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专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
一．磁偏转的基本规律..............................................................................................................................................1
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形..............................................................................1
类型(一) 直线边界的磁场...............................................................................................................................1
类型(二) 平行直线边界的磁场....................................................................................................................... 2
类型(三) 三角形边界的磁场...........................................................................................................................2
类型(四) 矩形边界的磁场...............................................................................................................................2
类型(五) 圆形边界的磁场...............................................................................................................................3
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景............................................................................................3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝。
(2)半径公式：r＝。
(3)周期公式：T＝。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 等的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆
弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
1
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2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d 所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。
(2)图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝。
(3)图c 中粒子在磁场中运动的时间
。
(4)图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC 区域内有匀强磁场，
某正粒子垂直于AB 方向从D 点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB 边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC 边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出
磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
2
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(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径
夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度
下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v 垂
直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不
确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为
a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也
可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【模型演练1】（2024·四川内江·四川省资中县球溪高级中学校考模拟预测）如图所示，在0≤x≤7d 的区域
内存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O 与x 轴正方向成θ=
53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取
sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
3
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A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P 点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【模型演练2】．（2023 上·四川资阳·高三统考期末）如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的
宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q 的粒子，沿图示方向以速
度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【模型演练3】．（2023 上·高三课时练习）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，
磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），
4
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从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v 满足
＜v＜
【模型演练4】（2024 上·河南信阳·高三统考期末）如图所示，相距为
、足够长的直线边界
、
之
间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为
。磁场左边界上
点处有一个粒子源，
直线垂直于边
界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为
、电荷量为
的粒子（此后不再发射粒子），
所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在
范围内。已知沿
方向发射的粒子甲刚好从磁
场边界上
点离开磁场。不计粒子的重力，
到
的距离为
。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径
；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到
点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
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一、单选题
1．（2024 上·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）如图所示，OACD 是一长为
的矩形，其内存
在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q 的粒子从О 点以速度
垂直射入磁场，速度方向与
OA 的夹角为
，粒子刚好从A 点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．矩形磁场的宽度最小值为
C．粒子从О 到A 所需的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度为
2．（2024 上·湖北襄阳·高三校联考期末）如图，在半径为
的半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，半径
与半径
的夹角为
。现有一对质量和电荷量均相等的正、负粒子，从
点沿
方向射入磁场中，
一个从A 点离开磁场，另一个从
点离开磁场。粒子的重力及粒子间的相互作用力均不计，则下列说法中
正确的是（ ）
A．从A 点射出磁场的是带正电的粒子
B．正、负粒子在磁场中运动的速度大小之比为
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C．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
3．（2024 上·山西朔州·高三统考期末）如图所示，与
轴的夹角为
的直线
将
平面的第一象限
分成两个区域Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为
、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，Ⅱ区域为
真空。在
时刻，一质量为
、电荷量为
的粒子，以速度从点
沿
轴正方向垂直磁场进入Ⅰ
区域；在
时刻，撤去磁场，最终粒子恰好沿两个区域的分界线
运动且通过
点.不计粒子的重力及空
气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的半径为
B．在
时刻，撤去磁场
C．带电粒子在第一象限运动的时间为
D．带电粒子通过
点时的速度大小为
4．（2024 上·海南海口·高三海南中学校考期末）如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象
限内发射大量质量为m、电量为q 的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在
，半
径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平
行于y 轴的光屏，其中心位于
。已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，
则（ ）
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A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足
5．（2024 上·湖南邵阳·高三统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆半径的
。一束质量为m、电
荷量为
的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相
互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在
航天器内建立半径分别为R 和
的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所
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示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为
，质子的电荷量为e、质量为m。下
列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时
间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角
为60°
7．（2024·河南·统考一模）2023 年4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的
世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为
和
的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向里，
。假设氘核
沿内环切线向左进入磁场，氚核
沿内环切线向
右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则
和
的速度之比为（
）
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A．
B．
C．
D．
8．（2024 上·四川攀枝花·高三统考期末）如图所示，水平直线边界
的上方空间内有方向垂直纸面向外、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，长为
、与
平行的挡板
到
的距离为
，边界
上的点处
有一电子源，可在纸面内向
上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为
、电荷量为，速度大小均
为
，N、S 的连线与
垂直，不计电子之间的作用力，则挡板
的上表面没有被电子击中部分的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 上·河北保定·高三河北省保定市清苑区清苑中学校考期末）如图所示，边长为
的正方形
区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为
、带电量为
的带负电的粒子从
点以速度
沿
方向射入磁场，之后从
边的中点射出磁场，不计粒子的重力，磁场的磁感应强度大小为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
10．（2023 上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为m、电荷量为
的带电的粒子从D
点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B 点射出
B．若粒子垂直于BC 边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
11．（2023 上·辽宁大连·高二统考期末）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围
地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O 为地球球心、R 为地球半径，假设地磁场只分
布在半径为R 和2R 的两边界之间的圆环区域内（边界上有磁场），磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面
向外。宇宙射线中含有一种带电粒子，其质量为m、电荷量为q，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下
列说法正确的是（ ）
A．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
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B．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
C．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
D．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
12．（2024 上·云南曲靖·高二统考期末）如图所示，半径为R 的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强
磁场，粒子源M 位于磁场边界上，可平行于纸面沿各个方向向磁场区域内射入速率均为v 的同种带正电的
粒子，在磁场中运动时间最长的粒子速度方向偏转了
。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子
重力及粒子之间的相互作用。则匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023·云南·统考二模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度的
大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O 点
处的P 点沿着与
连线成
的方向发射速率大小
不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子
不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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二、多选题
14．（2023 上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末）边长为a 的正三角形区域存在匀强磁场，磁场方
向垂直三角形平面，磁感应强度大小为B，在三角形中心有一个粒子源，在三角形平面内
时刻向各个
方向均匀一次性发射速率大小相等的同种粒子，粒子的电量为
，质量为m，与边AB 平行向左射出的粒
子，经过t 时间刚好垂直于AB 边射出磁场边界，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动周期为2t
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．t 时刻仍在磁场中运动的粒子数与发射出粒子的总数之比为
D．
时间内在磁场中有粒子达到区域的面积为
15．（2024·陕西西安·校考一模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界
分别是半径为R 和2R 的同心圆，O 为圆心。在圆心O 处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方
向发射出比荷为
的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到
的重力也可以忽略不计，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的
是（ ）
A．粒子速度的最大值为
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B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进入磁场
的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进入磁场的
情况）
16．（2024 上·山西大同·高三统考期末）圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O 为其圆心，
、
和
为其三条直径，其中
和
的夹角
，两个比荷大小相等，带有异种电荷的粒子
和
先后在
a 点沿
的连线方向以不同的初速度射入磁场，分别从c 点和d 点离开磁场，两粒子在磁场中的运动半径
分别为
和
，运动时间分别为
和
，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024 上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形
区域内（包含边界）有垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，在
的中点
处有一粒子源，沿与
平行的方向发射速率不
同，质量为
，电荷量为
的带负电粒子，已知这些粒子都能从
边离开
区域，
，不计粒子重
力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
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A．速度的最大值为
B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
18．（2024 上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d 处有一粒子源S。能够在纸面内不断均
匀地向各个方向发射速度大小为
、电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒
子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
D．打到板上的粒子数为
19．（2024 上·山西阳泉·高三统考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为
B，筒上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，圆的半径为R。如图所示，一质量为m、
电荷量为q 的粒子从P 点沿PO 方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，
碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是（ ）
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A．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
B．粒子能从小孔射出的最短时间为
C．调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心
D．从小孔射出的粒子的速度大小可能超过
20．（2024·安徽·统考一模）如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸
面向里。质量为m、电荷量为q 的带电粒子由A 点沿平行于直径
的方向射入磁场，经过圆心O，最后
离开磁场。已知圆形区域半径为R，A 点到
的距离为
，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
21．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，边长为L 的等边三角形
区域外存在垂直于
所在平面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q 两点分别为
边的三等分点。
时刻，带负电的粒子在
平面内以初速度
从a 点垂直于
边射出，从P 点第一次进入三角形
区域。不计粒子重力，下列说法
正确的是（ ）
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A．粒子的比荷为
B．粒子可以运动到Q 点
C．粒子第一次到达c 点的时间为
D．粒子第一次回到a 点的时间为
22．（2023 上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在
的区域内存在与
平
面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一束速率等于
的相同带电粒子从原点
发射，速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范围内。其中，沿
轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的
点
（图中末标出）离开磁场，其偏向角为
。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
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三、解答题
23．（2024 上·河南信阳·高二统考期末）如图所示，在第一象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一个
质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴上的
点垂直磁场射入，射入时速度方向与
轴的夹角为
，并
恰好垂直于
轴射出第一象限。已知磁场磁感应强度大小为
，
点的坐标为
，不计重力。求：
（1）射出点的坐标；
（2）粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为
由几何关系可得
解得
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则射出点的坐标为
（2）粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中运动的时间为
解得
24．（2024 上·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，有一个磁感应强度
、方向垂直纸面向里的范
围足够大的匀强磁场，在磁场中的O 点有一个粒子源，能向纸面内各个方向连续不断地均匀发射速率
、比荷
的带正电粒子，
是竖直放置且厚度不计的挡板，
足够长，
挡板的P 端与O 点的连线跟挡板垂直，带电粒子受到的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计，
（1）为了使带电子不打在挡板上，粒子源到挡板的距离d 应满足什么条件？
（2）若粒子源到挡板的距离
，且已知沿某一方向射出的粒子恰好紧挨P 点通过，再过一段时间后
最终又打在挡板上，求这个粒子从O 点射出时的速度与
连线的夹角；
（3）若粒子源到挡板的距离
，求粒子打到挡板左、右表面上的长度的比值。
25．（2024 上·湖南常德·高三统考期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为-q 的粒子，以速度v0从O 点
沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，
从b 点处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为
，并进入场强为E、方向沿x 轴正方向的匀强电场
中，之后通过了b 点正下方的c 点（图中未画出），不计粒子重力。求：
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（1）b 点与O 点的距离；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；
（3）b 点到c 点的距离。
26．（2024·全国·模拟预测）在如图所示的圆形区域内存在着垂直于纸面的匀强磁场。带电粒子a、b 分别
从M、N 两点同时沿着半径方向射入磁场，结果同时到达磁场边界上的P 点。已知O 点为圆心，MON 为
直径，
，a 粒子的电荷量是b 粒子电荷量的2 倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
（1）a、b 两粒子的质量之比；
（2）a、b 两粒子的加速度之比。
27．（2024 上·山东滨州·高二统考期末）如图所示，在
坐标系内存在垂直纸面向里边长为
的OABC
正方形匀强磁场，磁感应强度为B。一束质量为
，电荷量为q 带负电的粒子以不同的初速率从M 点沿与
y 轴成30°的方向射入磁场，已知
，粒子的重力不计。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）粒子从
轴上
间穿出磁场的速率范围。
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28．（2024 上·山东烟台·高三统考期末）如图所示，S 为一离子源，MN 为荧光屏。由S 到MN 做垂线，垂
足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。
某时刻离子源S 一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都
为q，速率v 均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。
（1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围；
（2）若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差；
（3）若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求荧光屏上被离子打中的区域长度；
（4）当离子的速率
，P 为荧光屏MN 的中点，要便MN 右侧能全部被离子打中，求MN 的长度
应满足怎样的条件？
29．（2024 上·湖北武汉·高三校联考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的垂直纸面向内、磁感应
强度为B0的匀强磁场。筒上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心半径为R 的圆，如图甲所示。
一带电量为+q，质量为m 的粒子从P 点沿PO 以某一初速度射入圆筒，然后与筒壁发生多次弹性碰撞。碰
撞过程中粒子电荷量不变，不计粒子重力。
（1）若粒子与筒壁经过2 次碰撞从小孔P 射出，求此时粒子的初速度v1；
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（2）若保持第（1）问中速度不变，要使该粒子与筒壁经过3 次碰撞从小孔P 射出，则此时磁感应强度B1
应调整为何值？粒子在磁场中的运动时间t1是多大？
（3）如图乙所示，粒子从P 点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向与PO 的夹角为
，若磁感应强度B0
保持不变，要使该粒子绕圆心O 仅转动1 周且与筒壁经过7 次碰撞后从小孔P 射出，且每次碰撞沿筒壁切
线方向分速度不变、垂直筒壁方向分速度大小不变方向相反。求粒子速度的大小（最后结果用三角函数表
示）。
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