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第18 讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
1.理解电容器的基本概念，掌握好电容器的两类动态分析.
2.能运用运动的合成与分解解决带电粒子的偏转问题.
3.用动力学方法解决带电粒子在电场中的直线运动问题．
考点一 平行板电容器的动态分析
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．对公式C＝的理解
电容C＝，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的
因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
3．两种类型的动态分析思路
(1)平行板电容器始终连接在电源两端：电势差U 不变。
由C＝∝可知C 随d、S、εr的变化而变化。
由Q＝CU＝U·可知，当U 不变时，Q 也随d、S、εr的变化而变化。
由E＝∝可知，当U 不变时，E 随d 的变化而变化。
(2)平行板电容器充电后，切断与电源的连接：电荷量Q 保持不变。
由C＝∝可知C 随d、S、εr的变化而变化。
由U＝＝∝可知，当Q 不变时，U 也随d、S、εr的变化而变化。
由E＝＝＝∝可知，E 随S、εr的变化而变化，而与d 无关。
考点二 带电粒子(或带电体)在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀
减速直线运动．
2．用功能观点分析
a＝，E＝，v2－v＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
考点三 带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
2．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是
相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即
O 到偏转电场边缘的距离为.
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、
末位置间的电势差．
考点四 带电体在复合场中的运动
等效法处理叠加场问题
1．各种性质的场(物质)与实际物体的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以同时占据同一空
间，从而形成叠加场．
2．将叠加场等效为一个简单场，其具体步骤是：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一
个“等效重力 ”，将a＝视为“等效重力加速度”．再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到
等效重力场中分析求解即可．
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，
即EPG+ EP电+ EK =恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及
动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
1.分析竖直方向运动
设小球质量为m，电荷量为q，
电场强度为E，重力加速度为
g，初速度为v0。
竖直方向上小球做竖直上抛运
动，加速度( a y =- g。
当竖直方向速度 v y =0时，到达
最高点。根据 v = v0+at ,可得
从
A
到
B
的
时
间
t AB= 0- v0
- g
= v0
g 。
根据 v y
2 - v0
2=2a y h(v y =0),可
得
竖
直
运
动
最
高
点
h= 0- v0
2
2×(- g) = v0
2
2 g 。
2.分析水平方向运动
水平方向小球受到电场力
F =qE ,，根据牛顿第二定律
F =ma,可得水平方向加速度
ax= qE
m 。
从
A
到
C
的
时
间
t AC =2t AB= 2v0
g (竖直上抛运动
上升和下落时间对称)。
1.将初速度 v0分解
设初速度 v0与x 轴正方向夹
角为θ，则竖直方向初速度
v0 y = v0sinθ ,水平方向初速
度 v0 x= v0cosθ。
2.求运动到C 点的时间t
tAC=2tAB=
2 v0cosθ
Eq
m
= 2m v0cosθ
Eq
3.求运动到C 点的位移s
根据匀变速直线运动位移公
式
y= v yt + 1
2 axt
2,将
v0 y = v0sinθ代入，可得
y = v0sinθ 2m v0cosθ
Eq
+ 1
2 × g
1.将初速度 v0分解
设初速度 v0与x 轴正方向夹角
为θ ，则竖直方向初速度
v0 y = v0sinθ ,水平方向初速度
v0 x= v0cosθ。
2.求运动到最高点C 的时间t
竖直方向上小球做竖直上抛运
动，加速度a=- g当竖直方向
速度 v y =0时到达最高点C ，
根
据
v = v0+at ,可
得
0= v0sinθ ->,解得运动时间
t = v0sinθ
g
。
3.求竖直位移y
根据匀变速直线运动位移公式
y = v0 yt + 1
2 at
2,将
v0 y = v0sinθ ,a=- g,t = v0sinθ
g
代
入
可
得
：
y = v0sinθ× v0sinθ
g
+ 1
2 ×(- g
= v0
2sin
2θ
g
- v0
2sin
2θ
2g
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
[例题1] 两个较大的平行金属板A、B 相距为d，分别接在电压为U 的电源正、负极上，
这时质量为m、带电荷量为-q的油滴恰好静止在两板之间，如图所示。在其他条件不变的情
况下，如果将B 板向下移动一小段距离，则该过程中（ ）
A．油滴将向上加速运动，电流计中的电流从b 流向a
B．油滴将向下加速运动，电流计中的电流从a 流向b
C．油滴静止不动，电流计中的电流从b 流向a
D．油滴静止不动，电流计中的电流从a 流向b
[例题2] 如图为手机指纹识别功能的演示，此功能的一个关键元件为指纹传感器。其部分
原理为：在一块半导体基板上集成有上万个相同的小极板，极板外表面绝缘。当手指指纹一面
与绝缘表面接触时，指纹的凹点与凸点分别与小极板形成一个个正对面积相同的电容器，若每
个电容器的电压保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．指纹的凹点与小极板距离远，电容大
B．指纹的凸点与小极板距离近，电容大
·根据匀变速直线运动位移公
式： x = v0t + 1
2 at
2(水平方向初
速度 v0 x =0),可得AC 间的水平
位
移
x AC =0×t AC + 1
2 × qE
m ×(
2v0
g )
2
=
= v0
2sin
2θ
2g
C．若手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，小极板带电荷量减小
D．若用湿的手指去识别，识别功能不会受影响
[例题3] 一种计算机键盘采用电容式传感器，每个键下面由相互平行的活动极板和固定极
板组成，如图甲所示，其内部电路如图乙所示。按键前两极板间距为d，按下某键，只有该键
的电容改变量不小于原电容的40%时，键盘才有感应，下列说法正确的是（ ）
A．按键的过程中，电容器的电荷量不变
B．按键的过程中，图乙电流计中电流从a 流向b
C．要使传感器有感应，至少要将按键按下2
5 d
D．要使传感器有感应，至少要将按键按下2
7 d
[例题4] 如图a 所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属
板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，
带电量与pH 值的关系如图b 所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液
pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是
（ ）
A．乙比甲先到达极板
B．甲、乙的电势能均减小
C．甲、乙受到的电场力方向相同
D．增大pH 值，甲受到的电场力变大
[例题5] 如图所示，在P 处有一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子自A 板小孔
进入A、B 平行板间的加速电场从静止加速后，水平进入静电分析器（为1
4
圆弧）中，静电分
析器中存在着如图中所示的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心O，粒子在该电场中沿图示
虚线恰好做匀速圆周运动，已知静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小为E，粒子运动
轨迹的半径为R，A、B 两板间的距离为d，粒子重力不计。
(1)求粒子在静电分析器中做圆周运动的速度大小；
(2)加速电场的电场强度大小E1；
(3)求粒子从P 点到出静电分析器的过程中运动的总时间t 总。
[例题6] 如图所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子在匀强电场中运动，A、B 为
其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A 点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它
运动到B 点时速度方向与电场方向的夹角为30°，不计粒子重力。有关粒子从A 点运动至B 点
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的电势能先增加后减小
B．A、B 两点间的电势差U AB= m v0
2
q
C．A、B 两点间的电势差U AB= m v0
2
2q
D．粒子在B 点的动能是粒子在A 点的动能的3 倍
[例题7] 密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属板上下放置，从上板中央的小孔
向两板间喷入大小不同、电荷量不同、密度相同的小油滴。观察两个油滴a、b 的运动情况：
当两板间不加电压时，两个油滴在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
v0
4
；两板间加上电压后，两油滴很快达到相同的速率v0
2
，均竖直向下匀速运动。油滴视为小
球，所受空气阻力的大小f =krv，其中r 为油滴的半径，v 为油滴的速率，k 为常量。不计空气
浮力和油滴间的相互作用。则a、b 两个油滴（ ）
A．带同种电荷
B．半径之比为4:1
C．质量之比为4:1
D．电荷量之比为4:1
[例题8] 如图甲，水平放置的平行板电容器的两极板M、N 的长度为L，AB 是极板的中心
线，两板间所加电压随时间变化的规律如图乙所示，图中U 0、T 已知。t =0时刻，一个质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子沿两板中心线AB 以某一初速度射入极板间，若k =1时，该粒
子在T 时刻恰从M 板右端边缘飞出。不计粒子受到的重力和空气阻力。求：
(1)该粒子飞入极板间的速度大小；
(2)两极板的间距；
(3)若该粒子恰从B 点飞出，图乙中k 的值。
题型1 平行板电容器两类动态的分析
1.
据不完全统计，目前大多数新能源乘用车的动力电池在正常使用条件下，可以使用8
到10 年左右的时间。未来，随着科技的进步和技术的不断升级，超级电容的性能可能逐渐优
化，并逐渐替代一些电池应用。如图为平行板电容器，用电池对电容器充电，电容器两极板之
间有一个电荷q 处于静止状态。现只增大电容器两极板的间距，则在这个过程中（ ）
A．电容器放电
B．电荷q 将向上加速运动
C．电荷q 依然保持静止
D．电容器充电
2.
如图所示，平行板电容器与直流电源连接，上极板接地，一带电油滴位于电容器中的
P 点且处于静止状态，现将下极板竖直向下缓慢地移动一小段距离，则（ ）
A．若S 闭合，该油滴将向下运动
B．若S 闭合，P 点的电势减小
C．若S 断开，该油滴将向上运动
D．若S 断开，P 点的电势不变
3.
如图所示，用一个电源分别给两个中间为真空的平行板电容器充电。开始时，电键全
部断开，然后将电键S1分别接到1、2 两处，稳定后断开。两个电容器充电过程中电流强度随
时间变化的情况如乙图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．电容器的带电量Q1=Q2
B．两个电容器两端的电压大小关系为U 1<U 2
C．减小电容器C2的正对面积，闭合电键S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过
D．在电容器C1中间插入有机玻璃，闭合电键S2，电阻R2上有向右的瞬时电流流过
题型2 生产生活中的电容器动态分析
4.
电容式加速度传感器可用于汽车安全气囊系统，传感器的核心部件为由一块固定极板
和一块可前后移动的极板组成的平行板电容器，可移动极板的移动距离与汽车的加速度大小成
正比。已知电容器所带电荷量始终保持不变，当汽车速度减小时，由于惯性导致极板M、N 之
间的相对位置发生变化，电容器M、N 两极板之间的电压减小，当电压减小到某一值时，安全
气襄弹出。则减速过程该电容器（ ）
A．电容减小
B．M、N 两极板间的距离减小
C．极板间的电场强度增大
D．M 板为可移动极板
5.
为了方便在医院输液的病人及时监控药液是否即将滴完，有人发明了一种利用电容器
原理实现的输液报警装置，电容器C 的两极板夹在输液管两侧，实物图和电路原理如图所示。
闭合开关，当药液液面降低时，两极板之间介质由液体改变为气体，蜂鸣器B 就会因通过特定
方向的电流而发出声音，电路中电表均为理想电表．根据以上说明，下列选项分析正确的是（
）
A．液面下降后，电容器两端电压变小
B．液面下降后，电容器所带电量增大
C．液面下降时蜂鸣器电流由b 流向a
D．输液管较粗时，电容器容值会变大
6.
如图所示是一种电容式键盘，键盘上每个键子下面都连有一块小金属片，与该金属片
隔有一定空气间隙的是另一块固定的小金属片，这样两块金属片就组成一个小电容器，该电容
器的电容可用公式C =ε S
d
计算，其中ε为一常量，S 表示金属片的正对面积，d 表示两金属片
间的距离。连接电源，设两金属片之间的电压不变，按下某个键时，与之相连的电子线路就给
出与该键相关的信号，此时该电容器的（ ）
A．电容不变
B．极板所带的电荷量变大
C．极板间的电场强度变小
D．极板间的场强不变
题型3 电场中带电粒子/体的直线运动
7.
在距离为L 的质子源和靶之间有一电压为U 的匀强电场，质子（初速度为零）经电场
加速，形成电流强度为I 的细柱形质子流打到靶上且被靶全部吸收。在质子流中与质子源相距
l 和4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，已知质子质
量为m、电荷量为e。下列说法正确的是（ ）
A．n1= 4 n2
B．每秒打到靶上的质子的总动能为eU
C．质子流对靶的作用力大小为I ❑√
2mU
e
D．质子源与靶间的质子总数为IL
e
❑√
m
2eU
8.
如图所示，某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，静止的质子被电
场强度大小E =2×10
5V/ m的匀强电场沿直线加速到v =1×10
7 m /s，然后轰击肿瘤，杀死细
胞。已知质子的质量m=1.6×10
-27kg，电荷量e =1.6×10
-19C，则整个加速过程中质子的位
移大小为（ ）
A．2m
B．2.5m
C．4m
D．5m
9.
如图所示，长度均为L 的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为d = 1
2 L。两
极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1 由左侧正中央沿平行于极板的速度v1
射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度v2射入电场，
经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O 点。粒子的质量为m，电荷量为+q，两极板
之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀强电场。
则下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 到达O 点时的速度v = ❑√
qU
m
B．粒子2 射入电场时的速度v2= 1
2
❑√
qU
m
C．若将粒子1 射入电场时的速度变为2v1，两粒子将在O 点上方相遇
D．若将粒子1 射入电场时的速度变为2v1，两粒子仍可同时到边O 点
题型4 电场中带电粒子/体的抛体运动
10. 空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为m的带电小球在A点的
初速度大小为v0，方向水平向左，小球经过下方B点时速度的大小仍为v0，且方向与水平方向
夹角θ =60
∘，指向右下方。A 、B两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。则
（ ）
A．若电场力水平向右，电场力最小
B．AB间电势差U AB=0
C．小球速度竖直向下时，速度的大小为
❑√2
2 v0
D．若电场力的大小为mg，则电场力与竖直方向的夹角为60
∘，指向右上方
11. 如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，在同一水平直线上A、B两点处分别把两
个质量均为m的小球同时抛出。小球1 抛出时速度大小为v0，方向水平，小球2 抛出时速度与
水平方向成θ = 45
∘，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，两球在P点相遇，P是AB连线中垂
线上一点。已知两球电荷量大小均为q，电场强度大小为E = mg
2q ,g为重力加速度，不计空气
阻力和两球间的相互作用，两球从抛出到P点相遇的过程中（ ）
A．球1 带正电，球2 带负电
B．该过程中两球速度的变化量相等
C．该过程中两球机械能的变化量相同
D．两球相遇时球1 和球2 的速度大小之比为
❑√10
5
12. 如图所示，在竖直平面内有A、B、C三点构成的三角形，AC沿竖直方向，且
∠BAC =60°，2 AB = AC，一匀强电场与该平面平行。一质量为m、不带电的小球a（可视
为质点）从A点以某一初速度向左水平抛出，经过一段时间后刚好经过B点；同时将另一质量
也为m、带电量为q(q>0)的小球b（可视为质点）从A点以相同的初速度水平向右抛出，经
过相同时间后恰好经过C点。该电场的电场强度的大小是（ ）（已知重力加速度为g）
A．3mg
q
B．
❑√3mg
q
C．2❑√3mg
q
D．3 ❑√3mg
q
题型5 带电体在等效重力场中的运动
13. 如图甲所示，竖直放置的光滑绝缘四分之一圆形轨道两端分别与绝缘粗糙水平传送带
CD 和光滑绝缘的竖直轨道AB 平滑相接，C 点为四分之一圆形轨道的最低点，整个装置处在水
平向左的匀强电场中，场强大小为E。一带电量为+q，质量m 为0.1kg 的金属小物块（视为质
点）从A 位置处无初速度自由滑下，滑至底端C 并冲上沿逆时针方向匀速转动且足够长的传送
带。在传送带上运动的v -t图象如图乙所示，以速度水平向左为正方向，最大静摩擦力可认为
等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m /s
2，已知E = 2mg
3q
，则（ ）
A．由A 运动到B 的过程中，电场力对金属小物块的功率一直增大
B．金属小物块与传送带间的动摩擦因数为2
3
C．0~0.45s内，金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为0.9J
D．金属小物块在运动过程中对轨道最大压力的大小为
❑√13mg
3
14. 如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H 是半径为R 的竖直光滑绝缘圆轨道的八等分
点，AE 连线竖直，现在空间加一平行于圆轨道面的匀强电场，从A 点静止释放一质量为m、
电量为q 带正电小球，小球沿圆弧经B 点恰好能到达C 点。若在A 点给带电小球一个水平向右
的冲量I，让小球沿轨道恰好能做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，则下列说法正确的
是（ ）
A．所加电场电场强度最小值为mg
q
B．若所加电场电场强度最小时，小球在H 点的电势能最大
C．若所加电场电场强度最小时，冲量I =m
❑√
(3 ❑√2+2)
2
gR
D．小球在F 点时，轨道对小球的作用力为零
15. (24-25 高二上·河南商丘·期末)如图所示，空间有足够大的水平向右的匀强电场，一根
长度为L=0.9 m、不可伸长的绝缘细线的一端连着一个质量m= 4.5×10
-4kg、带电荷量为
q =9×10
-9C的带正电的小球，另一端固定于O点。将细线拉至水平后，小球位于O点右侧的
A 点，然后无初速度释放小球，小球恰好摆到B点，此时细线与竖直方向的夹角θ =37
∘。已知
sin37
∘=0.6,cos37
∘=0.8，重力加速度大小g=10 m /s
2，忽略空气阻力，下列说法正确的
是（ ）
A．匀强电场的场强大小为2.5×10
5 N /C
B．小球运动到最低点时的速度大小为6 m /s
C．小球运动到最低点时受到细线拉力的大小为9×10
-3 N
D．小球摆到B点时的加速度大小为10 m /s
2
题型6 带电体在电场中的综合问题
16. 如图所示，ABPM为竖直放在场强为E =10
4 V/ m、方向水平向右的匀强电场中的绝
缘光滑轨道，其中轨道的AB段水平，BPM部分是半径为R 的圆弧形轨道，P 是轨道上与圆心
O 等高的点，∠MOP =53°，轨道的水平部分与圆弧相切，A 为水平轨道上的一点，而且
AB = R =0.2m，把一质量m=0.1kg、带电荷量q =+1×10
-4C的小球放在水平轨道上的A 点
由静止开始释放，小球在轨道的内侧运动，g 取10m/s
2，sin53° =0.8，cos53° =0.6，小球
视为质点。求：
(1)小球到达P 点时的速度是多大？
(2)小球到达P 点时对轨道的压力是多大？
(3)若让小球安全通过M 点，开始释放点离B 点至少多远？
17. 如图所示，水平地面上方分布着水平向右的匀强电场，有四分之一圆弧形的绝缘硬质
管竖直固定在匀强电场中，圆心与管口在同一水平线上，管的半径为R，下端管口切线水平，
离水平地面的距离为h=5 R，有一质量为m 的带电荷量+q的小球从管的上端口C 由静止释放，
小球与管间摩擦不计，小球从下端管口D 飞出时，管壁对小球的作用力大小为5mg，重力加
速度为g。求：
(1)匀强电场的场强大小；
(2)小球从D 点经过多久落地；
(3)小球落地时的速度大小。
18. 空间有一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电量为q的正电小球用一绝缘轻绳悬
挂于O点。若将小球拉到最低点，并给小球垂直纸面向里的初速度v0，发现小球恰好沿一倾斜
平面做匀速圆周运动，其圆心P与悬挂点O的连线与竖直方向成37°角，如题图所示。已知重
力加速度为g，小球可视为质点，忽略空气阻力，sin37° =0.6，cos37° =0.8，求：
(1)电场强度的大小；
(2)绝缘轻绳的长度；
(3)小球从倾斜圆轨道的最低点A到最高点B的过程中，小球机械能的变化量。
