文档文本内容
专题26 带电粒子(带电体)在电场中的综合问题
核心考点
考点梳理1 “等效法”在电场中的应用.............................................................................................................1
母题考点一 “等效法”在电场中的应用............................................................................................................2
考点梳理2 带电粒子在交变电场中的运动.........................................................................................................7
母题考点二 带电粒子在交变电场中的运动.......................................................................................................7
考点梳理1 “等效法”在电场中的应用
1．“等效重力场”
研究处在匀强电场和重力场中带电物体的运动问题时，可以将重力场与电场合二为一，用
一个“等效场”来代替，即“等效重力场”。
2．“等效重力”及“等效重力加速度”
(1)“等效重力”：将重力与静电力进行合成，如图所示，则G 效＝F 合。
(2)“等效重力加速度”：g 效＝G效
m ，F 合的方向即为“等效重力”的方向，也是“等效重力
加速度”的方向。
3．两种等效重力场模型的对比分析
模型一
模型二
静电力与重力在同一直线上且qE>mg
静电力与重力不在同一直线上
等效重力加速度g′＝qE
m －g，方向竖直向上
等效重力加速度g′＝
❑√(mg)
2+(qE)
2
m
，设等效
重力加速度方向与竖直方向夹角为α，tan
α＝qE
mg
母题考点一 “等效法”在电场中的应用
【母题1】（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系
住一带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低
点，B 点与O 点等高。当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电
荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
【练1】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图所示，
为竖直平面内的光滑绝缘轨道，直
轨道AB 和圆弧轨道
相切于B 点，圆弧轨道半径为
，
与水平面的夹角为
，
为圆弧轨道的竖直直径，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中。带正电的小球b 质量为
，带电荷量为
（电荷量始终不变），若将小球b 从B 点由静止释放，则它运动到轨道最
低点C 时对轨道的压力大小为
（g 为重力加速度），现让一不带电的质量为M 的绝缘
小球a 从直轨道的A 点由静止释放，运动到C 点时恰好与静止在C 点的小球b 发生弹性碰撞。
不计空气阻力，
。
(1)求匀强电场的电场强度的大小E；
(2)若
，且碰后小球b 恰好到达最高点
，则轨道A 点离B 点的高度h 为多少？
(3)若在C 点碰撞后小球b 的速度大小为
，则小球b 从D 点离开轨道到再次回到轨道
的时间t 为多长？
【答案】(1)
举一反三
(2)4.6R
(3)
【详解】（1）小球 b 运动到最低点 C 时,对轨道的压力大小为 3.6mg，由牛顿第三定律可
知轨道对小球
b 的支持力大小为 3.6mg，由牛顿第二定律有
小球 b 从 B 点到 C 点的过程,由动能定理有
联立解得
（2）设小球a 碰撞前后速度大小分别为v0、v1,小球b 碰撞后速度为v2 ，由动量守恒定律有
Mv0=Mv1+mv2
由能量守恒有
小球b 恰能到达D 点时的速度为vD，由牛顿第二定律得
小球b 从C 点到D 点的过程,由动能定理有
小球a 从A 点到C 点的过程，有
联立解得h=4.6R
（3）小球b 从C 点到D 点的过程，有
可求出小球b 到达D 点速度大小
小球 b 离开 D 点后做类平抛运动,落到直轨道上时水平距离为 x，竖直距离为 y，则
x=v'Dt，
由几何关系有
联立解得
（另一解不符合题意，舍去）
【练2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）水平面上竖直固定一个
圆形光滑绝缘轨道ABCD，
圆心为O，半径为R。A、C 是圆弧上水平直径上的两点，D 为最高点，B 为最低点。在竖直
平面分布着与水平方向夹角θ=30°的匀强电场。一个质量为m、带电荷量为+q 的绝缘小球从
A 点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，恰好不离开轨道并从D 点水平向右做直线运动，
重力加速度为g。求∶
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)绝缘小球在A 点对轨道的压力F 的大小；
(3)绝缘小球沿轨道从B 到C 电势能的变化量ΔEₚ。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球从D 点水平向右做直线运动，则有
解得
（2）结合上述可知，小球等效物理最高点在C 点，小球恰好不离开轨道，则在轨道
点有
小球从A 到C 过程，根据动能定理有
小球在A 点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为
。
（3）小球沿轨道从B 到C 过程，根据功能关系有
解得
【练3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘轻质
细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运动，图中A、B 分别为圆周上的最高点
和最低点。当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q
（q>0）、质量为m，电场强度大小为E，重力加速度大小为g，求：
(1)小球在A 点的速度大小；
(2)小球运动至B 点时细线上拉力的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
联立解得
（2）设最低点B 点速度为v，A 到B 运动过程根据动能定理有
解得
此时细线上拉力为F，由牛顿第二定律有
联立得
考点梳理2 带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的直线运动
当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的
运动情况，粒子可以做周期性的直线运动。
2．带电粒子在交变电场中的偏转
当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向
的分运动具有周期性。
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具
有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界
条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二
是功能关系。
4．解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2)将转化,a－t 图像转化,v－t 图像。
特别提醒：
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子
穿过电场瞬间可认为是在匀强电场中运动。
母题考点二 带电粒子在交变电场中的运动
【母题2】（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原
理如图1 所示。从离子源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为
d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时。离
子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【详解】A．粒子在加速电场中被加速时
在偏转电场中做类平抛运动，则
，
解得
选项A 错误；
B．当
时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
解得
选项B 正确；
C．根据
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻
射入的粒子打到A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
举一反三
