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专题08 电磁学综合应用计算题
1．（2025·湖南邵阳·一模）如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于
区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz 的x 轴方向。半径
的足够长水平圆柱形区域
Ⅰ内分布着沿x 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小
；沿x 轴正方向观察电磁场分布如图乙，
宽度
的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度
的匀强电场沿x 轴正方向，磁场的磁感
应强度大小也为
、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y 轴负方向观察电磁场分布如图
丙，比荷
的带正电粒子，从坐标为
的A 点以一定初速度
沿z 轴负方向进入且
能沿直线通过区域Ⅱ。（不计粒子的重力和空气阻力）
(1)求
大小以及它在区域Ⅰ中运动的半径；
(2)若撤去区域Ⅱ的电场，求该粒子以速度
从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间。
【答案】(1)
，0.1m
(2)
【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、带电粒子在直边界磁场中运动
【详解】（1）粒子沿直线通过区域Ⅱ，受力平衡则有
解得
粒子在区域Ⅰ中匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
（2）撤去区域Ⅱ中的电场后，粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，则有
解得
根据几何关系可知，粒子在区域Ⅱ中运动轨迹转过的圆心角为45°。
粒子在区域Ⅱ中的运动时间为
粒子离开区域Ⅱ后，在区域Ⅰ中垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，则有
解得
根据几何关系可知，粒子在区域Ⅰ中该方向上匀速圆周运动转过的圆心角为90°。
粒子在区域Ⅰ中的运动时间为
综上，粒子从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间为
2．（2025·湖南模拟）某种质谱仪的结构示意图如图所示，主要构造包括加速电场（可左右平移）、静电
分析器和磁分析器等。其中加速电场的电压为U，静电分析器是以
为圆心的四分之一圆形通道，通道内
有均匀辐射电场，方向沿径向指向圆心
，且与圆心
等距的各点电场强度大小相等，电场强度E 与到圆
心距离r 的关系满足
（k 未知）；磁分析器在以
为圆心、圆心角为
的圆形扇形区域内分布着磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界紧靠。由离子源静止释
放出三种正离子a、b、c 经相同电场加速后，分别从P、Q、M 进入静电分析器，恰好能以
为圆心做匀
速圆周运动从磁分析器中
、
、
射出。已知PQ、QM 间的距离都为
，Q 到圆心距离为R，不考虑
电磁场的边缘效应，求：
(1)关系式
中k 的大小；
(2)b 离子进入静电分析器时的速度大小；
(3)a、c 两离子的比荷之比；
(4)离子a 经相同加速电场加速后从M 进入至磁分析器下端
（未标出）射出，求
、
之间的距离
d。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】基于加速电场的质谱仪、粒子由电场进入磁场
【详解】（1）由动能定理知
电场力提供离子做圆周运动向心力知
联立解得
由题意得
（2）
离子在电场中，电场力提供离子做圆周运动向心力知
离子在磁场中洛伦兹力提供向心力知
联立解得
（3）
由题意知
，
得出
，两离子的比荷之比为
（4）如图所示由几何关系知
则
3．（2025·湖南衡阳·一模）如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距L =
1.0 m，左端连接阻值R = 4.0 Ω 的电阻，匀强磁场磁感应强度B = 0.5 T 方向竖直向下。质量m = 0.2 kg、
长度L = 1.0 m、电阻r = 1.0 Ω 的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好，从t =
0 时刻开始对杆施加一平行于导轨方向的外力F，杆运动的v − t 图像如图乙所示，其余电阻不计。求：
(1)在t = 2.0 s 时，电路中的电流I 和金属杆PQ 两端的电压UPQ；
(2)在t = 2.0 s 时，外力F 的大小；
(3)若0 ~ 3.0 s 内克服外力F 做功1.8 J，求此过程流过电阻R 的电荷量和电阻R 产生的焦耳热。
【答案】(1)0.2 A，0.8 V
(2)0.3 N
(3)0.9 C，1.44 J
【知识点】作用的导体棒在导轨上运动的电动势、安培力、电流、路端电压、计算导轨切割磁感线电路中
产生的热量、求导体棒运动过程中通过其截面的电量
【详解】（1）根据乙图可知t = 2.0 s 时，v = 2 m/s，则此时电动势
电路中的电流
金属杆PQ 两端的电压为外电压，即
（2）由乙图可知v − t 图像斜率表示加速度
对金属杆PQ 进行受力分析，则由牛顿第二定律得
解得
方向与运动方向相反。
（3）根据电荷量表达式可知
v − t 图像与横轴围成的面积表示位移大小，则
解得
根据能量守恒定律可知
解得
电阻R 产生的焦耳热
4．（2025·湖南衡阳·一模）人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，水
平面xOy 和竖直面yOz 内分别固定着两个半径均为R 的半圆形光滑绝缘轨道OMN 和OPQ，整个空间存在
着方向沿y 轴正方向的匀强电场，质量分别为0.5m、m 的逃生球A、B 套在轨道上，其中绝缘的A 球不带
电，B 球的电荷量为
。已知匀强电场的电场强度大小为
（g 为重力加速度），B 球从OMN 轨道
进入OPQ 轨道时无能量损失，初始时B 球静止在OMN 轨道的中点处，A 球以大小为
的初速度
从N 点滑上轨道，A、B 两球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B 球的电荷量不变，A、B 两球均可视
为质点，碰后A 球被锁定。求：
(1)B 球到达O 点的速度大小；
(2)B 球在OPQ 轨道上的最小动能；
(3)B 球从Q 点脱离轨道后，经过y 轴时的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
，
，
）
【知识点】完全弹性碰撞1：动碰静、带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动
【详解】（1）A、B 球碰撞过程，设碰撞后A、B 球的速度分别为
、
，根据动量守恒和机械能守恒可
得
解得
从M 点到O 点，设B 球到O 点的速度为
，对B 球，根据动能定理可得
解得
（2）对B 球，当动能最小时在图中K 点
从O 点到K 点，根据动能定理可得
解得
（3）设B 球经过Q 点时的速度为
，从O 点到Q 点，有
解得
B 球离开Q 点后，设到达y 轴所需要的时间为t，则有
解得
即经过y 轴上时的坐标为（
，
，
）。
5．（2025·湖南大联考·一模）如图所示，平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨宽为L，导轨所在空间
有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两金属杆质量均为m，两金属杆连入电路部分的电阻均为
R，0 时刻、2 杆静止，同时给1 杆水平向右的初速度
，则：
(1)两杆最终的速度是多少？
(2)设t 时刻两杆的速度已经稳定，则0~t 时间内两杆对地的位移分别是多大？
【答案】(1)
，方向水平向右
(2)
，
【知识点】双杆在等宽导轨上运动问题
【详解】（1）由于两杆受到的安培力大小相等，方向相反，则两金属杆组成的系统满足动量守恒，则有
解得两杆最终的速度大小为
方向水平向右。
（2）设1 杆速度为
，2 杆速度为
，则总电动势为
回路电流为
金属杆所受的安培力为
联立可得
对2 杆，由动量定理得
其中
联立可得
两杆组成的系统动量守恒，则有
即
两边同乘以
，再求和得
即
联立解得
，
6．（2025·湖南株洲市·一模）如图，电源电动势E=15V，内阻不计，两个定值电阻R1=20Ω，R2=40Ω，平行
板电容器电容C=1μF，其极板长l=3.0cm，两极板间距d=1.0cm，下极板接地。将开关S 闭合，电子枪发射
一电子沿极板中轴线射入极板，刚好打在上极板中点。已知电子电量e=1.6×10−19C，电子质量
m=9×10−31kg，电子重力不计。
(1)求电容器所带电荷量Q；
(2)求电子初速度v0；
(3)断开开关S，让电子枪源源不断的沿中轴线发射电子，假设落到极板上的电子都能够被完全吸收，求能
打在极板上的总电子数。
【答案】(1)1.0×10−5C
(2)2.0×106m/s
(3)4.69×1013
【知识点】含容电路中有关电荷量及其变化的计算
【详解】（1）电阻R1、R2串联分压，R2两端电压
电容器所带电荷量
（2）电子在平行板电容器间做类平抛运动，沿极板方向做匀速直线运动
垂直于极板方向做匀加速直线运动
解得
（3）随着电子被不断吸收，极板间电压不断降低，电子打在极板上的位置不断右移，当电容器两端电压
为U 时，电子刚好从上极板右端飞出。此时电子沿极板方向有
垂直于极板方向有
电容器因吸收电子减少的电荷量
打在极板上的电子数为
7．（2025·湖南长沙田家炳实验中学·一模）如图1，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L 处
的右侧一段被弯成半径为
的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差
的水平面上．以弧形
导轨的末端点O 为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，建立
坐标轴，圆弧导轨所在区域无磁场；左段
区域存在空间上均匀分布，但随时间t 均匀变化的磁场
，如图2 所示；右段区域存在磁感应强度大小不
随时间变化，只沿x 方向均匀变化的磁场
，如图3 所示；磁场
和
的方向均竖直向上，在圆弧
导轨最上端，放置一质量为m 的金属棒
，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁
场
开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间
金属棒恰好滑到圆弧导轨底端。已知金属棒在
回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。
（1）若金属棒能离开右段磁场
区域，离开时的速度为v，求：金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程
中产生的焦耳热Q；
（2）若金属棒滑行到
位置时停下来，求：金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q；
（3）通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置。
【答案】（1）
；（2）
；（3）x=0
【知识点】作用的导体棒在导轨上运动的电动势、安培力、电流、路端电压、计算导轨切割磁感线电路中
产生的热量、求导体棒运动过程中通过其截面的电量
【详解】（1）由图2 可知，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为
金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热为
金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律有
金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q2，根据能量守恒定律有：
所以金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热为
（2）根据图3，x=x1（x1＜x0）处磁场的磁感应强度为
．
设金属棒在水平轨道上滑行时间为Δt，由于磁场B（x）沿x 方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律Δt 时
间内的平均感应电动势为
所以通过金属棒电荷量为
（3）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，有
金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以此过程中，金属棒刚
进入磁场时，感应电流最大；刚进入水平轨道时，金属棒的速度为
所以水平轨道上滑行过程中的最大电流为
若金属棒自由下落高度
，经历时间
显然t0＞t，所以
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0 处，感应电流最大。
8．（2025·湖南长沙·一模）如图，竖直平面将地面上方空间分为Ⅰ、II 两个区域，界线
左侧的Ⅰ区域
内存在着竖直向上的匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场B，右侧的II 区域内存在与
大小相等、方向
水平向左的匀强电场
。有一个质量为
、带电量为
的微粒，从距离
点左侧
处的水平地面上的A 点斜向右上方抛出，抛出速度
、与水平面成
角，微粒在
Ⅰ区域做匀速圆周运动一段时间后，从C 点水平射入II 区域，最后落在II 区域地面上的D 点（图中未标
出）。不计空气阻力，重力加速度
。
(1)求电场强度
的大小和磁感应强度
的大小；
(2)求微粒从A 到D 的运动时间；
(3)求微粒在II 区域内运动过程中动能最小时离地面的高度。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动、带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动
【详解】（1）微粒在Ⅰ区域内做匀速圆周运动，所以重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有
解得
根据几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律，有
解得
（2）微粒从A 到C 点的时间为
从C 点水平射入II 区域微粒做类平抛运动，根据运动的分解，有
解得
1s
微粒从A 到D 的运动时间为
（3）因为在II 区域微粒受到的重力和电场力相等，所以合力方向与水平方向成45°角斜向左下，所以当微
粒速度方向与水平成45°斜向右下时动能最小，即
，
，
解得
此时下落的高度为
离地面的高度
9．（2025·湖南长沙麓山外国语实验中学·一模）如图所示，在边长为a 的等边三角形OAC 的区域中，存在
垂直于AC 边、电场强度大小为E、水平向右的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向里的匀强磁场。
一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从O 点沿电场方向进入电场，不计粒子的重力，忽略电磁场的边
缘效应。
（1）若粒子的初速度大小为v0，最终粒子在OA 边垂直于电场方向再次进入电场，求匀强磁场的磁感应强
度B 的大小。
（2）若磁场的磁感应强度为
，粒子在O 点沿电场方向以初速度大小为v0射入电场，使粒
子最终垂直于OA 边再次进入电场。
①求粒子的初速度大小v0。
②求粒子第二次经过AC 边的位置到A 点的距离。
【答案】（1）
；（2）①
；②
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】（1）设粒子从电场进入磁场的速度为v，对粒子，从O 点到刚要进入磁场，由动能定理，得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图甲所示，
根据洛伦兹力提供向心力，得
由几何关系，可得
联立，解得
（2）①对粒子，从O 点到刚要进入磁场，由动能定理，得
粒子在磁场中的运动轨迹，如图乙所示，
根据洛伦兹力提供向心力，得
由几何关系，可得
联立，解得
，
②粒子从第一次经过AC 边到第二次经过AC 边的运动轨迹如图丙所示，
粒子在电场中的运动可以分解为沿着电场方向的匀加速直线运动和垂直电场方向的匀速直线运动，设v 沿
电场方向的分速度为v1，垂直电场方向的分速度为v2，由运动的合成和分解可知
，
粒子在沿着电场方向的位移满足
粒子在垂直电场方向的位移满足
其中x 为粒子第二次经过AC 边的位置到A 点的距离。
联立，解得
10．（2025·湖南长沙麓山外国语实验中学·一模）如图所示，在边长为a 的等边三角形OAC 的区域中，存
在垂直于AC 边、电场强度大小为E、水平向右的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向里的匀强磁场。
一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从O 点沿电场方向进入电场，不计粒子的重力，忽略电磁场的边
缘效应。
（1）若粒子的初速度大小为v0，最终粒子在OA 边垂直于电场方向再次进入电场，求匀强磁场的磁感应强
度B 的大小。
（2）若磁场的磁感应强度为
，粒子在O 点沿电场方向以初速度大小为v0射入电场，使粒
子最终垂直于OA 边再次进入电场。
①求粒子的初速度大小v0。
②求粒子第二次经过AC 边的位置到A 点的距离。
【答案】（1）
；（2）①
；②
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】（1）设粒子从电场进入磁场的速度为v，对粒子，从O 点到刚要进入磁场，由动能定理，得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图甲所示，
根据洛伦兹力提供向心力，得
由几何关系，可得
联立，解得
（2）①对粒子，从O 点到刚要进入磁场，由动能定理，得
粒子在磁场中的运动轨迹，如图乙所示，
根据洛伦兹力提供向心力，得
由几何关系，可得
联立，解得
，
②粒子从第一次经过AC 边到第二次经过AC 边的运动轨迹如图丙所示，
粒子在电场中的运动可以分解为沿着电场方向的匀加速直线运动和垂直电场方向的匀速直线运动，设v 沿
电场方向的分速度为v1，垂直电场方向的分速度为v2，由运动的合成和分解可知
，
粒子在沿着电场方向的位移满足
粒子在垂直电场方向的位移满足
其中x 为粒子第二次经过AC 边的位置到A 点的距离。
联立，解得
