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专题33 动量观点在电磁感应中应用
核心考点
考点梳理1 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型............................................................................1
母题考点一 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型...........................................................................2
考点梳理2 导线框模型.........................................................................................................................................9
母题考点二 导线框模型......................................................................................................................................10
考点梳理3 双棒在外力作用下模型...................................................................................................................16
母题考点三 法拉第电磁感应定律的理解及应用.............................................................................................17
考点梳理4 不等间距上的双棒模型...................................................................................................................25
母题考点四 不等间距上的双棒模型..................................................................................................................26
考点梳理1 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
“单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
模型
示意图
力学观点
模
型
一
导轨水平光滑，间距为L，电
阻不计，杆ab 初速度为v0，质
量为m，电阻不计
导体杆以速度v 切割磁感线产生感应电动势
E＝BLv，电流I＝＝，安培力F 安＝BIL＝，
做减速运动，v⇒F 安⇒a，当v＝0 时，F
安＝0，a＝0，杆保持静止
模
型
二
导轨水平光滑，间距为L，电
阻不计，单杆ab 质量为m，电
阻不计，拉力F 恒定
开始时a＝，杆ab 速度v⇒感应电动势E＝
BLv⇒I⇒安培力F 安＝BIL，由F－F 安＝
ma 知a，当a＝0 时，v 最大，vm＝
模
型
三
开始时a＝，杆ab 速度v⇒感应电动势E＝
BLv，经过Δt 速度为v＋Δv，此时感应电
动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt 时间内流入电容
导轨水平光滑，间距为L，电
阻不计，单杆ab 质量为m，电
阻不计，拉力F 恒定
器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝
CBLΔv，电流I＝＝CBL＝CBLa，安培力F 安
＝BLI＝CB2L2a，F－F 安＝ma，a＝，所以杆
以恒定的加速度匀加速运动(若回路有电
阻，则杆不做匀加速运动)
母题考点一 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
【母题1】（2025·河北·高考真题）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电
路提供1000A 的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a 可
视为始终垂直导轨的导体棒，b 为表面绝缘的无人机。初始时a 静止于MM′处，b 静止于a
右侧某处。现将开关S 接1 端，a 与b 正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势
能。当a 运行至NN′时将S 接2 端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a 与b
分离。已知电容器电容C 为10F，导轨间距为0.5m，磁感应强度大小为1T，MM′到NN′的
距离为5m，a、b 质量分别为2kg、8kg，a 在导轨间的电阻为0.01Ω。碰撞、分离时间极
短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。
(1)若分离后某时刻a 的速度大小为10m/s，求此时通过a 的电流大小。
(2)忽略a、b 所受空气阻力，当a 与b 的初始间距为1.25m 时，求b 分离后的速度大小，分
析其是否为b 能够获得的最大速度；并求a 运动过程中电容器的电压减小量。
(3)忽略a 所受空气阻力，若b 所受空气阻力大小与其速度v 的关系为f = kv2（k =
0.025N·s2/m2），初始位置与（2）问一致，试估算a 运行至NN′时。a 分离前的速度大小能
否达到（2）问中分离前速度的99%，并给出结论。（0.992 = 0.980l）
【答案】(1)500A
(2)25m/s，能，40V
(3)能
【详解】（1）分离后当导体a 的速度大小为10m/s 时，根据法拉第电磁感应定律有
通过a 的电流
解得
（2）规定水平向右为正方向，
从
运动至b 位置过程中，由安培力提供加速度，则
a、b 间初始距离
碰撞前a 的速度
解得
，
，
a 与b 碰撞过程中系统动量守恒，有
储存的弹性势能为
解得
，
a、b 碰后一起运动至
过程中
由安培力提供加速度有
位移为
分离前速度为
解得
，
，
a、b 分离过程，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
，
在整个过程中安培力大小恒定，安培力做功大小为一定值，若a、b 分离时a 的速度为零，
则此时b 能获得最大速度，最大速度为25m/s；
上述过程中通过导体棒a 的电荷量
电容器电压的减少量
解得
（3）规定水平向右为正方向，a、b 碰后共同速度为
，若无空气阻力，到达
的速度为
，其
图像如图所示
若考虑阻力
，则实际
图像应在图中所示图像的下方，可知克服阻力做的功为
由动能定理有
解得
可知a、b 分离前的速度大小能达到（2）问中分离前速度的99%。
【练1】（2025·广西·模拟预测）如图，一半径为r=0.5m 的水平固定金属圆环内存在竖直向
上的磁感应强度大小为B=1T 的匀强磁场，长为0.5m 的金属棒ab 可绕着圆环圆心转动。从圆
环边缘和圆心所在竖直轴
用细导线连接足够长的水平固定平行金属导轨P、Q，两导轨
间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度大小为B=1T 的匀强磁场，在两导轨间接有电容为
C=0.06F 的电容器。质量m=0.1kg 的金属棒cd 垂直放在导轨上处于静止状态，导轨的宽度和
金属棒cd 的长度均为l=1m，金属棒cd 与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5，金属棒cd 的电阻
R1=1Ω，金属棒ab 的电阻R2 =1Ω，其余电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取
10m/s2。开关S1、S2、S3均断开，金属棒ab 始终以恒定的角速度ω= 10rad/s 逆时针（俯视）
转动。现闭合开关S1、S2，断开开关S3，求：
(1)金属棒ab 中的电流方向；
(2)电容器的最大电荷量；
(3)当电容器电荷量达到最大值后，立即断开开关S2，闭合开关S1、S3，此后经t1=0.08s 金属
棒cd 达到最大速度，求金属棒cd 的最大速度。
【答案】(1)金属棒ab 中电流方向由a 到b
(2)
(3)
【详解】（1）由右手定则可知，金属棒ab 中电流方向由a 到b
（2）金属棒ab 中的电动势为
当电容器电荷量最大时，电容器电压
则电容器的最大电荷量为
举一反三
（3）金属棒cd 达到最大速度
时，有
解得
此时金属棒cd 的电动势为
对电容器和金属棒cd 构成的回路
从开始放电到金属棒cd 达到最大速度，电容器放出的电荷量为
对金属棒cd，由动量定理
又
联立得
解得
代入数据得
【练2】（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为
、长度足够的平行
导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场。一质量为
的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为
的重
物相连。在导轨左侧，通过开关
可分别与电容
、电阻
和电感
的支路
连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他
电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流
时，电感线圈存储的磁场能
为
）
(1)若开关
掷向1，串接一不带电的电容器，电容为
，求导体棒的加速度；
(2)若开关
掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为
，且在静止释放导体棒的
时间内，
导体棒位移大小为
，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关
掷向3，串接一阻值为
的电阻和电感为
电感线圈相串联的电路，当重物下降
时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小
；
②重物从静止开始下降
的过程中，回路产生的焦耳热
。
【答案】(1)
(2)
(3)①
②
【详解】（1）对M 有
对m 有
联立解得
导体棒的加速度
（2）对M 有
对m 有
联立得
对时间微元求和
导体棒在这段过程中的末速度大小
（3）①重物匀速运动
匀速运动速度大小
②由能量守恒
对重物
回路产生的焦耳热
【练3】（2025·浙江·一模）如图所示，两平行绝缘支架上固定着间距
的两平行光滑
直导轨，其间接有
的电阻，导轨上静止放置一质量
的金属棒
。光滑
水平面上放置一磁场发生装置
，可产生一方向竖直向上，长
，
宽也为L 的有理想边界的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化规律为：
时刻，棒
离边界
的水平距离为
。棒
与两平行导轨始终接触良好，
棒
和导轨的电阻均不计。
(1)若磁场保持不动，在
时间内，棒
在水平外力
作用下保持静止，求：
①棒
中电流
大小和电阻R 产生的焦耳热Q；
②水平外力的方向和大小随时间变化的规律；
(2)
末，撤去外力F，同时磁场发生装置以
匀速向右运动，求：
①棒
最终获得的速度
；
②磁场匀速运动过程中施加在磁场发生装置的外力
所做的功W。
【答案】(1)①
，
；②向右，
(2)①
；②
【详解】（1）①由法拉第电磁感应定律，得
回路电流
焦耳热
②根据楞次定律可得回路电流方向从E 到F，根据左手定则可知金属棒受安培力方向向左，
可知水平外力向右。
水平外力大小
（2）①对棒用动量定理，有
可得
其中
其中
为磁场相对棒的位移
可得
可得
，
棒的最终速度
②回路电动势
棒所受的安培力
回路焦耳热为一对安培力做功之和，即安培力对相对位移做功
功能关系得外力做功
考点梳理2 导线框模型
导线框模型
模
型
一
示意图
在安培力作用下穿越磁场
位移
速度
电荷
量的
计算
动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横
截面的电荷量：
(1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt；
(2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0
模
型
二
示意图
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场
时间的
计算
求时间：①－BLΔt＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其他·Δt＝mv2
－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
②－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F 其他为恒力，也可求出变加速运动的时间
母题考点二 导线框模型
【母题2】（2025·江西·高考真题）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为
，速率
恒为
，宽为
的
区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。边长为
、质量为m、电阻为R 的正方形线框
置于传送带上，进入磁场
前与传送带保持相对静止，线框
边刚离开磁场区域时的速率恰为
。若线框
或
边
受到安培力，则其安培力大于
。线框受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩
擦因数
，
边始终平行于
，重力加速度为g。下列选项正确的是（ ）
A．线框速率的最小值为
B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为
C．线框穿过磁场区域的时间为
D．
边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为
【答案】AD
【详解】A．在
边进入磁场而
边未进入磁场的过程中，线框受到沿传送带平面向上
的安培力
和沿传送带平面向下的重力分力
。若线框相对传送带滑动，则滑动
摩擦力为
，而
，故
已知线框受到的安培力
即
因此线框将相对传送带向上滑动，滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。线框在沿传送带平
面的安培力、重力分力、摩擦力作用下做减速运动。在
边进入磁场到
边离开磁场的
过程中，因线框速度小于传送带速度，故其所受滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。又因
线框不受安培力，所以其在沿传送带平面的滑动摩擦力和重力分力作用下做匀加速直线运
动。综上分析可知，当
边刚进入磁场时，线框有最小速度
。设线框加速度为
，根
据牛顿第二定律有
边离开磁场时速度恰好为
，则有
联立解得
，故A 正确；
B．在
边进入磁场到
边进入磁场的过程中，由动能定理有
则该过程产生的焦耳热
在
边离开磁场到
边离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热也为
。因此，线框穿过
磁场区域产生的焦耳热为
，故B 错误；
C．设
边进入磁场到
边进入磁场的时间为
，根据闭合电路欧姆定律得
根据动量定理有
设
边进入磁场到
边离开磁场的时间为
，有
因为
边离开磁场到
边离开磁场所用时间也为
，所以线框穿过磁场区域的总时间
联立解得
，故C 错误；
D．
边从进入到离开磁场区域的时间
该段时间内传送带移动的距离
，故D 正确。
故选AD。
【练1】（2025·黑龙江大庆·一模）如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框
abcd，置于虚线AB 左侧始终竖直向下的磁场
中，bc 边与虚线AB 重合，虚线AB 右侧为
的匀强磁场。导体框的质量
，电阻
、边长
，磁感应强度
随时间t 的变化图像如图乙所示。在
时，导体框解除固定，给导体框一个向右的初速
度
，下列说法正确的是（ ）
A．
时流过ad 边的电流方向由a 到d
B．
时流过ad 边的电流大小为0.4A
C．导体框的bc 边刚越过虚线AB 时受到的安培力的大小为0.024N
D．当线框速度减为0.02m/s 时ad 边移动的距离为
【答案】D
【详解】A．由图乙可知，0~1s 内，左侧的磁通量减少，根据楞次定律可知，
时流过
ad 边的电流方向由d 到a，故A 错误；
B．根据法拉第电磁感应定律可知，
时导体框的感应电动势为
V=0.1V
感应电流大小为
，故B 错误；
C．导体框的bc 边刚越过虚线AB 时，感应电动势为
V
受到的安培力的大小为
N，故C 错误；
举一反三
D．根据动量定理有
根据电流的定义式有
解得
，故D 正确；
故选D。
【练2】（2025·辽宁葫芦岛·二模）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运
动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距
为
的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导
轨平面，磁感应强度大小均为
，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。
当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为
、长为、总电阻为
的导线框
（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为
时，轿厢悬停；当磁场平动速
度为
时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为
，下列说法中正确的是（ ）
A．磁场平动的速度
方向竖直向上
B．磁场平动的速度
方向竖直向下
C．导线框和电梯轿厢的总质量为
D．当磁场以速度
平动时，轿厢最终速度为
【答案】ACD
【详解】AB．依题意，轿厢悬停或者竖直向上做匀速运动时，均需要竖直向上的安培力，由
楞次定律的“阻碍作用”可知，磁场相对轿厢的运动方向均为竖直向上，即速度v1和v2的方
向都是竖直向上，故A 正确，B 错误；
C．设导线框和电梯轿厢的总质量为m。轿厢悬停时，导线框中的电流大小为
又由平衡条件有mg=2BI1d
联立解得
，故C 正确；
D．当磁场平动速度为v2时，线框向上运动，当其加速度为零时，达到最大速度，设轿厢向
上能达到的最终速度为v，则有
又由平衡条件有mg=2BI2d
联立解得v=v2-v1，则D 正确。
故选ACD。
【练3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图（a），光滑且足够长的固定斜面与水平面的夹
角为
，斜面上两平行水平虚线
和
之间有垂直斜面向下的匀强磁场，
以下区域
有垂直于斜面向上的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小相等。正方形导线框
的电阻均
匀。
时刻将处于斜面上的导线框由静止释放，开始时
边恰好与虚线
重合。之后
导线框的运动方向始终垂直于虚线
，运动的
图像如图（b），
时间内导线框的
速度大小为
，重力加速度为
，则（ ）
A．
时间内，导线框的
边未经过虚线
B．
时间内，导线框速度大小为
C．
时间内，导线框
、
两点间的电势差为
D．
时间内，导线框的位移大小为
【答案】ACD
【详解】A．
时间内，若导线框的
边经过了虚线PQ，
图像中就不会出现
和
两段匀速的情况，故A 正确；
B．
时间内导线框以
匀速运动，则有
时间内，导线框以
匀速运动，则有
联立得导线框速度大小为
，故B 错误；
C．
时间内
联立可知
，导线框
、
两点间的电势差为
，故C 正确；
D．
时间内由动量定理
联立得
，故D 正确。
故选ACD 。
考点梳理3 双棒在外力作用下模型
1．双棒在外力作用下模型
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
摩擦力Ffb＝Ffa
运动
分析
开始时，两杆受安培力做变
加速运动；稳定时，两杆以
相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff<F≤2Ff，则a 杆先变加速
后匀速运动；b 杆静止。若F>2Ff，a 杆
先变加速后匀加速运动，b 杆先静止后
变加速最后和a 杆同时做匀加速运动，
且加速度相同
运动
图像
能量
观点
F 做的功转化为两杆的动能
和内能：WF＝ΔEk＋Q
F 做的功转化为两杆的动能和内能(包括
电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q 电＋Qf
动量
观点
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
母题考点三 法拉第电磁感应定律的理解及应用
【母题3】（2025·海南·高考真题）间距为L 的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平
滑相接，导轨上端有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角
，处于垂直于导轨平面
向上的匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为
。
两相同导体棒
、
与水平导轨的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，两棒的质量均为
，接入电路的电阻均为
。
棒仅在水平导轨上运动，两导体棒
在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞。忽略金属导轨的电阻，重力加速
度为
。
(1)锁定水平导轨上的
棒，闭合开关，
棒静止在倾斜导轨上，求通过
棒的电流；断
开开关，同时解除
棒的锁定，当
棒下滑距离为
时，
棒开始运动，求
棒从解
除锁定到开始运动过程中产生的焦耳热；
(2)此后
棒在下滑过程中电流达到稳定，求此时
棒与
棒速度大小之差；
(3)
棒中电流稳定之后继续下滑，从
棒运动到水平导轨开始计时，
时刻
棒速度为
0，加速度不为0；此后某时刻
棒的加速度为0，速度不为0，求从开始到cd 棒加速度为
0 时刻，
棒与
的路程之差。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）锁定水平导轨上的
棒，闭合开关，
棒静止在倾斜导轨上，导轨倾斜部
分光滑，则
棒只受重力、导轨给的支持力、安培力；根据平衡条件可得
又
解得通过
棒的电流为
断开开关，同时解除
棒的锁定，设当
棒下滑距离为
时速度为
，
棒开始运动，
此时回路中的电流为
，此时对cd 棒有
棒切割磁场，产生电动势
，
回路电流
对cd 棒有
棒从解除锁定到开始运动过程中，导体棒
、
电阻相同，通过的电流相同，则
棒产生的焦耳热与ab 棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得
联立解得
棒产生的焦耳热为
（2）
棒从解除锁定到开始运动过程中，
棒受到的安培力向左，则cd 棒向左运动，
则cd 棒切割磁场，
端为高电势，故回路总电动势
电路中电流
对
棒
对
棒
有
当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，此时两棒的加速度相等，联立解得此时
、
棒的速度大小之差为
（3）分析可知从开始到
时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设
时刻ab 棒的速度为
，
棒速度为0，可知
解得
设某时刻
棒的加速度为0 时，ab 棒速度为
，cd 棒速度为
，此时
棒的加速度为
零，可得
①
其中
分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得
②
从
时刻到
棒的加速度为0 时，对两棒分别根据动量定理有
，
通过导体棒的电荷量
则可得
，
两式相加得
③
同时有
④
联立①②③④可得从开始到cd 棒加速度为0 时刻，
、
的路程之差为
【练1】（2025·贵州·模拟预测）如图，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ 固定在水平
面上，导轨间距为l=1m，其间存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
B=2T。两根长度相同的金属棒a、b 垂直于导轨放置，金属棒的质量为ma=mb=1kg，其接入电
路的电阻分别为Ra=1Ω、Rb=3Ω。初始时刻金属棒a、b 间距离足够大，同时给两金属棒方向
相反、大小分别为v0a=2m/s，v0b=6m/s 的初速度，两金属棒相向运动。两金属棒运动过程中始
终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻金属棒b 的加速度大小为8m/s2
B．整个运动过程中通过金属棒a 的电荷量为1C
C．整个运动过程中金属棒b 产生的焦耳热为12J
D．为使两金属棒不相碰，则初始距离最小为2m
【答案】AC
【详解】A．初始时刻，回路中感应电动势
电流
对全属棒b，根据牛顿第二定律得
代入数据解得
，故A 正确；
B．对整体，由动量守恒定律可得
代入数据解得
对金属棒a，由动量定理可得
，
代入数据解得
，故B 错误；
C．由上述分析可知金属棒a、b 最终以2m/s 的速度向左做匀速运动，由能量守恒定律得，整
个回路中产生热量
举一反三
则整个过程金属棒b 产生热量
，故C 正确；
D．设从初始时刻到运动状态最终稳定用时为t，由
，
，
，
可得
代入数据解得
，故D 错误。
故选AC。
【练2】（2025·安徽·模拟预测）如图，间距为
的平行导轨由倾斜部分和足够长的水
平部分组成，固定放置在地面上，两部分在E、F 处通过光滑绝缘圆弧小段连接。倾斜导轨
光滑，倾角
，上端连接一个阻值
的电阻，倾斜导轨上的矩形区域KMEF 间存
在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度
，且MK 与EF 相距
；水平
导轨上的矩形区域EFGH 部分无磁场，且EF 与GH 相距为d=1m，该部分导轨粗糙，GH 右
侧导轨光滑，处于竖直向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场中。质量
、
电阻
的导体棒a 静置于水平轨道上GH 处，现让质量
、电阻
的
导体棒b 从距磁场边界MK 为
处静止释放，已知导体棒b 到达倾斜导轨底部前已
匀速，滑到水平轨道上与a 棒发生弹性碰撞，碰后a 棒向右运动
后停下，已知
，重力加速度
，导轨电阻不计，求：
(1)导体棒b 刚进入磁场
时b 棒两端的电压；
(2)导体棒b 在倾斜导轨上运动的时间；
(3)导体棒b 与水平粗糙导轨间的动摩擦因数。
【答案】(1)1.6V
(2)1.55s
(3)0.5625
【详解】（1）导体棒b 进入磁场前，做匀加速直线运动，设加速度为a，由牛顿第二定律可
得
进入磁场时速度为
，则由匀变速直线运动规律可得
解得
此时导体棒产生的电动势
结合闭合电路欧姆定律可知，此时b 两端电压
（2）进入磁场前运动时间
在磁场中匀速运动时，设此时速度为
，此时电动势
导体棒b 受到的安培力
导体棒b 受重力、支持力、安培力、由平衡条件沿斜面方向则有
此时联立解得
设导体棒b 从进入磁场到运动到斜面底部过程用时
，由动量定理可得
又因为
联立解得
则总时间
（3）碰后对a 棒由动量定理则有
其中
代入数据解得
对a、b 碰撞过程由动量守恒可得
由能量守恒可得
解得碰前导体棒b 的速度大小
导体棒b 从EF 到GH 之间运动时由动能定理则有
解得
【练3】（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD 是固定在水平桌面上，相距
的
光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为
的匀强磁场。
AC 间串接一阻值
的定值电阻，质量分别为
，
的两导体棒
a、b 垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a 棒阻值
，b 棒为超导材料。以a
棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x 轴（x 轴平行于两金属导轨），b 棒
初始所在位置坐标
。在两导轨间x 轴坐标
处存在一个弹性装置，金属棒
与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b 棒，闭合电键S，a 棒在水平向右的恒力F 作用
下，以
的速度向右匀速运动，当a 棒即将与b 棒碰撞前瞬间，b 棒的锁定被解除，
且同时撤去外力F。已知a、b 两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触
电阻不计。求：
(1)恒力F 的大小；
(2)若a、b 两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x 轴坐标？
(3)由于环境温度上升，导体棒b 的超导属性消失，电阻变为
，将恒力F 变为
，
使a 棒仍以
的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S 断开并给b 棒一个向
左的初速度2m/s，a 棒与b 棒发生弹性碰撞，则最终a、b 两棒的速度大小各为多少？从a、b
两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b 上产生的焦耳热？
【答案】(1)1N
(2)0.6m
(3)2m/s，方向向左，2m/s，方向向左，
【详解】（1）a 棒受力平衡，所以
根据电磁感应定律，a 棒切割磁场产生的电流大小为
超导材料将R 短路，则
联立解得
（2）根据动量守恒，碰撞瞬间有
碰撞后，两者粘合在一起运动直至停止（包括等速率反弹后），根据动量定理有
其中
，又因为
解得
说明后续两棒反弹了
故最终停在
处。
（3）以向右为正方向，发生弹性碰撞则有
，
其中
，
解得
，
又由于两棒系统仅受等大反向的安培力作用，故系统总动量始终为0，b 棒在运动至弹性装置
前，两棒的速度大小始终为
，通过的位移大小也始终为
，即b 棒撞上弹性装置前，a 棒
滑行了0.4m，此过程中，仍取水平向右为正方向，根据电磁感应定律，安培力大小为
根据动量定理，对a 棒有
对b 棒有
其中
，
解得
，
反弹后，导体棒b 速度反向，大小不变，向左运动过程中，系统动量守恒有
解得
即两棒稳定后，最终的速度均为向左的2m/s，该过程中，根据能量守恒有
而
考点梳理4 不等间距上的双棒模型
不等间距上的双棒模型
光滑不等距导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
运动情况
分析
杆b 受安培力做变减速运动，杆a 受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的
加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
动量
关系
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
母题考点四 不等间距上的双棒模型
【母题4】（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，
左、右两侧导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B
和B。已知导体棒MN 的电阻为R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的
质量是MN 的2 倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹
簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两
棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为
【答案】AC
【详解】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项
A 正确；
B．任意时刻，设电流为I，则PQ 受安培力
方向向左；MN 受安培力
方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ 质量为2m，则MN 质量为m，
PQ 速率为v 时，则
解得
回路的感应电流
MN 所受安培力大小为
选项B 错误；
C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得
可得则最终MN 位置向左移动
PQ 位置向右移动
因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F
弹，安培力平均值F 安，则整个过程根据动能定理
可得
选项C 正确；
D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN
向左位置移动
，PQ 位置向右移动
，则
选项D 错误。
故选AC。
【点睛】
举一反三
