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专题20 带电粒子在立体空间中的运动问题破译
题型解码
带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充
分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
解题攻略
【典例引领1】1879 年，美国物理学家霍尔观察到，在匀强磁场中放置一块矩形截面的载流导体，当磁
场方向与电流方向垂直时，导体中能够自由移动的带电粒子在洛伦兹力的作用下，向着与电流、磁场都垂
直的方向漂移，继而在该方向上出现了电势差，这个现象被称为霍尔效应．
后来发现，半导体也能产生霍尔效应，且半导体的霍尔效应强于导体．在一个很小的矩形半导体薄片上制
作四个电极，它就成了一个霍尔元件．
如图1 所示，一个厚度为的霍尔元件水平放置，
、
、
、
为霍尔元件的四个电极，恒定电流
自
流入、
流出，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为
，测得电极
、
间的电压为
（
极
电势高于
极电势）。
(1)该霍尔元件中载流子（能够自由移动的带电粒子）带正电还是负电；
热点题型·新情境问题攻略
目录
第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局
第二部分 解题攻略 微观解剖，精细教学
典例引领
方法透视
变式演练
第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战
(2)求该霍尔元件中单位体积内的载流子携带的总电荷量
；
(3)由于半导体霍尔元件的体积非常小，故可用来制作测量未知磁场的仪器（三维霍尔探头），图2 为三维
霍尔探头的外观，图3 为三维霍尔探头内部结构示意图，
、
、
是三个相互垂直的和图1 规格一样的霍
尔元件．某次探测某位置磁场，通过
、
、
三个元件的电流大小均为
，测得
、
、
的霍尔电压分
别为：
、
、
，（2）中的
作为已知量，求该位置的磁感应强度大小
．
【答案】(1)带正电 (2)
(3)
【详解】（1）因
极电势高于
极电势，可知为正电荷偏向N 极，根据电流流向和左手定则可知载流子
带正电；
（2）设
之间的距离为
则带电粒子的定向移动速度：
则一个载流子的受力情况：
联立解得
（3）由
的表达式可知
由图2 和图3 可知
解得
【典例引领2】图甲所示，立方体空间的边长为L，侧面CDHG 为荧光屏，能完全吸收打在屏上的带电
粒子并发光，三维坐标系坐标原点O 位于底面EFGH 的中心，
，
。已知从原点O 向
xOy 平面内各个方向均匀持续发射速率为
、质量为m、电荷量为
的粒子。不计粒子重力及粒子间的相
互作用。
(1)若在立方体空间内仅存在方向平行于
轴的匀强磁场，沿
轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H
点。求磁场的磁感应强度B 和粒子从原点O 运动到荧光屏的最短时间t；
(2)若在立方体空间内平行y 轴加如图乙所示随时间t 按余弦规律变化的磁场，同时平行z 轴加如图丙所示
随时间t 按正弦规律变化的磁场，图中峰值
，粒子在磁场中运动时间远小于磁场变化周期，不
计电磁感应现象影响。求沿x 轴正方向射出的粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度s。
【答案】(1)
；
(2)
【详解】（1）根据几何关系有
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子在匀强磁场运动周期为
由题意可知，粒子从y 轴射出，弦长最短为
，粒子的运动时间最短。此时圆心角为
，运动的最短时
间为
（2）根据磁场叠加原理，合磁感应强度大小为
粒子的运动轨迹半径为
沿x 轴正方向射出的粒子，粒子分别在两个截面轨迹如图所示
设粒子射出点距x 轴的距离分别为y 和z，由几何关系可知
，
解得
，
故可得痕迹圆的半径为
故粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度为
【典例引领3】如图甲所示，有一棱长为
的正方体区域
，以
点为坐标原点，分别沿
、
、
方向建立
、
、
轴，正方体区域内存在沿
轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小
。在
点有一粒子源，可沿
轴正方向发射速度大小不同的带电粒子，粒子质量均为
，
电荷量均为
，且粒子入射速度大小在
范围内均匀分布，不计空气阻力、粒子重力和粒
子间的相互作用。求：
(1)入射速度大小为
的粒子在该区域中运动的时间；
(2)若在正方体区域内同时存在与磁场同向的匀强电场，电场强度大小为
，如图乙所示。
①入射速度大小为
的粒子从该正方体区域射出的位置坐标；
②从正方体右侧表面
射出的粒子数占粒子总数的百分比。
【答案】(1)
(2)①
，②
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
粒子在该区域内的运动时间
解得
（2）①粒子在该电磁场内的运动可分解为平行于
平面的匀速圆周运动和平行于
轴的匀变速直线运
动，由洛伦兹力提供向心力
得
，假设粒子未从前侧表面射出，由几何关系可知粒子轨迹的圆心角
粒子运动时间
由牛顿第二定律
粒子沿
轴正向运动，位移大小
解得
，粒子未到达正方体前侧表面，假设成立。
则
，
，
，
即出射点的位置坐标为
②若粒子从正方体前侧表面射出，沿
轴方向有
解得
结合（1）可知粒子从正方体右侧表面射出的最小速度为
，
结合①可知粒子从正方体右侧表面射出的最大速度为
，
则从正方体右侧表面射出的粒子数占粒子总数的百分比
解得
【方法透视】
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型
解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见
运动模型
将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动
旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向
的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该
轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转
后曲线不在原来的平面内
把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角
度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每
个面的运动
【变式演练】
1.如图所示的空间坐标系
中，在
处有一平行yOz 平面的边长为L 的正方形收集板abcd，其中
心O′在x 轴上，在O 处有一粒子发射源，可在yOz 平面向各个方向发射速率均为
的电子。空间存在着沿
x 轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相
互作用力。
(1)求该电场电场强度的最小值E；
(2)求电子到达收集板的最小速率v；
(3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x 轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度
B。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）以从O 点沿z 轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc 边的中点时，对应电场强度为
最小值，电子的加速度
由类平抛运动的规律得
，
又有比荷
解得
（2）根据题意，由动能定理可得
解得
（3）增加一个沿x 轴负方向的磁场后，仍以沿z 轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
周期
从侧面abcd 观察，当粒子经历整数个周期T 时，重新回到x 轴，则应满足
联立可得
2.如图所示，在
平面内
的区域有竖直向下、大小为
的匀强电场，在
区域有以
轴为中心轴、
半径为
、高为
的圆筒，筒内分布着方向竖直向上、大小
的匀强磁场，顶部平面与
平面重合，圆心
处开有小孔，圆筒底面涂有荧光粉，带电粒子到达处会发出荧光。在xoy 平面内有一粒
子发射带
，其两端坐标：
、
，MN 之间各点均可在
平面内向
轴发射不同
速率带正电的粒子。已知粒子质量为
，电荷量为
，圆筒接地，碰到圆筒的粒子即被导走，不计重力，
不考虑场的边界效应及粒子间相互作用。
(1)若从
点偏离水平方向
向右下方发射的粒子恰能通过
点进入磁场，求该粒子发射的速度
；
(2)在某次发射中，从
、
两点水平发射的粒子穿过
点到达了圆筒底部，求它们发光点
、
的坐
标；
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）从M 点进入的粒子在电场中做匀变速曲线运动，列牛顿第二定律公式，有
在水平方向做匀速运动，有
竖直方向上，
代入全部数据，可得
（2）设此时从M 点进入的粒子速率为，水平方向有
竖直方向上有
竖直方向的速度分量为
可解得
，
所以，从O 点进入的粒子合速度为
与x 轴方向的角度
，且
进入磁场后，在磁场作用下在xoz 的平行面上做匀速圆周运动的同时向y 轴负向做匀速运动，y 轴方向有
可解得
做匀速圆周运动的半径为r，有
解得
转动的周期为
可知
所以
的坐标应为
，
，
的坐标应为
同理，
的坐标应为
3.如图所示，空间直角坐标系
内有一由正方体
和半圆柱体
拼接而成的
空间区域，立方体区域内存在沿
轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿
轴负方向的匀强磁场
、
分别为
、
的中点，
、
分别为
、
的中点，
、
分别为半圆弧
、
的中点，
为
的中点。质量为
、电荷量为
的带正电粒子在竖直平面
内由
点斜向
上射入匀强电场，入射的初速度大小为
，方向与
轴正方向夹角为
。一段时间后，粒子垂直于竖
直平面
射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为
，匀强磁场的磁感应强度大小为
，不计粒子重力，
，
(1)求匀强电场的电场强度
的大小；
(2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间；
(3)若粒子以相同的初速度自
点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
，
，
）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为
，沿
轴方向有
解得
沿
轴方向有
由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小
解得
（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得轨迹半径
由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为
，粒子在磁场中运动的周期
粒子在匀强磁场中运动的时间
故
（3）若粒子以相同的初速度自
点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场时，沿
轴方向的速度大小为
沿
轴方向的速度大小为
粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径
沿
轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中
沿
轴方向运动的位移大小为
在电场中沿
轴方向运动的位移大小为
故粒子离开磁场时，
坐标为
坐标为
坐标为
即粒子离开磁场时的位置坐标为（
，
，
）。
4.国内首台紧凑型加速器质谱仪（Accelerator mass spectrometry，简称AMS）在离子源处引出负离子，在
串列加速器中间部分利用剥离膜将负离子剥离成正离子，在另一加速管中继续加速后（剥离器两侧的加速
器完全对称），通过加有匀强磁场的圆弧形磁分析系统，到达核探测器，可鉴别同量异位素，图为串列加
速器质谱仪示意图。AMS 可实现碳-14、铝-26、碘-129、铀-236 等十余种核素的高效与高灵敏分析，相关
技术指标达到国际领先水平。
(1)如图的串列加速器靠近中间剥离器的B 电极相比于两端的A 电极是高压电极还是低压电极？为什么？
(2)若离子源出来的负离子具有初动能为0.01MeV，剥离器左边的加速器能提供总加速电压
为电
荷量为3e 的负离子加速，剥离后这些离子变成电荷量为3e 的正离子，求这种离子进入磁分析系统时的动
能
。
(3)若碳-14 和氮-14 进入剥离器前都带-1e 电荷量，经过电荷剥离器后核外电子全部剥离，只剩下原子核。
加速器AB 能提供电压为U 的总加速电压使离子加速，忽略离子源出来进入串列加速器之前的离子的初动
能，若磁分析系统内有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B。求碳-14 和氮-14 在磁分析器中运动的半径
之比。（答案可以用根号表示）
【答案】(1)高压电极，因为剥离器之前的加速器加速负离子，剥离器之后的加速器加速正离子 (2)
(3)
【详解】（1）靠近中间剥离器的B 电极是高压电极。
因为剥离器之前的加速器加速负离子，剥离器之后的加速器加速正离子。
（2）剥离器两侧的加速器给离子加速，根据动能定理有
解得
（3）在加速电场中，根据动能定理可得C-14、N-14 进入磁分析系统前的动能分别为
，
又
磁分析系统中原子核做匀速圆周运动
解得
可得C-14、N-14 在磁场做匀速圆周运动的半径分别为
，
解得
5.磁流体发电机是一种将内能直接转换为电能的新型发电装置，如图所示为该装置的导流通道，其主要结
构如图1 所示，通道的上下平行金属板M、N 之间有很强的磁场，将等离子体（即高温下电离的气体，含
有大量正、负带电粒子）从左侧不断高速喷入整个通道中，M、N 两板间便产生了电压，其简化示意图如
图2 所示，M、N 两金属板相距为a，板宽为b，板间匀强磁场的磁感应强度为B，速度为ⅴ的等离子体自
左向右穿过两板后速度大小仍为ⅴ，截面积前后保持不变。设两板之间单位体积内等离子体的数目为n，
每个离子的电量为q，板间部分的等离子体等效内阻为r，外电路电阻为R。
(1)金属板M、N 哪一个是电源的正极，求这个发电机的电动势E；
(2)开关S 接通后，设等离子体在板间受除电磁力外的水平阻力恒为f，求等离子体进出磁场前后的压强差
；
(3)假设上下金属板M、N 足够大，若R 阻值可以改变，求出其电流最大值
。并定性画出I 随R 变化的图
线。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）由左手定则可知，正离子向上偏转，则M 板为正极。S 断开时，M、N 两板间电压的最大值，
等于此发电机的电动势，根据
得
（2）方法一：根据能量转化与守恒：
外电路闭合后，有：
即
得
方法二：根据平衡角度分析：
外电路闭合后，有
等离子体横向受力平衡，则
解得
（3）I 随R 减小而增大．如果R 太小，可能出现电流达到最大饱和值。当所有进入通道的离子全部偏转到
极板上形成电流时，电流达到饱和电流
。则
令
，若
，则取
可计算此时的外电阻
，令
，可得
I 随R 变化的图线如图
若
，则取
，此时
I 随R 变化的图线如图
综合巩固
1．如图所示，真空中有圆柱体回旋加速器，处在竖直向下的匀强电场E 和匀强磁场B 中，圆柱体金属盒
的半径为R，高度为H，两盒狭缝间接有电压为U 的交变电场，在加速器上表面圆心A 处静止释放质量
m，电量
的粒子，粒子从加速器底部边缘引出，不计带电粒子的重力、相对论效应及粒子间的相互作用。
则（ ）
A．粒子每转过半圈动能增加qU
B．粒子引出时速度大小为
C．增大狭缝间电压U，粒子仍从加速器底部引出
D．粒子的运动时间为
【答案】D
【详解】A．粒子每转过半圈，交变电场做功qU，竖直向下的匀强电场也要做功，其动能增量要大于
qU，A 错误；
B．粒子引出时水平方向速度为
，竖直方向也有速度，合速度要大于
，B 错误；
C．粒子在运动过程中，周期不变，每隔相同的时间就加速一次，增大狭缝间电压U，每加速一次得到的
动能增大，整个过程的运动时间是确定的（D 选项的解析），粒子到底部时的速度比原来增大，实际上的
情况是速度提前到达原来的最大值，可提前引出，C 错误；
D．研究粒子在竖直方向运动，
，
解得
，D 正确；故选D 。
6．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系
所在空间
中Ⅰ区域
存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为
,Ⅱ区
域
存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在
有一足够大的接收屏P，原
点O 处的粒子源在
平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为
，甲和乙的速度
方向与x 轴正方向夹角分别为
和
，两粒子沿x 轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达
（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．两粒子不能同时到达接收屏P
B．两个区域磁感应强度大小之比
C．乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量
D．甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
【答案】BD
【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在
轴方向做匀加速直线运动，在
平面做匀速圆周运
动，根据题意甲粒子和乙粒子在x 轴方向的分速度相等，均为
甲粒子在
轴方向的分速度
根据几何关系
可得
乙粒子以最短时间到达
（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为
根据洛伦兹力提供向心力
联立可得
在Ⅰ区域运动的时间
沿着
正方向，根据运动学公式
解得乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量为
乙粒子进入Ⅱ区域后，沿
轴负方向做匀速直线运动，在
平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入
Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
可得
，故B 正确，C 错误；
AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在
轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据
可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时
轴坐标均为零，沿
轴负方向做匀速
直线运动，在
平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏
P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间
甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
联立解得
，故D 正确，A 错误。故选BD。
3.（2025·江苏·高考真题）圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、
外转子可绕中心轴
转动。外转子半径为
，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为
R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为
，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，
线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度
匀速转动，某时刻线圈abcd 的直边ab 与cd 处的
磁场方向如图乙所示。
(1)若内转子固定，求ab 边产生感应电动势的大小E；
(2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd 产生的焦耳热Q；
(3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd 中电流的周期
T。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，
转动时的线速度为
则ab 产生的感应电动势
（2）根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，
、
均切割磁感线，且产生的感应电
流方向相反，则转动过程中感应电动势为
感应电流为
转子转动的周期为
则abcd 转一圈产生的热量
（3）结合图可知，转子转动
电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且abcd
中的电流为I，则感应电动势为
又有
则电流改变方向的时间为
则电流的周期为
4．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个
A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为
。当液滴
穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为
。随后，液滴以
的速度竖直进入长度为
的电极板间，板间电场均匀、
方向水平向右，电场强度大小为
。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方
处
的A、B 收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B 细胞收集管的间距。
【答案】(1)
(2)0.11m
【详解】（1）由题意可知含A 细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向则
沿电场方向
由牛顿第二定律
解得含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
（2）含A 细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则
则
联立解得
有对称性可知则A、B 细胞收集管的间距
5．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控
法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒
足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且
方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，
恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。
则电子以速度
垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）磁感应强度调整为
后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设
，电子将
在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点
时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
由射出到相切，经过半个周期，用时
根据速度的合成与分解可知
平行轴线方向运动距离
结合对称性，被电子击中的面积
6．（2025·江苏·高考真题）圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、
外转子可绕中心轴
转动。外转子半径为
，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为
R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为
，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，
线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度
匀速转动，某时刻线圈abcd 的直边ab 与cd 处的
磁场方向如图乙所示。
(1)若内转子固定，求ab 边产生感应电动势的大小E；
(2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd 产生的焦耳热Q；
(3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd 中电流的周期
T。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，
转动时的线速度为
则ab 产生的感应电动势
（2）根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，
、
均切割磁感线，且产生的感应电
流方向相反，则转动过程中感应电动势为
感应电流为
转子转动的周期为
则abcd 转一圈产生的热量
（3）结合图可知，转子转动
电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且abcd
中的电流为I，则感应电动势为
又有
则电流改变方向的时间为
则电流的周期为
7.如图所示，空间中有
坐标系，
平面水平，y 轴沿竖直方向。在O 处有一个质量为m、带电荷量
为
的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)若在
空间中存在着沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度大小
，将小球沿y 轴正方向以速度
抛出，求小球落回x 轴前动能的最小值；
(2)若在
的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y 轴正方向，电场强度大小
，匀
强磁场沿z 轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度
从O 点抛出，速度方向在
平面内且偏向
上方，与x 轴正方向成α 角（
），改变α 的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能
的运动轨迹所覆盖的面积；
(3)若在
区域存在沿y 轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在
区域存在沿y 轴负方向的
匀强磁场，磁感应强度大小为
，小球从O 点沿x 轴正方向以大小为
的速度抛出，求小球从抛出到再
次经过y 轴所用的时间及经过y 轴时到O 点的距离。（忽略磁场的边界效应）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于
可知小球受到的电场力与重力大小相等，所以电场力与重力的合力大小
方向与x 轴负方向的夹角为45°，小球的运动可以看成类斜抛运动，当小球的速度与合力垂直时，速度最
小，动能最小，此时有
，
，
联立可得
则最小速度大小
动能的最小值
（2）因为电场强度大小
电场沿y 轴正方向，所以重力和电场力平衡，小球做匀速圆周运动，则有
解得
小球在x 轴正方向运动轨迹可能覆盖的面积是半个圆，在x 轴负方向运动轨迹可能覆盖的面积是以2R 为半
径的四分之一圈，如图中阴影部分所示
则所求总面积
（3）小球在
平面两侧分别做匀速圆周运动，根据
可得小球在两个磁场中做圆周运动的半径分别为
，
周期分别为
，
小球在每个磁场中各完成半个圆周运动进入另一个磁场，则在
的时间内沿z 轴移动的距离
则有
可得
则小球从抛出到再次经过y 轴所用的时间
小球在y 轴方向做自由落体运动，从抛出到再次经过y 轴时，其到O 点的距离
8.某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装置，其模型如图所示．该
装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。
为场测量模块的中截面。以
中点O 为坐标原点，
方向为x 轴正方向，在
平面上建立
平面直角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O 点沿y 轴正方向射入。选择开关拨到
挡可在模块内开启垂直于
平面的待测匀强磁场，长为
的
区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到
挡可在模
块内开启平行于x 轴的待测匀强电场，长为l 的
和
区间
标有刻度线用于表征电场强度的大
小和方向。带电粒子以速度v 入射，其质量为m、电荷量为
，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略
不计。
(1)开关拨到
挡时，在
区间
处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
(2)开关拨到
挡时，在
处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
(3)求该装置
区间和
区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U 应增大还是
减小？请简要说明。
【答案】(1)
，垂直纸面向外 (2)
，水平向右
(3)
；
，说明见详解解析
【详解】（1）带正电的粒子向右偏转，受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁感应强度的方向垂直
纸面向外。
由几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R 与
的关系为
2R=
根据牛顿第二定律，得
解得
（2）由带正电粒子向右偏转，故电场力水平向右，可判断电场方向水平向右。
带正电的粒子射入电场中做类平抛运动。由水平方向、竖直方向位移公式
，
牛顿第二定律可得
联立解得
（3）①若测量磁感应强度的大小和方向：设磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律
动能定理
由几何关系得
联立解得
由磁感应强度表达式可知，r 越大B 越小，根据左右对称性关系，所以量程为
。
若粒子加速器的电压为U，则磁感应强度的表达式为
可知U 应减小，B 最小值越小，从而进一步扩大量程。
②若表征电场强度大小和方向：当运动时间最长，水平位移最大时，电场强度最小。由水平方向、竖直方
向位移公式
，
牛顿第二定律可得
联立解得
由根据左右对称性关系，所以量程为
当电压为U 时，由动能定理
整理得
可知U 应减小，E 最小值越小，从而进一步扩大量程。
9.利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1 所示，
平面左侧存在沿y 轴负
方向的匀强电场，右侧存在沿x 轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电场，恰好从O 点进入磁场，再次从
点通过x
轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O 点进入磁场运动时间为
时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2 所示，若在
平面左侧再加垂直
平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x 轴负半轴相切。
求所加匀强磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
解得
粒子从O 点进入磁场时水平方向的分速度为
，竖直方向的分速度为
结合上述解得
粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为
的匀速直线运动，
平面方向速度为
的匀速圆周
运动，则有
，
，
解得
，
（2）粒子在磁场中水平向右速度为
的匀速直线运动，结合上述可知
由于
表明
平面方向速度为
的匀速圆周运动对应圆心角为
，根据几何关系有
，
解得
，
即粒子的位置坐标为
。
（3）将速度
分解为水平向右的
和水平向左的
，且有
，
此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为
的匀速直线运动与速度为
的匀速圆周运动，则有
由于粒子轨迹恰好与x 轴负半轴相切，则有
结合上述解得
10.利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，一粒子源
不断释放质量为m，带电量为+q 的粒子，以一定速度
垂直左面
，射入边长为2L 的正方体区域
。可调整粒子源位置，使带电粒子在边长为L 的正方形
区域内入射。以
为原
点建立如图所示直角坐标系
，不计粒子重力及粒子间的相互作用。若仅在正方体区域中加上沿+x
轴方向的匀强电场，要让所有粒子都到达前表面
，所加电场强度的最小值设为
；若仅在正方体
区域中加上沿+x 轴方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达底面
，所加磁感应强度的最小值设为
。
（
）
（1）求
和
的值。
（2）在正方体区域同时加上沿+x 轴方向大小为
的匀强磁场和+z 方向大小为
的匀强电场，求从I 点
垂直左面入射的粒子离开正方体区域时的位置坐标。
（3）在正方体区域同时加上大小分别为
的匀强电场及
的匀强磁场，方向都沿+x 轴。若垂直入射到
区域内不同位置的粒子，有的从前表面
离开正方体区域，有的从底面
离开正方体区
域，则
应满足什么条件？
【答案】（1）
；（2）（
，
，
）；（3）见解析
【详解】（1）正方体区域内加上沿MN 的匀强电场时，粒子进入正方体区域后做类平抛运动。
当射入M 点的粒子恰好经过P 点时，所加的匀强电场的电场强度具有最小值，则
联立知，电场强度的最小值
当正方体区域内加上沿MN 方向的匀强磁场时，粒子进入正方体区域后做匀速圆周运动。
当射入M 点的粒子恰好经过Q 时，磁感应强度具有最小值，此时粒子做圆周运动的半径为
R=2L
由牛顿第二定律
解得磁感应强度的最小值
（2）当
时
取
可见粒子以v 向右匀速运动，同时以v 顺时针方向在竖直面内做匀速圆周运动,其轨道半径
假设从上表面离开，则
解得
运动的时间
沿+y 方向运动，则
解得
y = 1.52L<2L
可见假设成立，离开位置坐标为(L,1.52L,2L)
（3）x 轴方向获得的速度平行于磁场方向，不受洛伦兹力，粒子沿+x 方向做匀加速直线运动，在垂直x 轴
平面做匀速圆周运动时，半径
加速度
当从J 点入射粒子恰好从前面离开
对应的
，则
解得
当从H 点入射粒子恰好从底边离开时
解得
可见当
时，粒子全部从前面离开;当
时，粒子全部从底面离开；当
时。两个表
面均匀粒子离开。
