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专题18 电磁学计算题
一、计算题
1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，足够长水平 U 形光滑导体框架，宽度 L=1m，电阻不计，左端连
接电阻 R=0.9Ω；长杆 ab 质量m=0.2kg，阻值r=0.1Ω，匀强磁场的磁感应强度B=1T，方向垂直框架向上，
现ab 杆有向右的初速度v0=4m/s，并且用恒力 F=2N 由向右作用在 ab 杆上。
（1）ab 杆最终的速度是多少？此时电阻 R 的电功率是多少？
（2）当 ab 杆速度为3m/s 时，加速度是多少？
2．（2024·广东佛山·二模）饭卡是学校等单位最常用的辅助支付手段，其内部主要部分是一个多匝线圈，
当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，产生电信号．其原理可简化为如
图甲所示，设线圈匝数
，每匝线圈的面积均为
，线圈总电阻
，线圈与阻值
的电阻相连．线圈处的磁场可视作匀强磁场，其磁感应强度大小按如图乙所示规律变化（设垂直
纸面向里为正方向），求：
（1）
内通过电阻R 的电流方向和大小；
（2）
内电阻R 上产生的热量。
3．（2024·广东肇庆·二模）双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其原理如图所
示，电场分析器中有指向圆心O 的辐射状电场，磁场分析器中有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。
不同的带正电离子组成的离子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R 的圆弧轨迹通过电场并从
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P 点垂直进入
圆形磁场区域，之后从磁场下边界射出并进入检测器，检测器可在M，N 之间左右移动且
与磁场下边界的距离恒等于0.5d。某一质量为m、电荷量为q 的带正电离子A 通过电场区域和磁场区域后，
恰好垂直于磁场下边界射出，并从K 点进入检测器，己知磁场区域的磁感应强度大小为B，PO1=d，忽略
离子间的相互作用，求：
（1）离子A 在匀强磁场中运动时的速度大小；
（2）电场分析器中圆弧轨迹处的电场强度大小；
（3）探测器能接收到的离子中比荷的最大值。
4．（2024·广东佛山·一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒
子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为
，圆的半径为
。正方形的
中心与圆的圆心同在
点，圆心与圆周边沿的电势差为
。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为
，带
电量为
的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小；
（2）若沿垂直于正方形边界的
方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度
多大？该粒子在磁场中运动时离
点的最大距离
多大？
5．（2024·广东中山·模拟预测）如图，足够长的两光滑平行金属导轨MN、PQ 所构成的斜面与水平面的夹
角为θ，两导轨间距为L，两导轨顶端接一阻值为R 的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向下的匀强
磁场，磁感应强度的大小为B。一根质量为m 的导体棒垂直放置于导轨底端，其在两导轨之间部分的电阻
为R。现给导体棒一沿斜面向上的速度大小为v，导体棒上滑过程通过导体截面的电荷量为q；在运动过程
中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，两光滑平行金属导轨电阻忽略不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒刚进入磁场时的加速度大小；
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（2）导体棒向上滑的最大位移x；
（3）上滑过程中，导体棒上产生的热量Q。
6．（2024·广东佛山·二模）如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
。在匀强磁场区
域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距
，电阻可忽略不计。
质量均为
，电阻均为
的金属导体棒MN 和PQ 垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。先将
PQ 暂时锁定，金属棒MN 在垂直于棒的拉力F 作用下，由静止开始以加速度
向右做匀加速直线
运动，2s 后保持拉力F 的功率不变，直到棒以最大速度
做匀速直线运动。
（1）求2s 时，拉力F 的功率P；
（2）求棒MN 的最大速度
；（结果保留两位小数）
（3）当棒MN 达到最大速度
时，解除PQ 锁定，同时撤去拉力F，则撤去拉力F 后两金属棒之间距离增
加量
的最大值是多少？（结果保留两位小数）
7．（2024·广东广州·一模）如图，在边长为L 的正方体区域的右侧面，以中心O 为原点建立直角坐标系
xOy，x 轴平行于正方体底面。该正方体区域内加有方向均沿x 轴正方向、电场强度大小为E 的匀强电场和
磁感强度大小为B 的匀强磁场，若电量为q、质量为m 的正离子以某一速度正对O 点并垂直右侧面射入该
区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。
（1）若正离子从右侧面坐标为
的P 点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量；
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（2）若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度
的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐
标；若不能，请说明理由。
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原
理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原
方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。
多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感强
度为
。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L 并紧靠负
极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则
（1）要使
的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场
，求
的大小；
（2）若撤去极板间磁场
，有n 个速度为v1=
的离子，能进入偏转磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，
求吞噬板上收集的离子个数及
的取值范围；
（3）重新在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场并调整磁感应强度大小，使v2=
的离子沿直线通
过极板后进入偏转磁场，若此时磁场边界为矩形，如图所示，当
时上述离子全部能被吞噬板
吞噬，求偏转磁场的最小面积。
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一、
计算题
8．（2024·广东惠州·三模）
9．（2024·广东广州·二模）在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E。将一个质
量为m、电荷量为q 的小球（可视为质点）t=0 时刻由静止释放，小球开始以
的加速度向上运动。已知
电场的周期为T=2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速为g，求：
（1）匀强电场E 的大小；
（2）t=3t0时小球的速度；
（3）小球在0~2.5t0时间内机械能的变化量
。
10．（2024·新疆塔城·二模）如图所示，在光滑水平桌面上有一正方形导线框abcd，导线框的质量
m=0.2kg，边长l=0.1m，电阻R=1Ω，线框右侧存在方向竖直向下、磁感应强度为B=1T 的有界匀强磁场，
磁场边界MN、PQ 与线框ab 边平行，且两边界间距离为l。始终给线框施加一功率恒为P=4W 的外力，使
线框ab 边向右匀速穿过磁场，当ab 边离开磁场时，线框立即受到垂直于cd 边刚要向左的力F 的作用，力
F 随线框速度的大小v 变化的关系为F=kv，k=0.03kg/s，cd 边离开磁场时的加速度恰好为零，cd 边在磁场
中运动过程中，线框中产生的焦耳热为7.508J。求：
（1）线框ab 边在磁场中运动的速度的大小
；
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（2）线框cd 边刚要离开磁场时的速度的大小
；
（3）线框cd 边穿过磁场所用的时间t。
11．（2024·辽宁·一模）航天回收舱实现软着陆时，回收舱接触地面前经过喷火反冲减速，瞬间速度减少
至向下7m/s，大于要求的软着陆速度
设计速度；为此科学家设计了一种电阻尼缓冲装置，其原理
如图所示，主要部件为缓冲滑块K 和绝缘光滑的缓冲轨道MN 和PQ；回收舱主体中还有超导线圈（图中
未画出），能在两轨道间产生垂直于导轨平面的匀强磁场B＝4T，导轨内的缓冲滑块由高强度绝缘材料制
成，滑块K 上绕有n＝10 匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为
，ab 边长为L＝2m，当回收舱接触地
面时，滑块K 立即停止运动，此后线圈与轨道间的磁场发生作用，使回收舱主体做减速运动，从而实现缓
冲；已知装置中除缓冲滑块（含线圈）外的质量为m＝200kg，缓冲滑块（含线圈）K 的质量M＝50kg，重
力加速度为
，不考虑运动磁场产生的电场；
（1）达到回收舱软着陆要求的速度时缓冲滑块K 对地面的压力
（2）回收舱主体可以实现软着陆，若从7ms 减速到3m/s 的过缓冲程中，通过线圈横截面的电荷量为
，求该过程中线圈中产生的焦耳热Q。
12．（2024·江苏南京·一模）如图所示，质谱仪是分析研究同位素的重要工具。一离子经过电场加速，从
O 处以速度
垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场，最后打在M 点。已知
，求该离子：
（1）从O 运动到M 的时间；
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（2）比荷大小。
13．（2024·河北邯郸·一模）如图所示，电场强度为E 的匀强电场中有一光滑水平绝缘平面，一根轻弹簧
左端固定在平面上，右端拴接一个带正电的绝缘物块甲，平衡时物块甲静止在a 点。某时刻在b 点由静止
释放带有正电的绝缘物块乙，乙与甲发生碰撞后一起向左运动但未粘连，当甲、乙一起返回到c 点时，弹
簧恰好恢复原长，甲、乙速度刚好为零。若在d 点由静止释放乙，乙与甲发生碰撞后仍一起压缩弹簧运动，
返回到c 点时甲、乙分离，分离后，乙刚好能够返回到e 点（未画出）。已知物块甲、乙可视为质点，质
量均为m，电荷量均为q，a、b 间距离为L，a、c 间距离以及b、d 间距离均为
，忽略甲、乙间的库仑力。
求：
（1）初始状态弹簧储存的弹性势能；
（2）e 点与a 点的距离。
14．（2024·福建莆田·二模）福建舰成功实现电磁弹射试验后，某兴趣小组设计了一个模拟电磁弹射系统，
如图甲所示，系统左侧接有直流电源、单刀双掷开关S 和电容为C 的电容器，右侧是离水平地面高为h 的
水平光滑平行金属导轨，导轨上放置一绝缘的助推模型，其外层固定一组金属线圈，线圈两端通过电刷与
导轨连接形成回路，线圈处于导轨间的辐射状磁场中，侧视图如图乙所示。首先将开关S 接至1，使电容
器完全充电；然后将S 接至2，模型从静止开始加速，达到最大速度后脱离导轨落在水平地面上，落地点
离导轨右端点的水平距离为s。已知助推模型（含线圈、电刷）的质量为m，重力加速度为g；线圈的半径
为r，匝数为n，总电阻为R，其所在处的磁感应强度大小均为B。不计空气阻力、导轨电阻、线圈中电流
产生磁场和线圈自感的影响。求模型
（1）在轨道上的最大速度vm；
（2）离开轨道后电容器所带的电荷量q；
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（3）在轨道上的最大加速度am。
15．（2024·福建·一模）图甲为某品牌共享单车第一代产品，单车的内部有一个小型发电机，通过骑行者
的骑行踩踏，不断地给单车里的蓄电池充电，蓄电池再给智能锁供电。单车内小型发电机发电原理可简化
为图乙所示，矩形线圈abcd 的面积为
，共有
匝，线圈总电阻为
，线圈处于磁感应
强度大小为
的匀强磁场中，可绕与磁场方向垂直的固定对称轴
转动，线圈在转动时可以通
过滑环和电刷保持与外电路阻值为
电阻连接，不计交流电流表的内阻。在外力作用下线圈以
的转速绕轴
匀速转动，求：
（1）从图乙中位置开始计时，线圈产生电动势的瞬时值表达式；
（2）线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R 的电荷量；
（3）外力对线圈做功的功率。
16．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图。静电分析器通道中心线半径为
，通道内电场沿半径方向，在通道中心线处的电场强度大小为
。由离子源发出的一个质量为
、带电
荷量为
的正离子（初速度为零，重力不计），经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线
做匀速
圆周运动，而后由
点垂直
进入长方形的收集区域，最终经过
点进入收集器。已知
。
（1）求加速电场的加速电压；
（2）如果收集区域分布着与纸面方向垂直的匀强磁场，离子经过磁场与
边界垂直进入收集器，求磁
场的磁感应强度大小；
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（3）如果收集区域分布着与纸面方向平行的匀强电场，离子经过电场与
边界垂直进入收集器，其速
度大小与刚进入收集区域时速度大小相等，求匀强电场的场强大小与方向。
一、计算题
17．（2024·江西·模拟预测）2023 年11 月，首台国产质子治疗装置在上海正式走向临床治疗（如图甲），
该装置的原理是质子加速后汇聚到圆柱形管道中轴线形成质子束，然后经高能运输线运送至各治疗室。现
有质子加速后，沿圆柱形管道中轴线
以
匀速运动，如图乙，现由于某些客观原因，管道
需要“拐弯”到另一对接圆柱形管道，对接管道与原管道夹角
，现在“拐弯”处矩形ABCD 区域内加
上电场或磁场，使得管道中质子从该区域出射时刚好沿对接管道的中轴线运动（从ED 的中点并与水平方
向成
射出）。已知：
，质子电荷量
，质子质量
，质子重力不计，下面有两种设计方案：
（1）方案一：在矩形ABCD 区域，区域内设计一沿AC 方向的匀强电场，使质子最终从ED 的中点并与水
平方向成
射出，求电场强度的大小，以及AB 与CD 间需施加多大电压才能形成该电场；
（2）方案二：在矩形ABCD 区域内设计一垂直ABCD 所在平面的匀强磁场，使质子最终从ED 的中点并与
水平方向成
射出，求所需的磁场强度B 的大小和方向；
（3）你认为上述两种方案中哪种方案更符合实际情况，便于实施，简要说明理由。
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18．（2024·浙江·二模）研究光电效应的装置如甲图所示，该装置可用于分析光子的信息。在xOy 平面
（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N 与y 轴平行放置，板N 中间有一小孔
，坐标为
。第一象
限存在垂直向里的匀强磁场，x 轴
处有小孔
，平行板电容器A，K 的上极板与x 轴紧靠且平行，其
长度为L，板间距为
，A 板中央小孔
与
对齐，K 板连接电流表后接地。在入射光的照射下，质量为
m，电荷量为e 的电子从M 板逸出后经极板电压加速从
点持续不断进入磁场，速度大小在
与
之
间，已知速度为
的电子经磁场偏转后恰能垂直x 轴射入
点，板M 的逸出功为W，普朗克常量为h。忽
略电子之间的相互作用，电子到达边界或极板立即吸收并导走。
（1）求逸出光电子的最大初动能
和入射光的频率；
（2）求匀强磁场的磁感应强度大小和所有能到达x 轴上的电子在磁场中运动的最短时间；
（3）
时，求到达K 板最左端的电子刚从板M 逸出时速度
的大小及与x 轴的夹角
；
（4）若在小孔
处增加一特殊装置，可使进入的电子沿各方向均匀分布在与
轴成0~90°范围内，速率
在
与
之间。监测发现每秒钟有n 个电子通过小孔
，调节加载在k 与A 板之间的电压
，试在乙
图中大致画出流过电流表的电流i 随
变化的关系曲线。标出相关数据，写出必要的计算过程。
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