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秘籍6 有关动量守恒定律的综合应用
做好本类型压轴问题需要用到的相关知识有:受力分析、动量定理、动量守恒定律、机械能守恒
定律、功能关系等内容。
本专题是力学中碰撞模型、板块模型等综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
学好本专题，可以极大地培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力，针对性的专题强
化，可以提升同学们解决压轴题的信心。
题型一 与碰撞模型有关的动量守恒定律的综合应用（计算题）
题型二 与板块模型有关的动量守恒定律的综合应用（计算题）
题型三 与弹簧模型有关的动量守恒定律的综合应用（计算题）
1、弹性碰撞模型
1．弹性碰撞
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度
为v1，v2，碰后速度分别为v1
ˊ，v2
ˊ，则有：
m1v1+m2v2=m1v1
ˊ+m2v2
ˊ (1)
m1v1
2+
m2v2
2=
m1v1
ˊ2+
m2v2
ˊ 2 (2)
联立（1）、（2）解得：
v1
ˊ=2 m1v1+m2v2
m1+m2
- v1
，v2
ˊ=2 m1v1+m2v2
m1+m2
- v2
.
特殊情况： 若m1=m2 ，v1
ˊ= v2 ，v2
ˊ= v1 .
m2
m1
v2ˊ
v1ˊ
v2
v1
1
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2．“动静相碰型”弹性碰撞的结论
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的
静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得：v1′＝，v2′＝
结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换)
(2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑)
(3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹)
(4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍)
(5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
2、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1
ˊ+m2v2
ˊ (1)
损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： ½m1v1
2+ ½ m2v2
2=
m1v1
ˊ2+
m2v2
ˊ 2 + ΔEk. (2)
2．完全非弹性碰撞
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v 共 （1）
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔEk= ½m1v1
2+ ½ m2v2
2- ½(m1+m2)v 共2. （2）
联立（1）、（2）解得：v 共 =m1v1+m2v2
m1+m2
；ΔEk=1
2
m1m2
m1+m2
(v1- v2)
2
3、滑块木板模型
木板初速度为零
木板有初速度，板块反向
m2
m1
v 共
v2
v1
2
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示意图
v-t 图
4、小球—弹簧模型
(1)两小球速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v
能量守恒：m1v0
2＝(m1＋m2)v2＋Epm
(相当于完全非弹性碰撞)
(2)弹簧恢复原长时：
动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2
能量守恒：m1v0
2＝m1v1
2＋m2v2
2
(相当于完全弹性碰撞)
v0
v 共
v0
v 共
-v0
v1=0
v2
(m<M)
t
O
v
v0
t1
木板
木块
v 共
t
O
v
v0
t1
木块
木板
v 共
-v0
3
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1．（2024•吉林一模）为研究工厂中天车的工作原理，某研究小组设计了如下模型：如图所示，质
量mC＝3kg 的小车静止在光滑水平轨道的左端，可视为质点的A、B 两个弹性摆球质量mA＝mB
＝1kg，摆线长L＝0.8m，分别挂在轨道的左端和小车上。静止时两摆线均在竖直位置，此时两
摆球接触而不互相挤压，且球心处于同一水平线上。在同一竖直面内将A 球拉起到摆线水平伸
直后，由静止释放，在最低点处与B 球相碰，重力加速度大小g 取10m/s2．求：
（1）A 球摆到最低点与B 球碰前的速度大小v0；
（2）相碰后B 球能上升的最大高度hm；
（3）B 球第一次摆回到最低点时对绳子拉力的大小。
4
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2．（2023•邵阳模拟）小车C 静止在光滑的水平面上，距离小车C 的右侧s 处有一固定光滑的斜面
和光滑平台组成的装置，斜面底端与小车C 等高，平台P 点与斜面平滑连接，不影响滑块经过
时运动的速率。平台上O 点固定一竖直的弹性挡板，滑块B 静止于Q 点，PQ 间距离为kL，OQ
间距离为L。当滑块A 以v0＝8m/s 的速度滑上小车，运动到小车C 右端时恰好与之共速（小车
未碰到平台）。当滑块A 经斜面进入平台时，始终受到水平向右的恒力F＝mg 作用，当滑块B
在该区域内向左运动时受到同样的恒力F 作用，向右运动则合力为零。已知滑块A、B 及小车C
的质量相等，即mA＝mB＝mC，斜面高h＝0.8m，A、C 间的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10m/s2，滑
块A、B 均可看成质点，且A、B 之间以及B 与挡板之间的碰撞为弹性碰撞。
（1）为保证小车C 与平台碰撞时A、C 能共速，s 至少多长；
（2）当滑块A 经斜面进入平台PO 后，若A 不能在滑块B 匀速运动过程中追上滑块B 发生第二
次碰撞，则k 需要满足的条件；
（3）若满足（2）问的k 值，求A、B 从第一次碰撞开始到第二次碰撞经历的时间。
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3．（2023•延边州二模）如图所示，固定在竖直平面内的轨道由倾角θ 可调的倾斜轨道AB、足够
长的水平轨道BC 和半径为R＝0.3m 的竖直圆轨道构成，P 为圆轨道的最高点，AB 段轨道粗糙
其余轨道光滑，各段轨道均平滑连接．当倾角θ＝30°时，质量为m1＝0.6kg 的物块a 恰好能沿轨
道AB 匀速下滑。现将倾角调为θ＝60°，让物块a 从距水平面BC 高度为h＝1.2m 处静止滑下，
过一段时间后与静止在水平轨道BC 上的物块b 发生弹性碰撞．若物块a、b 均可视为质点，物
块a 始终不会脱离轨道，取重力加速度g＝10m/s2．求：
（1）物块a 与轨道AB 间的动摩擦因数；
（2）物块a 第一次经过圆轨道最高点P 时对轨道的压力大小；
（3）若物块a 只经过一次P 点且能与物块b 发生两次碰撞，求物块b 的质量范围。
6
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4．（2023•南开区二模）如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，mA＝0.1kg，mB＝
0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质
量M＝0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度L＝1m，右侧拴接一轻质弹簧，
弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后滑块A 滑到距平台右端x＝2m 的C 点停下，滑
块A 与平台间的动摩擦因数μ1＝0.4，滑块B 冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B 与小车粗
糙部分的动摩擦因数μ2＝0.1。两滑块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短
且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）滑块B 刚滑上小车时速度vB的大小；
（2）最终滑块B 与小车共速时速度v 的大小和方向；
（3）最终滑块B 与小车共速时距小车左端的距离。
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5．（2023•广州二模）如图。玩具“火箭”由上下A、B 两部分和一个劲度系数较大的轻弹簧构成，
A 的质量为0.2kg，B 的质量为0.4kg，弹簧夹在中间，与两者不固连。开始时让A、B 压紧弹簧
并锁定为一个整体，为使A 上升得更高，让“火箭”在距地面0.8m 高处自由释放，“火箭”着
地瞬间以原速率反弹，同时解除锁定，当弹簧恢复原长时，B 恰好停在地面上，不计空气阻力和
“火箭”的体积以及弹簧解锁恢复原长的时间，重力加速度取10m/s2。求
（1）“火箭”着地时的速度大小；
（2）A 上升的最大高度；
（3）弹簧被锁定时的弹性势能。
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6．（2023•韶关模拟）有一种打积木的游戏，装置如图所示，四块完全相同的积木B、C、D 和E
叠放在靶位上，宽度均为d，积木C、D 和E 夹在固定的两光滑薄板间，小球A（可视为质点）
用长为L，且不可伸长的轻绳悬挂于O 点。游戏时，球A 拉至与O 点等高的P 点（保持绳绷
直）由静止释放，球A 运动到最低点时与积木B 发生的碰撞为弹性碰撞且瞬间完成，积木B 滑
行一段距离（大于2d）后停下。已知球A 和每块积木的质量均为m，各水平接触面间的动摩擦
因数均为μ，重力加速度大小为g，空气阻力不计，求：
（1）球A 下落到最低点与积木B 碰撞前的速度大小v0。
（2）积木B 向前滑行的距离s。
（3）将球A 再次拉起至P 点无初速释放，球A 与积木C 发生弹性碰撞且瞬间完成，积木C 沿积
木B 的轨迹前进。求积木C 弹性碰撞后经多长时间与积木B 相遇。
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7．（2023•三明模拟）如图（a），倾角为θ＝37°的斜面体ABC 锁定在水平地面上。弹簧下端固定
在斜面底部的挡板，上端自由伸长到D 点。现将质量为M＝2kg 的物块乙轻放在弹簧上端，稳
定后不拴接。另一质量为m＝1kg 的物块甲以初速度v0＝10m/s 沿斜面向下运动，两物块相碰
（不粘连在一起），碰后一起向下压缩弹簧至F 点（F 点图中未标出）后弹回，物块甲的速度—
时间部分图像如图（b）所示，图中阴影部分的面积为0.5m，两物块均可视为质点，物块甲、乙
与斜面间的动摩擦因数分别为μ1＝0.25，μ2＝0.75，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8。求：
（1）AD 间的距离s1；
（2）弹簧压缩至F 点时的弹性势能增量ΔEp；
（3）设k＝208N/m，且t3为物块甲和乙分离时刻，则此时纵坐标值（结果可以用根号表示）。
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8．（2023•长春模拟）如图所示，滑板B 静止在光滑水平面上，其右端与固定台阶相距x，与滑块
A（可视为质点）相连的轻绳一端固定在O 点，A 静止时紧靠在B 的左端斜上方。一子弹以水平
向右速度v0击中A 后留在A 中（此过程时间极短），击中后轻绳恰好被拉断，轻绳断开后A 立
即滑上B 的上表面。已知子弹的质量为m＝0.02kg，水平速度v0＝100m/s，A 的质量mA＝
0.48kg，绳子长度L＝0.2m，B 的质量mB＝1.5kg，A、B 之间动摩擦因数为μ＝0.6，B 足够长，
A 不会从B 表面滑出；B 与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力。重力加速度为g＝10m/s2。
求：
（1）轻绳能承受的最大拉力的大小；
（2）若A 与B 恰好共速时B 与台阶碰撞，则滑板B 右端与固定台阶相距x 为多少；
（3）若x 取第（2）中的值，则子弹的速度为多少时，B 与台阶仅相碰两次。
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9．（2023•琼山区校级二模）如图所示，质量为2m 的滑板上表面由长度为L 的水平部分AB 和半
径为R 的四分之一光滑圆弧BC 组成，滑板静止在光滑的水平地面上，AB 恰好与台阶等高。光
滑的台阶上有物块1 和小球2，质量均为m，两者之间有一被压缩的轻质弹簧。台阶右侧与一半
径为r 的光滑竖直圆形轨道相切于D 点。某一时刻将压缩的弹簧释放，使得1、2 瞬间分离，物
块1 向左运动的速度为v0，它与滑板水平部分的动摩擦因数为μ，求：
（1）若v0=√gr，小球2 运动到D 点时，圆形轨道所受压力；
（2）为了使小球2 在运动过程中始终不脱离圆轨道，圆形轨道的半径r 应满足的条件；
（3）要使物体1 在相对滑板反向运动过程中，相对地面有向右运动的速度，求AB 的长度L 应
满足的条件。
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10．（2023•山西一模）有一款推拉门，其三扇门板俯视如图所示，每扇门的宽度均为L＝1.00m，
质量均为m＝20kg，边缘凸起部位的宽度均为d＝0.05m。门完全关闭时，1 号门板的左侧以及3
号门板的右侧分别与两侧的门框接触时，相邻门板的凸起部位也恰好接触。测试时，将三扇门
板均推至最左端，然后用恒力F 水平向右推3 号门板，每次都经过相同的位移s＝0.20m 后撤去
F，观察三扇门的运动情况。发现当恒力为8.5N 时，3 号门板恰好能运动到其左侧凸起与2 号门
板右侧的凸起接触处。设每扇门与轨道间的动摩擦因数均相同，门板凸起部位间的碰撞及门板
与门框的碰撞均为完全非弹性碰撞（不黏连）。不考虑空气阻力，取g＝10m/s2。
（1）求每扇门与轨道间的动摩擦因数。
（2）若要实现三扇门恰好完全关闭，则恒力应是多大？
（3）若想让三扇门都到达最右侧门框处，则恒力至少是多大？
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11．（2023•青羊区校级模拟）在光滑的水平面上，质量分别为mA＝1kg、mB＝3kg 的滑块A、B 中
间有一轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。现将弹簧压缩后用细线锁住，如图所示，在B 的右侧有
一倾斜传送带，水平面与传送带通过一段长度可忽略不计的圆弧平滑连接。已知传送带两轮轴
之间的距离L＝1.8m，传送的倾角θ＝37°，滑块B 与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加
速度g＝10m/s2，忽略传送带转轮的大小，不计空气阻力，滑块可视为质点。初始时，让传送带
不转动，锁定滑块A 让它静止不动，烧断细线，发现滑块B 恰好能滑到传送带的最高点。sin37°
＝0.6，取√2=1.41，√3=1.73。求：
（1）烧断细线前弹簧存储的弹性势能Ep；
（2）若烧断细线前，解除对滑块A 的锁定，同时让传送带以恒定的速度，顺时针转动，则要使
烧断细线后滑块B 能滑到传送带的最高点，传送带的速度的最小值以及此情形中传送带因运送
滑块B 多消耗的能量E。（最后计算结果保留2 位有效数字）
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12．（2024•嘉兴一模）如图所示，光滑水平杆距离水平地面高为H＝6m，杆上套有一质量m0＝
0.1kg 的滑环，杆上A 点处固定一挡板。长度为l＝1m 的轻绳的一端连接滑环，另一端悬挂质量
为m＝1kg 的小球，轻绳能承受的最大拉力为40N。水平地面上P 点处静置一个顶部装有细沙的
小滑块，小滑块与细沙的总质量为M＝0.2kg。P 点右侧有一高度为h＝1.5m、倾角为37°的固定
斜面BC，B 点处平滑连接，B 与P 间距为0.9m。初始时刻，轻绳保持竖直，滑环和小球一起水
平向右以v0＝6m/s 的速度作匀速直线运动，一段时间后滑环与水平杆上的固定挡板A 碰撞，滑
环即刻停止，绳子断裂，小球恰好落入小滑块顶部的沙堆内，落入时间极短且沙没有飞溅。不
计空气阻力，小滑块可以视为质点且与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.5。
（1）通过计算分析绳子断裂的原因并求P 点与挡板A 点的水平距离。
（2）求小滑块最终静止的位置到B 点的距离。
（3）若轻绳长度l 可调，滑环和小球一起水平向右的初速度v0可调，要确保滑环撞击挡板绳子
崩断后小球总能落在P 点的小滑块上，求v0和l 的关系以及l 的取值范围。
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