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9.4 带电粒子在有边界磁场中的运动专项训练
2027 届高考物理一轮复习
一、单选题
1．如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a 以一定
的速度沿ad 方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为
时，电子可分别从ab 边的中点e、b 点
和c 点射出，则
之比为（ ）
A．1∶2∶3
B．1∶2∶4
C．3∶2∶1
D．4∶2∶1
2．如图，宽为
的平行直线边界1、2 间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为
、电荷量为
（
）的带电粒子从边界1 上
点以大小为
、方向与边界1 成60°的初速度射入磁场，一段时间后，粒
子再次回到边界1，不计粒子的重力，则磁感应强度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，虚线的上方区域和下方区域均有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小分别为
和
，
两虚线之间无磁场，重力不计的带正电粒子以垂直于磁场方向的速度从
点射入上方区域，其运动轨迹如
图所示，下列说法正确的是（ ）
A．第一次从
到
的运动时间小于从
到
的
B．磁场均垂直纸面向外
C．磁感应强度
D．轨迹内上下两区域磁通量
4．如图所示，半径为
、圆心为
的圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为
、电荷量
为
的带正电粒子从圆周上的
点以指向
、大小为的速度射入磁场，粒子离开磁场时的速度方向与射
入磁场时的速度方向的夹角为
，已知
。粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，间距为d 的两竖直P、Q 虚线边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，O 点到边界P、Q 的
距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从O 点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角θ＝60°。若粒
子在运动过程中恰好没有越过边界P、Q，经历一段时间后，粒子到达O 点正上方的A 点（图中未画出）
处，则O、A 两点间的距离可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，平面直角坐标系中，一个半径为
、弧长略小于半圆的圆弧形挡板关于
轴对称放置，其圆
心位于原点。以
为上边界、
为下边界、圆弧形挡板为右边界，左边界无穷远的区域内有垂直纸
面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为
。其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大
小为
。一质量为
、电荷量为
的带电粒子，从
处以某一初速度沿
轴正向射出，恰好从
处进入磁场Ⅱ，之后与挡板仅发生一次碰撞，碰后速度大小变为原来的
、方向与碰前相反，最后经
过
处回到磁场Ⅰ。不计粒子重力及碰撞时间，整个过程粒子电量保持不变，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子初速度的大小为
B．两个磁场磁感应强度大小关系为
C．粒子第二次离开磁场I 的位置坐标为
D．粒子从
处至
处的时间为
7．如图所示，I 区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其边界为半径为
的圆形；II 区有垂直于纸面向里的匀
强磁场，其外边界为边长可调的等边三角形，内边界与I 区边界重合；三角形与圆形的中心同为
点。I
区和II 区的磁感应强度大小比值为
。一带正电的粒子从I 区外边界上
点沿三角形某一条边的中垂线
方向进入磁场，若一段时间后粒子又从
点离开。取
。则三角形边长至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．如图所示，边长为
的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
，一质量为
，
带电量为
的粒子从
边中点
垂直入射，恰能从点离开磁场，不计粒子重力，则正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．此时粒子入射速度大小为
C．为使粒子从
点射出，速度大小应调整为
D．粒子从
进入到从
点射出用时小于
9．如图，平面内有一个半径为
的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域
，两个区域的切点
为
边的中点，
，
，
和
边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边
长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为
，
电荷量为
的粒子均匀分布在宽为
区域内，紧邻且平行于
边以速度
进入圆形区域。不考虑粒子的
重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（ ）
A．打在
边的粒子在矩形磁场中运动的最短时间为
B．矩形区域内粒子所经过的面积为
C．打到
屏上的粒子数占总数的比例为
D．打到
屏上的粒子数占总数的比例为
10．如图所示，直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B，
，
，
，A 处有一个粒子发射源，可以在
内发射不同速率的同种带负电粒子，粒子的
比荷为k。若粒子的速率用
（未知）表示，初速度与AB 边的夹角用
（未知）表示，不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，则（ ）
A．若
，粒子从BC 边离开磁场的最短时间为
B．若
，粒子从AB 边射出的最大速率为kBL
C．若
且粒子恰好不从BC 边射出，则
D．若
且粒子恰好不从BC 边射出，则
三、填空题
11．边长为a 的正方形，处于有界磁场如图，一束电子水平射入磁场后，分别从A 处和C 处射出，则vA：
vC=________；所经历的时间之比tA：tB=________．.
12．居里夫人是世界上最伟大的科学家之一，在放射性的研究方面取得了卓越的成就．若某次研究射线的
实验中，将放射源放在一个半径为
的圆柱形容器中心轴线上A 处，如图所示，放射源产生不同速率的同
种粒子，沿AO 方向从小孔O 射出，进入一个圆心在A 处磁感应强度大小为B 的环形匀强磁场中，磁场方向
垂直纸面向里，容器内无磁场，设其中有一粒子速度为
，在磁场中运动的半径为
，不计粒子重力和粒
子间的相互作用。则：（1）该粒子的比荷
______________，
（2）若圆形有界磁场的半径为
，且从O 处射出的所有粒子都不能出磁场，求粒子的最大半径
=____________。
四、解答题
13．如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为
，磁感应强度为
，方向垂直于纸面向外。紧
靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为
；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
（未知）。圆上M、N 两点与圆心
共线，
与区域1 左边界垂直。有一个带电粒子由
点进入圆形磁场区域，经过
点进入区域1，速度大小为
，方向与左边界夹角为
斜向下，进入区域2 时与左边界夹角为
斜向下，该粒子恰好不能从区域14
的右边界射出。不计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)每个区域的宽度
；
(3)磁感应强度
的大小；
14．如图所示平面直角坐标系xOy 位于竖直平面内，x 轴上有M、P 两点，两点的横坐标满足
。在
区域内，存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E（未知）；在
区域内，存
在垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B（未知），一带电量为q，质量为m 的正电粒子从
坐标原点O 沿与x 轴正方向成
角射入（速度大小未知），在点C（
）以速度
垂直于磁场边
界射入磁场，并从P 点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，
。求：
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)求电场强度E 的大小；
(3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与
磁场左边界相切于D 点（图中未画出），求D 点的纵坐标
15．如图，在
平面内，长方形
区域内存在与
轴平行的匀强电场；
和
是以
和
为圆心的两个四分之一圆，内部均有垂直圆面的匀强磁场，前者磁场布满整个区域，后者未布满；
是一
块与
轴平行的荧光屏，横坐标
。有一紧靠
边的离子源（图中未画出），其释放的电子从
边上各点飘入电场（不计电子的初速度），全部经过
点，再经
区域飞出，最终均垂直打在H 屏
上。已知图中部分点的坐标为：
、
、
；
和
内的磁感应强度大
小分别为
和
；电子电荷量为，质量为
，不计电子间的相互作用。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)从
边出发的电子运动到
屏的最长时间与最短时间之差；
(3)
内磁场分布区域的最小面积。
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
A
B
C
B
BCD
ABD
AC
1．D
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得半径公式
由此可知，在
、、一定的情况下，磁感应强度
与轨道半径
成反比，即
设正方形边长为
，当磁感应强度为
时，
解得
当磁感应强度为
时，
解得
当磁感应强度为
时，设半径为
，由几何关系
解得
综上所述，半径之比为
所以磁感应强度之比为
故选D。
2．A
【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力
可得
因此，磁感应强度
最小，对应的轨迹半径
最大，粒子能回到边界1，说明粒子未从边界2 射出，最大
对应轨迹刚好与边界2 相切的情况，如图所示
在直角三角形
中，有
解得最大轨迹半径
将代入
解得
故选A。
3．A
【详解】ABC．粒子带正电，根据左手定则可得虚线的上方区域磁场垂直纸面向里，下方区域磁场垂直纸
面向外，根据洛伦兹力提供向心力有
可得半径为
速率不变，粒子在上方区域运动的半径较小，可知磁感应强度
根据
可知粒子在下方区域运动的周期长，运动时间
粒子在上方区域和下方区域转过的圆心角相同，根据
，可知第一次从
到
的运动时间小于从
到
的，故A 正确，BC 错误；
D．轨迹内上下两区域磁通量分别为Φ1＝B1S1，Φ2＝B2S2
其中S1
r1sinβ·r1cosβ
（
sinβcosβ）
S2
r2sinβ·r2cosβ
（
sinβcosβ）
可知Φ1
（
sinβcosβ），Φ2＝
（
+sinβcosβ），可知Φ1＜Φ2，故D 错误。
故选A。
4．A
【详解】画出粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心及半径如图所示：
根据几何关系有
解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
则粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
由上图可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中转过的圆心角为
，所以粒子在磁场中运动的时间为
故选A。
5．B
【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度
做匀速直线运动，在水
平面内以速度
做匀速圆周运动，则有
运动周期为
由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界
、
，所以有
解得
经历一段时间后，粒子到达
点正上方的
点处，则有
（
）
当n=1 时，O、A 两点间的距离
故选B。
6．C
【详解】A．粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，恰好从
处进入磁场Ⅱ，由几何关系可知半径为
，
根据
可得
解得粒子初速度的大小为
，故A 错误；
B．如图所示
根据
可得
碰后速度大小变为原来的
，可设碰前的半径为
，碰后的半径为，根据几何关系可得
可得
，
即
可得两个磁场磁感应强度大小关系为
，故B 错误；
C．如图所示，根据
可得
可得粒子第二次离开磁场I 的位置坐标为
，故C 正确；
D．在磁场
中，周期
在磁场
中，周期
粒子从
处至
处的时间为
，故D 错误。
故选C。
7．B
【详解】如图所示
由
得
因为I 区和II 区的磁感应强度大小比值为
，粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的运动半径之比为
。
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的运动半径分别为
和，则
又
，
得
三角形边长至少为
，根据几何关系
且
联立可得
故选B。
8．BCD
【详解】A．由于粒子从c 点离开磁场，则粒子在O 点受到竖直向上的洛伦兹力，根据左手定则可知，粒子
带负电，故A 错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可得
联立解得粒子入射速度大小为
，故B 正确；
C．若粒子从d 点射出，则有
根据几何关系可得
解得
所以粒子的速度大小应调整为
，故C 正确；
D．设粒子从O 进入到从d 点射出时圆心角为θ，则
所以
则运动时间为
，故D 正确。
故选BCD。
9．ABD
【详解】洛伦兹力提供向心力
代入
可得
所有粒子轨道半径均为
。 根据磁聚焦结论：平行入射的粒子，轨道半径等于圆形磁场半径，所有粒子出
圆形后均从
点进入矩形区域，方向不同。
A．打在
边（
）的粒子，圆心角越小，运动时间越短。
最短圆心角对应最短弦长，当粒子打在
边的
点时，弦长
，由弦长公式
可得
，即
。
周期
，运动时间
，A 正确；
B．沿平行于
方向射入的粒子打在
点，此时为最远路径，如图所示
则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和
解得
，B 正确；
CD．如图所示
打到点的粒子速度方向与
边垂直，是由
点射入的粒子。
故打在
边的粒子数占总数的比例为
；
假设从点射入的粒子正好打在
点，由图可知
为打到
边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心
连线与水平方向的夹角为30°。
则打在
边上的粒子数占总数的比例为
，C 错误，D 正确。
故选 ABD。
10．AC
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有
可得
若
，则
粒子从BC 边离开磁场的时间最短，则粒子离开磁场的点与A 点的连线与BC 边垂直，粒子的运动轨迹如图
所示
根据几何关系可知，
为等边三角形，则最短时间
，故A 正确；
B．若
，粒子从AB 边射出的速率最大时，粒子的运动轨迹与BC 边相切，根据对称性可知，粒子从B
点离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
，故B 错误；
CD．若
且粒子恰好不从BC 边射出，则粒子的运动轨迹与BC 边相切，粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
，故C 正确，D 错误。
故选AC。
11． 1:2； 2:1；
【详解】电子从C 点射出，A 为圆心，Rc=L，圆心角θc=π/2 由
，
得
；运动时间为四分之一周期，即：
电子从A 点射出，OA 中点为圆心，RA=L/2,圆心角θA=π，
所以
，
由于运动的周期与速度无关，是相等的，故vA:vC=1:2,tA:tC=2:1，
故答案为1:2；2:1；
12．
【详解】由
可得该粒子的比荷
若所有粒子都不能出磁场，则粒子有最大半径时，轨迹如图
则有
可得最大半径为
13．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在圆形区域做圆周运动，带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系得
带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足
两式联立，解得带电粒子的比荷
（2）设带电粒子进入区域2 的速度为
，因粒子在区域1 运动时竖直方向速度大小不变，故
根据动能定理有
解得每个区域的宽度
（3）设在区域14 右边界，速度沿竖直方向且速度大小为，带电粒子由区域1 到区域14，根据动能定理
有
平行边界方向，根据动量定理有
整理得
解得
14．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d
洛伦兹力提供向心力，则
可得
（2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则
由牛顿第二定律
解得
（3）设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为
粒子到达D 点时
把
和f=kv 作正交分解，则在x 方向有
选择
的微元过程，即上式两边同时乘以
并有
对C 点到D 点全过程累加求和，且有
则
解得
。
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电子在电场中加速有
电子在圆弧
中偏转，由几何关系可得做圆周运动的半径r=d
又
可得
解得匀强电场的电场强度
（2）从A 点进入磁场的电子运动时间最长，由几何关系可以得出在两个磁场中做匀速圆周转过的角度均为
、轨迹圆的半径均与对应圆弧的半径相等，有
则两圆弧的总路程为
电子从B 点经M 直线运动的时间最短，最长时间对应的路径比最短时间对应的路径多
所以最长时间与最短时间之差为
解得
（3）磁场的最小面积如图中阴影面积，则扇形O1MN 的面积
三角形O1MN 的面积
所以最小面积为
解得
