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专题17 带电粒子在电场中的运动
题型一 平行板电容器的动态分析.......................................................................................................1
类型1 两极板间电势差不变........................................................................................................2
类型2 两极板间电荷量不变........................................................................................................3
题型二 带电粒子（带电体）在电场中的直线运动...........................................................................4
类型1 带电粒子在电场中的直线加速........................................................................................5
类型2 带电体在静电力和重力下的直线运动（等效重力）.....................................................6
题型三 带电粒子（带电体）在电场中的偏转...................................................................................7
类型1 带电粒子在匀强电场中的偏转........................................................................................8
类型2 带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转...................................................................10
题型四 带电粒子在交变电场中的运动.............................................................................................11
题型一 平行板电容器的动态分析
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．对公式C＝的理解
电容C＝，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的
因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
I-t 图
Q-t 图
U-t 图
1
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3．两种类型的动态分析思路
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化．
(3)用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
(4)用E＝分析电容器两极板间电场强度的变化．
类型1 两极板间电势差不变
[题型专练1]. （2023 秋•杭州期中）随着生活水平的提高，电子秤已经成为日常生活中不
可或缺的一部分，电子秤的种类也有很多，如图所示是用平行板电容器制成的厨房用电子秤及
其电路简图。称重时，把物体放到电子秤面板上，压力作用会导致平行板上层膜片电极下移。
则（ ）
A．膜片下移过程中，电流表有a 到b 的电流
B．电流计的示数逐渐减小
C．电容器储存的电能减小
D．电容器的电容减小
[题型专练2]. （2023 秋•五华区校级期中）如图所示，水平放置的平行板电容器与电源连
接。闭合开关待稳定后，有一带电油滴恰好能静止在电容器中的P 点，则（ ）
A．保持开关闭合，将上极板往下平移，油滴向下加速
B．保持开关闭合，将上极板向左移动少许，电路中出现从a 到b 的电流
2
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C．断开开关，将上极板往上平移，P 点电势降低
D．断开开关，将上极板向左移动少许，板间电场强度增大
[题型专练3]. （2023 秋•李沧区校级月考）如图所示，A、B 为平行板电容器的金属板，G
为静电计，P 为二极管（正向电阻可看作零，反向电阻可看作无穷大），开始时开关S 闭合，
静电计指针张开一定角度，下列说法正确的是（ ）
A．若保持开关S 闭合，将A、B 两极板靠近些，指针张开角度将变小
B．若保持开关S 闭合，将A、B 两极板正对面积变小些，指针张开角度将不变
C．若断开开关S 后，将A、B 两极板靠近些，指针张开角度将变小
D．若断开开关S 后，将A、B 两极板正对面积变小些，指针张开角度将不变
类型2 两极板间电荷量不变
[题型专练4]. （2023 秋•沙坪坝区校级期中）研究与平行板电容器电容有关因素的实验装
置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．只将电容器b 板向左平移，静电计指针的张角变大
B．只将电容器b 板向下平移，静电计指针的张角变小
C．只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大
D．只增加极板带电量，静电计指针的张角变大，表明电容增大
[题型专练5]. （2023 秋•和平区校级期中）研究与平行板电容器电容有关因素的实验装置
3
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如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．实验中，只将电容器b 板向左平移，静电计指针的张角变大
B．实验中，只将电容器b 板向上平移，静电计指针的张角变小
C．实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大
D．实验中，只增加极板带电荷量，静电计指针的张角变大，表明电容增大
[题型专练6]. （2023 秋•罗湖区校级期中）如图是某实验小组定性探究平行板电容器的电
容C 与其极板间距离d、极板间正对面积S 之间的关系的装置图。充电后与电源断开，A 板带
正电。平行板电容器的A 板与静电计相连，B 板和静电计金属壳都接地，A 板通过绝缘柄固定
在铁架台上，人手通过绝缘柄控制B 板的移动。忽略极板边缘效应，中间的电场为匀强电场。
下列说法正确的是（ ）
A．在该实验中，静电计的作用是测定该电容器所带电量的变化
B．甲图中的手水平向左移动增大极板间距离d 时，静电计指针的张角变小
C．乙图中的手竖直向上移动减小极板间正对面积S 时，极板间的匀强电场场强变小
D．甲图中的手水平向左移动增大极板间距离d 时，A 板的电势变大
题型二 带电粒子（带电体）在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
4
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(2)粒子所受合外力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减
速直线运动．
2．用功能观点分析
a＝，E＝，v2－v＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
类型1 带电粒子在电场中的直线加速
[题型专练7]. （2022 春•河南月考）在进行长距离星际运行时，不再使用化学燃料，而采
用一种新型发动机一离子发动机，其原理是用恒定电压加速一价惰性气体离子，将加速后的气
体离子高速喷出，利用反冲作用使飞船本身得到加速。在氦、氖、氩、氪、氙多种气体中选用
了氙，已知这几种气体离子的质量中氙的质量最大，下列说法正确的是（ ）
A．用同样的电压加速，一价氙离子喷出时速度更大
B．用同样的电压加速，一价氙离子喷出时动量更大
C．用同样的电压加速，一价氙离子喷出时动能更大
D．一价氙离子体积更小，不容易堵塞发动机
[题型专练8]. （多选）（2022 秋•浦东新区校级期中）如图所示，在两平行板间接直流电
源，位于A 板附近的带电粒子在电场力作用下，由静止开始向B 板运动，关于粒子在两板间
的运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子到达B 板时的速率与两板间距离和电源电压均有关
B．若电源电压U 与粒子的电荷量q 均变为原来的2 倍，则粒子到达B 板时的速率变为原来的4
倍
C．两板间距离越大，粒子运动的时间越长
D．粒子到达B 板时的速率与两板间距离无关，与电源电压有关
[题型专练9]. （多选）（2022 秋•儋州校级期中）如图所示，电容器充电后与电源断开，
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一电子由静止开始从该电容器的A 板向B 板运动，经过时间t0到达B 极板，电子到达B 板时
的速度为v，则下列说法正确的是（ ）
A．若只增大或减小两板间的距离，则v 的大小保持不变
B．若只将A 板竖直向上移动一小距离，则v 将增大
C．若只将A、B 两板之间的距离增大到原来的4 倍，则v 将增大到原来的2 倍
D．若只将A 板竖直向上移动一小距离，则电子在两板间运动的时间变长
类型2 带电体在静电力和重力下的直线运动（等效重力）
[题型专练10].
（2023 秋•九龙坡区校级月考）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形
绝缘轨道的半径为R，A、B 两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D 两点
的连线过圆心O 且OC 与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道
所在平面的匀强电场，一质量为m 的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆
形轨道运动，且小球通过D 点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是
（ ）
A．小球受到的电场力大小为√2mg
B．小球通过D 点时的速度大小为√gR
C．小球在运动过程中的最大速度为√8 gR
D．小球通过C 点时所受轨道的作用力大小为12mg
[题型专练11].
（2023 秋•沈阳期中）如图所示的在水平方向的匀强电场中，用长为L
的绝缘细线，拴一质量为m、电荷量为q 的正电小球，线的上端固定，开始时将球拉成水平，
突然松开后，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时的速度恰好为零，已知重力加速
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度为g。问：
（1）A、B 两点间的电势差UAB为多少？
（2）小球从A 运动到B 的过程中，最大拉力为多少。
[题型专练12].
（2023 秋•市中区校级期中）如图所示，某竖直平面内有P、O、Q 三点，
P、O 连线沿竖直方向，P、Q 连线与竖直方向夹角为60°，PO＝3L，PQ＝2L。在O 点所处的
水平面下方和MN 上方区域存在水平方向的匀强电场（图中未画出），O 点到MN 的距离为
9L。一带电量为+q，质量为m 的小球从P 点水平向右飞出，恰好通过Q 点。小球可看作质点，
忽略空气阻力，重力加速度取g。
（1）求小球到达Q 点时的速度与初速度大小之比；
（2）若小球最终竖直向下通过虚线MN，求水平电场的场强E1的大小；
（3）若空间中充满平行于竖直面OPQ 的匀强电场E2，保持小球初动能不变，将其从P 点沿不
同的方向抛出。第一次小球恰通过Q 点，且Q 点动能EkQ是P 点动能的11
3
倍；第二次小球恰通
过O 点，且O 点动能EkO是P 点动能的7 倍，求此时场强E2的大小和方向。
题型三 带电粒子（带电体）在电场中的偏转
1．带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
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(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
2．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是
相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即
O 到偏转电场边缘的距离为.
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、
末位置间的电势差．
类型1 带电粒子在匀强电场中的偏转
[题型专练13].
（2023 秋•重庆期中）如图所示，带电粒子A、B 所带电荷量qA、qB之
比为1：2，带电粒子A、B 以相等的速度v0从水平放置的平行板电容器左侧同一点射入电场，
沿着跟电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D 点，O 为下极板左侧端点，
若OC＝CD＝L，忽略粒子所受重力的影响，则（ ）
A．A、B 在电场中运动的时间之比为1：4
B．A、B 运动的加速度大小之比为2：1
C．A、B 的质量之比为1：8
D．A、B 的机械能变化量之比为1：1
[题型专练14].
（2023•西城区一模）具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。
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让氢的三种同位素原子核（ 1
1H、 1
2H 和 1
3H）以相同的速度从带电平行板间的P 点沿垂直于
电场的方向射入电场，其中氘核（ 1
2H）恰好能离开电场，轨迹如图所示。不计粒子的重力，
则（ ）
A． 1
1H 不能离开电场
B． 1
3H 在电场中受到的电场力最大
C． 1
3H 在电场中运动的时间最短
D．在电场中运动的过程中电场力对 1
1H 做功最少
[题型专练15].
（2023•海淀区校级模拟）如图所示，场强大小为E，方向竖直向下的
匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab 长为s，竖直边ad 长为h。质量均为m，带电量分别
为+q 和﹣q 的两粒子，由a，c 两点先后沿ab 和cd 方向以速率v0进入矩形区域（两粒子不同时
出现在电场中）。不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于（ ）
A．s
2√
2qE
mh
B．s
2√
qE
mh
C．s
4 √
2qE
mh
D．s
4 √
qE
mh
类型2 带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转
[题型专练16].
（2023 秋•市中区校级期中）1909 年密立根通过油滴实验测得电子的电
荷量，因此获得1923 年诺贝尔物理学奖，实验装置如图。两块水平放置相距为d 的金属板
A、B 分别与电源正、负两极相接，从A 板上小孔进入两板间的油滴因摩擦带上一定的电荷量。
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两金属板间未加电压时，通过显微镜观察到某带电油滴P 以速度大小v1竖直向下匀速运动；
当油滴P 经过板间M 点（图中未标出）时，给金属板加上电压U，经过一段时间，发现油滴P
恰以速度大小v2竖直向上匀速经过M 点。已知油滴运动时所受空气阻力大小为f＝kvr，其中k
为比例系数，v 为油滴运动速率，r 为油滴的半径，不计空气浮力，重力加速度为g。下列说法
正确的是（ ）
A．油滴P 带正电
B．油滴P 所带电荷量的值为k(v1- v2)rd
U
C．从金属板加上电压到油滴向上匀速运动的过程中，油滴的加速度先增大后减小
D．油滴先后两次经过M 点经历的时间为v1(v2+ v1)
g v2
[题型专练17].
（2023 秋•仓山区校级期中）如图所示，在竖直面内，质量m＝0.3kg，
带电量q＝﹣1.0×10﹣6C 的带电小圆环（可视为质点）套在水平光滑绝缘细杆上，O 点固定带
电量Q＝+1.0×10﹣5C 的点电荷，小圆环以一定的初速度从P 点向左运动，从杆的末端M 点以
速度v＝0.4m/s 离开细杆，O、M 在同一竖直线上，两点间距离L＝0.3m，整个区域存在方向
竖直向下，场强大小E＝3.0×106N/C 的匀强电场。已知静电力常量k＝9.0×109N•m2/C2，重力
加速度g＝10m/s2，N 是小圆环离开M 点后运动轨迹上的某点（未画出），取无穷远处电势为
零，与点电荷Q 距离为r 处的电势φ =k Q
r
，则小圆环（ ）
A．在M 点的速度大于N 点的速度
B．在M 点的加速度小于N 点的加速度
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C．在距离O 点0.2m 处的动能为0.126J
D．将离M 点最远处附近很小的一段运动视为圆周运动，该圆半径约为0.16m
[题型专练18].
（2023 秋•皇姑区校级期中）如图所示，平面直角坐标系xOy 位于竖直
平面内，倾斜光滑直轨道AO 与y 轴正方向夹角为θ＝60°，轨道AO 与水平轨道OB 及半径为
R 的竖直光滑圆管之间均平滑连接，圆管对应的圆心角为120°，其所在圆O′分别与x 轴和y
轴相切于B 点和C 点。已知第二象限内有方向竖直向下、大小为E1= 2mg
q
的匀强电场，第一
象限内，x≥R 的区域内有水平向右的匀强电场，其中0≤y＜3
2
R 区域内场强大小为E2
= √3mg
q
，y≥3
2
R 区域内场强大小为E3= √3mg
3q
。质量为m、电荷量为q 的带正电小球（可视
为质点）从到O 点距离为R 的Q 点由静止释放，经水平轨道OB 进入圆管内。小球与水平轨道
OB 之间的动摩擦因数为μ＝0.2，其余摩擦不计，所有轨道均为绝缘轨道，轨道的直径远小于
所在圆的直径，小球所带电荷量不损失，进入和飞出管道时无能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球经过坐标原点O 处时的速度大小；
（2）求小球在管道中速度最大时的位置坐标，并求出小球的最大速度；
（3）从开始运动到小球静止，小球在OB 段走过的总路程s 为多少？
题型四 带电粒子在交变电场中的运动
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的题目类型
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．
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(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的
特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．
(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．
4.利用速度—时间图像分析带电粒子的运动过程时，必须注意“五点”
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的切线斜率表示加速度。
(3)图线与时间轴围成的面积表示位移，且在时间轴上方所围成的面积为正，在时间轴下方所围成的
面积为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与时间轴有交点，表示此时速度改变方向。对运动很复杂、不容易画出速度图像的问题，还
应逐段分析求解。
[题型专练19].
（多选）（2023 秋•深圳期中）多级加速器原理如图甲所示，多个横截
面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增
加，圆筒和交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示。在t＝0 时，奇数圆筒相
对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0 的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止
开始加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m、电荷量为e，电压的绝对值为U0，
周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是
（ ）
A．金属圆筒内部场强处处为零，电子在圆筒内做匀速运动
B．t＝3T 时，电子刚从7 号圆筒中心出来
C．电子离开第8 个圆筒的速度为√
18eU
m
D．第n 个圆筒的长度正比于√n
[题型专练20].
（2022 秋•东川区校级期末）在如图甲所示平行板电容器A、B 两板上
加上如图乙所示的交变电压，开始A 板的电势比B 板高，这时两板中间原来静止的电子在电
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场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是（不计电子重
力）（ ）
A．电子先向A 板运动，然后向B 板运动，再返回A 板做周期性来回运动
B．电子一直向A 板运动
C．电子一直向B 板运动
D．电子先向B 板运动，然后向A 板运动，再返回B 板做来回周期性运动
[题型专练21].
（2023•温州三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横
截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源
相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0 时，奇数圆筒比偶数圆筒电
势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙
中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T，不考虑电子
的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（ ）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1 时的速度为2√
Ue
m
C．第n 个圆筒的长度应满足Ln=T√
nUe
2m
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
[题型专练22].
（2023 春•渝中区校级期末）如图建立xOy 直角坐标系，在其第二象限
中放置平行金属板A、B 和平行于金属板的细管C，细管C 开口紧靠金属板右侧且与两板等距
另一开口在y 轴上。放射源P 在A 极板左端，可以沿任意方向发射某一速度的带电粒子。当
A、B 板加上某一大小为U 的电压时，有带电粒子刚好能以速度v0从细管C 水平射出，进入位
于第一象限的静电分析器并恰好做匀速圆周运动，t＝0 时刻带电粒子垂直于x 轴进入第四象限
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的交变电场中，交变电场随时间的变化关系如图乙（图上坐标均为已知物理量），规定沿x 轴
正方向为电场正方向，静电分析器中电场的电场线为沿半径方向指向圆心O，场强大小为E0。
已知极板长度为L，两板间距为d，带电粒子电荷量为+q，质量为m，重力不计。求：
（1）粒子源发射带电粒子的速度v；
（2）带电粒子在静电分析器中的轨迹半径r 和运动时间t0；
（3）当t＝nT 时，带电粒子的坐标。（n＝1，2，3……）
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