文档文本内容
6.2 空间几何中的平行（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，过
的平面（非平面
）与平面
交于DE，则DE 与AB 的位置关系是（ ）
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
【答案】B
【解析】在三棱柱
中，平面
平面
，而平面
平面
，
平面
平面
，则
，在平行四边形
中，
，
所以
.
故选：B
2．（24-25 高三上·湖南郴州·期末）设
，
是两个平面，
，
是两条直线，若
，
，则“
”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，
，则
,
可能平行，也可能相交，故
不一定成立，
若
，则
，
，
故
是
，
的充分不必要条件.
故选：A
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几
何体“刍夢”
中，
平面ABCD，四边形ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，
，O
为正方形
的中心，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图所示，作
中点
，连接
，
因为O 为正方形
的中心，所以
,
因为四边形ABFE 是等腰梯形，所以
,
所以四边形
是平行四边形，所以
,
因为
面
，
面
，所以
平面
，
所以B 正确；
只有
面
时，
平面
，不能保证面
面
成立，所以A 错误；
因为
，
平面
，
，所以
和
异面，所以C 错误，同理可得以
和
也异
面，所以D 错误.
故选：B
4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥
中，E，F 分别是线段AP，BC 上的点，
，则下列
条件可以确定
平面PCD 的是（ ）
A．
B．
C．
平面PAD
D．
，
【答案】A
【解析】设点M 是对角线AC 上一点，满足
，则有
平面
，
平面
，进
而
平面
，要使
平面
，则平面
平面
，需使
.
对于A，在四边形ABCD 中，由
，
，可得
，故A 正确；
对于B，因为
，又因为
，但
与
不一定相等，所以
不一定是平行四边形，
从而得不到
，故B 错误；
对于C，因为
平面PAD，
平面ABCD，平面
平面
，所以
，结合B 项分析，
可得C 错误；
对于D，结合B 项分析，同样得不到
，故D 项错误．
故选：A．
5．（2025·福建厦门·三模）在正方体
中，
为
的中点，为平面
与平面
的交
线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
为
的中点，连接
，
∵
为
的中点，
为
的中点，∴
，
又∵
，∴
，
∴
四点共面，
∴平面
与平面
的交线为
，则即为
所在直线，
∵
与
是异面直线，即与
是异面直线，故A 错误；
∵
，而在直角
中，
，则
与
不垂直，
故
与
不垂直，即与
不垂直，故B 错误；
∵
平面
，
平面
，∴
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，又
，
∴
平面
，即
平面
，
∵
平面
，∴
，故C 错误，D 正确，
故选：D.
6．（2025·浙江·三模）在棱长为1 的正方体
中，点P，Q 分别为棱
，
上的动点（可与
端点重合），若
面
，则线段
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图在
中，
，又
平面
，
平面
，
所以
面
，
因为点P，Q 分别为棱
，
上的动点（可与端点重合），
面
，
所以
即为
，因此
，
故选：B.
7．（2024·吉林长春·模拟预测）三棱柱
中，点
在棱
上，满足
，点
在
棱
上，且
，点
在直线
上，若
平面
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】三棱柱
中，
，点
在棱
上，如图，
由
，得
，
则
，
于是
，则
，即
，
设三棱柱
的侧棱长为6，则
，
，
又
为
的中点，取
的中点
，连接
，则
，
平面
，
平面
，于是
平面
，过
作
，且
，连接
，
平面
，
平面
，于是
平面
，又
，
平面
，因此平面
平面
，又
平面
，
则
平面
，在
中，
，
，
，
所以
.
故选：D
8．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点
为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足
直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项，如图①所示，在正方体
中，
且
，
因为
分别为
的中点，
则
且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
，同理可证
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
故
平面
,故A 满足；
对于B 选项，如图②所示，连接
，
在正方体
中，
且
，
因为
分别为
的中点，则
且
，
所以四边形
为平行四边形，故
，
因为
分别为
的中点，则
，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
，故B 满足；
对于C 选项，如图③所示，在正方体
中，取
的中点
，
连接
，
因为
且
分别为
的中点，
所以
且
，故四边形
为平行四边形，则
，
因为
分别为
的中点，
所以
，则
，
所以
四点共面，
因为
且
，则四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
分别为
的中点，则
，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
故C 满足；
对于D 选项，如图④所示，在正方体
中，取
的中点
，
连接
，
因为
且
分别为
的中点，
则
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
因为
分别为
的中点，
所以
，故
，
所以
四点共面，
同理可证
，故
，
同理可得
，
反设
平面
，
因为
，且
平面
，则
平面
，
但
与平面
有公共点
，这与
平面
矛盾，
故
平面
，故D 不满足.
故选：D.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·浙江温州·二模）在四棱锥
中，
分别是
上的点，
，则下列条件可
以确定
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
平面
D．
平面
【答案】BD
【解析】如图，过
点作
交
于点
，连接
，即有
平面
，
由于
，所以
，
若
，则
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，由
平面
，
得平面
平面
，又
平面
，所以
平面
，故B 正确；
若
平面
，又因为平面
平面
，所以
，由B 可知D 正确；
假设
平面
，设平面
，则
，
若
平面
，平面
平面
，所以
，
反之若
，当且仅当
平面
，即A、C 同时正确或错误；
若
，可能
，也可能
与
相交．
若
与
相交，由
知延长
必与
、
交于同一点
，
由几何关系知
与
不平行，故A、C 错误．
故选：BD
10．（2025 高三·全国·专题练习）已知正四棱柱
的底面边长为2，侧棱
，
为上底面
上的动点，给出下列四个结论中正确的结论为（ ）
A．若
，则满足条件的
点有且只有一个
B．若
，则点
的轨迹是一段圆弧
C．若
平面
，则
长的最小值为
D．若
平面
，且
，则平面
截正四棱柱
的外接球所得平面图形的面积
为
【答案】ABC
【解析】如图，
正四棱柱
的底面边长为2，
，且侧棱
，
，则点
与点
重合时
，此时
点唯一，故A 正确；
，
，则
，
即点
的轨迹是以
为圆心，以
为半径的一段圆弧，故B 正确；
连接
，可得平面
平面
，
所以点
在
上时，都有
平面
，
当点
为
的中点时，
有最小值为
，故C 正确；
由C 知，平面
即为平面
，平面
过正四棱柱
的外接球的球心，
故截得平面图形为外接球的大圆，其半径为
，面积为
，故D 错误．
故选：ABC．
11．（2025·甘肃庆阳·三模）已知四棱锥
的底面
是边长为4 的正方形，
平面
，且
，
分别为
的中点，
是线段
上靠近点
的四等分点，则（ ）
A．
平面
B．直线
与
所成的角为
C．
D．经过
的平面截四棱锥
所得的截面图形的面积为
【答案】AC
【解析】因为
是
的中位线，所以
，
又
平面PCD，
平面PCD，所以
平面PCD，A 正确．
如图，
取
的中点
，连接
，则
，
且
．
因为
且
，所以
且
．
所以四边形
为平行四边形，所以
，
所以
或其补角即为直线
与
所成的角．
由
平面
，
面
，得
．
因为
，
所以
与
所成角的正切值为
，B 错误．
由题意，得
是
的中点，
所以
，又
，所以
，C 正确．
显然
四点共面，取
的中点
，连接
，
可得四边形
平行四边形，所以
四点共面，
所以
五点共面，即五边形
即为所求的截面．
设
，则
，且
，
，
．
由题意及线面垂直的性质有
，
，
且都在面
，
所以BD⊥平面PAC．
而
面
，所以
，又
，
，所以
，
所以
，D 错误．
故选：AC．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025 湖北）如图所示，已知
是平行四边形，点P 是平面
外一点，M 是
的中点，在
上取一点G，过G 和
作平面交平面
于
，则
与
的位置关系是_________．
【答案】平行
【解析】连接
交
于
，连结
，
因为
是平行四边形，所以
为
中点.因为
是
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
因为
平面
，又过
和
作平面交平面
于
，即平面
平面
，且
平面
，所以
.故答案为：平行.
13．（2025 高三·全国·专题练习）如图，正方体
的棱长为1，点
分别在线段
上，
且满足
平面
，则线段
长度的取值范围为 .
【答案】
.
【解析】如图，当
时，此时延长
交
于点
，
由于
，故
，所以
为
的中点，
同理可知
的延长线交
于点
，
故
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，且
，此时为最小值，
此时可证
恰为异面直线的公垂线，
证明如下：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
故
，
，
则
，
，
所以
，
恰为异面直线的公垂线；
如图，当点
分别无限趋向于点
时，
越大，
由于
要平行于对角面，
故取不到
，从而
.
故答案为：
14．（2025·北京）如图，在直角梯形
中，E 为
的中点，
，
，M，N 分别是
，
的中点，将
沿
折起，使点D 不在平面
内，则下命题中正确的序号为 ．
①
；
②
；
③
平面
；
④存在某折起位置，使得平面
平面
．
【答案】②③
【解析】①③，如图所示：直角梯形
中，
，
又因为
，
，所以
，
故四边形
为矩形，
因为N 分别是
的中点
连接
，则
与
相交于点
，故点
是
的中点，
因为
是
的中点，所以
，
又
，而
与
相交于点
，
故
与
不平行，故
与
不平行，①错误，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，③正确；
②，因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
由①知
，所以
，②正确；
④，连接
，以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，
，
，
故
，
设平面
的法向量为
，
故
，
解得
，令
，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
故
，
解得
，令
，则
，
故
，
故
，
因为
，故
，故
，
故不存在某折起位置，使得平面
平面
，④错误.
故选：②③
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 湖南）在三棱柱
中，
为
中点，
，
，
分别是线段
，
，
上的点，
且满足
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）在三棱柱
中，
为
中点，
，
分别是线段
，
上的点，
且满足
，
，得
，
面
，
面
，所以
平面
.
（2）在三棱柱
中，
为
中点，
，
分别是线段
，
上的点，且
，
，
在平面
，连接
，得
，
面
，
面
，所以
平面
；
由（1）得
平面
，
，
面
，所以平面
平面
.
面
，所以
平面
.
16．（2025 安徽）P 为正方形ABCD 所在平面外一点，E，F，G 分别为PD，AB，DC 的中点，如图．求证：
(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：如图所示：
，
取PC 中点H，分别连接EH，FH，
∵E，F，H 分别为PD，AB，PC 的中点，
∴
，
∴EAFH 为平行四边形．
∴EA∥FH.
又
平面PCF，
平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
（2）∵E，G 分别为PD，CD 的中点，
∴EG∥PC.
又
平面PCF，
平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.
∴平面PCF∥平面AEG.
17．（23-24 广东深圳·期中）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为
上的点，且
，
为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值，并证明你的结论；若不存在，
说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）证明：连
交
于O，因为底面
为平行四边形，
所以O 为
的中点，而E 为
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
；
所以
平面
；
（2）在棱
上存在点G，且
，使得
平面
，
证明：
上取点
，且
，因为F 为
上的点，且
，
所以在
中，
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又在
中，
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，
所以
平面
.
18．（2025 浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥
中，在底面
中，
，E 在棱PD 上
且
.
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点N，使得平面
平面
？若存在，写出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）因为
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
存在，且当点
为
上靠近
点三等分点时，即
时，平面
平面
.
下面给出证明：
因为
，所以
，
，
又因为点
为
上靠近
点三等分点，所以
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又因为
面
，
面
，
所以
面
，
因为E 在棱PD 上且
，即
，
又因为
，
所以
，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
.
19．（24-25 河北）一正三棱台木块
如图所示，已知
，
，点
在平面
内且为
的重心.
(1)证明：
平面
；
(2)设平面
平面
，试判断直线
与的位置关系，并给出证明；
(3)在棱台的底面
上（包括边界）是否存在点
，使得直线
平面
?若存在，说明点
的轨迹，
并进行证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)平行，证明见解析
(3)存在，轨迹及证明见解析
【解析】（1）
设
，
的中点分别为
、
，连接
、
，
易得
，
又
，
即
，
，
则
，
，
又点
为
的重心，
即
，
与
平行且相等，
即四边形
为平行四边形，
则
，
又
平面
，
平面
，可得
平面
；
（2）直线
与平行.
证明如下：
，
平面
，
平面
，
平面
，
又由
平面
，
平面
，平面
平面
，
；
（3）分别取
、
的中点
、
，则当点
时，有
平面
，
证明如下：
由
、
分别为
、
的中点得
，
过点
作
的平行线交
、
于
、
两点，
因为
，
，所以
，即
、
、
、
四点共面，
又因为
，点
为重心，
所以
，
又由正三棱台
性质
，
故四边形
为平行四边形，故
，
因为
平面
、
平面
，所以
平面
，
同理
平面
，
因为
，
、
平面
，
所以平面
平面
，
所以当点
时，
平面
，满足
平面
.
