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专题26 带电粒子(带电体)在电场中的综合问题
核心考点
考点梳理1 “等效法”在电场中的应用.............................................................................................................1
母题考点一 “等效法”在电场中的应用............................................................................................................2
考点梳理2 带电粒子在交变电场中的运动.........................................................................................................7
母题考点二 带电粒子在交变电场中的运动.......................................................................................................7
考点梳理1 “等效法”在电场中的应用
1．“等效重力场”
研究处在匀强电场和重力场中带电物体的运动问题时，可以将重力场与电场合二为一，用
一个“等效场”来代替，即“等效重力场”。
2．“等效重力”及“等效重力加速度”
(1)“等效重力”：将重力与静电力进行合成，如图所示，则G 效＝F 合。
(2)“等效重力加速度”：g 效＝G效
m ，F 合的方向即为“等效重力”的方向，也是“等效重力
加速度”的方向。
3．两种等效重力场模型的对比分析
模型一
模型二
静电力与重力在同一直线上且qE>mg
静电力与重力不在同一直线上
等效重力加速度g′＝qE
m －g，方向竖直向上
等效重力加速度g′＝
❑√(mg)
2+(qE)
2
m
，设等效
重力加速度方向与竖直方向夹角为α，tan
α＝qE
mg
母题考点一 “等效法”在电场中的应用
【母题1】（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系
住一带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低
点，B 点与O 点等高。当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电
荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
【练1】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图所示，
为竖直平面内的光滑绝缘轨道，直
轨道AB 和圆弧轨道
相切于B 点，圆弧轨道半径为
，
与水平面的夹角为
，
为圆弧轨道的竖直直径，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中。带正电的小球b 质量为
，带电荷量为
（电荷量始终不变），若将小球b 从B 点由静止释放，则它运动到轨道最
低点C 时对轨道的压力大小为
（g 为重力加速度），现让一不带电的质量为M 的绝缘
小球a 从直轨道的A 点由静止释放，运动到C 点时恰好与静止在C 点的小球b 发生弹性碰撞。
不计空气阻力，
。
(1)求匀强电场的电场强度的大小E；
(2)若
，且碰后小球b 恰好到达最高点
，则轨道A 点离B 点的高度h 为多少？
(3)若在C 点碰撞后小球b 的速度大小为
，则小球b 从D 点离开轨道到再次回到轨道
的时间t 为多长？
【练2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）水平面上竖直固定一个
圆形光滑绝缘轨道ABCD，
圆心为O，半径为R。A、C 是圆弧上水平直径上的两点，D 为最高点，B 为最低点。在竖直
举一反三
平面分布着与水平方向夹角θ=30°的匀强电场。一个质量为m、带电荷量为+q 的绝缘小球从
A 点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，恰好不离开轨道并从D 点水平向右做直线运动，
重力加速度为g。求∶
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)绝缘小球在A 点对轨道的压力F 的大小；
(3)绝缘小球沿轨道从B 到C 电势能的变化量ΔEₚ。
【练3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘轻质
细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运动，图中A、B 分别为圆周上的最高点
和最低点。当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q
（q>0）、质量为m，电场强度大小为E，重力加速度大小为g，求：
(1)小球在A 点的速度大小；
(2)小球运动至B 点时细线上拉力的大小。
考点梳理2 带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的直线运动
当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的
运动情况，粒子可以做周期性的直线运动。
2．带电粒子在交变电场中的偏转
当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向
的分运动具有周期性。
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具
有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界
条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二
是功能关系。
4．解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2)将转化,a－t 图像转化,v－t 图像。
特别提醒：
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子
穿过电场瞬间可认为是在匀强电场中运动。
母题考点二 带电粒子在交变电场中的运动
【母题2】（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原
理如图1 所示。从离子源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为
d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时。离
子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【详解】A．粒子在加速电场中被加速时
在偏转电场中做类平抛运动，则
，
解得
选项A 错误；
B．当
时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
解得
选项B 正确；
C．根据
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻
射入的粒子打到A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
【练1】（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏
移器等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面
面积相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数
的漂移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极
间电势差的变化规律如图乙。在t=0 时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此
时位于序号为0 的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1 间的狭缝
电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1 内做匀速直线运动。每次电子
在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源
电压的绝对值为
，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的
重力及其他因素的影响。
(1)求电子进入漂移管1 时的速度v1的大小；
(2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，
求第n 个漂移管的长度；
(3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O 方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L 的正方
体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度
和磁感应强度均为0 时，电子恰好沿O'O 射到目标平面中心O 点处（O 点和偏移器左、右侧
面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的
匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打
在目标平面上（
）处，求偏移器中电场强度E 和磁感应强度B 的大小。（当α 很小时，
有
）
【练2】（2025·天津滨海新·三模）某粒子偏转器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三
部分构成。如图甲所示为该粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m、电
荷量为
、初速度忽略不计的带电粒子，经电压为U 的加速电场加速后，带电粒子贴近上
板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板长为
，间距为d，板间
举一反三
加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、周期为
，下极板右端正下
方紧挨金属板竖直放置长度为d 的探测板。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入平行板右
侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上。不计带电粒子的
重力和粒子间的相互作用力，求：
(1)若带电粒子经过加速电场未进入偏转电场之前，形成了大小为I 的稳恒电流，沿着电流方
向长度为
电流中，包含的粒子个数；
(2)一个周期内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比
；
(3)从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B 需要满足的条件。
【练3】（2025·全国·模拟预测）如图甲，一长为L、板间距离为d 的平行板电容器水平放置，
一正离子源放置在电容器左端中轴线处，离子源能够源源不断地在单位时间内释放相同数目、
速度方向均沿中轴线水平向右、速度大小为
的正离子，正离子的质量为
、电荷量为
。
从
时刻起加一如图乙所示的周期性电场，此时A 板电势高于B 板。已知
，且
，不计离子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．
时刻进入的正离子刚好击中B 板右端点
B．
时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离为
C．
时刻进入的正离子击中金属板A 的右端点
D．离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例为50%
模拟演练
1．（25-26 高二上·河北衡水·开学考试）如图所示，竖直面内固定有一半径
、圆心
为
的光滑绝缘圆轨道，
点分别为轨道的最高点、最低点，
、
两点为轨道上与圆
心等高的两点。竖直面内存在平行于平面的匀强电场（图中未画出），已知
点的电势
差
，
、
点的电势差
。将电荷量
、质量
的小球（视为点电荷）从轨道上
点由静止释放。取重力加速度大小
。求：
(1)电场的电场强度的方向和大小
；
(2)小球经过
点时对轨道的压力大小
；
(3)小球从
点运动到
点过程中的最大速度
。
2．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示AB 为半径
四分之一光滑绝缘
竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着
竖直向上的匀强电场，有一质
量
、带电量
正电荷的物体（可视为质点），从A 点的正上方距离A 点
H 处由静止开始自由下落（不计空气阻力），BC 段为长
，与物体间的动摩擦因数
的粗糙绝缘水平面，CD 段为倾角
且离地面DE 高
的斜面，g 取
。求：
(1)若
，物体能沿轨道AB 到达最低点，求它到达B 点时对轨道的压力？
(2)通过你的计算判断：是否存在某一H 值，能使物体沿轨道AB 经过最低点B 后最终停在距
离B 点1.2m 处？
(3)若高度H 满足：
，请通过计算标示出物体从C 处射出后打到的范围。
（已知
，
。不需要计算过程，但要具体的位置。不讨论物体的反
弹以后的情况。）
3．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强
度大小
的匀强电场，在匀强电场中有一根长
的绝缘细线，细线一端固定
在O 点，另一端系一质量为0.08kg 的带电小球，小球静止时悬线与竖直方向的夹角为37°。
现给小球一初速度，使小球恰能绕O 点在竖直平面内做完整的圆周运动。设小球静止时的位
置为电势能和重力势能零点，
，
，g 取
，则小球（ ）
A．所带电荷量
B．电势能的最大值为1.92J
C．在运动过程中，小球的最小速度为
D．在运动过程中，在圆形轨道的最右端点时小球的机械能最小
4．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）如图所示，一质量为m＝1.0×10-2kg、带电量大小为q＝
1.0×10-6C 的小球，用长度为L＝1m 的绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，假设电场范围
足够大，静止时悬线向左与竖直方向成
＝37°，小球在运动过程中电量保持不变且可看作质
点，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求电场强度大小E；
(2)将小球向左拉起到细线水平伸直并由静止释放，求小球受到细线拉力的最大值T。（sin37°
＝0.6，
）
5．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）如图所示，足够大的水平地面上
点和M 点所在的两条
竖直虚线之间存在水平向右、大小为E 的匀强电场，OM＝d。在O 点处静止释放一个带正电
的小球A，待A 离开电场足够远后，将另一带正电的小球B 也在O 点处由静止释放。B 离开
电场后，A 和B 之间的相互作用满足库仑定律（两球“足够远”时，相互作用的力为零，并
规定此时二者相互作用的势能为零），已知A 和B 的质量分别为m 和
，A 带电荷量为q，
不计一切阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．A 在电场中的运动时间为
B．要使B 离开匀强电场后靠近A 并与A 重新发生相互作用，则B 的带电荷量应大于
C．若B 的带电荷量也为q，则A 和B 之间的电势能最大值为
D．要使B 在离开匀强电场之后的过程改变运动方向，则B 的电荷量应大于
6．（24-25 高一下·湖北孝感·阶段练习）如图所示，长L=1m 的轻质细绳上端固定，下端连接
一个可视为质点的带正电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角
。已知小球所带电荷量
，匀强电场的场强E=300N/C，取重力加速度
，
，
。求：
(1)小球的质量m；
(2)小球所受绳的拉力T 的大小；
(3)剪断轻绳，经t=2s 后球的位移大小。
7．（25-26 高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，点
、
、
、
位于同一竖直平面内，
曲线
为半径为
的半圆弧，直线
沿竖直方向，
，直线
左侧存在垂
直纸面向外的匀强磁场
和竖直向上的匀强电场
，右侧存在水平向左的匀强电场
。一
带电量为
、质量为
的小球（可视为质点）在复合场中恰能沿着半圆弧
在竖直平面
内做匀速圆周运动，经过
点进入匀强电场
。已知磁感应强度为
，
（
大
小未知），
，重力加速度为
，则（ ）
A．电场强度
大小为
B．
、
两点的电势差为
C．小球从
运动到
的速度大小为
D．小球在电场
中距离
最远时，速度大小为
8．（25-26 高二上·云南·阶段练习）竖直面内，一带电小球以一定的速度进入匀强电场中，
如图所示，水平虚线为匀强电场的等差等势面，实线为带电小球的运动轨迹。下列说法正确
的是（ ）
A．匀强电场的方向竖直向下
B．小球从
到
，电场力对其做负功，小球的电势能增加
C．小球从
到
与从
到
，其动能的变化量不相同
D．小球从
到
，其重力势能减少，动能减少，机械能减少
9．（25-26 高二上·贵州贵阳·期中）如图所示，一条长为L 的细线上端固定，下端系一个质
量为m，电荷量为q 的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小
球从A 点静止释放，当细线离开竖直位置偏角
时，小球速度为零。
(1)求小球带电性质和电场强度E；
(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求小球在A 点应有的初速度vA的大小（可含根式）。
10．（25-26 高二上·河南驻马店·阶段练习）如图所示，平面直角坐标系xOy 在竖直平面内，
x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上，以O 为圆心、半径为R 的圆在坐标平面内，空间
存在与坐标平面平行的匀强电场，在圆与y 轴负半轴的交点P 沿y 轴正方向以大小为
的初
速度射出一个质量为m 的带正电的小球，小球经过圆周上的Q 点，且过Q 点时的速度大小仍
为
，Q 点在第一象限内，OQ 与x 轴的夹角
，不计空气阻力，则下列判断正确的是
（ ）
A．小球运动的轨迹为抛物线
B．小球在P、Q 两点的电势能相等
C．小球在Q 点的速度方向沿x 轴正方向
D．小球从P 点运动到Q 点所用的时间为
11．（24-25 高二上·福建泉州·期中）如图，质量为m、电量为q 的带电小球用长为L 的轻绳
悬挂在天花板上，空间中存在水平向右的匀强电场。小球静止在A 处，OA 与竖直线OB 的夹
角θ=37°，OB=L，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求匀强电场的场强大小E
(2)把小球拉到B 点由静止释放，求小球经过A 点时的速度大小v
(3)把小球拉到B 点由静止释放，求小球经过A 点时的轻绳拉力T
12．（25-26 高二上·河南·阶段练习）如图，一根长
的绝缘细线，上端固定于O 点，
下端系一个质量
的带电小球，将整个装置放入一范围足够大的匀强电场当中，电
场强度大小为
，方向为水平向右，已知：当细线偏离竖直方向
时，
小球处于平衡状态，重力加速度g 取
，
，
。求：（结果可
用根式表示）
(1)小球带何种电荷，所带电荷量为多少；
(2)若将小球拉至最低点C 无初速度释放，当小球运动到B 点时的速度大小；
(3)若小球从最低点C 以水平向右的初速度
出发，
为多大时小球恰能在竖直平面上做完整
的圆周运动？
13．（22-23 高二上·北京西城·期中）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为
m、电荷量为+q 的小球，系在一根长为L 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周
运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度
。下
列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球在C 点动能最大
C．若将小球在A 点由静止开始释放，它将沿直线运动到C 点
D．若将小球在A 点以大小为
的速度竖直向上抛出，它将不能沿半圆ADB 到达B 点
14．（24-25 高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场
强度的变化规律如图乙所示。
时刻，质量为m 的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，
时间内微粒匀速运动，T 时刻微粒恰好经金属板边缘飞出，微粒运动过程中未与金属
板接触。重力加速度的大小为g，关于微粒在0~T 时间内运动的描述，正确的是（ ）
A．末速度大小为
B．末速度方向斜向下
C．重力势能减少了
D．克服电场力做功为mgd
15．（2025·甘肃庆阳·一模）如图甲所示，真空中
平面直角坐标系的
轴水平，
轴竖
直，第二象限内存在方向沿
轴正方向的匀强电场I，第一、四象限内存在垂直纸面且变化周
期为
的匀强磁场（图甲中未画出）和沿
轴正方向的匀强电场II。将一质量为
、电荷量
为
的带正电小球（可视为质点）从第二象限内的
点由静止释放。小球恰好经
点穿过
轴且经过
点时速度大小为
，从此时刻开始计时，此后磁感应强度随时间周期性变化的情
况如图乙所示（规定磁场方向垂直纸面向里为正方向），
。匀强电场I、II 的电场强
度大小
，重力加速度为
。
(1)求
点的位置坐标；
(2)求磁场变化的第一个周期内小球离
轴距离最大的时刻及小球离
轴的最大距离；
(3)若在第一、四象限内垂直于
轴放置一个足够大的挡板，小球在运动过程中恰好能够垂直
打在挡板上，求挡板
坐标的所有可能值。
16．（2025 高三·全国·专题练习）如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电
子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电
容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，
上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，
可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求：
(1)在t＝0.06 s 时刻，电子打在荧光屏上的位置到O 点的距离；
(2)荧光屏上有电子打到的区间长度。
