专题十六 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
基础巩固
1.[2024·广西卷] xOy 坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂
直纸面向里.质量为m,电荷量为+q 的粒子,以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动,粒子过y
轴时速度与y 轴正向夹角为45°,交点为P.不计粒子重力,则P 点至O 点的距离为
( )
A.mv
qB
B.3mv
2qB
C.(1+❑√2)mv
qB
D.(1+
❑√2
2 )
mv
qB
2.(多选)[2025·山东青岛模拟] 半径为R 的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场.
不计重力的a、b 两粒子从圆周上的P 点沿着半径方向射入磁场,分别从A、B 两点离开磁场,
运动轨迹如图所示.已知a、b 两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2,AOB 为直径,
∠AOP=60°.下列说法正确的是
( )
A.a 粒子带正电,b 粒子带负电
B.a、b 两粒子的比荷之比为3∶2
C.a、b 两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D.a、b 两粒子的轨道半径之比为1∶3
3.[2025·四川成都模拟] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B 的匀强磁场,磁场方向如图所
示,MN、PQ 是磁场的边界.质量为m、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)沿着与MN 夹角
为θ 的方向垂直射入磁场中,刚好没能从PQ 边界射出磁场,则粒子射入磁场的速度大小v0和
在磁场中运动的时间t 可能为
( )
A.v0=Bql(1+cos θ)
m
B.v0=
Bql
m(1+cos θ)
C.t=θm
Bq
D.t=2θm
Bq
4.(多选)[2025·浙江温州模拟] 如图所示,两个初速度大小相同的同种离子a 和b 从O 点沿垂
直于磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏P 上.不计重力.下列说法正确的是( )
A.a、b 均带正电
B.a 在磁场中飞行的时间比b 的短
C.a 在磁场中飞行的路程比b 的短
D.a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近
综合提升
5.[2025·湖南长沙模拟] 如图所示,边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场,磁感应强度大小
为B,方向垂直于纸面向外.ab 边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿纸面且垂直于ab 边的
方向发射电子,已知电子的比荷为k,则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为
( )
A.1
4 kBl、
❑√5
4
kBl
B.1
4
kBl、5
4
kBl
C.1
2kBl、
❑√5
4
kBl
D.1
2
kBl、5
4
kBl
6.(多选)[2025·河南郑州模拟] 如图所示,两个方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场
被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开,三角形内磁场垂直纸面向里,三角形顶点A 处有一
质子源,能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),某质子能通过C 点,质
子比荷q
m
=k,则该质子的速度可能为( )
A.2BkL
B.BkL
2
C.3 BkL
2
D.BkL
8
7.[2025·湖北武汉模拟] 如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,三个质量和电
荷量都相同的带电粒子a、b、c 以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场,其运动轨
迹如图所示.若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是( )
A.a、b、c 均带正电
B.a 粒子在磁场中运动的时间最长
C.a 粒子的动能最大
D.它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc
8.[2025·山西太原模拟] 如图所示,正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场.一带正
电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域,当速度大小为vb时,从b 点离开磁场,在磁场中运动的
时间为tb.当速度大小为vc时,从c 点离开磁场,在磁场中运动的时间为tc,不计粒子重力.则(
)
A.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1
B.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=1∶2
C.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=2∶1
D.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=1∶2
9.[2025·陕西西安模拟] 如图所示,xOy 平面被一条平行于x 轴的直线MN 分为匀强磁场区域
和无磁场区域,磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为q
m
的带正电粒子A,从坐
标为(-❑√3a,0)的P 点,以大小为v0、方向与x 轴正方向成60°角的速度发射,能被位于
(❑√3a,0)的粒子收集器Q 收集,已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a,不计粒子重力.
(1)求磁感应强度的大小.
(2)求直线MN 到x 轴的距离.
(3)若粒子A 从x 轴某位置以大小为2v0、方向与x 轴的正方向成θ(0<θ≤π
2
)角的速度发射后,
依然能被收集器Q 收集,求该粒子发射位置的横坐标与θ 的关系.
10.[2025·吉林长春模拟] 如图所示,在半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,
磁场的磁感应强度大小为B,AC 为该圆的一条直径,O 为圆心.一带电粒子以速度v0从C 点沿
与AC 成θ=45°角方向垂直于磁场射入圆形区域,离开磁场时速度方向恰好与AC 成θ=45°角
向左,不计粒子所受重力,则( )
A.该粒子一定带负电
B.该粒子的比荷为❑√2v0
2BR
C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
D.该粒子在磁场中的运动时间为πR
2v0
拓展挑战
11.(多选)如图所示,以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,圆形
区域外有垂直纸面向外的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B.有一质量为m、电荷量
为+q 的粒子从P 点沿半径射入圆形区域,粒子n 次穿越圆形区域边界(不包括经过P 点)后又
回到P 点,此过程中粒子与圆心O 的连线转过角度为2π,不计粒子重力,下列说法正确的是
( )
A.n 的最小值为2
B.n=3 时,粒子速度大小为
❑√3qBR
m
C.n=4 时,粒子从P 出发到回到P 点的时间为23 πm
5qB
D.粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中,粒子与圆心的连线转过的角度为2π
n
12.(多选)[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示,空间中有一正方形区域PQMN,相同的带电粒子从
P 点沿PQ 方向以一定初速度v0射入,若空间中只有磁感应强度大小为B 且方向垂直平面
PQMN 的匀强磁场,粒子经时间t1恰好以动能Ek1到达M 点,这段过程洛伦兹力的冲量大小为
I1;若空间中只有电场强度大小为E 且平行于PN 方向的匀强电场,粒子经时间t2恰好以动能
Ek2到达QM 的中点,这段过程中电场力的冲量大小为I2.不计粒子的重力,下列关系式正确的
是
( )
A.t1∶t2=2∶π
B.Ek1∶Ek2=1∶2
C.I1∶I2=❑√2∶1
D.B∶E=1∶v0
答案解析
1.C [解析] 粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv
2
r
,可得
粒子做圆周运动的半径为r=mv
qB
,根据几何关系可得P 点至O 点的距离为LPO=r+
r
sin 45°
=(1+❑√2)mv
qB
,故选C.
2.BD [解析] 根据粒子的运动轨迹,由左手定则可知,a 粒子带负电,b 粒子带正电,A 错误;由
几何关系可知,a、b 两粒子的轨道半径之比为r1∶r2=1∶3,D 正确;由r=mv
qB
可知,a、b 两粒子
的比荷之比为3∶2,B 正确;粒子在磁场中运动时间t= l
v
=θr
v
,θ 为轨迹所对应的圆心角,代入
数据可知,a、b 两粒子在磁场中运动时间之比为4∶3,C 错误.
3.B [解析] 粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场时,其运动轨迹刚好与PQ 相切,如图所示,设
带电粒子做圆周运动的轨迹半径为R,由几何关系有l=R+Rcos θ,解得R=
l
1+cosθ
,根据牛顿
第二定律得qv0B=mv0
2
R
,解得v0=
Bql
m(1+cosθ)
,运动的时间t=2π −2θ
2π
T=2m(π-θ)
qB
,故
A、C、D 错误,B 正确.
4.AD [解析] 离子若要打在屏P 上,需沿顺时针方向偏转,根据左手定则判断,a、b 两离子都
带正电,A 正确;由于是同种离子,因此质量、电荷量相同,又知初速度大小也相同,由qvB=mv
2
r
可知,它们做圆周运动的半径相同,作出运动轨迹如图所示,由图可得a 在磁场中运动的路程
比b 的长,C 错误;由t= s
v
可知,a 在磁场中运动的时间比b 的长,B 错误;从图上可以看出a 在P
上的落点与O 的距离比b 的近,D 正确.
5.B [解析] 若电子从a 点射出,则运动轨迹如图中图线①所示,有qvaB=mva
2
Ra
,Ra= l
4
,解得va=
qBl
4 m
=kBl
4
,若电子从d 点射出,则运动轨迹如图中图线②所示,有qvdB=mvd
2
Rd
,Rd
2=(Rd - l
2)
2
+l2,解得vd=5qBl
4 m
=5kBl
4
,选项B 正确.
6.BD [解析] 因质子带正电,且经过C 点,其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为
60°,所以质子运动半径r= L
n (n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力有Bqv=mv
2
r
,即v=Bqr
m =Bk·
L
n
(n=1,2,3,…),选项B、D 正确.
7.B [解析] 根据左手定则可以判断出a、b、c 均带负电,故A 错误;粒子运动的周期T=
2π m
qB
,在磁场中运动的时间t= θ
2π
T,由于三个粒子的质量和电荷量都相同,在同一个磁场中,
三个粒子运动的周期相同,而a 粒子在磁场中运动的偏转角最大,则a 粒子在磁场中运动的时
间最长,故B 正确,D 错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
v
2
r
,可得r=mv
qB
,由于三个带电粒子的质量和电荷量都相同,故在同一个磁场中,速度越大则运
动的半径越大,由题图可知,a 粒子运动的半径最小,则其速率和动能最小,故C 错误.
8.A [解析] 如图所示,设正六边形的边长为l,当带电粒子的速度大小为vb时,其圆心在a 点,
轨道半径r1=l,转过的圆心角θ1=2
3
π,当带电粒子的速度大小为vc时,其圆心在O 点(即fa、cb
延长线的交点),故轨道半径r2=2l,转过的圆心角θ2=π
3 ,根据qvB=mv
2
r
得v=qBr
m ,故
vb∶vc=r1∶r2=1∶2,由T=2π r
v
得T=2π m
qB
,所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等,又
因为t= θ
2π
T,可得tb∶tc=θ1∶θ2=2∶1,A 正确,B、C、D 错误.
9.B [解析] 作出粒子运动的轨迹如图所示,由左手定则可知,粒子带正电,A 错误;由几何关系
可知粒子在磁场中运动对应的偏转角为90°,设O'为圆周运动的圆心,由几何关系可知
r2+r2=(2R)2,解得r=❑√2R,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=mv0
2
r
,解得q
m
=
❑√2v0
2BR
,B 正确,C 错
误;粒子在磁场中运动对应的偏转角为90°,故粒子在磁场中运动的时间t= 90°
360°
×T=1
4
×
2π r
v0
=❑√2π R
2v0
,D 错误.
10.(1)m v0
qa
(2)3
2
a (3)x=❑√3a- 3a
tanθ
-4asin θ(0<θ≤π
2
)
[解析] (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=mv0
2
r
其中r=a
可得,磁感应强度的大小为B=mv0
qa
(2)粒子运动轨迹如图甲所示
设MN 到x 轴的距离为y,由几何关系有tan 60°=P' M '
PM '
=❑√3
其中PM'=❑√3a-acos 30°=
❑√3
2
a
所以直线MN 到x 轴的距离为P'M'=3
2
a
(3)粒子运动轨迹如图乙所示
由洛伦兹力提供向心力有q×2v0B=m(2v0)
2
R'
可得R'=2mv0
qB
=2a
由几何关系有❑√3a-x=2R'sin θ+ 2 y
tanθ
其中y=3
2
a
故该粒子发射位置的横坐标与θ 的关系为x=❑√3a- 3a
tanθ
-4asin θ(0<θ≤π
2
)
11.AC [解析] 因为粒子n 次穿越圆形区域边界(不包括经过P 点)后又回到P 点,此过程中
粒子与圆心O 的连线转过角度为2π,画出粒子轨迹示意图如图所示,n 的最小值为2,A 正确;
n=3 时,粒子轨迹圆心间的连线构成圆边界的外切正方形,根据几何关系可知半径为r=R,根据
洛伦兹力提供向心力有qvB=mv
2
r
,解得v=qBR
m ,B 错误;粒子在磁场中匀速圆周运动的周期
为T=2π r
v
=2π m
qB ,n=4 时,粒子从P 出发到回到P 点的时间为t= 3×180°−72°
360°
+2×
180°+72°
360°
T,解得t=23 π m
5qB
,C 正确;粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中,粒子与圆心
的连线转过的角度为2π
n+1
,D 错误.
12.BCD [解析] 设正方形的边长为L,若空间中只有磁感应强度大小为B 且方向垂直平面
PQMN 的匀强磁场,由几何关系可得匀速圆周运动的半径R=L,周期T=2π R
v0
=2π L
v0
,则时间
t1=1
4
T= π L
2v0
,由于洛伦兹力不做功,则Ek1=1
2
mv0
2,洛伦兹力的冲量I1=m⃗v1-m⃗v0=❑√2mv0,由
qv0B=mv0
2
R
解得B=m v0
qL
;若空间中只有电场强度大小为E 且平行于PN 方向的匀强电场,水
平方向有t2= L
v0
,由速度偏转角和位移偏转角的关系可得tan θx=2tan θs=2×
1
2 PN
PQ
=1,则竖直
方向的速度为vy=v0,合速度为v=❑√2v0,Ek2=mv0
2,则电场力的冲量为I2=mΔ⃗v=mv0,竖直方向有
L
2
=1
2
Eq
m (
L
v0)
2,解得E=mv0
2
qL
,则时间之比t1∶t2= π L
2v0
∶L
v0
=π∶2,A 错误;动能之比
Ek1∶Ek2=1
2
mv0
2∶mv0
2=1∶2,B 正确;冲量之比I1∶I2=❑√2mv0∶mv0=❑√2∶1,C 正确;磁感应强
度与电场强度之比B∶E=mv0
qL
∶m v0
2
qL
=1∶v0,D 正确.
