文档内容
专题 19 力学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
2025·北京卷、广西卷
考点1 动力 2024·广西卷、福建卷
将更注重基础知识的综合应用，常以匀变
学观点计算题 2023·江苏卷
速直线运动、牛顿运动定律、动能定理、
2022·山东卷、浙江卷
2021·辽宁卷 动量守恒定律等为核心考查点，结合生产
2025·福建卷、海南卷 生活实际或科技前沿创设新情境，如风洞
考点2 功能关 2024·浙江卷、山东卷 实验、传送带问题等。题目信息量大、运
系计算题 2023·江苏卷、辽宁卷 动过程复杂，要求学生具备良好的理解能
2022·湖北卷 力、推理论证能力和模型建构能力。同
2021·全国乙卷
时，开放性、探究性问题或增多，鼓励学
2025·湖北卷、四川卷
生深入思考，培养创新思维和解决复杂问
2024·辽宁卷、安徽卷
考点3 动量观 题的能力。备考时应注重基础知识的掌
2023·湖南卷
点计算题 握，提升综合应用和创新能力。
2022·山东卷
2021·海南卷
考点01 动力学观点计算题
1．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点
该物体炸裂成 两部分，质量分别为 和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，
不计空气阻力。求：
(1)该物体抛出时的初速度大小 ；
(2)炸裂后瞬间B的速度大小 ；
(3) 落地点之间的距离d。
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式
可得
（2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为v ，由动量守恒定律得
B
解得
即大小为2v
（3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移
B的水平位移
所以落地点A、B之间的距离
2．（2025·广西·高考真题）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A运动
到顶端B后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速
度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾
斜传送带与水平地面夹角为 ，以速度 匀速运行。若以相同的时间间隔 将散货以几乎为0的速度
放置在倾斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10个散货时，第1个散货恰好被水
平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数 ，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞
击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d的货箱装总质为M的一批散货。
若货箱之间无间隔，重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉
冲信号与横轴所围面积为I如图乙，求这段时间内：
(1)单个散货的质量。
(2)水平传送带的平均传送速度大小。
(3)倾斜传送带的平均输出功率。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对单个散货水平方向由动量定理
解得单个散货的质量为
（2）落入货箱中散货的个数为
则水平传送带的平均传送速度大小为
（3）设倾斜传送带的长度为L，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律
解得
加速时间
加速位移
设匀速时间为
其中
则匀速位移为
故传送带的长度为
在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为
在 时间内传送带额外多做的功为
其中 ， ， ，
联立可得倾斜传送带的平均输出功率为
3．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌
面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小
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学科网（北京）股份有限公司球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，
A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。 时撤去电场，C向下加速运动，
下降 后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为 。已知A、B、C的质量分
别为 、 、 ，小球C的带电量为 ，重力加速度大小取 ，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小；
(3)若 时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，
一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A
脱离，C未与地面相碰）
【答案】(1)
(2) ；
(3)
【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中
拉力为0，对C根据共点力平衡条件有
解得
（2）C开始做匀速直线运动后，对C和B根据共点力平衡条件分别有
，
其中
解得
C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，此时A、B、C三者速度大小相等，M、N两弹簧的弹性
势能相同，C下降 的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
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学科网（北京）股份有限公司解得
（3）没有电场时，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，所以此时A的加速度为零，对A根
据共点力平衡有
当电场方向改为竖直向下，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为 ，对A根据牛顿第二定律可
得
对B、C根据牛顿第二定律可得
撤去电场后，由第（2）问的分析可知A、B在C下降 时开始相对滑动，在C下降 的过程中，
对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
此时A的速度是其从左向右运动过程中的最大速度，此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动
过程中的最大速度为
联立解得
4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度 的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右
端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离
时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄
板的质量相等。它们之间的动摩擦因数 ，重力加速度大小 。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
【答案】（1）4m/s； ；（2）
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为
薄板做加速运动的加速度
对物块
对薄板
解得
（2）物块飞离薄板后薄板得速度
物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为
则平台距地面的高度
【点睛】
5．（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距 ，
某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时 ，从2号锥筒运
动到3号锥筒用时 。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
【答案】（1） ；（2）4
【详解】（1）根据匀变速运动规律某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知在1、2间中间时
刻的速度为
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学科网（北京）股份有限公司2、3间中间时刻的速度为
故可得加速度大小为
（2）设到达1号锥筒时的速度为 ，根据匀变速直线运动规律得
代入数值解得
从1号开始到停止时通过的位移大小为
故可知最远能经过4号锥筒。
6．（2024·全国甲卷·高考真题）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从 时由静止开
始做匀加速运动，加速度大小 ，在 时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停
止鸣笛， 时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速 ，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
【答案】（1）20m/s；（2）680m
【详解】（1）根据匀变速运动速度公式
可得救护车匀速运动时的速度大小
（2）救护车加速运动过程中的位移
设在 时刻停止鸣笛，根据题意可得
停止鸣笛时救护车距出发处的距离
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学科网（北京）股份有限公司代入数据联立解得
7．（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺
得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度
时，滑过的距离 ，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动
员同时进入弯道，滑行半径分别为 ，滑行速率分别为 ，求
甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
【答案】（1） ；（2） ，甲
【详解】（1）根据速度位移公式有
代入数据可得
（2）根据向心加速度的表达式
可得甲、乙的向心加速度之比为
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为
代入数据可得甲、乙运动的时间为
，
因 ，所以甲先出弯道。
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学科网（北京）股份有限公司8．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减
速阶段，探测器速度大小由 减小到0，历时 。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为
的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径
的 ，火星质量约为地球质量的 ，地球表面重力加速度大小取 ，探测器在动力减速阶段的运
动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为 ，末速度大小为 ，加速度大
小为a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为 、 和 ，地球的质量、半径和表面重
力加速度大小分别为 、 和 由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有
⑤
⑥
式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为 ，由力
的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为 。
9．（2021·天津·高考真题）一玩具以初速度 从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具
内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具
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学科网（北京）股份有限公司从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度 时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到高度 时的速度大小为v，重力加速度大小为
g，以初速度方向为正，整个运动过程有
玩具上升到最大高度 有
两式联立解得
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为 、 ，水平速度大小分别为 、 。依题意，动能关系为
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有
分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为 ，设两部分
落地时的速度大小分别为 、 ，由速度合成公式，有
，
结合 ，解得
10．（2021·河北·高考真题）如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平，
段和 段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为 的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若 后质
量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水
平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为 ，重力加速度取 ，
， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：
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学科网（北京）股份有限公司（1）滑道 段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设斜面长度为 ，背包质量为 ，在斜面上滑行的加速度为 ，由牛顿第二定律
有
解得
滑雪者质量为 ，初速度为 ，加速度为 ，在斜面上滑行时间为 ，落后时
间 ，则背包的滑行时间为 ，由运动学公式得
联立解得
或
故可得
（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为 、 ，有
滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为 ，有
解得
11．（2022·天津·高考真题）冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示，运动员在水平冰面
上将冰壶A推到M点放手，此时A的速度 ，匀减速滑行 到达N点时，队友用毛刷
开始擦A运动前方的冰面，使A与 间冰面的动摩擦因数减小，A继续匀减速滑行 ，与静
止在P点的冰壶B发生正碰，碰后瞬间A、B的速度分别为 和 。已知A、B
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学科网（北京）股份有限公司质量相同，A与 间冰面的动摩擦因数 ，重力加速度 取 ，运动过程中两冰壶均视
为质点，A、B碰撞时间极短。求冰壶A
（1）在N点的速度 的大小；
（2）与 间冰面的动摩擦因数 。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设冰壶质量为 ，A受到冰面的支持力为 ，由竖直方向受力平衡，有
设A在 间受到的滑动摩擦力为 ，则有
设A在 间的加速度大小为 ，由牛顿第二定律可得
联立解得
由速度与位移的关系式，有
代入数据解得
（2）设碰撞前瞬间A的速度为 ，由动量守恒定律可得
解得
设A在 间受到的滑动摩擦力为 ，则有
由动能定理可得
联立解得
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学科网（北京）股份有限公司12．（2022·重庆·高考真题）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在 竖直平面内运动。
虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为 （g为
重力加速度），方向均与x轴负方向成 斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处， ，
能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取 。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在 的高度捉住虫时，蛙与虫
的水平位移大小之比为 ，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，
求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为
；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为 。求满足上
述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， 或
，
【详解】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知
青蛙做平抛运动，设时间为 ，有
联立解得
，
（2）若蛙和虫同时开始运动，时间均为 ，则虫的水平分加速度和竖直分加速度分别为
，
相遇时有
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学科网（北京）股份有限公司解得
则最小的坐标为
若蛙和虫不同时刻出发，轨迹相切时，青蛙的平抛运动有
，
可得轨迹方程为
虫的轨迹方程为
两轨迹相交，可得
整理可知
令 ，即
解得
虫在x轴上飞出的位置范围为
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学科网（北京）股份有限公司（3）设蛙的运动时间为 ，有
解得
，
若青蛙两次都向右跳出，则
解得
，
若青蛙一次向左跳出，一次向右跳出，则
解得
，
13．（2022·浙江·高考真题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面
成24°角，长度 ，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始
下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为 ，货物可视为质点（取 ， ，重力加
速度 ）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度 的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度 的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度
。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据牛顿第二定律可得
代入数据解得
（2）根据运动学公式
解得
（3）根据牛顿第二定律
根据运动学公式
代入数据联立解得
14．（2022·山东·高考真题）某粮库使用额定电压 ，内阻 的电动机运粮。如图所示，
配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度 沿斜坡匀速上行，此时电
流 。关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小
车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量 ，车上粮食质量
，配重质量 ，取重力加速度 ，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车
上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质
量。求：
（1）比例系数k值；
（2）上行路程L值。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设电动机的牵引绳张力为 ，电动机连接小车的缆绳匀速上行，由能量守恒定律有
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学科网（北京）股份有限公司解得
小车和配重一起匀速，设绳的张力为 ，对配重有
设斜面倾角为 ，对小车匀速有
而卸粮后给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行，有
联立各式解得
，
（2）关闭发动机后小车和配重一起做匀减速直线运动，设加速度为 ，对系统由牛顿第二定律有
可得
由运动学公式可知
解得
15．（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m
水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由
静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图
2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为
110kg，sin15°=0.26，重力加速度 取 ，求雪车（包括运动员）
（1）在直道AB上的加速度大小；
（2）过C点的速度大小；
（3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）12m/s；（3）66N
【详解】（1）AB段
解得
（2）AB段
解得
BC段
过C点的速度大小
（3）在BC段有牛顿第二定律
解得
16．（2021·辽宁·高考真题）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率
v=0.6m/s运行的传送带与水平面间的夹角 ，转轴间距L=3.95m。工作人员沿传送方向以速度
1
v=1.6m/s从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ=0.8。取
2
重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.求：
（1）小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
（2）小包裹通过传送带所需的时间t。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小包裹的速度 大于传动带的速度 ，所以小包裹受到传送带的摩擦力沿传动带向上，
根据牛顿第二定律可知
解得
（2）根据（1）可知小包裹开始阶段在传动带上做匀减速直线运动，用时
在传动带上滑动的距离为
因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传动带方向上的分力，即 ，所以小包裹与
传动带共速后做匀速直线运动至传送带底端，匀速运动的时间为
所以小包裹通过传送带的时间为
考点02 功能关系计算题
17．（2025·福建·高考真题）如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2kg，A与地面动摩
擦因数为 ，B与地面无摩擦，两物块用弹簧置于外力F的作用下向右前进，F与位移x的图如
图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4m。
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 ，F做的功；
(2) 时，A与B之间的弹力；
(3)要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。
【答案】(1)1.5J
(2)0.5N
(3)
【详解】（1）求 ，F做的功
（2）对AB整体，根据牛顿第二定律
其中
对B根据牛顿第二定律
联立解得
（3）当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据（2）分析可知此时
此时
过程中，对A、B根据动能定理
根据题图可得
从 点到 点，根据动能定理
在 点的最小速度满足
联立可得
即圆弧半径满足的条件 。
18．（2025·海南·高考真题）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径 ，圆心角 的圆弧轨
道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，
在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知 ， ，A、B可视为质点，AB与传送
带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热 ，忽略轨道及平台的摩擦，
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学科网（北京）股份有限公司(1)A滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2)A与B整个碰撞过程中损失的机械能；
(3)传送带的速度大小。
【答案】(1) ，方向竖直向上；
(2)
(3) 或
【详解】（1）A从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒
解得
在最低点根据牛顿第二定律
解得 ，方向竖直向上；
（2）根据题意AB碰后成一整体，根据动量守恒
解得
故A与B整个碰撞过程中损失的机械能为
（3）第一种情况，当传送带速度 小于 时，AB滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB与传送带
间的动摩擦因数为 ，对AB根据牛顿第二定律
设经过时间 后AB与传送带共速，可得
该段时间内AB运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
联立解得 ，另一解大于 舍去；
第二种情况，当传送带速度 大于 时，AB滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间 后AB与
传送带共速，同理可得
该段时间内AB运动的位移为
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学科网（北京）股份有限公司传送带运动的位移为
故可得
解得 ，另一解小于 舍去。
19．（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨
道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块
a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量 的小球自Q点正上方 处自由
下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉
力达到 时，b解除锁定开始运动。已知a的质量 ，b的质量 ，方形物体的质
量 ，重力加速度大小 ，弹簧的劲度系数 ，整个过程弹簧均在弹性限度
内，弹性势能表达式 （x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小 、 ；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小 及弹性势能的最大值 。
【答案】(1) ，水平向左， ，水平向右
(2) ，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到 处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得 ，
即小球速度为 ，方向水平向左，大物块速度为 ，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块 水平方向上
动量守恒，则有
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学科网（北京）股份有限公司解得
设当弹簧形变量为 时物块 的固定解除，此时小球和物块 的速度为 ，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得 ，
固定解除之后，小球、物块 和物块 组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，
由动量守恒定律有
解得 ，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
20．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距 。一根
长为 的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量 的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度 开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过
N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为
质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取 。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在 时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小
值。
【答案】(1) ，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v 抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定
0
律
在该位置时根据牛顿第二定律
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
（2）小球做平抛运动时 ，
解得x=4m
（3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
21．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块
静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道
半圆形部分的半径 ，重力加速度大小 。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求
小物块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F
对应关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 ，当小物块到P点时撤
去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】（1） ；（2）（i） ， ；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有
代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知
根据图乙有
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学科网（北京）股份有限公司当外力 时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
， ，
（ii）由图乙可知，当 时，轨道的加速度为 ，小物块的加速度为
当小物块运动到P点时，经过t 时间，则轨道有
0
小物块有
在小物块到P点到从Q点离开轨道的过程中系统机械能守恒有
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
其中，小物块离开Q点时的速度 , 为此时轨道的速度。联立解得
(舍去）
根据运动学公式有
代入数据解得
22．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 的直轨道 ，半径
的圆弧轨道 ，长度 、倾角为 的直轨道 ，半径为R、圆心角为 的圆弧管道 组
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学科网（北京）股份有限公司成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量 滑块b，其上表面与轨
道末端F所在的水平面平齐。质量 的小物块a从轨道 上高度为h静止释放，经圆弧轨道
滑上轨道 ，轨道 由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数 ，向下运动
时动摩擦因数 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数
恒为 ，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为
质点，不计空气阻力， ， ）
（1）若 ，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在 上经过的总路程；
③在 上向上运动时间 和向下运动时间 之比。
（2）若 ，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m
【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过C点的向心加速度大小为
②小物块a在DE上时，因为
所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，
最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设
其在 上经过的总路程为s，根据功能关系有
解得
③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为
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学科网（北京）股份有限公司将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有
解得
（2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有
解得
设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守
恒定律有
解得
23．（2023·重庆·高考真题）机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓
取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹
角为θ，提升高度为h，如图所示。求：
（1）提升高度为h时，工件的速度大小；
（2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）根据匀变速直线运动位移与速度关系有
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学科网（北京）股份有限公司解得
（2）根据速度公式有
解得
根据动能定理有
解得
24．（2023·广东·高考真题）如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽
和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为 ，平台高为 。药品盒A、B依次被轻放在以速度 匀速
运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从 点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端 点停下，随后
滑下的B以 的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。
已知A、B的质量分别为 和 ，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的 。 与传送带间的
动摩擦因数为 ，重力加速度为g，AB在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将
药品盒视为质点。求：
（1）A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间 ；
（2）B从 点滑至 点的过程中克服阻力做的功 ；
（3）圆盘的圆心到平台右端 点的水平距离 ．
【答案】（1） （2） ；（3）
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）A在传送带上运动时的加速度
由静止加速到与传送带共速所用的时间
（2）B从 点滑至 点的过程中克服阻力做的功
（3）AB碰撞过程由动量守恒定律和能量关系可知
解得
（另一组 舍掉）
两物体平抛运动的时间
则
解得
25．（2023·北京·高考真题）如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下
方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，
由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
（1）A释放时距桌面的高度H；
（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能 。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）A释放到与B碰撞前，根据动能定理得
解得
（2）碰前瞬间，对A由牛顿第二定律得
解得
（3）A、B碰撞过程中，根据动量守恒定律得
解得
则碰撞过程中损失的机械能为
26．（2023·山东·高考真题）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的
上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度 向
右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最
低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知 ，
， ， ，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数 ，C与B间动
摩擦因数 ，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时
间，取重力加速度大小 。
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学科网（北京）股份有限公司（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若 ，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若 ，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变
化量 的大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）由题意可知滑块C静止滑下过程根据动能定理有
代入数据解得
（2）滑块C刚滑上B时可知C受到水平向左的摩擦力，为
木板B受到C的摩擦力水平向右，为
B受到地面的摩擦力水平向左，为
所以滑块C的加速度为
木板B的加速度为
设经过时间t ，B和C共速，有
1
代入数据解得
木板B的位移
共同的速度
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学科网（北京）股份有限公司此后B和C共同减速，加速度大小为
设再经过t 时间，物块A恰好撞上木板B，有
2
整理得
解得
， （舍去）
此时B的位移
共同的速度
综上可知满足条件的s范围为
（3）由于
所以可知滑块C与木板B没有共速，对于木板B，根据运动学公式有
整理后有
解得
， （舍去）
滑块C在这段时间的位移
所以摩擦力对C做的功
（4）因为木板B足够长，最后的状态一定会是C与B静止，物块A向左匀速运动。木板B向右运动
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学科网（北京）股份有限公司0.48m时，有
此时A、B之间的距离为
由于B与挡板发生碰撞不损失能量，故将原速率反弹。接着B向左做匀减速运动，可得加速度大小
物块A和木板B相向运动，设经过t 时间恰好相遇，则有
3
整理得
解得
， （舍去）
此时有
方向向左；
方向向右。
接着A、B发生弹性碰撞，碰前A的速度为v =1m/s，方向向右，以水平向右为正方向，则有
0
代入数据解得
而此时
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学科网（北京）股份有限公司物块A向左的速度大于木板B和C向右的速度，由于摩擦力的作用，最后B和C静止，A向左匀速运
动，系统的初动量
末动量
则整个过程动量的变化量
即大小为9.02kg⋅m/s。
27．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD
和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨
道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系
数 的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量 的滑块a以初速度
从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以 的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数 ，其它摩擦和阻力
均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 （x为形变量）。
（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小v 和所受支持力大小F ；
F N
（2）若滑块a碰后返回到B点时速度 ，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能 ；
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 。
【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m
【详解】（1）滑块a从D到F，由能量关系
在F点
解得
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学科网（北京）股份有限公司F =31.2N
N
（2）滑块a返回B点时的速度v =1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为
B
根据
可得在C点的速度
v =3m/s
C
则滑块a从碰撞后到到达C点
解得
v=5m/s
1
因ab碰撞动量守恒，则
解得碰后b的速度
v=5m/s
2
则碰撞损失的能量
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度
解得
v=2．5m/s
当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度
则
当弹簧被压缩到最短时压缩量为x，由能量关系
1
解得
同理当弹簧被拉到最长时伸长量为
x=x
2 1
则弹簧最大长度与最小长度之差
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学科网（北京）股份有限公司28．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径
为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道 在同一竖
直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内
侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。
小物块与桌面之间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小；
（2）B和D两点的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
【答案】（1） ；（2）0；（3）
【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有
解得
（2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，则在C点有
小物块从C到D的过程中，根据动能定理有
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有
联立解得
，H = 0
BD
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有
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学科网（北京）股份有限公司S = π·2R
解得
29．（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该
飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s时离开水面，该过程滑行距离
L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100m时速度达到v₂=100m/s，之后
保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）飞机做从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为 ，则
解得飞机滑行的时间为
飞机滑行的加速度为
（2）飞机从水面至 处，水的机械能包含水的动能和重力势能，则机械能变化量为
30．（2023·江苏·高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为
45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点
由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为 ，重力
加速度为g，不计空气阻力。
（1）求滑雪者运动到P点的时间t；
（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）滑雪者从A到P根据动能定理有
根据动量定理有
联立解得
（2）由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A
点下滑时，到达B点有
（3）当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有
水平方向上有
联立可得
31．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m
的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运
动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞
前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度
为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
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学科网（北京）股份有限公司（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为 ，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
32．（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的直
轨道 、螺旋圆形轨道 ，倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨
道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处．凹槽 底面 水平
光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道 、平台 位
于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径 ，B点高度为 ， 长度 ， 长度
，摆渡车长度 、质量 。将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度
处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑
块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过C点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间 。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）滑块从静止释放到C点过程，根据动能定理可得
解得
滑块过C点时，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为 ，从静止释放到G点过程，根据动能定理可得
解得
摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，说明滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速 ，以滑块
和摆渡车为系统，根据系统动量守恒可得
解得
根据能量守恒可得
解得
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学科网（北京）股份有限公司（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
所用时间为
此过程滑块通过的位移为
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动，该过程所用时间为
则滑块从G到J所用的时间为
33．（2022·福建·高考真题）如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质
弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度 从滑板最左端滑入，
滑行 后与B发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开
始运动．已知A、B、C的质量均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加
速度大小为 ；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：
（1）C在碰撞前瞬间的速度大小；
（2）C与B碰撞过程中损失的机械能；
（3）从C与B相碰后到A开始运动的过程中，C和B克服摩擦力所做的功。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小物块C运动至刚要与物块B相碰过程，根据动能定理可得
解得C在碰撞前瞬间的速度大小为
（2）物块B、C碰撞过程，根据动量守恒可得
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学科网（北京）股份有限公司解得物块B与物块C碰后一起运动的速度大小为
故C与B碰撞过程中损失的机械能为
（3）滑板A刚要滑动时，对滑板A，由受力平衡可得
解得弹簧的压缩量，即滑板A开始运动前物块B和物块C一起运动的位移大小为
从C与B相碰后到A开始运动的过程中，C和B克服摩擦力所做的功为
34．（2022·上海·高考真题）如图所示，AB为平直导轨，长为L，物块与导轨间动摩擦因数为，BC为光
滑曲面。A与地面间高度差为h，BC间高度差为h，一个质量为m的物块在水平恒力作用下，从A点
1 2
静止开始向右运动，到达B点时撤去恒力，物块经过C点后落地，已知重力加速度为g。
（1）若物块落地时动能为E，求其经过B点时的动能E ；
1 kB
（2）若要物块落地时动能小于E，求恒力必须满足的条件。
1
【答案】（1）E－mgh ；（2） ＜F＜
1 1
【详解】（1）从B到落地过程中机械能守恒，设地面为零势能面
变形得
（2）整个过程根据动能定理有
所以
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学科网（北京）股份有限公司若物体恰能到达C点，根据动能定理有
所以
综上所述
＜F＜
35．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道AB、
圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直
1 2
轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O、
1
D、O 和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径
2
R=0.15m，轨道AB长度 ，滑块与轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等
大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（ ）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N
（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。
【答案】（1）7N；（2） （ ）；（3） ， ，
【详解】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理
经过C点时
解得
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学科网（北京）股份有限公司（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时
解得
而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动
能定理
可解得
则要保证小球能到F点， ，带入 可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……
解得
n=1,3,5, ……
又因为
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，满足要求。
即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度 的值可能为 ， ， 。
36．（2021·北京·高考真题）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效
“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为 ，人站立时摆长为 。不计空气阻力，重力加速度大
小为g。
（1）如果摆长为 ，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越
高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角 开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大
摆角为 。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大
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学科网（北京）股份有限公司摆角 后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆
周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 应满足的条件。
【答案】（1） ；（2）a.见解析；b.
【详解】（1）根据牛顿运动定律
解得
（2）a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v、v，根据功能关系得
1 2
已知v = v，得
1 2
因为 ，得
所以
b.设“摆球”由最大摆角 摆至最低点时动能为 ，根据功能关系得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为 ,根据牛顿运动定律得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
得
37．（2021·全国乙卷·高考真题）一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为 处由
静止自由落下，反弹高度为 。若使篮球从距地面 的高度由静止下落，并在开始下落
的同时向下拍球、球落地后反弹的高度也为 。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间
为 ；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取 ，不计空
气阻力。求：
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学科网（北京）股份有限公司（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）第一次篮球下落的过程中由动能定理可得
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系
代入数据可得
（2）因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此有牛顿第二定律可得
在拍球时间内运动的位移为
做得功为
联立可得
（ 舍去）
38．（2021·全国甲卷·高考真题）如图，一倾角为 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相
邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第
一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发
现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻
进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为 ，重
力加速度大小为g。
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则
L应满足什么条件？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由题意可知小车在光滑斜面上滑行时根据牛顿第二定律有
设小车通过第30个减速带后速度为v，到达第31个减速带时的速度为v，则有
1 2
因为小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，故后面过减速带后的速度与到
达下一个减速带均为v 和v；经过每一个减速带时损失的机械能为
1 2
联立以上各式解得
（2）由（1）知小车通过第50个减速带后的速度为v，则在水平地面上根据动能定理有
1
从小车开始下滑到通过第30个减速带，根据动能定理有
联立解得
故在每一个减速带上平均损失的机械能为
（3）由题意可知
可得
考点03 动量观点计算题
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学科网（北京）股份有限公司39．（2025·湖北·高考真题）如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大于1
的正整数）个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，木板的质量为nm。相
邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为 ，滑块与木板间的动摩擦因数为 。初始
时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为 （ 为足
够大常数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小
(2)记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为 ，第 个滑块开始滑动时的速度为 。用已知
量和 表示 。
(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求 的值。（参考公式：
）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块1运动时，对木板的摩擦力为
地面对木板的摩擦力为
所以此过程中木板保持不动；每个滑块之间距离为L，所以对滑块1根据动能定理有
解得
（2）滑块间碰撞时间极短，碰后滑块粘在一起运动，若长木板不动，第j个滑块开始运动时加速度为
根据运动学公式，第j个滑块开始滑动到和第 个滑块碰撞时，有
第j个滑块和第j+1个滑块碰撞过程中动量守恒有
联立可得
（3）当第k个木块开始滑动时，木板恰好要滑动，此时有
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学科网（北京）股份有限公司解得 （n为整数）
则第 个（即 ）木块开始滑动时，木板开始滑动，要刚好不发生下一次碰撞，假设木板和剩
下的木块不发生相对滑动，则
则
木板和剩下的木块不发生相对滑动。
对前面 个（即 ）木块，有
木板开始滑动时，刚好不发生下一次碰撞，则对前面 个木块和 个木块共速，且相对位移恰好
为 ，则
则
又
则
则
j=1时，第一个滑块开始运动的速度 ，则
j=2时，根据动量守恒定律可得
可得第2个滑块开始运动的速度 ，
则
由第二问可得， ，则对第3个滑块到第 个滑块有
……
将从j=2到j=k+1相关方程累积求和可得
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学科网（北京）股份有限公司联立 ，
可得
40．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为 的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半圆挡
板和长为 的直挡板。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，
两挡板相切于b点，de与ab平行且等长。小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿
挡板运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动
过程中无其他碰撞。小球甲质量为 ，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。
(1)求小球甲从a点沿直线运动到b点过程中的加速度大小；
(2)若小球甲恰能到达c点，且碰撞后小球乙能运动到e点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条
件；
(3)在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【详解】（1）小球甲从a点沿直线运动到b点过程中,根据牛顿第二定律有
解得甲在ab段运动的加速度大小
（2）甲恰能到c点，设到达c点时的速度为 ，可知
解得 ①
根据题意甲乙发生完全弹性碰撞，碰撞前后根据动量守恒和能量守恒 ，
解得碰后乙的速度为 ②
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学科网（北京）股份有限公司碰后乙能运动至 点，第一种情况，碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达e点，此时需满足
即 ③
联立①②③可得
第二种情况，碰后乙做类平抛运动到达e点，此时可知 ，
解得 ④
联立①②④可得
（3）在（2）问的质量比条件下，若碰后乙能越过线段 ，根据前面分析可知当满足第一种情况时，
碰后乙做圆周运动显然不满足能越过线段 ，故碰后乙做类平抛运动越过线段 ，故碰后乙的速度必
然满足
同时根据类平抛运动规律可知 ，
同时需保证小球不能撞击到圆弧cd上，可得当 ，
联立解得 ⑤
联立②⑤将 代入可得 ⑥
对甲球从a到c过程中根据动能定理 ⑦
联立⑥⑦可得
41．（2025·河南·高考真题）如图，在一段水平光滑直道上每间隔 铺设有宽度为 的防滑带。
在最左端防滑带的左边缘静止有质量为 的小物块P，另一质量为 的小物块Q以
的速度向右运动并与P发生正碰，且碰撞时间极短。已知碰撞后瞬间P的速度大小为
，P、Q与防滑带间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小 。求：
(1)该碰撞过程中损失的机械能；
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学科网（北京）股份有限公司(2)P从开始运动到静止经历的时间。
【答案】(1)24.5J
(2)5s
【详解】（1）P、Q与发生正碰，由动量守恒定律
由能量守恒定律
联立可得 ，
（2）对物块P受力分析由牛顿第二定律
物块P在第一个防滑带上运动时，由运动学公式 ，
解得
则物块P在第一个防滑带上运动的时间为
物块P在光滑的直道上做匀速直线运动，则
解得
物块P在第二个防滑带上运动时，由运动学公式 ，
解得
则物块P在第二个防滑带上运动的时间为
物块P在光滑的直道上做匀速直线运动，则
解得
由以上条件可知，物块P最终停在第三个防滑带上，由运动学公式
可得物块P在第三个防滑带上运动的时间为
故物块P从开始运动到静止经历的时间为
42．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的
运动测量粒子的质量、动量等物理量。
考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为 的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场
方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为 ，粒子2运动的距离为d。
求：
a．粒子1与粒子2的速度大小之比 ；
b．粒子2的动量大小 。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)a． ；b．
【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得轨道半径
圆周运动的周期
将R代入得
比例关系为
（2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度
粒子2做匀速直线运动，速度
所以速度之比
即
b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有
可得
粒子2的动量
结合前面的分析可得
43．（2025·北京·高考真题）关于飞机的运动，研究下列问题。
(1)质量为m的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x时速度为v。在此过程中，
飞机受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
(2)飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超
过该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。己知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为 ，
减速时最大加速度大小为 。求该位置距起点的距离d。
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学科网（北京）股份有限公司(3)无风时，飞机以速率u水平向前匀速飞行，相当于气流以速率u相对飞机向后运动。气流掠过飞机
机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向
上的作用力大小F与u的关系满足 ，并确定 的值。
【答案】(1)
(2)
(3)论证见解析，
【详解】（1）根据动能定理
可得牵引力对飞机做的功
（2）加速过程，设起飞速度为 ，根据速度位移关系
减速过程，根据速度位移关系
联立解得
（3）在无风的情况下，飞机以速率u水平飞行时，相对飞机的气流速率也为u，并且气流掠过机翼改
变方向，从而对机翼产生升力。根据升力公式，升力与气流的动量变化有关，根据动量定理
可得
又 ，
联立可得
又
可知
即
54 / 83
学科网（北京）股份有限公司44．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块
以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质
点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。
(1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。
(2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共
计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。
【答案】(1)0.6m
(2)I = 0.1N·s；v′ = 0
N x
【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg
则小物块从开始运动到离开平台有
小物块从平台飞出后做平抛运动有 ，x = vxt
1
联立解得x = 0.6m
（2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速
度有 ，vy = gt
2 2
则物块与地面接触的时间Δt = t－t－t = 0.1s
1 2
物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有I －mgΔt = mvy －m(－
N 2
vy)，vy = gt
1 1 1
解得I = 0.1N·s
N
取水平向右为正，在水平方向有－μNΔt = vx′－vx，I = NΔt
N
解得vx′ = －1m/s
但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0
45．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列
有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度 向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间
的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
55 / 83
学科网（北京）股份有限公司(2)若钢球质量为 ，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小 ；
(3)若钢球质量为 ，求玻璃球经历 次碰撞后的动能 。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械
能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球
的初速度为 。
（2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得 ，
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为
（3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前
的 ，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹
后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的
，综上所述，玻璃球碰撞 次后速度大小为
则玻璃球碰撞 次后最终动能大小
46．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，有两个电性相同且质量分别为m、 的粒子A、B，初始时刻
相距 ，粒子A以速度 沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动，此时A、B两粒子系统的电势能等
于 。经时间 粒子B到达P点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B施加一恒力，方向与
速度方向相同。当粒子B的速度为 时，粒子A恰好运动至P点且速度为0，A、B粒子间距离恢复为
，这时撤去恒力。己知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：
（m、 、 、 均为己知量）
56 / 83
学科网（北京）股份有限公司(1)粒子B到达P点时的速度大小 ；
(2) 时间内粒子B的位移大小 ；
(3)恒力作用的时间 。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据动量守恒定律 ，解得
（2）两者共速时设间距为 ，根据能量守恒定律可知此时电势能为
根据题意电荷间的电势能与它们间的距离成反比，则
两者共速前的过程系统始终动量守恒，根据动量守恒则有
即有
根据位移关系可知
联立解得
（3）对全过程，对系统根据动能定理
对全过程，根据动量定理
联立解得
47．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于
轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球
B正碰并粘在一起。已知I = 1.8 Ns，A、B的质量分别为m = 0.3 kg、m = 0.1 kg，轨道半径和绳长均
A B
为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
∙
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学科网（北京）股份有限公司(1)与B碰前瞬间A的速度大小；
(2)A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【答案】(1)4 m/s
(2)11.2 N
【详解】（1）根据题意，设小球A从最低点开始运动时的速度为v，由动量定理有
0
设与B碰前瞬间A的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有
联立代入数据解得
（2）A与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
48．（2024·贵州·高考真题）如图，半径为 的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与
水平地面 相切于P点， 的长度 。一长为 的水平传送带以恒定速率 逆
时针转动，其右端与地面在M点无缝对接。物块a从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P点，再
向左做直线运动至M点与静止的物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b向左运动到达传送带
的左端N时，瞬间给b一水平向右的冲量I，其大小为 。以后每隔 给b一相同的瞬时冲
量I，直到b离开传送带。已知a的质量为 的质量为 ，它们均可视为质点。a、b与
地面及传送带间的动摩擦因数均为 ，取重力加速度大小 。求：
(1)a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
(2)b从M运动到N的时间；
(3)b从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)30N
(2)3.2s
(3)95J
【详解】（1）a从静止释放到圆轨道底端过程，根据机械能守恒定律
在 点，设轨道对它的支持力大小为 ，根据牛顿第二定律
联立解得
（2）a从静止释放到M点过程中，根据动能定理
解得
与 发生弹性碰撞的过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
滑上传送带后，根据牛顿第二定律
解得
的速度减小到与传送带速度相等所需的时间
对地位移
此后 做匀速直线运动， 到达传送带最左端还需要的时间
59 / 83
学科网（北京）股份有限公司b从M运动到N的时间
（3）设向右为正方向，瞬间给b一水平向右的冲量，对 根据动量定理
解得
向右减速到零所需的时间
然后向左加速到 所需的时间
可得
在 时间内向右运动的距离
循环10次后 向右运动的距离
每一次相对传动带运动的路程
b从N向右运动3m的过程中 与传送带摩擦产生的热量
然后 继续向右减速运动，根据运动学公式
解得
此过程，b相对传动带运动的路程
此过程中 与传送带摩擦产生的热量
b从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量
49．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N两个钉子固定于相距a的两点，M的正下方有不可伸长的轻
质细绳，一端固定在M上，另一端连接位于M正下方放置于水平地面质量为m的小木块B，绳长与
M到地面的距离均为10a，质量为2m的小木块A，沿水平方向于B发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A
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学科网（北京）股份有限公司与地面间摩擦因数为 ，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时
的机械能损失。
(1)若碰后，B在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A碰前瞬间的速度，碰后A运动到P点停止，B在竖直面圆周运动旋转2圈，经过M正下方
时细绳子断开，B也来到P点，求B碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg细绳会断，上下移动N的位置，保持N在M正上方，B碰后瞬间的速度与（2）问
中的相同，使B旋转n圈。经过M正下的时细绳断开，求MN之间距离的范围，及在n的所有取值中，
B落在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3) （n = 1，2，3，…）， ，
【详解】（1）碰后B能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B的最小速度大小为v，最
0
高点速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有
B从最低点到最高点由动能定理可得
解得
（2）A和B碰撞过程中动量守恒，设碰前A的速度大小为v 碰后A的速度大小为v 碰后B的速度大
1 2。
小为v，则有
3
2mv = 2mv＋mv
1 2 3
碰后A减速到0，有
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学科网（北京）股份有限公司碰后B做两周圆周运动，绳子在MN间缠绕2圈，缩短4a，在M点正下方时，离M点6a，离地面
4a，此时速度大小为v，由功能关系得
4
B随后做平抛运动，有
L = v t
4
解得
（3）设MN间距离为h，B转n圈后到达M正下方速度大小为v，绳缩短2nh，绳断开时，以M为圆
5
心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
以N为圆心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
从碰后到B转n圈后到达M正下方，由功能关系得
（n = 1，2，3，…）
解得
（n = 1，2，3，…）
绳断后，B做平抛运动，有
（n = 1，2，3，…）
s = vt
5
可得
（n = 1，2，3，…）
由于
（n = 1，2，3，…）
则由数学分析可得
当 时，
62 / 83
学科网（北京）股份有限公司当n = 1时， ，
50．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的
光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定
凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道
BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，
M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ。滑块视
1 2
为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v 的大小；
0
（2）若μ=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
2
（3）若μ=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度v 。
2 m
【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s
【详解】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时
从滑块离开弹簧到C过程，根据动能定理
解得
（2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒
根能量守恒
解得
（3）若μ=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为
2
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学科网（北京）股份有限公司共速后，共同加速度大小为
考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速；
假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程
共速过程，滑块、木板位移分别为
共速时，相对位移应为
解得
，
随后共同减速
到达H速度
说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。
51．（2024·河北·高考真题）如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C（上表面均粗糙）并排静止
在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A木板左端。已知三块木板质量均为 A木板长
度为 ，机器人质量为 ，重力加速度g取 ，忽略空气阻力。
（1）机器人从A木板左端走到A木板右端时，求A、B木板间的水平距离。
（2）机器人走到A木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A木板右端跳到B木板左端，求
起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
（3）若机器人以做功最少的方式跳到B木板左端后立刻与B木板相对静止，随即相对B木板连续不停
地3次等间距跳到B木板右端，此时B木板恰好追上A木板。求该时刻A、C两木板间距与B木板长度
的关系。
【答案】（1） ；（2）90J，2；（3）
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）机器人从A木板左端走到A木板右端，机器人与A木板组成的系统动量守恒，设机器
人质量为M，三个木板质量为m，取向右为正方向，则
机器人从A木板左端走到A木板右端时，机器人、木板A运动位移分别为为 、 ,则
有
同时有
解得A、B木板间的水平距离
（2）设机器人起跳的速度大小为 ，方向与水平方向的夹角为 ，从A木板右端跳到B木板左端时间
为t，根据斜抛运动规律得
联立解得
机器人跳离A的过程，系统水平方向动量守恒
根据能量守恒可得机器人做的功为
联立得
根据数学知识可得当 时，即 时，W取最小值，代入数值得此时
（3）根据 可得 ，根据
得
分析可知A木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A木板到与B木板相对静止的过程中，机器人与
BC木板组成的系统在水平方向动量守恒，得
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学科网（北京）股份有限公司解得
该过程A木板向左运动的距离为
机器人连续3次等间距跳到B木板右端，整个过程机器人和B木板组成的系统水平方向动量守恒，设
每次起跳机器人的水平速度大小为 ，B木板的速度大小为 ，机器人每次跳跃的时间为 ，取向右
为正方向，得
①
每次跳跃时机器人和B木板的相对位移为 ，可得
②
机器人到B木板右端时，B木板恰好追上A木板，从机器人跳到B左端到跳到B右端的过程中，AB木
板的位移差为
可得
③
联立①②③解得
故A、C两木板间距为
解得
52．（2024·湖北·高考真题）如图所示，水平传送带以5m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为 。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为 、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg的小
球，小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子，P点与O点等高。将质量为
0.1kg的小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间
小物块的速度大小为 、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球
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学科网（北京）股份有限公司继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小 。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P点正上方，绳子不松弛，求P点到O点的最小距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意，小物块在传送带上，由牛顿第二定律有
解得
由运动学公式可得，小物块与传送带共速时运动的距离为
可知，小物块运动到传送带右端前与传送带共速，即小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小等
于传送带的速度大小 。
（2）小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组成的系统动量守恒，以向右为
正方向，由动量守恒定律有
其中
，
解得
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能为
解得
（3）若小球运动到P点正上方，绳子恰好不松弛，设此时P点到O点的距离为 ，小球在P点正上
方的速度为 ，在P点正上方，由牛顿第二定律有
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学科网（北京）股份有限公司小球从 点正下方到P点正上方过程中，由机械能守恒定律有
联立解得
即P点到O点的最小距离为 。
53．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为m 和m 的小球A和
A B
B（m >m ）。初始时小球A以初速度v 沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与
A B 0
圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的
大小；
（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的
质量比 。
（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍
（0
