−
)=sin (
2x−
)
，故D正确．
12 12 6
故选：ACD.
10．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线E:y2=8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C
的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为△ACF的中线，则|AF|=2|BF|
B．|AF|>4
C．存在直线使得|AC|=❑√2|AF|
D．对于任意直线l，都有|AF|+|BF|>2|CF|
【解题思路】取 ， 两点都在第一象限, 设 ， ，联立抛物线，利用
A B l:x=ky−2,k>0 A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
韦达定理以及抛物线的定义来判断各项正误.
【解答过程】不妨取A，B两点都在第一象限，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足为D,E，
设 ， ， ，
l:x=ky−2,k>0 A(x ,y ),B(x ,y ),x >x C(−2,0),F(2,0)
1 1 2 2 1 2
联立 ，得 且 ，即 ，
E:y2=8x y2−8ky+16=0 Δ=64(k2−1)>0 k2>1
所以y + y =8k,y y =16，
1 2 1 2则 (y y ) 2 ，
x +x =k(y + y )−4=8k2−4,x x = 1 2 =4
1 2 1 2 1 2 64
对于A：若
BF
为
△ACF
的中线，则
y =
y
1
，结合
y y =16
得{y
1
=4❑√2)，所以{x
1
=4)，
2 2 1 2 y =2❑√2 x =1
2 2
所以 ， ，
A(4,4❑√2) B(1,2❑√2)
此时|AF|=4+2=6,|BF|=1+2=3，所以|AF|=2|BF|，A正确；
对于B：由求根公式 8k+❑√Δ 8k+❑√64(k2−1) ，
y = = =4(k+❑√k2−1)>4
1 2 2
则 y2 ，所以 ，B正确；
x = 1>2 |AF)=x +2>4
1 8 1
对于C：若|AC|=❑√2|AF|，即|AC|=❑√2|AD|，明显△ACD等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，解得 ，此时 ，
|CD|=|AD| A(y −2,y ) y2=8 y −16 y =4 y =4
1 1 1 1 1 2
此时A,B为同一点，不合题意，C错误；
对于D： ，
|AF|+|BF|=|AD|+|BE| =x +x +4=8k2
1 2
又2|CF|=8，结合k2>1，都|AF|+|BF|>2|CF|恒成立，D正确；
故选：ABD.
11．（6分）（2024·重庆·三模）已知函数 ( 为常数)，则下列结论正确的是（ ）
f(x)=e2x−ax2 a
A．当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x−y+1=0
B．若 有3个零点，则 的取值范围为
f(x) a (e2,+∞)
C．当a=e2时，x=1是f(x)的极大值点1 1
D．当a= 时，f(x)有唯一零点x ，且−1<x <−
2 0 0 2
e2x
【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为g(x)= 与y=a的图象有3个交
x2
点，利用导数求得函数 的单调性与极值，可判定B正确；当 时，得到 ，讨论
g(x) a=e2 f′(x)=2(e2x−e2x)
1
函数f (x)的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当a= 时，得到f'(x)>0，函数f (x)单调递增，结
2
1
合f(−1)⋅f(− )<0，可判定D正确；
2
【解答过程】对于A中，当 时，可得 ，则 ，所以
a=1 f(x)=e2x−x2 f(0)=1,f′ (x)=2e2x−2x,f′ (0)=2
切线为2x−y+1=0,A正确：
对于B中，若函数 有3个零点，即 有三个解，
f(x)=e2x−ax2 e2x=ax2
其中x=0时，显然不是方程的根，
e2x
当x≠0时，转化为g(x)= 与y=a的图像有3个交点，
x2
又由 2e2xx2−2e2xx 2e2x (x−1)，
g′ (x)= =
x4 x3
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
g′ (x)>0 x<0 x>1 g′ (x)<0 0<x<1
所以函数g(x)在(−∞,0),(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；
所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，
x=1 g(x) g(1)=e2
又由x→0时，g(x)→+∞，当x→−∞时，g(x)→0且g(x)>0，
如下图：所以 ，即实数 的取值范围为 ，所以B正确：
a>e2 a (e2,+∞)
对于 中，当 时， ，可得 ，
C a=e2 f(x)=e2x−e2x2 f' (x)=2e2x−2e2x=2(e2x−e2x)
令 ， 在 上单调递增，
g(x)=e2x−e2x g' (x)=2e2x-e2 R
且 ,所以存在 使得 ，
g' (0)=2−e2<0,g' (1)=e2>0 x ∈(0,1) g' (x )=0
0 0
所以在 上 ， 单调递减，
(−∞,x ) g' (x)<0 g(x)
0
在 上 ， 单调递增，又 ,
(x ,+∞) g' (x)>0 g(x) g(1)=0
0
所以在 上 ，即 ， 单调递减，
(x ,1) g(x)<0 f' (x)<0 f(x)
0
在 上 ，即 ， 单调递增，
(1,+∞) g(x)>0 f' (x)>0 f(x)
所以x=1是f(x)的极小值点，所以C错误．
对于D中，当a= 1 时，f′ (x)=2e2x−x=2 ( e2x− 1 x ) ，
2 2
1 1
设ℎ(x)=e2x− x，可得ℎ ′ (x)=2e2x− ，
2 2
1 ( 1) 1 ( 1 )
当x<ln 时，ℎ ′ (x)<0,ℎ(x)在 −∞,ln 单调递减；当x>ln 时，ℎ ′ (x)>0,ℎ(x)在 ln ,+∞ 单
2 2 2 2
调递增，
所以当 x=ln 1时， ℎ(x) = ℎ ( ln 1) =e 2ln 1 2− 1 ln 1 = 1 + 1 ln2>0 ，所以 ℎ(x)>0 ，
2 min 2 2 2 4 2
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
f' (x)>0 f(x) R又因为f(−1)=e−2− 1 <0,f ( − 1) =e−1− 1 >0，即f(−1)⋅f ( − 1) <0，
2 2 8 2
1
所以f(x)有唯一零点x 且−1<x <− ，所以D正确；
0 0 2
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且满足
{a ) a =1 a ,a ,a
n 1 2 3 6
成等比数列，则数列 前6项的和为 .
{a ) −24
n
【解题思路】设数列 公差为 ，再根据 成等比数列求解可得 ，进而可得 的通项公式
{a ) d a ,a ,a d=−2 {a )
n 2 3 6 n
求解即可.
【解答过程】设数列 公差为 ，由 成等比数列可得 ，
{a ) d a ,a ,a a2=a a
n 2 3 6 3 2 6
即 ，即 ，因为公差不为0，故 .
(1+2d) 2=(1+d)(1+5d) d2+2d=0 d=−2
故a =1−2(n−1)=−2n+3.
n
故 前6项的和为 .
{a ) 1−1−3−5−7−9=−24
n
故答案为：−24.
π
π sin2αsin( +β )
13．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知α,β∈
( ,π)
，且 2 ，
2 1−cos2α=
1+sinβ
β
tanα+tan
2
则 = 1 ．
β
1−tanαtan
2
【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．
π
sin2αsin( +β ) 1−cos2α cosβ
【解答过程】由 2 得 = ，
1−cos2α= sin2α 1+sinβ
1+sinββ β
cos2 −sin2
2sin2α 2 2
= ,
2sinαcosα β β β β
cos2 +sin2 +2sin cos
2 2 2 2
β β β π β
cos −sin 1−tan tan −tan
sinα 2 2 2 4 2 π β
所以 = ，即tanα= = =tan( − )，
cosα β β β π β 4 2
cos +sin 1+tan 1+tan tan
2 2 2 4 2
π π β β 5π
又α,β∈ ( ,π) ，所以α= − +π，即α+ = ，
2 4 2 2 4
β
tanα+tan
2 β 5π
所以 =tan(α+ )=tan =1．
β 2 4
1−tanαtan
2
故答案为：1.
14．（5分）（2024·浙江台州·二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有 72 0 种不同
3
的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为 .
5
【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可；
（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.
【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有 种不同的排
A6=6×5×4×3×2×1=720
6
法；
记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含：
A3×A2×A2=3×2×1×3×2×4×3=432
3 3 4
432 3
故P(A)= = .
720 5
3
故答案为：720； .
5
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·山东青岛·三模）设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且
A
sin(B+C)=2❑√3sin2 ．
2
(1)求角A的大小；3❑√21
(2)若b=3，BC边上的高为 ，求三角形ABC的周长．
7
A 1−cosA
【解题思路】（1）利用内角和为180°化简sin(B+C)=sin A，利用二倍角公式化简sin2 = ，
2 2
π
再利用辅助角公式化简即可求得A= ；
3
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【解答过程】（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以sin(B+C)=sin A，
A 1−cosA A
因为sin2 = ，所以sin(B+C)=2❑√3sin2 可化为：sin A=❑√3(1−cosA)，
2 2 2
π ❑√3
即sin A+❑√3cosA=❑√3，即sin ( A+ )= ，
3 2
因为A+ π ∈ (π , 4π ) ，解得：A+ π = 2π ，即A= π ．
3 3 3 3 3 3
1 1 3❑√21 1 π 1 3❑√21
（2）由三角形面积公式得 b⋅csin A= × a，b=3代入得： ×3⋅csin = × a，
2 2 7 2 3 2 7
❑√7 7
所以a= c，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA= c2得：c2+4c−12=0，
2 4
解得：c=2或c=−6舍去，即a=❑√7，
所以△ABC的周长为5+❑√7.
16．（15分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知f(x)=ax+bcosx在点 (π ,f ( π )) 处的切线方程为
2 2
x+2y−π=0.
(1)求a,b的值；
(2)求f (x)在区间[0,π]的单调区间和极值.
π π
{ +2f ( ) −π=0)
2 2
【解题思路】（1）由题意可得 ，解方程组可求出a,b的值；
π 1
f′( )=−
2 2
（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.
【解答过程】（1）由 ，得 ，
f(x)=ax+bcosx f′ (x)=a−bsinx
因为f(x)=ax+bcosx在点 (π ,f ( π )) 处的切线方程为x+2y−π=0，
2 2π π
{ +2f ( ) −π=0)
2 2
所以 ，
π 1
f′( )=−
2 2
π π π π
{ +2 ( a+bcos ) −π=0) {πa= )
2 2 2 2
所以 ，所以 ，
π 1 1
a−bsin =− a−b=−
2 2 2
1
解得a= ,b=1；
2
1 1
（2）f(x)= x+cosx,f′ (x)= −sinx，令f′ (x)=0，
2 2
π 5π
因为x∈[0,π]，所以x = ，或x = ，
1 6 2 6
π
当x∈ ( 0, ) 时，f′ (x)>0,f(x)单调递增，
6
(π 5π )
当x∈ , 时，f′ (x)<0,f(x)单调递减，
6 6
(5π
)
当x∈ ,π 时，f′ (x)>0,f(x)单调递增.
6
π 1 π π π ❑√3
所以f(x)极大值为f ( )= × +cos = + ，极小值为
6 2 6 6 12 2
(5π ) 1 5π 5π 5π ❑√3
f = × +cos = − ，
6 2 6 6 12 2
综上所述，f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为 ( 0, π ) 和 (5π ,π ) ，单调递减区间为 (π , 5π ) ；
6 6 6 6
π ❑√3 5π ❑√3
极大值为 + ，极小值为 − .
12 2 12 2
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形ABCDE中，AB=BD，AD⊥DC，
EA=ED且EA⊥ED，将△AED沿AD折成图2，使得EB=AB，F为AE的中点．(1)证明：BF//平面ECD；
(2)若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A−EB−D的正弦值．
【解题思路】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，从而证明BG//平面ECD，FG//平面ECD，即可
得到平面BFG//平面ECD，即可得证．
（2）推导出AE⊥平面BFG，BG⊥平面EAD，平面EAD⊥平面ABCD，连接EG，以G为坐标原点，
GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−EB−D
的正弦值．
【解答过程】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，
∵AB=BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD，
又AD⊥DC，∴BG//CD．
又BG⊄平面ECD，CD⊂平面ECD，∴BG//平面ECD．
∵F为AE的中点，∴FG//ED．
又FG⊄平面ECD，ED⊂平面ECD，∴FG//平面ECD，
又BG∩FG=G，BG,FG⊂平面BFG，∴平面BFG//平面ECD，
又BF⊂平面BFG，∴BF//平面ECD．
（2）∵EA⊥ED，由（1）知FG//ED，∴FG⊥AE，
又EB=AB，F为AE的中点，∴BF⊥AE，
又BF∩FG=F，BF,FG⊂平面BFG，∴AE⊥平面BFG，
又BG⊂平面BFG，∴BG⊥AE，
又BG⊥AD，AD∩AE=A，AD,AE⊂平面EAD，∴BG⊥平面EAD，
又BG⊂平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，
连接EG，∵EA=ED，G为AD的中点，∴EG⊥AD，
又平面EAD∩平面ABCD=AD，EG⊂平面EAD，
∴EG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EG⊥BG，
以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG=30°，
❑√2 ❑√6
∵EA=ED，设EA=t(t>0)，则AD=❑√2t，EG= t，EB=❑√2t，BG= t，
2 2
， ( ❑√2 )， ( ❑√2 )， ( ❑√2 )， (❑√6 )，
∴G(0,0,0) E 0,0, t A 0,− t,0 D 0, t,0 B t,0,0
2 2 2 2
(❑√6 ❑√2 )， ( ❑√2 ❑√2 )， ( ❑√2 ❑√2 )，
∴⃗EB= t,0,− t ⃗AE= 0, t, t ⃗DE= 0,− t, t
2 2 2 2 2 2
设平面 的法向量为 ，
ABE n =(x ,y ,z )
1 1 1 1
{ ⃗n ⋅⃗EB=
❑√6
tx −
❑√2
tz =0)
则 1 2 1 2 1 ，令 ，得 ，
x =1 ⃗n =(1,−❑√3,❑√3)
❑√2 ❑√2 1 1
⃗n ⋅⃗AE= t y + tz =0
1 2 1 2 1
设平面DBE的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
2 2 2 2
{ ⃗n ⋅⃗EB=
❑√6
tx −
❑√2
tz =0 )
则 2 2 2 2 2 ，令 ，得 ，
x =1 ⃗n =(1,❑√3,❑√3)
❑√2 ❑√2 2 2
⃗n ⋅⃗DE=− t y + tz =0
2 2 2 2 2
设二面角A−EB−D的平面角为θ，
∴|cosθ)=|cos⟨⃗n ,⃗n ))=
|⃗n
1
⋅⃗n
2
)
=
1
=
1，
1 2 |⃗n )|⃗n ) ❑√7×❑√7 7
1 2
4❑√3 4❑√3
所以sinθ=❑√1−cos2θ= ，即二面角A−EB−D的正弦值为 ．
7 7
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由
4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对
得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率
为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(其中0<p<1)．
1
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若p= ，求学生甲该题
3
得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ： 随机选一个选项； Ⅱ： 随机选两个选项； Ⅲ： 随机选三个选项．
1
①若p= ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
2
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?
【解题思路】（1）由全概率公式求解即可；
（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分
布列，再由期望公式求出；
②记X,Y ,Z分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出X,Y ,Z的数
3
{ 2−p< )
2
学威望，由题意可得 3 3 ，解不等式即可得出答案.
(1−p)<
2 2
0<p<1
【解答过程】（1）记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”．
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=
1
×0+
2
×
C1
3 =
1，
3 3 C1 2
4
1
即学生甲该题得2分的概率为 ．
2
（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0，2，3，
P(X=0)= 1 × 2 + 1 × 1 = 3 ， P(X=2)= 1 ×0+ 1 × C1 3 = 3，
2 C1 2 C1 8 2 2 C1 8
4 4 4
P(X=3)=
1
×
C1
2 +
1
×0=
1，
2 C1 2 4
4
所以X的分布列为X 0 2 3
3 3 1
P
8 8 4
3 3 1 3
则数学期望E(X)=0× +2× +3× = ．
8 8 4 2
②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 2 1 1+p，
P(X=0)=p× +(1−p)× =
C1 C1 4
4 4
P(X=2)=p×0+(1−p)×
C1
3 = 3 (1−p) ，
C1 4
4
P(X=3)=p×
C1
2 +(1−p)×0= 1 p ，
C1 2
4
1+p 3 1 3
所以E(X)=0× +2× (1−p)+3× p= ；
4 4 2 2
记Y为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则 P(Y =0)=p× C2 4 −1 +(1−p)× C1 3 = 1 p+ 1，
C2 C2 3 2
4 4
P(Y =4)=p×0+(1−p)×
C2
4
−C1
3 = 1 (1−p) ，
C2 2
4
1 1 ，
P(Y =6)=p× +(1−p)×0= p
C2 6
4
(1 1) 1 1
所以E(Y)=0× p+ +4× (1−p)+6× p=2−p；
3 2 2 6
记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则 P(Z=0)=p×1+(1−p)× C3 4 −1 = 1 p+ 3，
C3 4 4
4
1 1 ，
P(Z=6)=p×0+(1−p)× = (1−p)
C3 4
4(1 3) 1 3
所以E(Z)=0× p+ +6× (1−p)= (1−p)．
4 4 4 2
3
{ 2−p< )
2
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则 3 3 ，
(1−p)<
2 2
0<p<1
1 (1 )
解得： <p<1，故p的取值范围为 ,1 ．
2 2
19．（17分）（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线
上的点 作曲线 的切线 与曲线 交于 ，过点 作曲线 的切线 与曲线 交
C:y=x3 P (x ,y ) C l C P (x ,y ) P C l C
1 1 1 1 2 2 2 2 2
于点 ，依此类推，可得到点列： ， ， ，…， ，…，已
P (x ,y ) P (x ,y ) P (x ,y ) P (x ,y ) P (x ,y )
3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n
知x =1．
1
(1)求数列 、 的通项公式；
{x ) {y )
n n
(2)记点P 到直线l （即直线P P ）的距离为d ，
n n+1 n+1 n+2 n
1 1 1 4
（I）求证： + +⋯+ > ；
d d d 9
1 2 n
（II）求证： 1 1 1 8( 1 )，若 值 与（I）相同，则求此时
+ +⋯+ > 1− n (n>0,n∈N∗)
d d d 9 2n
1 2 n
1 1 1
+ +⋯+ 的最小值．
d d d
1 2 n
【解题思路】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出
切点的坐标，进而可得出数列 、 的通项公式；
{x ) {y )
n n
（2）（I）求出直线l 的方程，利用点到直线距离公式求出d ，再利用等比数列前n和公式求解即得；
n+1 n
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）曲线 上点 处的切线 的斜率为 ，
C P (x ,y ) l k = y′ =3x2
n n n n n x=x n
n
故得到的方程为 ，
y−y =3x2 ⋅(x−x )
n n n{
y=x3
)
联立方程 y−y =3x2 ⋅(x−x ) ，消去y得： x3−3x2 ⋅x+2x3=0 ，
n n n n n
y =x3
n n
化简得： ，
(x−x ) 2 ⋅(x+2x )=0
n n
所以：x=x 或x=−2x ，
n n
由 ，得到点 的坐标 ，
x=x P (x ,y )
n n n n
由 x=−2x ，就得到点 P 的坐标 (−2x ,(−2x ) 3) ，
n n+1 n n
所以：x =−2x ，
n+1 n
故数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
{x ) −2
n
所以： ， ；
x =(−2) n−1 y =(−8) n−1
n n
（2）（I）由（1）知： ， ，
P ((−2) n,(−8) n) P ((−2) n+1,(−8) n+1)
n+1 n+2
所以直线 的方程为： (−8) n−(−8) n+1 ，
l y−(−8) n= (x−(−2) n)
n+1 (−2) n−(−2) n+1
化简得： ，
3⋅4nx−y−2⋅(−8) n=0
|3⋅4n ⋅(−2) n−1−(−8) n−1−2⋅(−8) n) 27⋅8n−1 27⋅8n−1
因为d = = < =9.2n−3，
n ❑√(3⋅4n) 2 +(−1) 2 ❑√9⋅4n+1 3⋅22n
所以 1 1 (1) n−3，
> ⋅
d 9 2
n
[ (1) n )
4 1−
1 1 1 1 2 8( 1 ) 8( 1) 4；
∴ + +⋯+ > × = 1− ≥ 1− =
d d d 9 1 9 2n 9 2 9
1 2 n 1−
2
（II） 1 1 1 1[ (1) −2 (1) −1 (1) n−3 )
+ +⋯+ > + +⋯+
d d d 9 2 2 2
1 2 n(1) −2[ (1) n )
1−
1 2 2 8( 1 ) ，
= ⋅ = 1−
9 1 9 2n
1−
2
4
与（I）中相同，当n=1时，此时最小值为 ．
9
