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专题25 电容器 带电粒子在电场中的运动
核心考点
考点梳理1 平行板电容器的动态分析.................................................................................................................1
母题考点一 平行板电容器的动态分析................................................................................................................2
考点梳理2 带电粒子在电场中的直线运动.........................................................................................................5
母题考点二 带电粒子在电场中的直线运动.......................................................................................................5
考点梳理3 带电粒子在匀强电场中的偏转.......................................................................................................10
母题考点三 带电粒子在匀强电场中的偏转......................................................................................................11
考点梳理4 示波管...............................................................................................................................................17
母题考点四 示波管..............................................................................................................................................18
考点梳理1 平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U 保持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q 保持不变。
2．动态分析思路
(1)U 不变
①根据C＝εr S
4 π kd 和C＝Q
U ，先分析电容的变化，再分析Q 的变化。
②根据E＝U
d 分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed 分析某点电势变化。
(2)Q 不变
①根据C＝εr S
4 π kd 和C＝Q
U ，先分析电容的变化，再分析U 的变化。
②根据E＝U
d 分析电场强度变化。
母题考点一 平行板电容器的动态分析
【母题1】（2025·全国卷·高考真题）电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用
于设计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极
板面积为
、间距为
，电容
（
为常量）。按下键盘按键时，极板间的距离变
为按压前的
倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充电后：
(1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？
(2)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的
多少倍？
【答案】(1)
倍
(2)
倍
【详解】（1）根据平行板电容器公式
，电容的定义式
设按压前电容为
，电压为U1，电荷量为Q，则
按压后极板间距离变为按压前的
倍，即
，此时电容
因为按压不改变电荷量Q，所以按压后电压
所以有
即按压后极板间的电压变为按压前的
倍。
（2）对于平行板电容器，极板间的电场强度
；
设按压前电压为U，极板间距离为d1，则电场强度
按压后极板间距离变为
，且电压不变仍为U，此时电场强度
所以有
按压后极板间的电场强度大小变为按压前的
倍。
【练1】（2025·河北·一模）传感器广泛应用在我们的生产生活中，常用的计算机键盘就是一
种传感器，每个键内部电路如图甲所示。每个键下面都有由相互平行的活动金属片和固定金
属片组成的平行板电容器，两金属片间有空气间隙。如图乙，在按键的过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．计算机键盘使用的是光传感器
B．电容器的电容和电荷量Q 均减小
C．图甲中电流从M 流向N
D．电容器极板间的电场强度变大
【练2】（2025·四川巴中·模拟预测）如图，某传感器中平行板电容器内的电介质由特殊的绝
缘透明材料制成，若逐渐增大光照强度I 的过程中，当光照强度I 较小时，电介质材料的介电
常数易增大，当光照强度I 较大时，电介质材料的介电常数难以增大，将该电容器与电源连
接，极板的电荷量
与光照强度I 的关系曲线可能正确的是（ ）
举一反三
A．
B．
C．
D．
【练3】（2025·江西新余·模拟预测）两平行板电容器甲、乙按如图所示方式连接。保持滑动
变阻器的滑片位置不变，把电容器乙的右侧极板向右移动一小段距离。设电容器甲、乙的电
容分别为
、
，所带电荷量分别为q1、q2，两极间电压分别为U1、U2。与移动前相比，下
列说法正确的是（ ）
A．C1不变，C2增大
B．q1增大，q2减小
C．U1减小，U2增大
D．q1、q2之和保持不变
考点梳理2 带电粒子在电场中的直线运动
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑
重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能
忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝qE
m ，E＝U
d ，v
2−v0
2＝2ad。
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝1
2 mv
2−1
2 mv0
2。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
母题考点二 带电粒子在电场中的直线运动
【母题2】（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板
间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（
）的金属微粒，从两极板中央O 点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，
碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由牛顿第二定律
由运动学公式
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为
（2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值
不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为
，满足
代入解得
同理可得微粒第一次从上极板回到O 点时的速度大小为
，满足
代入解得
故微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小为
【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）图甲为某粒子控制装置的内部结构图，A、B 为两块相
距很近的平行金属板，板中央有正对小孔O 和
，B 板右侧靠近B 板处有关于
连线对
举一反三
称放置的平行金属板MN，MN 长
，板间距离
，两板间加有恒定电压
，其内部偏转电场视为匀强电场。在MN 右侧相距为
处有一垂直
连线放置
的粒子接收屏
（屏足够大）。一束带正电的粒子以相同的初动能
源源不断地
从小孔O 垂直A 板射向
，粒子的带电量为
，质量为
。现在
A、B 板间加上图乙所示的周期性变化的电压
，其中A 板电势低于B 板时，
为负值。若
不计粒子穿过A、B 板所用的时间，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。求：
(1)t =1.5s 时刻从小孔O 射入的粒子，从
射出时的速度；
(2)t =3s 时刻从小孔O 射入的粒子，在偏转电场中的偏转量y；
(3)接收屏
被粒子打中区域的长度l。
【练2】（2025·天津·二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，
图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，
已知交流电源周期为T、电压绝对值为
，且
对应奇数号圆筒为高电势。整个装置
放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电
平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度
很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。
时刻，有一电量为
、质量为
的正离
子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在
时刻进入二、三圆
筒之间的电场再次加速，且之后每经过
正好进入下一缝隙电场。
(1)求粒子从第2 个圆筒飞出时的速度大小？
(2)第
个圆筒的长度？
(3)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过
很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻
圆筒间距均为
，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？
【练3】（2025·全国·模拟预测）一束含有氢同位素
、
、
原子核的粒子流，由静止
进入水平匀强电场加速后，在运动某一水平距离L 时，三种原子核的速度大小之比为
（ ）
A．6 3 2
∶∶
B．
C．3 2 1
∶∶
D．
考点梳理3 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在电场中偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此交
点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ 的正切值等于位移偏转角α 的正切值的2 倍，即tan θ＝2tan α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q 是否相同，只要比荷q
m相
同，则偏转距离y 和偏转角θ 相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q 相同，不论m 是否相同，则偏转距
离y 和偏转角θ 相同。
(5)电荷量q 不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再经同一电场偏
转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y 和偏转角θ 均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v 时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝1
2 m v
2−1
2 m v0
2，
其Uy＝U
d y，指初、末位置间的电势差。
母题考点三 带电粒子在匀强电场中的偏转
【母题3】（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，
如图所示的矩形区域OMPQ 内分布有平行于OQ 的匀强电场，N 为QP 的中点。模拟动画
显示，带电粒子a、b 分别从Q 点和O 点垂直于OQ 同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到
达M、N 点，K 为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（
）
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N 的速度大小相等
D．到达K 所用时间之比为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b 分别从Q 点
和O 点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，可知，运动时间相等，由图可
知，沿初速度方向位移之比为
，则初速度之比为
，沿电场方向的位移大小相等，
由
可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有
可得
可知，带电粒子具有相同比荷，故A 错误；
B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B 错误；
C．沿电场方向，由公式
可知，到达M、N 的竖直分速度大小相等，由于初速度之
比为
，则到达M、N 的速度大小不相等，故C 错误；
D．由图可知，带电粒子a、b 到达K 的水平位移相等，由于带电粒子a、b 初速度之比为
，则所用时间之比为
，故D 正确。
故选D。
【练1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图
所示，在三维坐标系
中，
的区域存在沿y 轴负方向的匀强电场；
的区域
存在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大
小相等。一质量为m、电荷量为
的粒子，从点
以初速度
沿x 轴正方
向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求：
举一反三
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子在
区域运动的轨迹方程；
(3)粒子进入
区域后，距xOy 平面最远位置的空间坐标。
【练2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，空间中存在方向水平向右的匀强电场，一
带正电的小球从
点以初速度
沿与竖直方向成
角斜向上抛出，小球经过
点时速度方向水平向右，小球的加速度大小
，重力加速度取
，下列说法正确的是（ ）
A．小球从
点运动到
点所用的时间为
B．小球经过
点时的速度大小为
C．小球从
点运动到
点，动能先增大后减小
D．小球从
点运动到
点，机械能先增大后减小
【练3】（2025·天津武清·二模）利用电磁场可将离子从中性粒子束中剥离出来。“电偏转系
统”原理简图如图1 所示，包含中性粒子和带电离子的混合粒子进入由一对平行带电电极板
构成的匀强电场区域，混合粒子进入电场时速度方向与极板平行。离子在电场区域发生偏转，
中性粒子继续沿原方向运动，到达接收器。以下极板左端点为坐标原点建立Oxyz 空间坐标系，
假设离子在混合粒子束中是均匀分布的，单位时间内通过单位面积（xOz 平面）进入电场的
离子数为n。在两极板间加电压恒为U，恰好所有离子均被吸附在下极板。已知离子带正电、
电荷量为q，质量为m，初速度为v，两极板间距为d。离子和中性粒子的重力可忽略不计，
不考虑粒子间的相互作用。求：
(1)极板的长度L；
(2)落在下极板中间三分之一区间内的离子占总离子数的比例η；
(3)在如图2 所示的简图中，请你运用所学知识，在空白实线区域设计某种装置，可将混合粒
子（假设离子在混合粒子束中是均匀分布）分离，且分离出的离子仍然均匀分布。（图中点
状线为粒子的边界，混合粒子中所有粒子的速度均相同。）（装置中涉及的几何关系请简要
说明）
考点梳理4 示波管
示波管
(1)构造
①电子枪，②偏转电极，③荧光屏。(如图所示)
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，
叫作扫描电压。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在
荧光屏中心，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和信号电压的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期
内变化的稳定图像。
母题考点四 示波管
【母题4】（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水
平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′
极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出
后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的正切
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小
A 错误；
B．电子电极XX′间运动时，有
vx = axt
电子离开电极XX′时的动能为
电子离开电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为
，
B 错误；
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小
C 错误；
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的正切
D 正确。
故选D。
举一反三
