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专题30 带电粒子在匀强磁场中运动
核心考点
考点梳理1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动.................................................................................................1
母题考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动...............................................................................................3
考点梳理2 带电粒子在组合场中的运动...........................................................................................................11
母题考点二 带电粒子在组合场中的运动.........................................................................................................12
考点梳理3 带电粒子(体)在叠加场中的运动...................................................................................................20
母题考点三 带电粒子(体)在叠加场中的运动...................................................................................................20
考点梳理4 带电粒子在立体空间中的运动.......................................................................................................28
母题考点四 带电粒子在立体空间中的运动.....................................................................................................29
考点梳理1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点
即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的
交点即为圆心，如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦
兹力方向距离为r 的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
方法一 由R＝求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝
例如：t＝T＝T＝T
t＝＝
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角
一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒
子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域
内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁
场有最小磁感应强度。
母题考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
【母题1】（2025·甘肃·高考真题）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的
紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环
形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，内圆半径为
。在内圆上A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内
运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正电且比荷均为
，a 粒子的速
度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a 粒子的速度方
向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．外圆半径等于
B．a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C．b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D．c 粒子的速度大小为
【答案】BD
【详解】由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
a 粒子恰好到达磁场外边界后返回，a 粒子运动的圆周正好与磁场
外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A 点，
根据a 粒子的速度大小为
可得
设外圆半径等于
,由几何关系得
则
A 错误；
B．由A 项分析，a 粒子返回A 点所用的最短时间为第一次回到A 点的时间
a 粒子做匀速圆周运动的周期
在磁场中运动的时间
匀速直线运动的时间
故a 粒子返回A 点所用的最短时间为
B 正确；
C．由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
因为b、c 粒子返回A 点都是运动一个圆周，根据b、c 带正电且比荷均为
，所以两粒子
做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C 错误；
D．由几何关系得
洛伦兹力提供向心力有
联立解得
D 正确。
故选BD。
【练1】（2025·贵州·模拟预测）如图，在
平面内y 轴右侧有以O 点为圆心、半径为R 的
半圆形匀强磁场区域
，磁感应强度大小为B，方向垂直于
平面向里。大量质量为
m、带电荷量为q（
）的粒子以速度
从y 轴上
间各点平行于x 轴射入磁场。
不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得粒子运动的半径为
运动的周期为
粒子进入磁场如图
粒子从A 射出磁场对应的圆心为C，此时有
时间最长对应圆心角
最大，对应AB 最大，由几何知识得，当粒子从c 点射出时轨迹圆的圆
心角最大，如图所示，
举一反三
此时
，即
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
，故选
A。
【练2】（2025·浙江·一模）如图所示，在
平面内，以
为圆心，
为半径的
圆弧与
轴交于
和
，圆
是以
为直径的圆。在圆
的半圆弧
与
圆
的优弧
之间存在磁感应强度为
，方向垂直纸面向里的匀强磁场；半圆
内部是
无场区域；
轴下方存在磁感应强度为
，方向垂直纸面向外的匀强磁场。在
区
域内，大量质量为
，电荷量为
且不计重力的粒子从第二象限沿
轴正方向以初速度为
射入磁场
，经过磁场偏转后都能聚焦于
轴上的某点（即为焦点）。
(1)请判断这些粒子的电性，并写出焦点的坐标；
(2)若某粒子打到焦点时，速度方向恰沿
轴负方向，求该粒子射入磁场
时到
轴的距离
；
(3)求粒子从出发到聚焦的过程中，速度方向偏转角度的最大值；
(4)接第（2）问，该粒子进入磁场
后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力
（比例系数
已知），且发现该粒子再次到达
轴时其轨迹与
轴相切于点
（图中未画
出）。①求
点到原点的位移大小；
②求粒子在
点时的速度大小。
【答案】(1)带负电，聚焦于原点
(2)
(3)
(4)①
，②
【详解】（1）由题意，带电粒子经过磁场偏转后都能聚焦于
轴上的某点，带电粒子向下偏
转，即带电粒子受到的洛伦兹力向下，根据左手定则可以判断，带电粒子带负电。
粒子在匀强磁场
中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
又有
联立解得
取特殊点的带电粒子，当
的带电粒子进入匀强磁场时，带电粒子从
点进入匀强磁场，
因为带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径
，所以其圆心坐标为
，又由
于圆
圆心坐标为
，半径为
，根据几何关系
可知带电粒子射出匀强磁场区域的点应该在点
与圆
在第一象限的切点位置，速度
方向与切线方向垂直，即指向圆
圆心坐标为
；
设带电粒子沿与
轴相切进入半圆
内部，如下图所示，带电粒子从
点射入匀强磁场，则
有
，由题意可知
，
，
，由余弦定理有
，代入数据解得
，符合题意，所以该
带电粒子能从
点射入匀强磁场并从
点射入半圆
内部，该带电粒子与从
点进入匀强磁
场的带电粒子都经过原点
。根据题意可得，经过磁场偏转后都能聚焦于
轴上的点为原
点，坐标为
。
（2）由（1）可知，带电粒子从
点射入匀强磁场并从
点射入半圆
内部，满足粒子打到
焦点时，速度方向恰沿
轴负方向，求该粒子射入磁场
时到
轴的距离
。
（3）由（1）可知，带电粒子从
点进入匀强磁场，射出匀强磁场区域的点在点
与圆
在第一象限的切点位置，速度方向与切线方向垂直，即指向圆
圆心坐标为
，由几
何关系可得此时速度方向与
轴正方向的夹角为
，此时速度方向偏转角度最大，最大
偏转角度
。
（4）
[1]带电粒子进入
轴下方匀强磁场，受到洛伦兹力和阻力作用，对于带电粒子在该匀强磁场
中的运动，将整个运动分解为若干小段运动，并将每段运动得速度分解到水平方向和竖直方
向，则对
轴方向根据动量定理并对分解的各小段运动求和，得
解得
；
[2]对
方向根据动量定理并对分解的各小段运动求和，得
解得
。
【练3】（2025·湖南怀化·模拟预测）如图所示，在
区域内存在垂直于三角形平面向
里的匀强磁场，
，
，BC=2d。在顶点
处有一粒子源，可以在垂直磁场的
平面内，向
区域内各个方向均匀射入比荷为
、速率为
的带负电的粒子，有
的粒
子能从
边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．
边有粒子射出的区域长度为
【答案】D
【详解】A．粒子源射出的粒子有
从
边射出，
，则速度方向与
边成
角范围内的粒子都能从
边射出，如图所示，当粒子速度方向与
边成
角时，粒
子运动轨迹与
边相切，其圆心为
，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为
，
又
，解得
，故A 错误；
B．所有粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，轨迹为劣弧时对应弦长越短，在磁场中运动时
间越短，运动时间最短的粒子对应的弦垂直于
，由几何关系可得，轨迹对应圆心
刚好
在
边上，最短时间
，故B 错误；
C．轨迹为劣弧时对应圆心角越大，在磁场中运动时间越长，沿弧
运动时时间最长，故
，故C 错误；
D．
边有粒子射出的区域为
，由几何关系可得
，故D 正确。
故选D。
考点梳理2 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。
2．“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E 进入匀强电场
带电粒子以v⊥B 进入匀强磁场
示意图
受力情况
只受恒定的静电力
只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛运动规律、牛顿第二定律
牛顿第二定律、向心力公式
基本公式
L＝vt，y＝at2，
a＝，tan θ＝
qvB＝，r＝，
T＝，t＝，
sin θ＝
做功情况
静电力既改变速度方向，也改变速度
大小，对电荷做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速
度大小，对电荷永不做功
3.常见粒子的运动及解题方法
母题考点二 带电粒子在组合场中的运动
【母题2】（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电
场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从电场中的O
点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P 点进入磁场，射入磁场时的速度大
小为v、方向与竖直方向夹角为
，粒子返回电场前的运动轨迹过P 点正上方的Q 点，P、
Q 间距离及O、P 间的水平距离均为L。不计粒子重力。
(1)判断粒子的电性；
(2)求电场强度大小E；
(3)求磁感应强度大小B。
【答案】(1)正电
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子
带正电。
（2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有
设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有
竖直方向上由运动学公式，有
联立上述各式，得
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得
洛伦兹力提供向心力，有
联立得
【练1】（2025·湖北·一模）如图，在真空中建立直角坐标系xOy，第一、二象限区域存在方
向沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在第三、四象限存在方向垂直于xOy 平面向里
的匀强磁场。一带负电的粒子从y 轴上y=3L 的P 点以某一速度沿x 轴正方向射出，经x 轴上
的Q（图中未标出）点进入磁场，经过Q 点时速度方向与x 轴正方向的夹角为θ=60°，经过磁
场偏转后恰好能回到P 点。已知该点电荷质量为m，电荷量为q，不计重力。求
(1)Q 点到原点O 的距离。
(2)磁场的磁感应强度大小。
(3)粒子从P 点出发经过多长时间又运动到P 点。
【答案】(1)
(2)
(3)
（k=1，2，3，4...）
【详解】（1）粒子初速度v0，在电场中运动时间t1后进入磁场，进入磁场时沿y 轴方向速度
大小为vy，则有
粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
联立解得
（2）粒子在电场中运动时加速度为a，
，
举一反三
解得
进入磁场时速度大小为v，根据运动的合成与分解可得
解得
在磁场中做圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
粒子恰好能回到P 点则有
解得
联立即得
（3）粒子在第一象限中运动时间t1，x 方向做匀速直线运动故，轨迹如图
则
其中
，
粒子在磁场中运动周期为T，则有
几何关系可知粒子在磁场中扫过的圆心角为240°，在磁场中运动时间t2，则粒子在磁场中运
动时间为
故
（k=1，2，3，4...）
【练2】（2025·河北·一模）利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和
技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线AB 与竖直线CD 交于O 点，将空间分成四个
区域。在竖直线CD 的左边存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，
在竖直线CD 的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线AB 上的a
点以初速度v0水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线CD 上时，速度方向与竖直向上方
向成
角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线AB 上的b 点。已知O、a 两点
之间的距离为L，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求：
(1)带电粒子的电荷量和质量的比值；
(2)竖直线CD 的右边匀强电场的电场强度大小；
(3)带电粒子从a 点出发到第一次回到a 点的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，作出正电荷的部分运动轨迹如图所示
设正电荷在磁场中运动的轨道半径为r，由图可得
解得
正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
解得正电荷的比荷为
（2）设正电荷第一次经过y 轴的位置到O 点的距离为
，到达b 点时的速度大小为
，结
合类平抛运动规律，有
设正电荷进入电场后经过时间t 运动到b 点，则有
由几何知识结合类平抛运动可得
解得
又
正电荷从第一次经过y 轴到运动至b 点的过程中，根据动能定理有
联立解得
（3）正电荷在磁场中的运动的周期为
由几何关系可知，正电荷第一次在磁场中运动的时间为
正电荷在电场中运动的时间为
正电荷第二次在磁场中的运动轨迹与第一次在磁场中运动的轨迹对称，则正电荷第二次在磁
场中的运动时间为
所以正电荷从
点出发到第一次回到
点的时间为
【练3】（2025·黑龙江大庆·一模）如图所示的xOy 平面内，
的区域内有竖直向上的匀
强电场；在
区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为
（未知）；处于
第四象限的匀强磁场，磁感应强度为
（未知），大小关系为
，磁场方向均垂直于
纸面向外。一质量为m、带电荷量为
的粒子，在
时刻，从P 点（P 点的坐标
，
）以速度
沿x 轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直磁场右边
界射出磁场，不计粒子的重力。求：
(1)粒子进入磁场时的速度大小；
(2)粒子在磁场中运动的最短时间；
(3)磁感应强度
的可能取值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有
竖直方向做匀加速运动，有
解得
则带电粒子通过坐标原点的速度大小为
速度方向与
轴正半轴的夹角为θ，则
（2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关
系知
带电粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场中运动的时间最短为
解得
（3）粒子在磁场中运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
且
则有
且满足关系
或
由洛伦兹力提供向心力有
解得
或
考点梳理3 带电粒子(体)在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在无约束叠加场中的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
故机械能守恒，由此可求解问题。
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做
功，可用动能定理求解问题。
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存
①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可
用能量守恒定律或动能定理求解问题。
母题考点三 带电粒子(体)在叠加场中的运动
【母题3】（2025·贵州·高考真题）如图所示，
轴水平向右，
轴竖直向上，
轴垂直纸
面向里（图中未画出），在
平面里有竖直向上的匀强电场
，在
的平面下方存
在垂直纸面向里的匀强磁场
，
的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场
（未
知）。有一带正电的粒子，质量为
，从坐标原点
出发，沿
轴正方向以速度
射出后
做圆周运动，其中
，
，
点坐标
。已知重力加速度为
，粒
子电荷量为
。求：
(1)电场强度
的大小及该粒子第一次经过
平面时的位置对应的
坐标值；
(2)当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，求
的大小；
(3)若将电场
改成沿y 轴正方向，粒子同样从坐标原点
沿x 轴以速度
射出，求粒子的
轨迹方程。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断
粒子受到的电场力与重力平衡，则
解得
粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示
洛伦兹力提供向心力得
解得粒子运动的轨道半径
根据圆周运动轨迹，由几何关系得
代入数据解得
。
（2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示
设粒子进入
磁场中速度方向与磁场分界面成
角，由几何关系可得
可解得
设粒子在
磁场中运动的轨道半径为
，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到
点应满足
当
取最小值时，运动时间最短。所以当
时，运动时间最短，代入
的值解得
根据
联立可得
当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，
的大小为
。
（3）若将电场方向改为
轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿
轴正方向的洛伦兹
力、沿
轴负方向的重力、沿
轴正方向的电场力，根据
解得粒子受到的洛伦兹力大小为
正好与重力相平衡，所以粒子在
轴正方向做匀加速直线运动，有
由牛顿第二定律有
粒子在
轴正方向做匀加速直线运动，有
联立解得轨迹方程
【练1】（2025·浙江·一模）如图所示，在
坐标平面的第一、第四象限内存在足够宽的垂
直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
，同时放置有两个关于
轴对称且板间距离为
的平行金属板
、
，两金属板间存在沿
轴负方向的匀强电场（图中未画出）。现有一
质量为
、电荷量为
的可视为质点的带正电金属小球，以速度
从坐标原点沿
轴正方向
做匀速直线运动后从两极板右端离开极板区域。不考虑电场在两极板之外的效应，重力加速
度为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球离开两极板区域后可以运动到
轴的下方
B．两极板间的电场强度大小等于
C．小球在运动过程中的最大速度等于
D．小球在运动过程中偏离
轴的最大距离等于
【答案】BD
【详解】AB．小球在两极板间匀速运动时应有
得
小球离开两极区域，不再受电场力，将在磁场力和重力作用下运动到
轴上方，故A 错误，
B 正确；
CD．小球离开两极间的运动可分解为沿水平方向
和
举一反三
满足
根据洛伦兹力提供向心力可得
可得其圆周运动的半径为
运动偏离
轴的最大距离等于
小球运动过程中最大的速度为
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
【练2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy 的x>0 区域被平行于y
轴的场边界M、N 分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅱ的宽度均为d，在区域Ⅰ、Ⅱ内有沿
y 轴负方向的匀强电场，在区域Ⅱ内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅲ内有垂直于
坐标平面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等，在坐标原点O 沿与x 轴正方向成
45°角在坐标平面内向第一象限射出一个质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子的初速
度大小为
，粒子在区域Ⅰ内运动后以垂直于M 的方向进入区域Ⅱ，粒子在区域Ⅱ内做直线
运动，不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场电场强度的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)当粒子第二次在区域Ⅱ中运动的速度沿y 轴负方向时的位置离x 轴的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在区域I 内运动过程中，根据运动的分解，竖直方向上粒子做匀减速运动，
则有
根据牛顿第二定律可得
水平方向粒子做匀速直线运动，则有
联立解得
（2）粒子进入区域Ⅱ的速度大小
粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，根据力的平衡
解得
（3）设粒子第一次区域Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律
解得
设粒子第一次进区域Ⅲ时的位置坐标为
，则
设粒子第二次进区域Ⅱ时的位置坐标为
，则
将粒子在区域Ⅱ中的运动分解为两个分运动，一个是速度大小为
且沿x 轴正向的匀速直线
运动，另一个初速度大小为
且初速度方向沿x 轴负方向的匀速圆周运动。当匀速圆周运动
的分运动速度与x 轴负方向成60°时，合速度方向竖直向下。设做匀速圆周运动分运动的半径
为R，则有
解得
此时粒子离x 轴的距离
【练3】（2025·福建泉州·一模）如图，竖直面内固定一足够长斜面与一半圆弧轨道abc，两
者相切于a 点，空间中存在水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球静
止在斜面上，现给小球一沿斜面向上的初速度后，沿圆弧轨道abc 运动恰能通过c 点。运动
过程中小球带电量保持不变，不计一切摩擦。已知斜面倾角为37°，圆弧轨道半径为R，重力
加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求电场的场强大小E；
(2)求小球第一次落在斜面上的位置到a 的距离x；
(3)若小球从c 点飞出时，在空间加上垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
，不考虑磁场突变引起的电磁感应现象，求小球运动过程中离斜面的最小距离
d。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球恰能静止在斜面上，根据平衡条件可得
解得
（2）小球受到的重力
合电场力
的合力大小为
方向沿
方向；小球恰能通过c 点，说明刚到c 点时，轨道对小球的弹力为零，则在c 点时
从c 点运动到斜面的过程，小球做类平抛运动，则
，
，
联立，解得
（3）由（2）可得
小球从c 点离开后的运动可分解为以速率
沿
方向的匀速直线运动和以速率
的匀速圆周
运动，如图
令
，
可得
，
根据牛顿第二定律
则小球运动过程中离斜面的最小距离为
联立，解得
考点梳理4 带电粒子在立体空间中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动
带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动一般包括以下两种情况
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，
带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和
垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做
“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的
匀速圆周运动。
2．带电粒子在立体空间中的偏转
带电粒子在立体空间中的偏转问题的处理思路
(1)分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置
关系。
(2)带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上
的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
(3)有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进
运动)来求解。
母题考点四 带电粒子在立体空间中的运动
【母题4】（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐
标系
所在空间中Ⅰ区域
存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）
和匀强磁场，磁感应强度大小为
,Ⅱ区域
存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁
感应强度大小为
，在
有一足够大的接收屏P，原点O 处的粒子源在
平面内
同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为
，甲和乙的速度方向与x 轴正
方向夹角分别为
和
，两粒子沿x 轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达
（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（
）
A．两粒子不能同时到达接收屏P
B．两个区域磁感应强度大小之比
C．乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量
D．甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
【答案】BD
【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在
轴方向做匀加速直线运动，在
平
面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x 轴方向的分速度相等，均为
甲粒子在
轴方向的分速度
根据几何关系
可得
乙粒子以最短时间到达
（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一
半，其半径为
根据洛伦兹力提供向心力
联立可得
在Ⅰ区域运动的时间
沿着
正方向，根据运动学公式
解得乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量为
乙粒子进入Ⅱ区域后，沿
轴负方向做匀速直线运动，在
平面做匀速圆周运动，根据
题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径
为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
可得
，故B 正确，C 错误；
AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在
轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间
相等，根据
可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时
轴坐标均为零，沿
轴负方向做匀速直线运动，在
平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相
等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间
甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
联立解得
，故D 正确，A 错误。
故选BD。
【练1】（25-26 高三上·天津滨海新·开学考试）如图所示，边长为L=0.9m 的正方体
OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度
，方向沿z 轴正方向的匀强磁场和电场强度
E=1.0N/C，方向沿z 轴负方向的匀强电场。极板M、N 间是加速电场，一带电量为
q=1.0×10−12C 的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J 的动能，并从O1
点沿y 轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取
π2=10。
(1)判断M 极板的极性并求出加速电场的电压大小；
(2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C 点射出，求粒子的质量；
(3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy 平面的位置坐标。
【答案】(1)正极；10V
(2)4.5×10−14kg
(3)
【详解】（1）由题可知，正电的粒子在M、N 间做加速运动，则M、N 间的电场方向向右，
故M 板带正电，根据动能定理可得
代入题中数据，解得加速电场的电压
（2）由题可知，粒子进入正方体空间的速度
，粒子在磁场中，受到沿x 正方向的
洛伦兹力，因此粒子沿x 轴做匀速圆周运动，沿y 轴做匀速直线运动，粒子从C 点离开，则
沿x 轴做圆周运动的半径需满足
举一反三
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
代入题中数据，解得
（3）由题可知，粒子进入复合场的速度
结合上述分析可知
故
故如图所示
由几何关系可得，粒子在磁场中旋转了
，则
粒子在磁场中运动时间
粒子沿z 轴的加速度
速度
位移
粒子从前表面射出时的坐标为
，
，
粒子出正方体空间后，做匀速直线运动，则有
粒子运动到xOy 平面的位置坐标
，
故粒子运动到xOy 平面的位置坐标为
【练2】（2025·四川成都·模拟预测）空间中水平方向存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，
电场强度E 和磁感应强度B 已知，建立空间直角坐标系如图所示。一已知质量为m、电荷量
为q 的带正电小球在此空间运动，且速度大小恒定不变，已知重力加速度为g。
(1)若小球仅在xOz 平面内运动，求此时小球运动的速度大小；
(2)在（1）的情况下，若小球经过坐标原点O 时，撤去磁场，求小球再次回到x 轴时沿x 方向
的位移大小；
(3)若某一时刻撤去电场，已知此后该小球在空间运动过程中的最大动能为其初始动能（即电
场刚要撤去时的动能）的1.5 倍，试求电场刚要撤去时小球的动能。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球做匀速直线运动，则电场、磁场和重力场对其作用力的合力为0，即
，解得速度大小为
（2）撒去磁场后，小球在
平面内做类平抛运动，设沿
轴的方向位移为
，速度方向与
轴正方向夹角为
，小球加速度为
，则有
，
沿速度方向，小球做匀速直线运动
垂直于速度方向，小球做匀加速直线运动
解得
（3）撤去电场后，小球受重力和洛伦兹力做一般曲线运动，撤去电场前，小球做匀速直线运
动，水平方向的洛伦兹力与电场力平衡，即
，即
，解得
方向的洛伦兹力与重力平衡
，即
，解得
因此初动能为
撤去电场后，利用配速法
，
轴方向的洛伦兹力仍平衡重力，所以小球沿
轴做匀
速直线运动。
使小球做匀速圆周运动，当
方向与
轴同向时，合速度最大，动能最大，此时有
联立解得
【练3】（25-26 高三上·江苏常州·开学考试）如图所示，空间直角坐标系
内有一由正
方体
和半圆柱体
拼接而成的空间区域，立方体区域内存在
沿
轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿
轴负方向的匀强磁场
、
分别为
、
的中点，
、
分别为
、
的中点，
、
分别为半圆弧
、
的中点，
为
的中点。质量为
、电荷量为
的带正电粒子在竖直平面
内由
点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为
，方向与
轴正方向夹角
为
。一段时间后，粒子垂直于竖直平面
射入匀强磁场。已知正方体的棱长和
半圆柱体的直径均为
，匀强磁场的磁感应强度大小为
，不计粒子重力，
，
(1)求匀强电场的电场强度
的大小；
(2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间；
(3)若粒子以相同的初速度自
点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
，
，
）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为
，沿
轴方向有
解得
沿
轴方向有
由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小
解得
（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得轨迹半径
由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为
，粒子在磁场中运动的周期
粒子在匀强磁场中运动的时间
故
（3）若粒子以相同的初速度自
点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场时，沿
轴方向的速度大小为
沿
轴方向的速度大小为
粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径
沿
轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不
变，在磁场中沿
轴方向运动的位移大小为
在电场中沿
轴方向运动的位移大小为
故粒子离开磁场时，
坐标为
坐标为
坐标为
即粒子离开磁场时的位置坐标为（
，
，
）。
模拟演练
1．（25-26 高三上·云南曲靖·阶段练习）如图所示，矩形ABCD 区域内，MN 左侧有平行AB
边向下的匀强电场，右侧有垂直AB-CD 平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带
正电粒子从A 点以速度v0，沿AD 方向射入匀强电场，一段时间后从MN 中点P 进入匀强磁场。
已知AM、MD、AB 之间的距离分别为d、
、
，不计粒子重力。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)若粒子从PM 之间离开磁场，求匀强磁场磁感应强度的最小值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）带电粒子从A 点运动到P 点的过程中，沿AD 方向做匀速直线运动
沿AB 方向做匀加速直线运动
由牛顿第二定律得
解得
（2）粒子的运动轨迹如图所示，由运动的合成与分解得
又
，
当粒子的运动轨迹恰好与 MD 相切时，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，由几何
关系得
由牛顿第二定律得
解得匀强磁场磁感应强度的最小值
2．（2024·黑龙江·模拟预测）某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理
图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心
是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀
强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A 处由静
止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ
上。已知粒子重力可忽略不计，则（ ）
A．从P 点进入磁场的粒子动量一定相等
B．从P 点进入磁场的粒子速度一定相等
C．粒子的比荷越大，打到胶片上距离P 点越远
D．打到胶片上距P 越远的粒子运动总时间越长
【答案】D
【详解】A．粒子经加速电场加速过程中，有
粒子在静电分析器中满足
在磁分析器中满足
则从
点进入磁场的粒子动量
由于质量不同，所以动量不同，A 错误；
B．速度
质量越大，速度越小，B 错误；
C．打到胶片上的位置
比荷
越小，距离
越远，C 错误；
D．打到胶片上距
越远的粒子比荷越小，
越小，在加速电场和静电分析器中运动的时间越
长，在磁分析器中运动的时间
也越长，即打到胶片上距
越远的粒子运动的总时间
越长，D 正确。
故选D。
3．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L 的匀强电场和匀强磁
场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、
电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a 点由静止释放，运动到磁场的下
边界的b 点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边
界c 点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法
正确的是（ ）
A．a、b 两点之间的距离为
B．匀强电场的场强大小为
C．粒子在d 点的速度大小为
D．粒子从c 点到d 点的竖直位移为
【答案】C
【详解】A．由几何关系可得
粒子从a 到b 的位移为
故A 错误；
B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R
由动能定理可得
由洛伦兹力充当向心力可得
由题意结合几何关系可得
联立解得
故B 错误；
CD．把粒子从c 到d 的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分
速度分别为
、
，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解
根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为
，
设粒子在最低点d 的速度为v
水平方向由动量定理可得
由动能定理可得
结合
，
联立解得
，
故C 正确，D 错误；
故选C。
4．（2025·黑龙江·二模）如图，是交替出现的宽为
的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号
1、3 区域为电场，场强均为
，2、4 区域为磁场，场强均为
，方向如图所示。质量为
，
带电量为
的正粒子，从1 区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（ ）
A．粒子从4 区下边界穿出后的动能一定为
B．粒子从4 区下边界穿出后的水平速度一定为
C．粒子从4 区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
D．若粒子恰未从第4 场区射出，则需满足
【答案】A
【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4 区下边界穿出，根据动能定
理可得
可知粒子从4 区下边界穿出后的动能一定为
，粒子从4 区下边界穿出后的速度大小为
故A 正确；
BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4 区下边
界穿出，水平方向根据动量定理可得
其中
联立可得粒子从4 区下边界穿出后的水平速度为
则粒子从4 区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
若粒子恰未从第4 场区射出，粒子达到4 区下边界的竖直分速度刚好为0，则有
解得
故BCD 错误。
故选A。
5．（2025·湖南怀化·二模）如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心为原
点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线
的上方有
一沿y 轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在
处的A 点有一粒子源，粒子
源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞
0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形
磁场，之后均从
处的C 点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒
子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场的初速度为
B．矩形匀强电场区域的最小面积为
C．粒子从 A 点运动到 C 点的最短时间为
D．粒子从 A 点运动到 C 点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为
【答案】C
【详解】A．当粒子在磁场中的圆周运动半径为
时，满足题意。故由
且
联立解得
A 错误；
B．由磁发散知识可知，所有粒子进入电场的方向都是沿
轴正方向，且速度大小相等，故
粒子到达电场的最大高度也都相等。设粒子在电场中运动的最大高度为
，则有
得
则电场的最小面积有
B 错误；
C．由几何知识可知，所有粒子第一次在磁场中运动的轨迹和第二次在磁场中运动的轨迹总
和是半个圆，故磁场中运动的时间总和都是相等的，而在电场中的运动时间也相等，故要使
粒子从A 点运动到C 点的时间最短，就只需要让粒子在磁场和电场之间的中间区域运动时间
最短即可。所以，当粒子发射方向沿
轴正方向时，粒子从A 点运动到C 点的时间最短。在
磁场中的运动时间
在电场中的运动时间
故运动的最短时间
C 正确；
D．粒子从A 点运动到C 点的整个过程中，取沿
轴负方向为正，由动量定理得
，解得
负号表示洛伦兹力的冲量方向沿
轴正方向，D 错误。
故选C。
6．（2025·全国·模拟预测）某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B 到
C 的方向），电场大小变化如E-t 图像，磁感应强度的变化如B-t 图像，在A 点从t=1s（即1s
末）开始每隔2s 有一相同带电粒子（重力不计）沿AB 方向（垂直于BC）以速度v 射出，恰
都能击中C 点，若AC=2BC，且粒子在A、C 间运动的时间小于1s，则（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．图像中E0和B0的比值为
C．图像中E0和B0的比值为
D．若第一个粒子击中C 点的时刻已知为（1+
t）s，那么第二个粒子击中C 点的时刻是
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，粒子在电场中的偏转方向与电场方向相同，故粒子带正电，由
左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；
BC．在
至
间，第一个粒子从A 到C 做匀速圆周运动，以O 为圆心，设
，
AC=2BC=2d，
由几何知识可得，粒子圆周运动的半径
粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子在电场中运动时，粒子做类平抛运动，沿AC 方向则有
沿BC 方向则有
联立解得
则
，故B 正确，C 错误；
D．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动的时间
由题可知
第二个粒子在电场中运动时间
联立可知，第二个粒子击中C 点的时刻为
，故D 正确。
故选BD。
7．（2022·辽宁·三模）圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂
直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A 点有一带正电粒子源，半径OA 竖直，MN 与
OA 平行，且与圆形边界相切于B 点，在MN 的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电
场强度大小为E.当粒子的速度大小为v0且沿AO 方向时，粒子刚好从B 点离开磁场，不计粒
子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中运动的总时间为
D．粒子在电场中运动的总时间为
【答案】ABD
【详解】A．根据题意可知，粒子从A 点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则
可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A 正确；
B．根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为
，
根据洛伦兹力提供向心力则有
解得
，故B 正确；
C．根据题意可知，粒子从B 点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再
次到达B 点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示．
则粒子在磁场中的运动时间为
，故C 错误；
D．粒子在电场中，根据牛顿第二定律有Eq＝ma
解得
根据v0＝at 结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为
，故D 正确。
故选ABD。
8．（2025·天津·二模）如图所示，在Oxy 坐标系内，两平行极板P、Q 垂直于y 轴且关于x 轴
对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y 轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁
场，方向垂直于Oxy 平面向里。一个质量为m、电量为+q 的带电粒子以一定的初速度v0沿x
轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板
右侧边缘再次进入电场。则（ ）
A．极板P 带正电
B．粒子进入磁场时速度方向与y 轴夹角为60°
C．匀强磁场磁感应强度大小为
D．粒子最终离开电场时速度大小为v0
【答案】AC
【详解】根据题意结合左手定则可知粒子只能从下极板的右侧边缘进入磁场，运动轨迹如图
所示
A．电量为
的带电粒子向下偏转，则上极板P 带正电，故A 正确；
B．粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的推论，粒子进入磁场时速度方向与x 轴夹
角的正切值满足
可得
则粒子进入磁场时速度方向与y 轴夹角的夹角为
进入磁场时粒子的合速度
，故B 错误；
C．在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可得半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得匀强磁场磁感应强度大小为
，故C 正确；
D．粒子再一次进入电场后，水平方向速度不变，竖直方向仍然做匀加速运动，竖直方向的
速度
粒子最终离开电场时速度大小为
，故D 错误。
故选AC。
9．（2025·河北·模拟预测）如图所示，等腰直角三角形ABC 内有一个以BC 边中点O 为圆心
的半圆，OA 与半圆的交点为D。在三角形内半圆内外存在垂直纸面方向的磁场，磁感应强度
大小均为B，方向相反（图中未画出）。A 点有一个粒子源，沿AB 方向射出某速率的正粒子，
粒子的比荷为k，粒子经过D 点后到达O 点。将半圆内的磁场换成沿AB 方向的匀强电场，粒
子仍然能够到达O 点。已知
，不计粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
A．半圆区域的半径为
B．粒子的初速度为
C．将半圆内的磁场换成电场后，电场强度大小为
D．将半圆内的磁场换成电场后，粒子从A 点到O 点的时间为
【答案】AC
【详解】A．由题意可知三角形内的磁场垂直纸面向里，半圆内的磁场垂直纸面向外，粒子
的运动轨迹如图所示，
粒子在三角形内运动的圆心为
，在半圆内运动的圆心为
，轨迹均为四分之一圆弧，由
运动的对称性可知
为
的中点，所以半圆区域的半径
，故A 正确；
B．由几何关系可知粒子在三角形内磁场运动的半径
粒子在磁场中运动有
解得
，故B 错误；
C．粒子在三角形内的运动有
，其中
联立，解得
若将半圆内的磁场换成电场后，粒子在半圆内做类平抛运动，
方向有
，
方向
有
联立，解得
，故C 正确；
D．将磁场换成电场后，粒子从A 到
所用的时间
，故D 错误。
故选AC。
10．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图所示，一质量为
、电荷量为
的带正电粒子由静止
释放后先经过一电压为
的加速电场后，紧接着从两板正中间进入电压为
的偏转电场，
粒子在电场中的偏转距离为
，离开偏转电场后进入宽度为
、磁感应强度大小为
的有界
匀强磁场，恰好未从磁场右边界射出，最后粒子恰好回到了出发点。已知偏转电场的板长
，板间距为
，粒子由静止释放后到第一次回到出发点的过程中，在偏转电场中运
动的时间为
，在磁场中运动的时间为
。不计粒子重力，不考虑边缘效应，下列关系式正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，粒子在电、磁场中运动的轨迹如图所示
粒子在电场中加速时有
粒子在电场中偏转时，有
粒子在电场中的偏转角满足
联立解得
，A 错误；
B．粒子进入磁场中的速度大小
粒子在磁场中运动的半径
粒子在磁场中运动时有
联立解得
，B 正确；
C．粒子在磁场中运动的时间
粒子在偏转电场中运动的总时间
联立解得
，C 错误；
D．由图可知磁场的宽度
，D 正确。
故选BD。
11．（2025·陕西西安·模拟预测）xOy 空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方
向垂直于xOy 平面向外，磁感应强度大小为B；电场方向为y 轴正向，电场强度为E，一质量
为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O 以初速度v0沿y 轴正向发射，其运动轨迹如
图所示。不计重力，则（ ）
A．粒子向y 轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大
B．粒子能到达的最低点距x 轴距离为
C．运动过程中粒子的最大速度为
D．运动过程中粒子的最大速度为
【答案】D
【详解】A．正电荷向y 轴正向上运动，沿电场方向运动，电场力做正功，电势能减小，故A
错误；
B．如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足qv1B=qE，即v1引起的洛伦兹力与粒子所受电
场力平衡，得
则粒子的运动可以分解成由v1引起的沿x 轴正方向的匀速直线运动，和由v2引起的在xOy 平
面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子能到达的最低点距x 轴距离
解得
，故B 错误；
CD．粒子实际的运动就是这两个分运动的合运动，当两个分运动的速度均沿x 轴正方向时，
粒子的合速度最大，
，故C 错误，D 正确。
故选 D。
12．（2025·北京·模拟预测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。
xOy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。
质量为
、电荷量为
的电子从
点沿
轴正方向水平入射，入射速度为
时，电子沿
轴
做直线运动；入射速度为
（
）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与
在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（ ）
A．电场强度的大小
B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加
C．电子运动到最高点的速度大小为
D．电子运动到最高点的速度大小为
【答案】C
【详解】A．电子入射速度为
时，电子沿轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手
定则可知，洛伦兹力向下，有
解得
，故A 正确，不符合题意；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦
兹力不做功，向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B
正确，不符合题意；
C．因为入射速度为
时，电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，结合B 项
分析可知，电子在向上运动过程中动能增加速度增大，洛伦兹力增大，所以电子在最低点的
合力向上，在最高点的合力向下，设电子在最高点的速度大小为
，有
解得电子运动到最高点的速度大小为
，故C 错误，符合题意，D 正确，不符合题
意。
故选C。
13．（2025·北京·三模）如图所示的MNPQ 区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀
强磁场，现有两个带电微粒
、
均从边界
的
点处先后沿水平方向进入该区域中，并
都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（ ）
A．a、b 两微粒均带正电
B．a、b 两微粒在该区域运动周期一定相等
C．a、b 两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等
D．仅增加磁场强度a、b 一定都能做匀速圆周运动
【答案】C
【详解】A．电场方向竖直向上，重力与电场力平衡，即
电场力向上，故微粒带正电（正电荷受力与电场方向相同），A 正确；
B．圆周运动周期
由
得
则
（与微粒质量、电荷量无关），故a、b 周期相等，B 正确；
C．圆周运动半径
定值，但v 未知（两微粒初速度可能不同），故半径不一定相等，C 错误；
D．仅增加磁场强度B，重力与电场力仍平衡，洛伦兹力
增大，但只要满足
，
微粒仍可做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力 ），D 正确。
本题选错误的，故选C。
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在三维坐标系
中，
的空间同时存在
沿
轴负方向的匀强电场和沿x 轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为
，在
的
空间存在沿
轴正方向的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为
。带正电的粒子从M（a，0，
）点以速度
沿
轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，
恰好垂直
平面进入
空间。不计粒子重力，正确的说法是（ ）
A．电场强度大小为
B．带电粒子的比荷为
C．第二次经过
平面的位置坐标为（
，a，0）
D．粒子第三次经过
平面的位置与
点距离为
【答案】AC
【详解】A．由题可知粒子在电场和磁场Ⅰ的作用下做直线运动，则有
解得电场强度大小为
。故A 正确；
B．由题可知撤去电场，该带电粒子恰好垂直
平面进入
空间，由几何知识得粒子
做匀速圆周运动的半径
，有
解得带电粒子的比荷为
。故B 错误；
C．粒子进入
空间做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
第二次经过
平面的位置坐标为（
，a，0）。故C 正确；
D．粒子第二次经过
面后在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径
第三次经过
平面的坐标为（
，
，
），粒子第三次经过
平面的位置与
点距
离为
。故D 错误。
故选AC。
15．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空室中y 轴右侧存在n 个连续排列的圆形边界匀
强磁场，圆心均位于x 轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度大小均为B。其中第
1、3、5…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，第2、4、6…个磁场的磁感应强度方向
垂直于纸面向外。第1 个磁场左侧与y 轴相切，第n 个磁场右侧与一接收屏相切，接收屏与x
轴垂直，第n 个磁场方向图中未画出。在磁场上方存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度
大小为E、沿y 轴负方向，磁场下方亦存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为2E、
沿y 轴正方向，两电场边界均与磁场圆形边界相切。某种带正电的粒子比荷为
，以下列
所述情况在电、磁场中运动，不计粒子重力，不考虑粒子间相互作用。
(1)若将粒子从上方电场某处由静止释放，恰好在
处进入磁场并从
处射出，求
粒子在电场中释放位置的坐标；
(2)若在坐标原点O 处放置一粒子源，能向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y 轴方
向发射的粒子）上述粒子，射出的速度大小均为
，求粒子通过第一个磁场空间的最大
偏转角；
(3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为
，其余条件不变，求在所有粒子中，
粒子从被发射至到达接收屏所用的最短时间。
【答案】(1)
(2)60°
(3)当
为偶数时，
，当
为奇数时，
【详解】（1）由题意知，粒子沿
方向进入第一个磁场，轨迹如图甲所示，恰为
圆周，
则粒子做圆周运动的轨道半径
，由洛伦兹力提供向心力，有
又比荷
解得
带电粒子由静止释放后，由动能定理有
解得
故该粒子释放的位置坐标为
（2）由洛伦兹力提供向心力得
其中
解得轨道半径
粒子运动轨迹均为劣弧，弦越长，弧越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，故当
粒子的轨迹圆弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，对应的轨迹如图乙
所示，则有
解得
（3）根据磁发散和磁聚焦原理与左手定则，所有粒子都将以垂直于
轴的方向离开磁场向上
运动，经过真空后进入电场，在电场中做类竖直上抛运动，然后以相同速率，向下再次进入
磁场，进入磁场后将会汇聚到
轴与圆的另一个交点，然后进入下一个圆形边界磁场，在垂
直于纸面向外的磁场中运动时，偏转方向与垂直于纸面向里的磁场相反，但依然会做类似的
运动，如图丙所示为某一粒子的轨迹。
粒子在电场中做类竖直上抛运动，每经过一个磁场就会进入一次电场，每次进入上方电场时
加速度
运动时间
每次进入下方电场时加速度
运动时间
粒子在每个磁场中运动时转过的圆心角之和均为180°，则每个磁场中的运动时间
由以上分析可知，当粒子沿
方向进入第一个磁场时，不经过电场与磁场间的真空区域，
用时最短，轨迹如图丁所示
故①当
为偶数时
解得
②当
为奇数时
解得
16．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所
示，在三维坐标系
中，
的区域存在沿y 轴负方向的匀强电场；
的区域存
在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小
相等。一质量为m、电荷量为
的粒子，从点
以初速度
沿x 轴正方向
射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子在
区域运动的轨迹方程；
(3)粒子进入
区域后，距xOy 平面最远位置的空间坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在
区域仅受电场力作用，做类平抛运动，在x 方向，有
在y 方向，有
联立解得
（2）在
区域，粒子在xOy 平面内运动，有
将
代入并消去时间t，得
（3）粒子在
的区域同时参与两种运动：①沿x 轴方向做匀加速直线运动；②在yOz 平
面内做匀速圆周运动。粒子到达坐标原点O 时，沿y 轴负方向的分速度为
联立解得
在垂直x 轴的yOz 平面，粒子做匀速圆周运动，有
联立解得
粒子距xOy 平面距离最远时，y 坐标和z 坐标分别为
，
从粒子经过坐标原点O 开始计时，粒子距xOy 平面距离最远所需时间为
其x 坐标为
联立解得
因此，距xOy 平面最远位置的坐标为
17．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第二象限
内有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，上边界y＝0.25m，下边界如图中虚线所示，电场强度
大小E＝4V/m；第四象限同时存在沿y 轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向里的磁场，电场
强度大小也为E，磁感应强度大小为
，其中k＝4T/m。在P（-1m，0）处有一粒子
源，以v0=4m/s 速度均匀地向x 轴上方各个方向发射粒子，粒子电荷量q＝+8×10-6C，质量m
＝1×10-6 kg。过P 点有一圆形匀强磁场区域，能使占比
粒子平行于x 轴射入电场，经电场
偏转后，全部通过原点O 进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
(1)写出匀强电场边界
段的边界方程（粒子入射点的坐标y 和x 间的关系式）；
(2)圆形磁场的半径和磁场强度大小；
(3)粒子从O 点进入第四象限时，其速度方向与x 轴正方向所成夹角的范围；粒子在第四象限
运动的过程最大速率。
【答案】(1)y＝x2 （y≤0.25）
(2)R=
m，B1=3T
(3)0°~ 45°，vm＝ 8m/s
【详解】（1）粒子在电场中的加速度
m/s2
x 方向﹣x＝v0t
y 方向y＝
解得 y＝
（y≤0.25）
（2）由几何关系可知
可得
由
解得
（3）从Q 点射入电场的粒子，到达O 点时
＝
＝
得
， 速度与x 轴夹角在0°~ 45°
水平方向动量定理
即
由动能定理
得ym=0.5m，vm=8m/s
18．（2025·安徽·模拟预测）如图，在
坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强
电场，电场强度大小为
（未知）。在第一象限内方程为
的虚线
将
区域
分为区域和区域
，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
（未知）。
区域II 存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场及沿
轴负方向、电场强
度大小为
的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
点以
初速度
沿
轴正方向进入电场，由
点以大小为
的速度垂直于
轴进入区域，
后经虚线上的
点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。
求：
(1)
两点间的电势差
和匀强电场电场强度
的大小；
(2)粒子由
点到
点的时间；
(3)粒子在区域II 中运动时，第1 次和第5 次经过
轴的位置之间的距离。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）从
到
，根据动能定理可得
解得
把电场沿x 轴和
轴分解，由题意可得水平方向
竖直方向
电场强度
联立解得
（2）粒子在电场中运动，沿x 方向做匀变速直线运动，有
由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为
粒子在区域中转过的圆心角为
则粒子在区域中运动的时间为
，其中
粒子由P 点到A 点的时间为
联立解得
（3）在区域中，洛伦兹力提供向心力
在
点，对粒子用配速法，设
沿x 轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与
等大反
向的
与
的合速度
对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II 中
的运动分解为以
的匀速直线运动和以
的匀速圆周运动，则有
，
联立解得
，沿
轴负方向，
设对应的匀速圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力有
解得
其运动轨迹如图所示
粒子从第1 次到第5 次经过x 轴，共运动了2 个周期，粒子运动时间为
其中
粒子在第1 次和第5 次经过
轴的位置之间的距离
