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专题 17 电磁学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考生需依据给定的电磁学情境，如电
考点1 静电场 2022、2023、2025 场线、磁感线分布，电磁感应现象中的电
路结构与磁通量变化，运用相关物理规律
进行严密推理，判断电场、磁场的性质，
考点2 磁场 2021、2022、2024、2025
分析带电粒子或导体的运动状态及能量变
化情况。面对复杂的电磁学问题，能借助
数学工具，如函数图像分析电场强度、磁
感应强度、感应电流等物理量随时间或空
间的变化规律，通过几何关系求解带电粒
子在磁场中圆周运动的半径、圆心角等物
理量。例如，利用 E - t 图像分析电场强
度随时间的变化，通过几何图形确定带电
粒子在磁场中的运动轨迹。实验探究能力
的考查力度也在逐步加大，要求考生设计
考点3 电磁感
实验验证电磁学相关规律，如利用传感器
2021、2022、2024
应 探究磁场的分布特点，设计电路测量电
阻、电动势等电学量，处理实验数据并分
析误差，注重实验原理的迁移应用，如将
电磁感应实验中的方法拓展到其他电磁学
现象的研究中。部分试题还会引入新的科
研成果或情境信息，考查考生获取信息、
迁移知识、解决新问题的创新能力，全面
检验考生对电磁学知识的掌握程度与物理
学科核心素养的发展水平 。
考点01 静电场
1．（2025·北京·高考）如图1所示，金属圆筒A接高压电源的正极，其轴线上的金属线B接负极。(1)设A、B两极间电压为U，求在B极附近电荷量为Q的负电荷到达A极过程中静电力做的功W。
2λ
(2)已知筒内距离轴线r处的电场强度大小E=k ，其中k为静电力常量，λ为金属线B单位长度的电荷
r
量。如图2所示，在圆筒内横截面上，电荷量为q、质量为m的粒子绕轴线做半径不同的匀速圆周运动，
其半径为r 、r 和r 时的总能量分别为E 、E 和E 。若r −r =r −r ，推理分析并比较(E −E )与
1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 3 2
(E −E )的大小。
2 1
(3)图1实为某种静电除尘装置原理图，空气分子在B极附近电离，筒内尘埃吸附电子而带负电，在电场作
用下最终被A极收集。使分子或原子电离需要一定条件。以电离氢原子为例。根据玻尔原子模型，定态氢
原子中电子在特定轨道上绕核做圆周运动，处于特定能量状态，只有当原子获得合适能量才能跃迁或电
离。若氢原子处于外电场中，推导说明外电场的电场强度多大能将基态氢原子电离。（可能用到：元电荷
e=1.6×10−19C，电子质量m=9.1×10−31kg，静电力常量k=9.0×109N⋅ m2/C2，基态氢原子轨道半径
a=5.3×10−11m和能量E =−13.6eV ）
0
2．（2023·北京·高考）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组
成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v 保持
0
不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力
影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为−q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U ；
1
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为f=krv，其中r为颗粒的半
径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为−q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U ；
2
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10μm和2.5μm
的两种颗粒，若10μm的颗粒恰好100%被收集，求2.5μm的颗粒被收集的百分比。3．（2022·北京·高考）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量
为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
d
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
2
考点02 磁场
4．（2025·北京·高考）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测
量粒子的质量、动量等物理量。
考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为q 的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
0
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向
平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为θ，粒子2运动的距离为d。求：
a．粒子1与粒子2的速度大小之比v :v ；
1 2
b．粒子2的动量大小p 。
2
5．（2024·北京·高考）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的
放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为
d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴
向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B ；还有方向沿半径向外的径向磁
1
场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷
量为+e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的
电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为−e；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小B ；
2
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
6．（2023·北京·高考）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的
世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨
间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属
棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度
B与电流i的关系式为B=ki（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区
域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金
属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a :a ；
1 2
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
7．（2021·北京·高考）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直
的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不
计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N时的动能E 。
k
考点03 电磁感应
8．（2024·北京·高考）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的
平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良
好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入
电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
9．（2022·北京·高考）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。
现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。
若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B
；
地（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电
极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电
的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B；
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的
思路。
10．（2021·北京·高考）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f=kv（k
Δv
为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程G−kv=m （①式）描述，其中m为物体质
Δt
量，G为其重力。求物体下落的最大速率v 。
m
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现
电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I
随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I - t图线。
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1 情境2物体重力势能的减少量
物体动能的增加量
电阻R上消耗的电能
情境1 情境2
电源提供的电能
线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械能
1．（2025·北京朝阳·二模）大气电场强度是大气电学领域的基本参数，监测大气电场强度对研究大气物理
变化、灾害天气预防具有重大意义。通常情况下，地面附近的电场分布如图1所示，低空大气与地球表面
可视为平行板电容器。已知静电力常量为k。
S
(1)空气中平行板电容器的电容为C= ，其中S表示电容器极板的正对面积，d表示板间的距离。
4πkd
a.若地表单位面积上的电荷量为σ，请推导地球表面电场强度E=4πkσ；
b.地面附近某空间的电场强度E=130V/m，已知地球半径R=6.4×106m，静电力常量
k=9.0×109N⋅ m2/C2。请结合a中结论，估算地球表面带电量的数量级。
(2)电场强度计能够探测大气电场强度的变化，其结构可简化为图2：平行且靠近的动片和定片中心在一条
竖直轴上，动片在上、定片在下，动片接地且与定片绝缘。动片和定片形状相同，均由4个扇形金属片构
成，每个扇形金属片的面积为S 。定片保持静止，动片由马达驱动，以角速度ω匀速转动，使得定片被交
0
替地遮挡。定片未被遮挡部分处于大气电场中，由于静电感应，其上产生均匀分布的感应电荷。a.求定片被交替遮挡的周期T ；
0
b.定片上感应电荷随时间的变化会产生周期性的电流，这一电流通过测量仪器就能显示大气电场强度E的
数值。从定片被动片完全遮挡开始计时，结合（1）a中结论，推导电流强度1与大气电场强度E的大小关
系，并在图3中画出大气电场强度恒定时电流强度I与时间t的图像。
2．（2025·北京通州·一模）如图所示为导轨式电磁炮实验装置示意图。两根平行长直金属导轨沿水平方向
固定，其间安放金属滑块（即实验用弹丸）。滑块可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨保持良好接触。电
源提供的强大电流从一根导轨流入，经过滑块，再从另一导轨流回电源。滑块被导轨中的电流形成的磁场
推动而发射。在发射过程中，该磁场在滑块所在位置始终可以简化为垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为B=2.0T。已知两导轨内侧间距l=0.10m，滑块的质量m=0.04kg，滑块沿导轨滑行x=6m后获
得的发射速度v=3.0km/s（此过程可视为匀加速运动）。
(1)求滑块在发射过程中的加速度a的大小；
(2)求发射过程中电源提供的电流I的大小；
(3)若滑块所在电路的总电阻为R=0.2Ω，试推导论证滑块在发射过程中可视为匀加速运动的合理性。
3．（2025·北京丰台·二模）如图1所示，一个匝数为N、边长为L的正方形导线框abcd，导线框总电阻为
R，总质量为m，匀强磁场区域的宽度为L。导线框由静止释放，下落过程中始终保持竖直，忽略空气阻
力，重力加速度为g。
(1)若导线框ab边刚进入匀强磁场区域时，恰能做速度为v 的匀速运动，求匀强磁场的磁感应强度B ；
0 1
(2)若导线框ab边进入磁场的速度为v ，cd边离开磁场的速度为v ，导线框在磁场中做减速运动，已知磁
1 2
感应强度为B 。在导线框穿过磁场的过程中，求：
2a.导线框中产生的焦耳热Q；
b.在图2中定性画出导线框中的感应电流I随时间t的变化图线（规定逆时针为电流正方向）。
4．（2025·北京朝阳·二模）如图所示，一边长为L、质量为m的正方形单匝线圈abcd，自某高处沿竖直面
下落，匀速穿过磁感应强度大小为B的水平匀强磁场区域，速度大小为v ,重力加速度大小为g，不计空气
阻力。求：
(1)刚进入磁场时线圈中的电流大小I；
(2)线圈的电阻R；
(3)线圈穿过磁场区域过程中产生的热量Q。
q
( )
5．（2025·北京昌平·二模）比荷 是基本粒子的关键参数之一。通过测定不同粒子的比荷，科学家可以
m
区分粒子种类并研究其性质。
(1)1897年汤姆孙通过研究阴极射线发现了电子，并设计了测定电子比荷的实验装置，如图1所示。真空管
内阴极K发出的电子经加速电压加速后，沿中心轴线O O进入长度为L、间距为d的水平平行极板P和P′
1
间的区域。在极板间加合适的电压U和磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场时，电子刚好
打在荧光屏中心O点；当极板间不加电压、只保留磁场时，电子束打在荧光屏上O′点。结合仪器中的一
些几何参量可确定电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h。不计电子重力及电子间相互作用。
①求电子在极板间运动时的速度大小v；
②推导电子比荷的表达式。
(2)如图2所示为磁聚焦法测量电子比荷的实验装置示意图。螺线管内部存在磁感应强度大小为B、方向与
螺线管轴线平行的匀强磁场。电子枪从O点射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场
方向的夹角θ非常小。由于电子具有近似相等的水平方向速度和大小不同的竖直方向速度，所以电子从O
点分离一段时间后汇聚于螺线管轴线上一点。调节B的大小可使电子经过多次汇聚后刚好打在荧光屏上的
P点。已知P点为电子第n次汇聚点，OP间的距离为H。不计电子重力及电子间相互作用，装置内部为真空。当θ很小时，vcosθ≈v，vsinθ≈vθ。试推导电子比荷的表达式。
6．（2025·北京昌平·二模）电磁弹射是航空母舰上舰载机的一种起飞方式，是航空母舰的核心技术之一。
某学习小组设计了一个简易的电容式电磁弹射装置，如图甲所示，在竖直向下的匀强磁场中，两根相距为
L平行金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒MN放置在导轨右侧，与导轨垂直且接触
良好。单刀双掷开关S先接1，经过足够长的时间后，再把开关S接到2，导体棒向右离开导轨后水平射
出。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m，接入电路部分的电阻为R，电源的电动势
为E。不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。
(1)
将开关S接1给电容器充电，在图乙所示的坐标系中画出电容器两极板电压u与电荷量q变化关系的图
像；并求出经过足够长的时间后电容器极板的电荷量Q和电容器储存的电能E ；
p
(2)求开关S接2的瞬间导体棒的加速度大小a；
1
(3)若某次试验导体棒弹射出去后电容器两端的电压减为初始值的 ，求导体棒离开导轨时的速度大小v。
4
e
( )
7．（2025·北京大兴·练习）一种测定电子比荷 的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极K发出的电子
m
经阳极A与阴极K之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、
D间的区域，若两极板C、D间无电压，电子将打在荧光屏上的O点。已知C、D间的距离为d。若在两极板间
施加电压U的同时施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，电子仍能打在荧光屏上的O
点。
(1)求电子进入C、D间的速度大小？
(2)若撤去C、D两极板间电压，只保留磁场，电子束将射在荧光屏上某点，若已知电子在磁场中做圆周运
动的半径R，求电子的比荷。
(3)若撤去C、D两极板间的磁场，只在两极板C、D间施加电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上
的P点；已知极板的长度为L ，极板区的右侧边缘到荧光屏的距离为L ，P点到O点的距离为y。求电子的
1 2
比荷。
8．（2025·北京西城·二模）弗兰克-赫兹实验是能够验证玻尔理论的重要实验。实验装置如图所示，放电
管的阴极K持续发射电子，两个金属网电极G 和G 将放电管分为三个区域，在G 与K之间加可调节大小的
1 2 1电压，使电子加速运动；电子进入G 和G 之间的等势区后，部分电子与该区域内的原子发生碰撞；在G 与
1 2 2
电极A间加电压，使进入该区域的电子减速运动，若有电子到达A，电流表可观测到电流。
可以建立简化的模型从理论角度对该实验进行分析。设原子的质量为M，被撞前视为静止，电子的电荷量
为e、质量为m，忽略电子的初速度及电子间的相互作用力，假定电子均沿直线运动，电子与原子最多发
生一次碰撞，且电子不会被原子俘获。
(1)当G 与K间电压为U时，求电子到达G 时速度的大小v。
1 1
(2)该实验利用电子对原子进行撞击，使原子吸收碰撞损失的动能从低能级跃迁到高能级。
a.为使原子从能量为E 的基态跃迁到能量为E 的第一激发态，求G 与K间电压的最小值U 。
0 1 1 0
b.在G 与A间加电压是为了观测到电流表示数的显著变化，以推知原子是否发生了能级跃迁。当G 与K间
2 1
电压为U 时，求G 与A间电压U 的最小值。
0 2 1
9．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。
(1)一个质量为m的探测器绕某行星P做匀速圆周运动，轨道半径为r，如图甲所示。行星P的质量为
M(M≫m)，引力常量为G。行星P和探测器均视为质点。
r3
a.设探测器做匀速圆周运动的周期为T，求 的表达式；
T2
b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所
示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极
短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近P点”到行星P的距
离d；
c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星P做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星P所用的时间t。
(2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为Q(Q>0)，距离为r 处有一质量为m 、带电量为
0 0
−q(q>0)的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为k。库仑力与万有引力都与距离的平
方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为−q的点电荷仅在静电力的作用下到达Q所用
的时间τ。不计带电量为−q的点电荷运动过程中的电磁辐射。
10．（2025·北京东城·二模）利用电磁感应现象，可以测量空间某处的磁场。
(1)如图甲所示，电阻为r、长为l的导体棒ab放置在光滑的水平导轨上，导轨左侧接一阻值为R的定值电
阻，导轨间距也为l。导轨处在竖直向下的匀强磁场中，导体棒ab在外力作用下沿导轨水平向右做匀速直
线运动，速度大小为v，电流表的示数为I。导体棒ab始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。
a.求磁感应强度的大小B；
b.撤去外力后，经过一段时间，穿过该闭合回路的磁通量的变化量为ΔΦ，通过电阻R的电荷量为q。请证
明：ΔΦ=q(R+r)。
(2)已知北半球某处地磁场的磁感应强度没有东西方向的分量，磁感应强度方向与水平方向夹角为θ。在该
处一水平面内放置一个长、宽分别为l 、l 的单匝矩形线框CDEF，线框总电阻为r ，其中CD沿南北方向、
1 2 0
DE沿东西方向，如图乙所示。线框分别以CD、DE为轴向下转动到竖直平面内，两次通过线框导线某横截
面的电荷量分别为Q 、Q ，线框所在处的磁场可视为匀强磁场。求该处磁感应强度大小B 和θ的正切值。
1 2 0
11．（2025·北京东城·二模）在高能物理实验中，静电分析器或者磁分析器都可将比荷不同的带电粒子分
离。已知质量为m、电荷量为q的正离子由静止释放，经过电压U加速后分别进入静电分析器或磁分析器的
细管中，该离子在细管中均做半径为R的匀速圆周运动，如图甲、乙所示。静电分析器细管中的电场强度
大小可认为处处相等，磁分析器中的磁场方向如图乙所示。不计离子重力。
(1)求静电分析器细管中的电场强度大小E；
(2)求磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)为了分离 12C和 13C两种同位素，将它们都电离成三价正离子（C3+离子），采用磁分析器分离。保持
6 6磁场不变，改变加速电压，接收器可以在不同的加速电压下分别接收到其中的一种同位素离子，如图丙所
示。请分析判断图丙中的①、②哪条线对应❑
12C的C3+离子？
6
12．（2025·北京西城·二模）游乐场的“太空梭”先把座舱拉升到一定高度处释放，座舱下落到制动位置
时，触发电磁制动开始减速。将座舱简化为正方形线框abcd，如图所示，线框下方存在宽度为L的匀强磁
场区域，该区域的上下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h处由静止开始自
1
由下落。线框ab边进入磁场时开始减速，cd边穿出磁场时的速度是ab边进入磁场时速度的 。已知线框
2
的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不
计空气阻力。求：
(1)线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小E；
(2)线框穿过磁场区域的过程中最大加速度的大小a；
(3)线框穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热Q。
13．（24-25高三下·北京海淀·二模）研究天然放射现象时，把某放射源放入用铅做成的容器中，射线从容
器的小孔竖直射出，成为细细的一束。若在射线经过的空间施加磁感应强度大小为B、垂直纸面向里的匀
强磁场，如图所示，发现射线会分成三束，分别为α射线、β射线和γ射线。研究发现：α射线是氦原子
核，β射线是电子流，γ射线是高能电磁波。已知光速大小为c，假定α粒子的速度大小为0.1c、β粒子的
速度大小为0.99c。不计重力和粒子间的相互作用。
(1)写出图中的①、②、③三束射线分别对应的射线种类。
(2)再施加一沿水平方向的匀强电场。a．若①、②两束射线重合，求匀强电场的电场强度大小E及方向。
b．请判断①、②、③三束射线是否可以重合。若可以，计算出匀强电场的电场强度大小E′；若不可以，
请说明理由。
14．（24-25高三下·北京海淀·二模）与磁通量Φ =BS类似，在静电场中同样可以建立电通量的概念，若
B
将式中的磁感应强度B替换成电场强度E，就可以用Φ =ES来计算电通量。物理学家发现，穿过任意闭合
E
曲面的电通量，与该曲面内包含的所有电荷量的代数和成正比，且比例系数为常量。已知静电力常量为
k。
(1)以电荷量为+Q的点电荷为球心，以r为半径建立球面。求穿过该球面的电通量Φ 。
E
(2)二极管是由P型半导体和N型半导体制成的电子器件，如图1所示。由于扩散作用，N型区的部分自由
电子会进入P型区，在接触面两侧形成如图2所示的净剩电荷分布的示意图（正视图），其中“•”代表自
由电子（电荷量为−e）、“○”代表空穴（电荷量为+e）。电子和空穴在半导体内部所产生的“内建电
场”对自由电子的扩散起到了抑制作用，最终空穴和自由电子的分布达到稳定。以两种半导体接触面处为
坐标原点，以水平向右为正方向建立x坐标轴，坐标轴上标记的a、b、c均为已知量。查阅资料得知：
稳定后，内建电场只分布在−a<x<+c的范围内，且沿x轴负方向，x=− a和x=+c处内建电场的电场强度
为零。净剩电荷在其所在区域都均匀分布。已知半导体材料的横截面积为A，稳定后在0<x<+c范围内单
位体积内的净剩电荷数目为n。根据上述信息进行分析。
a．分别以x=+b和x=+c两处的横截面为左、右边界构建一长方体，长方体的六个面构成闭合曲面，求该
闭合曲面内净剩电荷的电荷量及x=+b处的内建电场的电场强度大小E 。
b
b．写出0<x<+c范围内，内建电场的电场强度大小E 随位置x变化的关系式。
x
c．若某自由电子能从x>+c的N型区沿x轴负方向穿越内建电场到达x<− a的P型区。忽略其他因素的影
响，求该自由电子的初始动能E 至少为多大。
k
15．（2025·北京东城·一模）简谐运动是最基本的机械振动。物体做简谐运动时，回复力F与偏离平衡位置
的位移x成正比，即：F=− kx；偏离平衡位置的位移x随时间t的变化关系满足方程x=Asin(ωt+φ)，
√k
其中A为振幅，φ是初相位，ω=❑ 为圆频率，m为物体质量。
m
(1)如图1所示，光滑的水平面上放置一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为m。以弹簧原长时的右端点为坐标原点O，水平向右为正方向建立坐标轴Ox。在弹簧的弹性限度内，将振子沿Ox方向缓慢拉至
某处由静止释放。
a.求该弹簧振子的振动周期T；
b.在图2中画出弹簧弹力大小F随弹簧伸长量x的变化关系图线。求弹簧伸长量为A时系统的弹性势能E 。
p
(2)如图3所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷离
子层，两离子层内单位体积的电荷量均为ρ，厚度均为d。以正离子层左边缘上某点O为坐标原点，水平向
右为正方向建立坐标轴Ox。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿x轴正方向，其大小E随x的变化关系
如图4所示，其中ε 为常量；在x<0与x>2d空间内电场强度均为零。某放射性粒子源S位于x=− d的位
0
置，向空间各个方向辐射速率均为v的电子。当入射电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时，电子刚好可
以到达离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为m，所带电荷量为e，不计电子重力及电
子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。
a.求θ的表达式；
b.计算电子第一次打到离子层分界面时，在分界面上形成的图形面积S（结果中可含θ）。
16．（2025·北京丰台·二模）彭宁阱是一种利用静电场和匀强磁场约束带电粒子的装置，其结构主要包括
一个旋转对称的环电极和上下两个端电极。如图1所示，以阱中心为坐标原点，旋转对称轴为z轴，建立
1
三维坐标系。在环电极和端电极间加电压，阱内产生电场，电势分布为φ= k(2z2 −ρ2)，其中k>0且为
4
已知定值，ρ为粒子到轴线的距离，ρ2=x2+y2，用于带电粒子的轴向（z轴方向）约束。轴向的匀强磁场
提供径向（垂直z轴方向）的约束，磁感应强度为B。彭宁阱的纵剖面（xOz平面）如图2所示，其中实线
表示电场线，虚线表示磁感线。一质量为m、电荷量为+q的粒子在阱中运动，忽略重力、阻力、相对论效
应和辐射。(1)若仅存在电场，且粒子以初速度v 从原点沿着z轴正方向运动。
0
a.求粒子能够运动的最远距离；
b.分析粒子沿z轴运动时受到的电场力随坐标z的变化，判断粒子沿z轴做什么运动。
(2)若电场与磁场同时存在，仅研究粒子在xOy平面内（z=0）的运动。在磁场与电场的共同作用下，粒子
的运动状态较为复杂，我们采用运动分解的方法和适当的近似，来研究粒子的运动。如图3所示，粒子在
强磁场中做高频的回旋运动；考虑到电场力的作用，粒子的回旋中心还绕O点做低频漂移圆周运动。粒子
的回旋半径远小于漂移半径，故可近似认为粒子在运动过程中电场强度的大小是恒定的。通过以上信息，
求带电粒子的漂移角速度ω 和回旋角速度ω 。
− +
