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秘籍8 力电综合问题问题
1、本专题主要培养学生应用动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律和能量守恒
定律分析与解决电学综合问题。
2、本专题针对综合性计算题的考查，一般过程复杂，要综合利用电学知识、动量和能量观点分
析问题，综合性较强，难度较大。
题型一 借助电场及约束轨道考查分析带电体运动的问题（选择题、计算题）
题型二 结合电磁场考查带电体（粒子）的碰撞问题（计算题）
题型三 结合复合场考查带电体的运动问题
1、带电体的力电综合问题
Ⅰ、解答力电综合问题的一般思路
Ⅱ、运动情况反映受力情况
(1)物体静止(保持)：F 合＝0.
(2)做直线运动
①匀速直线运动：F 合＝0.
②变速直线运动：F 合≠0，且F 合与速度方向总是一致．
1
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(3)做曲线运动：F 合≠0，F 合与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线凹的一侧．
(4)F 合与v 的夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动；90°＜α≤180°.
(5)匀变速运动：F 合＝恒量．
2、用功能关系分析带电粒子的运动
Ⅰ、功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；
(3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化．
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化．
Ⅱ、电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcos α 计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α.
(2)由W＝qU 来计算，此公式适用于任何形式的静电场．
(3)由动能定理来计算：W 电场力＋W 其他力＝ΔEk.
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB.
3、“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A
到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向
右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，
设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力
的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
C
B
A
E
2
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“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30
∘，大小：g
' =
g
cos30
∘带电小
球沿绳做初速度为零，加速度为g
'的匀加速运动
S AB=2 Lcos30
∘ ①
S AB= 1
2 g
' t
2 ②
由①②两式解得t =√3 L
g
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
4、“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0竖直向上发射一个质量
为m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度g
'
g'
C
B
A
θ
v0
mg
qE
θ
v0
mg
qE
F 合
θ
v0
mg
qE
F 合
E
v0
3
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设g
'与竖直方向的夹角为θ，则g
' =
g
cosθ
其中arcsinθ =
qE
√（qE ）
2+（mg）
2
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动 v x= v0sinθ v y = v0cosθ
当小球在y 轴方向的速度减小到零，即v y =0时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度v x0sinθ0
qE
√（mg）
2+（qE ）
2
min
1．（2023•宁德模拟）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为
L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静止时细线与竖
直方向成θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，
重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E = mgtanθ
q
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为Ekmin= mgL
2sinθ
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
2．（2023•永州三模）如图所示，在竖直平面xOy 内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m
qE
m
g
v）
g'
y
x
θ
4
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的小球从y 轴上P 点以水平速度v 进入第一象限，速度方向沿x 轴正方向，经过x 轴上Q 点时的
速度大小也为v，方向与x 轴夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小为g。
不计空气阻力，小球从P 点运动到Q 点的过程中（ ）
A．速度的最小值为√10
10 v
B．所受电场力的最小值为√10
10 mg
C．动能与电势能之和一直减小
D．水平位移与竖直位移的大小之比为2：1
3．（2023•宁都县校级一模）如图所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为E，一
根不可伸长的绝缘细线长度为l，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q 的带负电小球，另一端
固定在O 点。把小球拉到使细线水平的A 点，由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向
成θ＝60°角的B 点时速度为零。以下说法中正确的是（ ）
A．小球在B 点处于静止状态
B．小球受到的重力与电场力的关系是√3qE＝mg
C．小球将在A、B 之间往复运动，且幅度将逐渐减小
D．小球从A 运动到B 的过程中，电场力对其做的功为- 1
2
qEl
4．（2023•西湖区校级模拟）如图所示，质量为m、带电荷量为+q 的小球（可视为质点）与长为L
的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O 点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°的匀强电场中。
已知A、B、C、D、E、F 为圆周上的点，AB 为水平直径，CD 为竖直直径，EF 过O 点且与CD
的夹角为45°，当小球绕O 点在竖直平面内做半径为L 的圆周运动时，小球运动到A 点时的速度
5
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最小，最小速度为vmin=√gL，g 为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为mg
q
B．小球从A 点运动到B 点时，合力做的功为mgL
C．小球运动到B 点时轻绳拉力的大小为5mg
D．小球运动到F 点时的机械能最大
5．（2023•滨海新区模拟）一带负电的粒子以一定的初速度进入点电荷Q 产生的电场中，A、B 是
其运动轨迹上的两点，C 为AB 的中点。其中A 点的场强方向与AB 连线成60°角；B 点的场强
方向与AB 连线成30°角，如图所示。若粒子只受电场力的作用，下列说法正确的是（ ）
A．点电荷Q 带负电
B．AB 两点电势差是AC 两点电势差的2 倍
C．该粒子在A 点的动能小于在B 点的动能
D．该粒子在A 点的加速度大小等于在B 点加速度大小的3 倍
6．（2023•郑州二模）如图所示，长度均为L 的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为d
= 1
2
L。两极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1 由左侧正中央沿平行于极板
的速度v1射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度v2射
入电场，经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O 点。粒子的质量为m，电荷量为+q，
两极板之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀
强电场。则下列说法正确的是（ ）
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A．粒子1 到达O 点时的速度v＝2√
qU
m
B．粒子2 射入电场时的速度v2= 1
2√
qU
m
C．若将粒子1 射入电场时的速度变为2v1，两粒子将在O 点上方相遇
D．若将粒子1 射入电场时的速度变为2v1，两粒子仍可同时到边O 点
7．（2023 秋•中牟县期中）如图所示，在水平向右的匀强电场中，一质量为m 的带电小球，以初
速度v 从A 点竖直向上运动通过B 点时，速度方向与电场方向相反，且A、B 连线与水平方向夹
角为45°，重力加速度为g。则小球从A 点运动到B 点的过程中（ ）
A．小球的加速度大小为g
B．小球的最小动能为1
8
mv2
C．小球重力势能增加1
4
mv2
D．小球机械能增加1
2
mv2
8．（2023•响水县校级开学）如图所示，带电荷量为Q 的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜
面底端C 点，斜面上有 A、B、D 三点，A 和C 相距为L，B 为AC 的中点，D 为AB 的中点.现
将一带电小球从A 点由静止释放，当带电小球运动到B 点时速度恰好为零.已知重力加速度为
g，带电小球在A 点处的加速度大小为g
4
，静电力常量为k.则下列说法中错误的是（ ）
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A．小球从A 到B 的过程中，速度最大的位置在AD 之间
B．小球运动到B 点时的加速度大小为 g
2
C．BD 之间的电势差UBD大于DA 之间的电势差UDA
D．AB 之间的电势差UAB= kQ
L
9．（2023•浙江）AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两
板间距10cm，电荷量为1.0×10﹣8C、质量为3.0×10﹣4kg 的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A
点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M
点（未标出），则（ ）
A．MC 距离为5√3cm
B．电势能增加了3
4 √3×10
-4J
C．电场强度大小为√3×104N/C
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
10．（2022 秋•西昌市期末）如图所示，ABCD 为固定在竖直平面内的绝缘轨道，AB 段为光滑水
平直轨道，BC 段为光滑圆弧轨道，对应的圆心角θ＝37°，半径R＝2m，CD 段为足够长的粗糙
倾斜直轨道，各段轨道均平滑连接，水平轨道所在区域有大小为E＝2×105N/C、方向水平向左匀
强电场。质量m＝0.5kg、电荷量q＝+1×10﹣5C 的小物体（视为质点）从水平面上某点由静止释
放，第一次通过C 点的速度vC＝4m/s。已知倾斜轨道与小物体间的动摩擦因数μ＝0.5，设最大
静摩擦力与滑动摩擦力相等，sin37° ＝0.6 ，cos37° ＝0.8 。求：
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（1）物块第一次通过圆弧轨道BC 上B 点瞬间对轨道压力；
（2）释放点到B 点的距离；
（3）小物块在倾斜轨道上经过的总路程。
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11．（2022 秋•荔湾区校级期末）如图所示，竖直平面（即纸面）内存在范围足够大的匀强电场，
其大小和方向未知。一质量为m、带电量为+q（q＞0）的小球从O 点以初速度v0水平向左抛出，
小球运动到抛出点正下方A 点时的速度大小为√13 v0
，已知OA 两点间距离为4 v0
2
g
，重力加速
度为g，不计空气阻力，在小球从O 点运动到A 点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场强度E 的大小和方向；
（3）小球的最小速度。
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12．（2023 秋•石家庄期中）一带电小滑块放在倾角为30°的斜面上，滑块与斜面之间的动摩擦因
数为μ= √3
2
，若在空间中施加竖直向上的匀强电场，则小滑块保持静止且恰好与斜面间无摩擦。
现除去竖直电场，将间距为d＝5m 的带电金属板A、B 垂直固定在绝缘斜面上，如图所示。A 板
在斜面处开有小孔，可使小物块通过，板间形成斜向上的匀强电场，场强为原竖直场强的两倍，
A 板接地（电势为零），现让小物块从A 板小孔位置以一定的初速度沿斜面向下运动，若小物
块与金属板B 发生碰撞，碰撞中能量不损失（即碰后瞬间速度大小不变）。设小物块大小不计
且不影响金属板间电场的分布（g 取10m/s2）。求：
（1）带电小物块以多大的初速度v0进入电场，才能恰好到达金属板B？
（2）若带电小物块以初速度v1＝12m/s 进入电场，当其动能等于电势能时，距离A 板多远？
（3）小物块至少以多大的初速度v2进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点？
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13．（2023•辽宁模拟）如图所示，竖直固定的光滑绝缘轨道处在水平向右的匀强电场中，轨道的
倾斜部分MN 倾角θ＝53°，水平部分NP 与倾斜轨道MN 平滑连接，圆心为O、半径为R 的圆弧
轨道PQJK 与NP 相切于P 点。现有一质量为m、电荷量为+q 的带电小球（可视为质点）从M
点由静止释放，小球可沿轨道运动。已知电场强度大小E= 3mg
4 q
，轨道水平段NP 长度sNP＝
4R，重力加速度为g，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）当小球释放高度h＝9.6R 时，求小球到达P 点时的速度大小；
（2）当小球释放高度h＝9.6R 时，求小球运动到与O 点等高的Q 点时受到轨道弹力的大小；
（3）如果其他条件不变，仅将小球带电量变为﹣q，要使小球在运动过程中不脱离圆弧轨道，
求小球释放高度h 的取值范围。
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14．（2023 秋•海淀区校级期中）（1）原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原
子的电子在半径为r 的圆轨道上绕核运动，电子的质量为m、电荷量为e，等效电流I1有多大？
（静电力常量为k）。
（2）科学家发现，除了类似太阳系的恒星﹣行星系统，还存在许多双星系统，通过对它们的研
究，使我们对宇宙有了较深刻的认识。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直
径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。已
知某双星系统中每个星体的质量都是M0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周
运动，引力常量为G。求：该双星系统的运动周期T。
（3）微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性。对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于
电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星﹣行星系统，记为模型Ⅰ。另一
种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子
核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型Ⅱ。已知核外电
子的质量为m，氢原子核的质量为M，二者相距为r，静电力常量为k，电子和氢原子核的电荷
量大小均为e。
①模型Ⅰ、Ⅱ中系统的总动能分别用Ek Ⅰ、Ek Ⅱ表示，请推理分析，比较Ek Ⅰ、Ek Ⅱ的大小关系；
②模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期分别用T Ⅰ、T Ⅱ表示，通常情况下氢原子的研
究采用模型Ⅰ的方案，请从周期的角度分析这样简化处理的合理性。
13
