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秘籍14 电磁感应中的动力学、能量、动量问题
一、电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)平衡状态——加速度为0——静止状态或匀速直线运动状态．（根据平衡条件列式分析）
(2)非平衡状态——加速度不为零．（根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析）
2．导体常见运动情况的动态分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝
↓
F 安＝BIl
↓
F 合
若F 合＝0
匀速直线运动
若F 合≠0
↓
F 合＝ma
a、v 同向
v 增大，若a 恒定，拉力F 增大
v 增大，F 安增大，F 合减小，a 减小，做
加速度减小的加速运动，减小到a＝0，
匀速直线运动
a、v 反向
v 减小，F 安减小，a 减小，当a＝0，静
止或匀速直线运动
二、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
――――――→―――→
2.求解焦耳热Q 的三种方法
（1）焦耳定律：Q＝I2Rt，电流、电阻都不变时适用
（2）功能关系：Q＝W 克服安培力，任意情况都适用
（3）能量转化：Q＝ΔE 其他能的减少量，任意情况都适用
三、电磁感应中的动量问题
1．动量观点在电磁感应现象中的应用
(1)对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应
用动量守恒定律处理问题；
1
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(2)由
·Δt＝m·Δv、q＝·Δt 可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来
解决问题．
2．安培力对时间的平均值的两种处理方法
力对时间的平均值和力对位移的平均值通常不等。力对时间的平均值可以通过作 F-t 图象，
求出曲线与 t 轴围成的面积（即总冲量），再除以总时间，其大小就是力对时间的平均值¯Ft 。
（1）角度一 安培力对时间的平均值求电荷量
安培力的冲量公式是
FΔt=BIL Δt=BLq=BL ΔΦ
R ，这是安培力在电磁感应中的一个重要推论。感
应电流通过直导线时，直导线在磁场中受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的
大小为F=BIL。在时间△t 内安培力的冲量
根据电流的定义式
¯I=q
t ，式中q 是时间t 内通过导体截面的电量
欧姆定律
¯I= ¯E
R ，R 是回路中的总电阻
电磁感应中
¯E= Δφ
Δt 可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特
殊应用。
（2）角度二 安培力对时间的平均值求位移
安培力的冲量公式是
①
闭合电路欧姆定律
②
平均感应电动势：
③
位移：
④
联立 ①②③④
得
这是安培力在电磁感应中的又一个重要推论。
【题型一】电磁感应中的动力学问题
2
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【典例1】（2024·北京西城·模拟预测）如图甲所示，两间距为L 的平行光滑金属导轨固定在
水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R
的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F 的恒力作用下向右运动，金属棒运动过
程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，不计金属
导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的
均为已知量，则下列说法不正确的
是（ ）
A．金属棒的质量为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．当拉力F 做功为W 时，通过金属棒横截面的电荷量为
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
【答案】C
【详解】A．由题意可知
得
结合图像可知
解得
故A 正确；
B．由题意可知
3
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得
结合图像可知
解得
故B 正确；
C．当拉力F 做功为W 时，金属棒运动的距离为
则通过金属棒截面的电量
故C 错误；
D．某时刻撤去拉力，此后
则
故D 正确。
本题选不正确的，故选C。
【典例2】（2024·广西南宁·模拟预测）如图所示，电阻不计且间距L=1m 的光滑平行金属导
轨所在平面与水平面成53°角，上端接一阻值R=2Ω 的电阻，过虚线
的竖直面的左侧方有
磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场，现将质量m=0.2kg、电阻r=1Ω 的金属杆ab 从
斜面上由静止释放，释放位置与虚线
之间的距离为x=1m。金属杆在下落的过程中与导轨
一直垂直，且保持良好接触，导轨足够长，g 取10m/s2，sin53°=0.8。则（ ）
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A．金属杆ab 在整个运动过程机械能守恒
B．金属杆ab 刚进入有界磁场时的速度大小为4m/s
C．金属杆ab 刚进入有界磁场时的加速度大小为3.2m/s²
D．金属杆ab 在磁场中运动的最大速度的大小为
【答案】BD
【详解】A．金属棒进入磁场后，金属棒切割磁感线，回路中产生感应电流，金属棒一部分
机械能转化为回路的焦耳热，可知金属杆ab 在整个运动过程机械能不守恒，故A 错误；
B．金属棒进入磁场之前做匀加速直线运动，对金属棒分析有
根据速度与位移的关系有
解得
故B 正确；
C．金属杆ab 刚进入有界磁场时的感应电动势
感应电流为
对金属棒分析有
解得
故C 错误；
D．结合上述，对金属棒分析可知，金属棒进入磁场后先向下做加速运动，感应电动势增大，
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感应电流增大，安培力增大，则加速度减小，当加速度为0 时，速度达到最大，之后向下做
匀速直线运动，则有
其中感应电流为
解得
故D 正确。
故选BD。
【典例3】如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ 相距为L，导轨平面与水平
面的夹角
，导轨电阻不计，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．长为L
的金属棒垂直于MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量m、电阻为
R．两金属导轨的上端连接一个电阻,其阻值也为R．现闭合开关K ，给金属棒施加一个方向
垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F＝2mg 的恒力，使金属棒由静止开始运动，若
金属棒上滑距离为s 时速度恰达到最大，最大速度vm．（重力加速度为g，
sin37°=0.6,cos37°=0.8）求：
（1）求金属棒刚开始运动时加速度大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）求金属棒由静止开始上滑2s 的过程中，金属棒上产生的电热Q1。
【答案】（1）1.4g（2）
（3）
【详解】（1）根据牛顿第二定律
F-mgsin37°=ma
F=2mg
所以
a=1.4g
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（2）由
解得
（3）由能量关系可知
而
Q1=
Q
得
1．（23-24 高三上·全国·阶段练习）定义“另类加速度”
，A 不变的运动称为另类匀变
速运动。若物体运动的A 不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个
正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线
框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为，穿出磁场后速度
为
。下列说法中正确的是（ ）
A．线框在进入磁场的过程中，做匀变速运动
B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A 是变化的
C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
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【答案】C
【详解】A．线框在进入磁场的过程中，受到向左的安培力而做减速运动，线框受到的安培
力大小
可知，随着速度减小，线框受到的安培力减小，加速度减小，所以线框在进入磁场的过程中，
做加速度逐渐减小的减速直线运动，故A 错误；
B．线框在进入磁场的过程中，取向右为正方向，根据动量定理得
其中
解得
所以另类加速度A 不变，故B 错误；
CD．线框在进入磁场的过程中，取向右为正方向，根据动量定理
线框穿出磁场的过程中，同理
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选C。
2．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑
连接，导轨电阻不计。质量均为
电阻均为的金属棒b 和c，静止放在水平导轨上且与导轨
垂直。图中虚线de 右侧有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场。质量也为
的绝缘棒a 垂
直于倾斜导轨，从离水平导轨的高为处由静止释放。已知绝缘棒a 滑到水平导轨上与金属棒
b 发生弹性正碰，金属棒b 进入磁场后始终未与金属棒c 发生碰撞。重力加速度为。以下正
确的是（ ）
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A．a 与b 碰后分离时b 棒的速度大小为
B．当b 进入磁场后速度大小为
时，b 的加速度大小变为初始加速度大小的
C．b 棒产生的焦耳热为
D．b 进入磁场后，b、c 间距离增大了
【答案】AB
【详解】A．绝缘棒a 滑到水平导轨上速度设为v0，由动能定理
得
a 与金属棒b 发生弹性正碰，质量相等，故碰后速度交换，a 速度变为零，b 获得v0的速度，
故a 与b 碰后分离时b 棒的速度大小为
，A 正确；
B．b 刚进入磁场时，加速度为
b 进入磁场后，切割磁感线产生感应电流，受向左的安培力而减速，c 受向右的安培力而加速，
系统合外力为零，由动量守恒知
将
代入得
此时回路的总电动势为
此时b 的加速度为
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B 正确；
C．当b 与c 速度相等时，b 棒上停止生热，由动量守恒
得
由能量守恒，设b 棒上产生的焦耳热为Q，有
知
C 错误；
D．b 进入磁场后减速，c 加速直至速度相同，二者间距缩小，设为Δx，对c，由动量定理
又
联立可得b、c 间距离缩小了
D 错误。
故选AB。
3．（2024·江西九江·二模）如图甲所示，两根光滑平行导轨固定在水平面内，相距为L，电
阻不计，整个导轨平面处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中，导轨左端接有阻
值为R 的电阻，沿导轨方向建立x 坐标轴。质量为m、电阻为r 的金属棒ab 垂直导轨放置在
处。在金属棒ab 上施加x 轴方向的外力F，使金属棒
开始做简谐运动，当金属棒运
动到
时作为计时起点，其速度随时间变化的图线如图乙所示，其最大速度为。求：
（1）简谐运动过程中金属棒的电流i 与时间t 的函数关系；
（2）在
时间内通过金属棒的电荷量；
（3）在
时间内外力F 所做的功；
（4）外力F 的最大值。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）由图乙可知简谐运动的周期
由此可得
根据图像乙可知速度与时间的变化关系满足余弦函数，可得其关系为
由闭合回路的欧姆定律有
（2）根据对称性可知在
时，金属棒到达
处，则在
时间内通过金属棒的电荷量
（3）简谐运动过程回路电流为余弦式交流电，在0 到
时间内，电路产生热量
其中
，
解得
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设在0 到
的时间内外力
所做的功为
，安培力所做的功为
，由动能定理得
其中
解得
（4）由牛顿第二定得
整理得
则外力F 的最大值
【题型二】 电磁感应中的能量问题
【典例1】如图所示，倾斜放置的固定光滑金属导轨，与水平方向的夹角为θ，其下端由导线
连接。导轨所在平面两个区域存在着如图所示的磁感应强度大小分别为B 和2B 的匀强磁场Ⅰ
和Ⅱ。区域Ⅰ的磁场方向垂直于导轨平面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直于导轨平面向下，磁
场边界EF、GH、PQ 均平行于斜面底边，EG、PG 长度均为L。一个质量为m、电阻为R、
边长为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，下滑过程中ab 边始终与斜面底边平行。
时刻ab 边刚越过EF 进入磁场区域Ⅰ，此时导线框恰好以速度做匀速直线运动；时刻ab
边下滑到GH 与PQ 的中间位置，此时导线框又恰好以速度
做匀速直线运动。重力加速度为
g，下列说法中正确的是（ ）
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A．导线框两次做匀速直线运动的速度之比
B．当ab 边刚越过GH 时，导线框的加速度大小为
C．从到的过程中，克服安培力做的功等于机械能的减少量
D．从到的过程中，有
的机械能转化为电能
【答案】BC
【详解】AB．ab 边刚越过EF 进入磁场区域Ⅰ时，导线框速度为，根据平衡条件，有
当ab 边刚越过GH 时，导线框的速度仍为，由于ab、cd 两个边切割磁感线产生的感应电动
势方向相同，故电流增加为原来的3 倍，ab 边和cd 边均受到向上的安培力，此时
解得加速度
ab 边下滑到GH 与PQ 的中间位置时，导线框的速度为
，根据平衡条件，有
联立解得
故A 错误，B 正确；
C．从到的过程中，根据功能关系，克服安培力做的功等于机械能的减少量，故C 正确；
D．从到的过程中，根据能量守恒定律可知，有
的机械能转化为电能，故D 错误。
故选BC。
【典例2】（2024·广东·二模）发电机的工作原理可以简化为如图所示的情景。质量为
的导
体棒垂直于光滑导轨放管，导轨间距为，导轨间分布着垂直于导轨平面、磁感应强度大小为
的匀强磁场。将负载（电阻为的电热毯）接入导轨中形成闭合回路，导体棒在恒力
的作
用下由静止开始沿光滑导轨运动。时刻，导体棒速度达到。导轨和导体棒电阻忽略不计，
导轨无限长，导体棒始终与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（ ）
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A．时刻，导体棒运动速度
B．
时间内发电机电动势随时间先增大后不变
C．时刻，电热毯的功率为
D．电热毯的功率最终将达到
【答案】CD
【详解】A．根据动量定理有
则
A 错误；
B．导体棒在恒力
的作用下运动，由于电动势
电流
导体棒所受安培力
导体棒的加速度
由此可知，随着导体棒速度的增大，加速度逐渐减小，当加速度减小为零后，导体棒做匀速
运动，由于不知道时刻加速度是否为零，则发电机电动势可能随时间先增大后不变，也可能
一直增大，B 错误；
C．时刻，电热毯的功率
C 正确；
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D．最终，导体棒匀速，即
此时
电热毯的功率
D 正确。
故选CD。
【典例3】（2024·陕西西安·三模）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为。
区域有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆
M 以初速度
向右运动，磁场内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运
动过程中始终与导轨垂直。已知杆M 的质量为
，在导轨间的电阻为，杆N 的质量为
，
在导轨间的电阻为
，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力
的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求:
N
①
在磁场内运动过程中N 上产生的热量
；
②初始时刻N 到
的最小距离。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
；②
【详解】（1）细金属杆M 以初速度
向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为
，电流的大小为
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则所受的安培力大小为
方向水平向左。
（2）（1）
棒所受安排力等大反向，故两棒系统动量守恒。设
棒出磁场时
棒的速度
大小为，有
由系统能量守恒知
棒产生的总热量为
则
上产生的热量为
可得
（2）设
在磁场中任意时刻的速度分别为
和
，金属杆
在磁场内运动过程中，由动量
定理有
其中
设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，则
联立可得
若两杆在磁场内刚好未撞，N 到
的最小距离为
1．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，两根足够长的平行金属导轨
固定在倾角
的绝缘斜面上，其下端开口，顶部并联接入阻值
的两个相同定值电阻，导轨间距
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，整个装置处于磁感应强度
的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。一质量
、长度
、电阻
的直金属棒
垂直放置在导轨上，导轨电阻不计。金属棒
从静止释放至达到最大速度过程中，棒上产生的总电热为
，棒始终与导轨垂直并接触良
好。不计空气阻力，金属棒
与导轨间的动摩擦因数
，重力加速度取
，
，则该过程中，金属棒
沿斜面下滑的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设金属棒ab 达到的最大速度为v，由牛顿第二定律有
从静止释放至达到最大速度过程中，设金属棒ab 沿斜面下滑的距离为x，金属棒ab 上产生的
总电热
，则两个并联定值电阻
产生的总电热为
由能量守恒定律有
联立解得
故选B。
2．（2024·陕西宝鸡·二模）如图所示，两平行金属导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨
窄轨部分间距为L，处在竖直向上、磁感应强度为2B 的匀强磁场中，宽轨部分间距为2L，处
在竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。现将两根质量均为m 的导体棒a、b 分别静置在
弧形导轨和水平宽轨上，导体棒a 从距水平导轨h 处静止释放。两金属棒在运动过程中始终
与导轨垂直且与导轨接触良好。两导体棒接入电路的电阻均为R，其余电阻不计，宽轨和窄
轨都足够长，a 棒始终在窄轨磁场中运动，b 棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为g，不
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计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．a 棒刚进入磁场时，b 棒的加速度水平向左
B．从a 棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，b 棒上产生的焦耳热为
C．从a 棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，通过b 棒的电量为
D．从a 棒进入磁场到两棒达到稳定的过程中，a、b 棒与导轨所围线框的磁通量变化了
【答案】ACD
【详解】A．根据右手定则可知，a 棒刚进入磁场时感应电流为逆时针方向，则对b 棒由左手
定则可知其所受安培力水平向左，则加速度水平向左，故A 正确；
BC．对a 棒由机械能守恒有
金属棒a 进入磁场后切割磁感线产生感应电动势，回路中产生产生感应电流，金属棒b 受安
培力而运动切割磁感线，产生“反电动势”，当两棒达到稳定时即各自产生的感应电动势大
小相等，设此时其速度分别为
、
，则有
解得
对杆a、b 分别应用动量定理有
联立以上各式解得
由能量守恒有
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解得
则b 棒上产生的焦耳热为
通过b 棒的电量为
故B 错误，C 正确；
D．根据
可得两棒稳定的过程中磁通量的变化量
故D 正确。
故选ACD。
3．（2024·河北沧州·一模）如图甲所示，光滑绝缘水平面上有两个间距为L 且不计电阻的平
行金属导轨，将其固定放置在水平向右的匀强磁场中（磁场未画出），磁感应强度大小为
B，其中导轨左侧半圆的半径为1.5R，右侧半圆的半径为R，其正视图如图乙所示。金属棒
M、N 完全相同、电阻均为r，其在外力作用下同时由金属导轨半圆顶端以角速度
沿顺时针
方向做匀速圆周运动至圆心等高处。金属棒始终与金属导轨接触良好，金属棒M、N 在此运
动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．无电流流过金属棒
B．流过导轨某一截面的电荷量
C．流过金属棒的电流有效值
D．回路中产生的焦耳热
【答案】BD
【详解】A．根据
可知两导体棒切割磁感线的速度不同，则有电流通过金属棒，故A 错
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误；
B．根据法拉第电磁感应定律可知
根据电流的定义式有
故B 正确；
C．流过金属棒的电流的最大值为
根据题意可知金属棒在垂直磁感线方向切割磁感线的速度满足正余弦关系，故产生的感应电
动势满足正余弦关系，故有效值为
故C 错误；
D．根据焦耳定律可知
故D 正确；
故选BD。
4．（2024·黑龙江·二模）如图所示，相距为L 的光滑平行水平金属导轨MN、PQ，在M 点和
P 点间连接一个阻值为R 的定值电阻。一质量为m、电阻也为R、长度也刚好为L 的导体棒垂
直搁在导轨上的a、b 两点间，在导轨间加一垂直于导轨平面竖直向下的有界匀强磁场，磁场
宽度为d，磁感应强度大小为B，磁场左边界到ab 的距离为d。现用一个水平向右、大小为F
的力拉导体棒，使导体棒从a、b 处由静止开始运动，导体棒进入磁场瞬间，拉力方向不变、
大小变为2F。已知导体棒离开磁场前已做匀速直线运动，导体棒与导轨始终保持良好接触，
导轨电阻不计。求：
（1）导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压；
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，导体棒上产生的焦耳热；
（3）若要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，磁场左边界到ab 的距离应调整为多少？
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设导体棒进入磁场瞬间的速度大小为，对导体棒，由动能定理有
解得
此时导体棒产生的感应电动势为
导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压为
（2）设导体棒出磁场时的速度大小为
，感应电流为
根据平衡条件得
解得
对导体棒通过磁场过程，由能量守恒有
根据功能关系有
联立解得导体棒上产生的焦耳热为
（3）要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，则进入磁场时的速度大小应为
，对导体棒，
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由动能定理有
解得
【题型三】 电磁感应中的动量问题
【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，间距为L 的光滑平行导轨竖直固定放置，导轨上端
接有阻值为R 的定值电阻，矩形匀强磁场的宽度为d，磁场的磁感应强度大小为B。一根质量
为m、电阻为R 的金属棒由静止释放，释放的位置离磁场的上边界距离为2d，金属棒进入磁
场后穿出，金属棒运动过程中始终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度
为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生逆时针的电流
B．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生顺时针的电流
C．金属棒刚进入磁场时的速度大小为
D．金属棒穿过磁场后，流经电阻R 的电荷量为
【答案】AD
【详解】AB．根据右手定则可知，金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生逆时针的电流，故
A 正确，B 错误；
C．金属棒进入磁场前做自由落体运动，则有
解得，金属棒刚进入磁场时的速度大小为
故C 错误；
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D．由公式
、
和
可得
则金属棒穿过磁场后，流经电阻R 的电荷量为
故D 正确。
故选AD。
【典例2】（2024·云南·模拟预测）如图所示，在两根水平的平行光滑金属导轨右端c、d 处，
连接两根相同的平行光滑
圆弧导轨。圆弧导轨均处于竖直面内，与水平轨道相切，半径
，顶端a、b 处连接一阻值
的电阻，平行导轨各处间距均为
，导轨电阻
不计。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小
。一根质量
、电
阻
的金属棒
，在水平拉力F 作用下从图示位置由静止开始做加速度为
的匀加
速直线运动，运动到
处时拉力
。金属棒运动到
处后，调节拉力F 使金属棒沿圆
弧导轨做匀速圆周运动至
处。金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度
大小
。下列说法正确的是（ ）
A．金属棒运动过程中e 端电势小于f 端电势
B．金属棒做匀加速直线运动的时间为2s
C．金属棒做匀加速直线运动过程中通过金属棒的电荷量为0.5C
D．金属棒从cd 运动至ab 的过程中电阻R 中产生的热量为
【答案】ACD
【详解】
A．根据右手定则可知，金属棒运动过程中e 端电势小于f 端电势，故A 正确；
B．金属棒运动到cd 处的速度
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当金属棒在cd 时，其产生的感应电动势为
产生的电流为
金属棒所受的安培力为
据牛顿第二定律得
联立以上代入数据解得
故B 错误；
C．金属棒做匀加速直线运动过程中，通过金属棒的电荷量为
又有
，
联立解得
故C 正确；
D．设金属棒做匀速圆周运动的速度v 与磁场正方向的夹角为
，则垂直磁场方向的分速度
则
有效值
则
其中
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电阻R 中产生的热量为
解得
故D 正确。
故选ACD。
【典例3】（2024·江苏南京·一模）如图所示，足够长“V”字形的金属导轨两侧与水平地面的
夹角
，最低点平滑连接，其间距为
，左端接有电容
的电容器。质量
的导体棒可在导轨上滑动，导体棒与两侧导轨间的动摩擦因数相同，导体棒和导轨的
电阻均不计。导轨左右两侧存在着垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度
。现
使导体棒从左侧导轨上某处由静止释放，经时间
第一次到达最低点，此时速度
，然后滑上右侧导轨，多次运动后，最终停在导轨的最低点。整个过程中电容器未
被击穿，忽略磁场边缘效应和两个磁场间相互影响，重力加速度g 取10
，
，
。求：
（1）导体棒第一次运动到最低点时，电容器所带电荷量Q；
（2）动摩擦因数
和导体棒第一次运动到最低点时，电容器储存的能量
；
（3）导体棒运动的总时间
。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）在最低点，导体棒切割磁场，电容器两端电压与导体棒两端电动势相等，有
电容器的电容
联立解得
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（2）导体棒由在左边导轨上静止释放后，在下滑过程中受力分析如图：
解法一：沿斜面方向由动量定理得
解得
电容器储存的能量
解得
解法二：沿斜面方向由牛顿第二定律得
又
解得
根据电容器储存能量公式
又
解得
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（3）根据分析可知道，物体冲上右边导轨后，电容器放电，导体棒安培力沿斜面向上，受力
分析图如图所示：
根据牛顿第二定律得
又
解得
则
，
物体上滑到右侧最高点位移
解得
同理，导体棒从右侧斜面最高点滑下过程中电容器充电，加速大小等于
，导体棒第二次经
过最低点时假设其速度为
，则
解得
导体棒从右侧轨道上滑到达最高点后以
向下匀加速，到达最低点后以加速度
减速滑上左
侧轨道，如此往复，直至停在最低点。根据运动学规律，易得在两边导轨加速下滑过程时间
依次为
，
，
，
…
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在两边导轨减速上滑过程时间依次为：
，
，
，
…
所以
1．（2024·福建漳州·三模）如图为某跑步机测速原理示意图。绝缘橡胶带下面固定有间距
、长度
的两根水平平行金属导轨，导轨间矩形区域内存在竖直向下的匀强磁场。
两导轨左侧间接有
的电阻，橡胶带上嵌有长为L、间距为d 的平行铜棒，每根铜棒的
阻值均为
，磁场区中始终仅有一根铜棒与导轨接触良好且垂直。健身者在橡胶带上跑步
时带动橡胶带水平向右运动，当橡胶带以
匀速运动时，理想电压表示数为
，则
（ ）
A．铜棒切割磁感线产生的电动势为
B．磁场的磁感应强度大小为
C．每根铜棒每次通过磁场区域通过R 的电荷量为
D．每根铜棒每次通过磁场区域克服安培力做的功为
【答案】AD
【详解】
AB．橡胶带以
匀速运动时，铜棒切割磁感线产生的电动势
其中
其中
，解得铜棒切割磁感线产生的电动势为
磁场的磁感应强度大小为
故A 正确，B 错误；
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C．每根铜棒每次通过磁场区所用时间
其中
则通过R 的电荷量大小
故C 错误；
D．铜棒通过磁场时受到的安培力的大小为
每根铜棒每次通过磁场区时克服安培力做的功
故D 正确。
故选AD。
2．（2024·湖北·二模）如图所示，间距均为d 的倾斜金属导轨AD、HG 与水平金属导轨
DE、GF 在D、G 两点用绝缘材料平滑连接。在ADGH 平面内存在垂直于导轨平面向上、磁
感应强度为
的匀强磁场，在DEFG 平面存在竖直向上、磁感应强度为
的匀强磁场．在
AD、HG 间连接一电容为C 的电容器和一个自感系数为L 的电感线圈，在EF 间接一小灯泡。
开始时，开关S 断开，一质量为m、长为d 的金属棒在倾斜导轨上从距水平地面高为h 的位
置由静止释放，不计导轨和金属棒的电阻及一切摩擦，已知重力加速度为g，电容器的耐压
值足够高．则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动
B．金属棒在水平导轨上做匀减速运动
C．金属棒进入DEFG 区域后，闭合开关S 瞬间，通过L 的电流最小
D．在整个过程中，通过小灯泡的总电荷量为
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【答案】AC
【详解】A．金属棒在倾斜导轨上由静止释放，则金属棒做加速下滑，金属棒切割磁感线产
生感应电动势为
由于对电容器充电，则电路中有电流产生，金属棒受到安培力作用，方向与金属棒运动方向
相反。电容器所带的电荷量为
电容器充电电流为
设倾斜金属导轨平面与水平面夹角为θ，对金属棒由牛顿第二定律可得
解得
由于m、θ、C、B1、d 都是定值，则加速度a 是定值，可知金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动，
A 正确；
B．金属棒在水平导轨上做切割磁感线运动产生感应电动势，产生感应电流，金属棒受到安
培力作用，安培力与金属棒运动方向相反，安培力对金属棒产生加速度，使金属棒做减速运
动，设小灯泡的电阻为R，则安培力为
一方面小灯泡的电阻R 随温度变化，另外，金属棒最哦减速运动，则
不是定值，则安培力
是变力，因此金属棒做变加速运动，B 错误；
C．金属棒进入DEFG 区域后，闭合开关S 后，电容器与电感线圈组成LC 振荡电路，由LC
振荡电路中的振荡电流特点，在闭合开关S 瞬间，通过L 的电流是零最小，C 正确；
D．由速度位移关系公式可得，金属棒在进入DEFG 区域时的速度大小为
金属棒在水平导轨上做减速运动，最后速度减到零，设通过小灯泡的平均电流为，对金属
棒由动量定理可得
又有
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解得
D 错误。
故选AC。
3．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，竖直放置的光滑导轨宽为L，上端接有阻值为R 的电
阻，导轨的一部分处于宽度和间距均为d、磁感应强度大小均为B 的4 个矩形匀强磁场中。水
平金属杆ab 在距离第1 个磁场h 高度处由静止释放，发现金属杆每次进入磁场时的速度都相
等。金属杆接入导轨间的电阻为2R，与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速
度为g，求：
（1）金属杆从释放到穿出第1 个磁场的过程，通过电阻R 的电荷量；
（2）金属杆从第4 个磁场穿出时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，通过电阻R 的电荷量为
解得
（2）金属杆进入磁场1 和2 时的速度相等，则金属杆通过磁场1、2、3、4 产生的热量相等，
即
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设金属杆从第4 个磁场穿出时的速度大小为v，根据能量守恒定律有
解得
4．（2024·福建莆田·二模）福建舰成功实现电磁弹射试验后，某兴趣小组设计了一个模拟电
磁弹射系统，如图甲所示，系统左侧接有直流电源、单刀双掷开关S 和电容为C 的电容器，
右侧是离水平地面高为h 的水平光滑平行金属导轨，导轨上放置一绝缘的助推模型，其外层
固定一组金属线圈，线圈两端通过电刷与导轨连接形成回路，线圈处于导轨间的辐射状磁场
中，侧视图如图乙所示。首先将开关S 接至1，使电容器完全充电；然后将S 接至2，模型从
静止开始加速，达到最大速度后脱离导轨落在水平地面上，落地点离导轨右端点的水平距离
为s。已知助推模型（含线圈、电刷）的质量为m，重力加速度为g；线圈的半径为r，匝数
为n，总电阻为R，其所在处的磁感应强度大小均为B。不计空气阻力、导轨电阻、线圈中电
流产生磁场和线圈自感的影响。求模型
（1）在轨道上的最大速度vm；
（2）离开轨道后电容器所带的电荷量q；
（3）在轨道上的最大加速度am。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）助推模型达到最大速度后脱离导轨后，做平抛运动，则
解得在轨道上的最大速度为
（2）离开轨道后电容器两端的电势差为
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离开轨道后电容器两端所带的电荷量为
（3）助推模型刚在轨道上运动时，加速度最大，设助推模型刚在轨道上运动时，电容器两端
的电势差为
，根据动量定理有
其中
解得
根据牛顿第二定律有
电流为
联立解得在轨道上的最大加速度为
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