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第20 题 几何直观VS 代数暴力（解透一题）
【安徽2025 届高三下学期4 月质量检测数学试题T14】
已知正三棱锥
的各顶点均在半径为1 的球
的球面上，则正三棱锥
内切
球半径的最大值为 .
该试题的命题意图是综合考查正三棱锥与外接球、内切球的关系，同时考察空间几何优化
问题的分析能力.
题目要求正三棱锥各顶点均在半径为1 的球面上，暗示考生需从对称性角度分析正三棱锥
的形状.当正三棱锥为对称性最强的正四面体时，内切球半径可能达到最大值.
解答需要将内切球半径转化为关于正三棱锥体积与表面积的函数 ，并利用约束条件（顶点
在球面上）寻找最大值，从而将空间几何与极值问题的结合.
方法一 几何直观+合情猜想
由平面几何知识知道在所有圆内接多边形中，正多边形的面积最大.当边数趋于无穷时，内
接正多边形的面积趋近于圆面积；在所有圆内接多边形中，正多边形的周长最大.当边数增
加时，周长趋近于圆周长.若周长固定，圆内接多边形的面积最大值对应的形状为正多边形.
此时，所有边长相等且对称分布.若面积固定，圆内接多边形的周长最小值对应的形状仍为
正多边形.此时，对称性使得周长效率最优.
在固定外接球半径 R=1 时，正四面体的体积是所有正三棱锥中最大的.这是因为其结构紧
凑，各顶点到外接球心的距离均匀分布，空间利用率最高.正四面体的表面积是所有同体积
正三棱锥中最小的，因其各面均为全等的正三角形，无冗余的空间分布.
根据内切球半径公式
，当体积 V 最大且表面积 S 最小时， r 自然达到最大值.
正四面体的体积公式为
，表面积公式为
，代入可
得
，
而正四面体内接于半径为1 的球内，则
，故
.
方法点评：从几何直观出发，进行合情猜想，计算简洁，适合小题，但如果是解答题，则
需要严密推证，于是可以采用等体积法求内切球半径的表达式，结合外接球几何构造法
（如补形法或轴截面分析）进行综合计算.
方法二 代数推证
设正三棱锥的底面长为a，高为h.正三棱锥D-ABC 的底面是一个等边三角形，顶点到底面
的垂足是底面的中心.
如图底面中心到底面三顶点的距离为
（等边三角形的高的
），即底面正三角形的外
接圆半径
，中心（下底外接圆圆心）到底边距离为
，
正三棱锥的高为h，故侧棱长为为
.侧面三角形的斜高
.
想象正三棱锥的外接球图如下，
作出其轴截面图（过轴的截面），则以侧棱为腰，下底外接圆直径为底的等腰三角形内接
于外接球的大圆.
故借助初中例题（已知三角形两边 a、 b 及夹高 h，外接圆半径为
）或解三角形的
正弦定理有
内切球的球心到正三棱锥各面的距离相等，即为r.想象一下其图象，
结合等体积法为
，其中V 是正三棱锥的体积，S 是正三棱锥的表面积.对于正三棱锥，
所以
借助
有
求
最大值的角度一:
令
，问题转化为求
的最大值.用导数法.
原函数为
，
令
，则
.对
求导：
对
求导：
令
，可得：
将
代入并化简，解得
临界点
.
将
代入计算：
当
或
时，
，所以最大值在
处取得.
函数
在区间
上的最大值为
.
求
最大值的角度二:
令
，则
，（从分式函数最值得处理角度）
同时
(关键: 分式函数一次函数与二次函数的组合则思考用基本不等式求最值)
求
最大值的角度三:
不妨设
，
，所以
，所以
，
设
，
，
所以
，
综上都有内切球半径的最大值为
.
本题通过约束条件下的最值问题，考查学生对正三棱锥对称性、内切球与外接球关系的综
合运用能力，以及将几何问题转化为代数优化的数学思维.关键是通过对称性分析锁定正四
面体为最优解，再结合公式计算验证.
在方法选择上，用几何直观快速定位关键矛盾，再通过代数运算实现精确突破.
【空间问题平面化】
1．平面上一个正三角形的内切圆半径与外接圆半径R 之比为
，在空间类似的
结论为一个正四面体内切球半径与外接球半径R 之比为
．
【答案】
【分析】设正四面体底面积为 S，高为 h，利用体积公式结合内切球的性质可得
，
再根据正四面体的性质可得
，即可得解.
【详解】
如图为正四面体，
为面
的中心，由正四面体性质得
面
，
设
为该四面体内切球和外接球的球心，四面体底面积为 S，高为 h，
则
，得
，则
，
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了正四面体的性质及其外接球、内切球的关系，属于基础题.
【训练空间想象能力】
2．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出几何体的图形，不难推出球与棱相离，与平面相切，推出正确选项．
【详解】由题意作出图形如图：
平面
，
与
的平面与平面
垂直，
球与平面
的切点在
上，球与侧棱
没有公共点
所以正确的截面图形为
选项．
故选：
．
【问题一般化】
3．正三棱锥
的内切球
的半径为，外接球
的半径为
. 若
，则
的
最小值为 .
【答案】3
【分析】设正三棱锥
的高为h，从而求得棱锥的表面积，结合棱锥的体积求出
，进而求得
，即可得
的表达式，利用换元，结合基本不等式，
即可求得答案.
【详解】设正三棱锥
的高为h，设E 为
的中点，O 为底面中心，O 在
上，
，则
，侧面上高为
，
则正三棱锥
的表面积为
，
则正三棱锥
的体积为
，
即
，故
，
又
，则
，则
，
故
，
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
故
的最小值为3，
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据正三棱锥的几何特征，结合棱锥体积求出外
接球半径以及内切球半径的表达式，从而可得
的表达式，利用换元，结合基本不等式即
可求解.
【不定正三棱锥的变式为三条棱两两互相垂直】
4．正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比
为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．
【答案】D
【分析】设侧棱长为
，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可
得．
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直
径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为
a，外接球的半径为
，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为
，设
是内切球球心，则
到
棱锥四个面的距离都等于，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
，
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
．
故选：D．
【正三棱锥的变式为正四棱锥的相关问题】
5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒
尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建
筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面
等腰三角形的底角为
，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据正四棱锥的底面为正方形，结合其外接圆的直径为正方形的对角线，计算可
得结果.
【详解】正四棱锥的底面为正方形，设其外接圆半径为
，则底面正边形的边长为
，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为
，
设侧棱长为，则有
，
解得
，
所以侧棱与底面外接圆半径的比为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正四棱锥的相关问题，掌握正四棱锥的结构特征
是正确解题关键.
【拓展训练】
6．已知正三棱锥
的侧面均为等腰直角三角形，动点
在其内切球上，动点
在其
外接球上，且线段
长度的最小值为
，设该正三棱锥内切球的球心为
，外接球
的球心为
，则（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
平面
C．正三棱锥
外接球的体积为
D．正三棱锥
内切球的表面积为
【答案】ABC
【分析】对A，将正三棱锥补成长方体，利用空间向量法证明线面垂直，从而判定AB 选
项，利用正方体外接球公式和等体积法结合
的最值即可求出内外接球半径，即可判断
CD.
【详解】由已知将正三棱锥
补成正方体,如图所示.
设内切球
与平面
的切点为
,
因为
为正三棱锥
内切球的球心,
为正三棱锥
外接球的球心,
而球
与正
相切于中心G，于是
四点均在
上，A 正确；
设正方体棱长为1，以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角
坐标系，
则
,
,
,
，
，
，
因为
，则
，
又因为
平面
，且
所以
平面
,
故
平面
，B 正确;
设正方体的棱长为
,内切球的半径为,外接球的半径为
,则
,
由等体积法可得
,整理得
,
由等体积法可得
,
整理得
.将几何体沿截面
切开,
得到如图所示的截面,大圆为外接球
的最大截面,小圆为内切球
的最大截面,
所以
,
两点间距离的最小值为
,
解得
,所以
,
所以正三棱锥
外接球的体积
,C 正确;
正三棱锥
内切球的表面积
,D 错误.
故选：ABC.
