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专题25 电磁感应的综合问题
题型一 电磁感应中的图像问题.............................................................................................................1
类型1 动生电动势的图像..............................................................................................................2
类型2 感生电动势的图像..............................................................................................................5
类型3 动力学图像..........................................................................................................................8
题型二 电磁感应的动力学问题...........................................................................................................11
题型三 电磁感应中的动力学和能量问题...........................................................................................14
题型四 动量定理与电磁感应结合问题...............................................................................................15
类型1 “单棒+电阻”模型..........................................................................................................15
类型2 双棒模型.............................................................................................................................18
类型3 “电容器+棒”模型..........................................................................................................21
题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用...............................................................................24
题型一 电磁感应中的图像问题
1．图象类型
(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E 和感应电流I，随时间t 变化的图象，即B－t 图象、
Φ－t 图象、E－t 图象和I－t 图象．
(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E 和感应电流I 随
位移x 变化的图象，即E－x 图象和I－x 的图象．
2．问题类型
(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．
(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
(3)利用给出的图象判断或画出新的图象．
类型1 动生电动势的图像
1.
已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小B =k I
r
，其中k是常量。I是导线中的电
流，r是空间某点到导线的垂直距离。如图所示，在水平面上固定间距为d的光滑导轨，左端
接有阻值为R的电阻。一质量为m、阻值也为R的导体棒MN在水平拉力作用下沿导轨运动，已
知运动过程中电阻R上的电功率恒为P，不计导轨电阻，导体棒的速度v和加速度a随导体棒到
直导线的距离r关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
如图1 所示，两根光滑长直导轨AM 和AN 在A 点连接，处于磁感应强度为B 的匀强
磁场中。一根长直金属杆垂直AM 放置，开始时与A 点相距L，杆与A 点之间的导轨上连接一
阻值为R 的电阻。t =0时刻，在水平外力作用下，杆沿平行AM 方向以初速度v0水平向右运动，
位移为L 时到达PQ，杆速度倒数1
v
与位移x 间的关系如图2 所示，不计其余电阻。则（ ）
A．前一半时间内的平均感应电动势比后一半时间内的平均感应电动势小
B．位移L
2 时，速度大小为3 v0
4
C．运动到PQ 过程中，通过电阻的电量为3 B L
2
2 R
D．运动到PQ 过程中，电阻上产生的热量为3 B
2v0 L
3
2 R
3.
如图1 所示，固定在水平地面上的两足够长平行光滑金属导轨ae、bf 相距L=0.5 m，
与水平地面间的夹角为θ =30°，导轨底部连接一阻值R =2Ω的电阻，两导轨的ac 段、bd 段
长度均为l = 4.5 m、导轨单位长度的电阻为ρ=0.5Ω/ m，ce 段和df 段的电阻可忽略，整个装
置处于磁感应强度大小为B =2.0T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中，一质量m=0.2kg、
电阻不计的导体棒垂直导轨放置在最底端。t =0时刻起，对导体棒施加一平行导轨向上的拉力
F，导体棒向上运动的v -t图像如图2 所示，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m /s
2。在上述
过程中，求∶
(1)导体棒运动到cd 处时受到的安培力大小；
(2)流过电阻R 的电流与导体棒运动时间t 的关系式；
(3)导体棒在ac、bd 段运动过程中所受拉力F 的最大值。
4.
如图所示，ABC、DEF 为电阻忽略不计的金属导轨，导轨间距不变。AB、DE 部分水
平，粗糙，其间有竖直向下、大小为B 的匀强磁场。BC、EF 部分倾斜，光滑。G、H 为BC、
EF 上的两等高点，GH 与BE 平行，离CF 足够远。GHFC 间有垂直GHFC 向下、大小为B 的
匀强磁场。初始时导体棒MN 静置于AB、DE 上，MN 离BE 足够远。导轨、导体棒接触良好。
导体棒PQ 从倾斜导轨上GH 上方某处无初速释放，则导体棒PQ 从释放到进入磁场中的一段
时间内的速度时间图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
某游乐园中过山车从倾斜轨道最高点无动力静止滑下后到水平直轨道停下。为保证安
全，水平轨道上安装有磁力刹车装置，其简化示意图如图所示。水平直轨道右侧与定值电阻R
相连，虚线PQ的右侧有竖直向上的匀强磁场，左侧无磁场。过山车的刹车金属片可等效为一
根金属杆ab，其从倾斜轨道上某一位置由静止释放，最终静止在水平轨道某一位置，忽略摩
擦力和空气阻力。下列关于金属棒ab运动过程中速率v、加速度大小a与运动时间t或运动路程
s的关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
类型2 感生电动势的图像
6.
如图甲所示，金属圆环和金属线框相互靠近且固定在水平面上，金属棒PQ 放在金属
框上，圆环a、b 端接如图乙所示的余弦交变电流，金属棒PQ 始终保持静止。以图甲中电流
方向为正方向，则下列说法正确的是（ ）
A．0~t1内，金属棒中的感应电流方向为P→Q
B．t1~t2内，金属棒受到水平向右的静摩擦力
C．t2时刻，金属棒受到的安培力最大
D．t2~t3内，金属棒中的感应电流先增大后减小
7.
如图甲所示，圆形线圈置于垂直线圈平面向外的匀强磁场中，阻值为R的电阻两端分
别与线圈两端c、d相连，其他电阻忽略不计。磁感应强度B 随时间t变化的规律如图乙所示，
不考虑线圈缺口对感应电动势的影响，下列关于感应电流i、通过电阻R的电荷量q、电阻R中
产生的热量Q、线圈的张力F随时间t变化的图像中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.
某同学设计了图（a）所示装置模拟涡流的形成。用n 个横截面积均为S、电阻率均为
ρ 的同轴薄金属圆环条模拟“圆盘形导体”，内环半径及相邻环的间距均为r（r 远大于环的厚
度）；将“圆盘形导体”水平放置在竖直方向、磁感应强度B 随时间t 按正弦规律变化的交变
圆形磁场区域中，圆形磁场区域半径为4r，圆心与圆盘形导体圆形重合，其B-t 图像如图
（b）所示（规定竖直向上为正方向）。不考虑环中感应电流磁场的影响，则（ ）
A．t = 1
f
时刻，从上往下看，各环内感应电流均为顺时针方向
B．t = 1
6 f
时刻，内环中感应电流大小为❑√3πrf B0 S
2 ρ
C．t = 1
4 f 时间内，半径为5r 的圆环条通过横截面的电荷量为5 B0rS
2 ρ
D．半径为5r 圆环条的平均发热功率为256π
3 B0
2r
3 f
2S
5 ρ
9.
如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长
为L 的导体棒ab 绕固定于圆心的a 端以角速度ω 顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、
PQ 间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a 端相连，M、P 间接有定值电阻R；长为L 的
导体棒cd 与MN、PQ 垂直且接触良好，cd 始终处于垂直纸面向外的“
”形磁场中，磁感应
强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0 时刻cd 棒从磁场的上边界以ωL
2
的速度开始向下匀
速运动，t0时刻锁定cd 棒。已知Rab=Rcd=R，其它电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的
是（ ）
A．0~t0通过MP 的电流大小为B0 L
2ω
3 R
B．cd 棒的质量为B0
2 L
3ω
3 gR
C．t0~2t0通过MP 间电阻的电量为B0 L
2ωt0
3 R
D．t0~2t0回路消耗的总功率为2B0
2 L
4ω
2
3 R
10. 如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小B 随时间t 的变化关
系如图乙所示磁的磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r 的圆环形光滑细玻璃管，环心
O 在区域中心。一质量为m、带电荷量为（q（q>0）的小球t=0 时静止在管内的E 点，2T0时刻
小球第二次经过F 点且不受细管侧壁的作用力，角EOF 为120°，小球在运动过程中电荷量保
持不变，对原磁场的影响可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．2T0时刻小球过F 点的速度大小为q B0r
2m
B．小球两次过F 点时受到洛伦兹力的大小之比为2 5∶
C．T0时刻细玻璃管内的电场强度大小为r B0
T 0
D．T0时刻小球受细管侧壁的作用力等于零
类型3 动力学图像
11. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框ABCD；在导线框
右侧有一宽度为d (d > L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与BC边平行，磁场方向竖直向下。
导线框以某一初速度向右运动，t =0时BC边恰与磁场的左边界重合，随后导线框在垂直于BC
边的水平外力F作用下沿直线匀加速通过磁场区域。下列F -t图像中，可能正确描述上述过程
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 如图所示，正六边形线框abcdef 边长为2a，放置在绝缘平面上，线框右侧有一宽度
为4 a的匀强磁场区域，pq、mn为磁场边界线，pq //mn//ce，线框以垂直pq方向的速度匀
速向右运动。设线框中感应电流为I，磁场对线框的安培力为F。以逆时针方向为线框中感应
电流的正方向，水平向左为安培力的正方向。线框d点进入磁场时开始计时，下列图像可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13. 如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为L，磁感应强度的大小为B。一直
角边长为2 L的等腰直角三角形均匀导线框ABC 从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过
磁场区域。规定逆时针电流方向为正，水平向左为安培力的正方向。则关于线框中的电流I，
线框受到的安培力F与线框移动距离x的关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14. 如图所示，平面直角坐标系xOy 内有一边长为2a 的正六边形区域，该区域内存在垂
直于纸面向里的匀强磁场，正六边形的左顶点O 位于坐标原点。平面内有一矩形匀质导线框
MNPQ，线框边长MN =2a，NP =2❑√3a，且NP 边与y 轴重合，O 点位于NP 边的中点。施
加外力使线框自O 点开始沿x 轴水平向右匀速运动，设线框中感应电流为I，磁场对线框的安
培力为F，线框运动的位移为x，以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培
力的正方向，下列图象可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别
表示线框ab 边和cd 边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab 边始终保持与磁场水平
边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，则
下列图像可能反映线框下落过程中速度v 随时间t 变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二 电磁感应的动力学问题
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl 得F＝.
2．安培力的方向判断
(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方
向．
(2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断．
3．电磁感应中的力和运动
电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的
桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．
16. 如图所示，固定在绝缘水平面上、半径为r 的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应强
度大小为B 的匀强磁场中。竖直导电转轴OO
'经过金属圆环的圆心O 点，长度为2r、粗细均
匀的金属棒ab 的a 端固定在O 点，金属棒ab 随转轴匀速转动，转动过程中金属棒ab 与金属
圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为L、倾角为θ的平行光滑固定金属导轨，两根
导轨通过导线和电刷分别与金属圆环和导电转轴OO
'相连。导轨所在空间存在垂直导轨平面向
下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。质量为m、长度为L、电阻为R 的金属棒cd 垂直放置
在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度大小为g，除金属棒cd 外，其余电阻均不计。
(1)求通过金属棒cd 的电流I 和ab 的转动方向（从上往下看）；
(2)求金属棒ab 的角速度ω；
(3)若金属棒ab 转动的角速度变为原来的三分之一，将金属棒cd 从导轨上由静止释放，经过时间
t，金属棒cd 速度达到稳定，已知金属棒cd 运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金
属棒cd 运动的位移大小x。
17. 如图所示，左侧有一半径为R =0.5m的水平金属圆盘绕竖直中心轴OO'匀速转动，
角速度大小ω= 40rad / s。圆盘所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B1=2T。
右侧有两根足够长的光滑平行金属导轨abcd -a' b' c' d '固定在水平面内，间距d=1m，中间
部分导轨bc -b' c'非常短且光滑绝缘。导轨所在空间存在另一竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度大小B2=1T。两根质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m、阻值均为r =0.5Ω的导体棒M、
N 静止垂直放置在导轨上，导体棒M 到导轨bc -b' c'处的距离足够长，导体棒N 到导轨
bc -b' c'处的距离L=0.4 m。从圆盘中心和圆盘边缘用电刷引出两根导线分别接在两根导轨
上，闭合开关S，导体棒M 会沿金属导轨向右运动，达到最大速度后，再通过导轨bc -b' c'，
之后与导体棒N 发生弹性正碰，碰撞时间极短，不计金属圆盘和导轨的电阻，求：
(1)闭合开关S瞬间，导体棒M 的加速度大小；
(2)从闭合开关S到导体棒M 达到最大速度的过程中，通过导体棒M 的电荷量；
(3)最终稳定后，M、N 两导体棒之间的距离。
18. 新型电动汽车在制动时，可以用发电机来回收能量。假设此发电机的原理可抽象建模
如图所示。绕有n 匝导线的线圈为长方形，其面积为S，整个线圈都处在竖直向下的匀强磁场
中，磁感应强度的大小为B。线圈可绕处在线圈平面内且与磁场垂直的转轴OO
'转动，线圈外
接有阻值为R 的纯电阻负载，忽略线圈的电阻，电动汽车的质量为M。
(1)初始时刻线圈平面和磁场垂直，若线圈角速度恒为ω，写出电路开路时线圈两端的电压u 随时间
t 变化的关系式；
(2)第一种制动模式建模如下：电动汽车受到地面施加的阻力恒为f 1，发电机线圈转动导致汽车受到
的阻力与汽车的速度v 成正比，即：f 2=kv（k 为已知常量），假设汽车开始制动时的速度为v0，
经过时间t，汽车的速度减为零。求该过程中汽车前进的距离x 和回收的动能E回；
(3)第二种制动模式建模如下：假设电动汽车制动时受到的地面摩擦等阻力与发电机线圈转动导致汽
车受到的阻力相比可以忽略，即制动时汽车受到的阻力完全是由线圈转动导致的，从而汽车减少的
动能全部用来发电，回收的电能与上面图示模型中电阻R 消耗的电能相等。某时刻线圈平面和磁场
平行，此时线圈转动角速度为ω1，电动汽车在水平面上减速至速度v1，求此时汽车加速度a 的大小。
题型三 电磁感应中的动力学和能量问题
1．能量转化
导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的
能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机
械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．
2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形
式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他
形式的能转化为电能的过程．
19. 如图所示，间距L 为2m 的两根平行光滑金属导轨MN、PQ 固定在同一水平面内，导
轨电阻不计，两导轨间存在大小为0.1T、方向垂直导轨平面向外的匀强磁场，导轨左端串接一
个阻值为1Ω 的电阻，一根质量为1kg、电阻为1Ω 的导体棒垂直于导轨放在导轨上，导体棒与
绝缘T 形支架相连，当右侧的水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘边缘上的小圆柱可在T 形支架
的滑槽中滑动，从而带动T 形支架在水平方向做往复运动。小圆柱到圆盘圆心的距离为L
2
，圆
盘转动的角速度为50rad/s，A、C 两点的连线为平行于导体棒的直径，D 点为AC 右侧圆弧的
中点，导体棒与导轨始终接触良好，不计一切摩擦，求：
(1)当小圆柱转动过A 点时，导体棒中感应电动势大小EA；
(2)从小圆柱运动到AD 圆弧中点P 时，流过电阻R 的电流大小IP；
(3)小圆柱从A 点运动到D 点的过程中，T 形支架对导体棒做的功W。
20. 如图所示，固定在绝缘水平面上的、半径为r 的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应
强度大小为B₀ 的匀强磁场中。竖直导电转轴OO′经过金属圆环的圆心O 点，长度为2r、阻值
为2R、粗细均匀的金属棒ab 的a 端固定在竖直导电转轴的O 点，随转轴逆时针（从上往下
看）匀速转动，转动过程中金属棒ab 与金属圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为
2r、倾角为θ 的平行光滑金属导轨，两根导轨通过导线分别与金属圆环和导电转轴OO′相连。
导轨所在空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B0。质量为m、长度为
2r、电阻为2R 的金属棒cd 垂直放置在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度为g，除两金属
棒外其余电阻均不计。
(1)求导电转轴OO′转动的角速度ω 大小；
(2)求金属棒ab 两端的电压Uab；
(3)若金属棒ab 转动的角速度变为原来的一半，将金属棒cd 在导轨上由静止释放，经过时间t0金属
棒cd 速度达到稳定，已知金属棒cd 运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金属棒cd
运动的位移大小。
题型四 动量定理与电磁感应结合问题
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：
类型1 “单棒+电阻”模型
21. 如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接一定值
电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1 根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为
0 时被锁定；从原位置再发射第2 根相同的导体棒，导体棒以初速度5
6 v0进入磁场，速度减为
0 时被锁定；此时导轨上第1 根导体棒与第2 根导体棒之间的距离为d（d未知）。已知导体棒
的质量为m、阻值与定值电阻的阻值相同，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前
导体棒与导轨不接触），不计空气阻力及导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求：
(1)第1 根导体棒刚进入磁场时，定值电阻两端的电压；
(2)从第1 根导体棒进入磁场到第2 根导体棒被锁定，定值电阻上产生的焦耳热；
(3)能否从原位置发射第3 根相同的导体棒，进入磁场后速度为0 时被锁定，停在第2 根导体棒左侧，
与第2 根导体棒的距离也等于d（d未知）。若能，求出发射速度；若不能，通过计算说明。
22. 如图，足够长的间距d =0.5 m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨
间存在一个宽度L=1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B =2T，方向如图所示。一根质量
ma=0.1kg，阻值Ra=2Ω的金属棒a 以v0=10 m /s的初速度从左端开始沿导轨滑动，另一根
阻值Rb=3Ω的金属棒b 静止在导轨上，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨电阻不计，
则（ ）
A．金属棒a 刚进入磁场时，金属棒a 两端的电压为4V
B．金属棒a 不能穿过磁场区域
C．金属棒a 刚穿出磁场区域时的速度大小为8m/s
D．金属棒a 在磁场中运动的过程中，金属棒b 上产生的焦耳热为1.08J
23. 如图甲所示，平行金属长导轨M、N 固定在同一水平面内，导轨间距为L，电阻不计。
两虚线PQ、ST 与导轨垂直，PQ 左侧存在竖直向上的匀强磁场，ST 右侧存在竖直向下的匀强
磁场，磁感应强度大小均为B。质量为m 的金属棒ab 与导轨垂直，静置在左侧磁场中。位于
两虚线之间的金属棒cd 与导轨夹角为θ，在外力作用下以速度 v 向右始终做匀速直线运动，
从c 端进入右侧磁场时开始计时，回路中的电流i 随时间t 的变化关系如图乙所示，图中（
0~t1部分为直线t1=
L
2v tanθ
，I 1，I 2为已知量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨与导体
棒接触良好，则（ ）
A．t₁ 时刻cd 棒所受的安培力大小为B I 1 L
2sinθ
B．2t₁ 时刻金属棒cd 完全进入磁场中
C．0~2t₁ 时间内，通过回路某截面电荷量为(1- I 2
2 I 1)
mv
BL + I 1t1
D．ab 棒的最终速度大小为2v
3
24. 某电磁缓冲装置如图所示，两足够长、间距为L 的平行金属导轨置于同一水平面内，
导轨左端与一阻值为R 的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，A A1右
侧处于竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，一质量为m 的金属杆垂直导轨放置。
现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过A A1进入磁场，最终恰好停在C C1处。已知金属杆接
入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ，AB = BC =d。导轨电阻不计，重力
加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆在磁场中运动时，回路中电流沿顺时针方向
B．金属杆经过B B1时的速度小于v0
2
C．在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为1
2 mv0
2- 1
2 μmgd
D．金属杆经过A A1B1B与B B1C1C区域过程中，所受安培力的冲量相同
25. 如图1 所示，MN、PQ 为两根水平放置、相距L=1m、平行且光滑的金属导轨，PM
两点间接阻值R =2Ω的定值电阻，质量m=2kg的导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良
好。t =0时刻给导体棒施加水平向右、F =5 N的恒力，导体棒从静止开始运动，t =3.6s时导
体棒的速度v =6 m /s．已知匀强磁场的磁感应强度B =1T，方向竖直向上，不计导轨、导体
棒的电阻，重力加速度g 取10 m /s
2．则在导体棒向右运动的过程中，求：
(1)t =3.6s时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小E；
(2)t =3.6s时导体棒的加速度大小a，分析并在图2 中定性画出导体棒运动过程的速度v 随时间t 变
化的图像；
(3)t =0到t =3.6s的过程中，导体棒通过的位移大小x。
类型2 双棒模型
26. 如图所示，半径为r 的法拉第圆盘通过边缘和竖直转轴上的电刷分别与固定在绝缘平
台上的平行直导轨MN、M'N'连接，平台右下方的导轨PQ、P'Q'段是固定在竖直面内的圆心角
为60
°，半径为r 的圆弧，圆弧底端与固定在绝缘水平面上且足够长的直导轨QR、Q'R'平滑连
接，导轨间距均为L，法拉第圆盘和两部分直导轨均处在竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀
强磁场中。质量均为m、电阻均为R 的相同导体棒a 和b 分别静置在两部分直导轨上。某时刻
圆盘开始以角速度ω 匀速转动，经过一段时间后导体棒a 从NN'端水平抛出，恰能无碰撞地从
PP'处以速度v 滑入导轨，且最终恰好没有与导体棒b 相碰。已知重力加速度为g，不计一切摩
擦及空气阻力，除导体棒a 和b 外各处电阻均不计，求：
(1)导体棒a 在刚到达QQ'处时对圆弧导轨的压力大小；
(2)导体棒a 在导轨MN、M'N'上运动时产生的焦耳热Q；
(3)导体棒b 与导轨QR、Q'R'左端（QQ
'处）的初始距离x。
27. 如图所示，两根足够长的金属直导轨水平平行放置，导轨间距为L=1m，整个装置处
于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B =1T。现将质量均为m=1kg的金属棒a、b 垂
直导轨放置，a、b 金属棒接入导轨之间的电阻分别为R、3 R，R =1Ω。a 棒光滑，b 棒与导
轨间动摩擦因数μ=0.1，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导
轨，导轨电阻忽略不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g=10 m /s
2，当
给a 棒施加水平向右恒定的拉力F =2N，a 棒开始向右运动，经过时间t=3s，b 棒恰好要开始
运动，则在此过程中：
(1)a 棒速度v为多大时，b 棒开始运动？此时a 棒的加速度为多大？
(2)这段时间内通过b 棒任一截面的电量q为多大？
(3)这段时间内回路中产生的热量Q为多大。
28. 如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。
质量分别为m 和1
4 m的金属棒b 和c 静止放在间距为L 的水平导轨上，b、c 两棒均与导轨垂直
且两金属棒电阻均为R。图中de 虚线往右有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度为B。质量为m 的绝缘棒a 垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为
h。已知绝缘棒a 滑到水平导轨上与金属棒b 发生弹性正碰，金属棒b 进入磁场后始终未与金
属棒c 发生碰撞。重力加速度为g，求：
(1)绝缘棒a 与金属棒b 发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小；
(2)金属棒b 上最终产生的焦耳热；
(3)金属棒c 初始位置距离磁场边界de 的最小距离为多少？
29. 如图所示，足够长且光滑的平行金属导轨固定在水平面内， 导轨间距为L=1m，导
轨间存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T。导轨上静置有质量为m1=1kg，
电阻为R1=0.1Ω的金属棒a，质量为m2=0.5kg，电阻为R2=0.2Ω的金属棒b，两金属棒长
度均为L=1m。某时刻a获得一瞬时冲量以v0=6 m /s的速度沿导轨向右运动。两金属棒始终
与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，a、b未发生碰撞。求∶
(1)整个运动过程中，a上产生的焦耳热；
(2)开始时a、b之间的最小距离。
30. 两根平行的光滑金属轨道，间距为1m，电阻不计，每条轨道由直线部分和弯曲部分
组成，如图甲所示安装，使得MN和PQ处于同一水平面。金属杆1 静止放置在轨道的左端，
距离平面MNQP的高度为1.25 m。金属杆2 放置在轨道的右端。在MP右侧的水平轨道区域内，
存在大小为2T的竖直向上的均匀磁场。让杆2 以初速度5 m /s沿轨道向左移动，同时杆1 被释
放。在杆1 沿轨道滑动到位置MP的过程中，通过杆2 的平均电流为0.3 A。若从杆1 到达PM
的时刻开始计时，并设向右为正方向，两根杆的速度v随时间t变化关系如图乙所示。已知杆1
和杆2 的电阻分别为2Ω和5Ω，质量分别为2kg和1kg，重力加速度大小为10 m /s
2。则（
）
A．杆1 在弯曲轨道上滑动的时间为5s
B．杆1 在弯曲轨道上滑动的时间为35
3 s
C．杆2 中产生的总热量为115
6 J
D．杆2 中产生的总热量为161
6 J
类型3 “电容器+棒”模型
31. 如图所示，竖直和水平放置的等间距金属导轨由绝缘的两段四分之一圆轨连接，其半
径为L
2
，两段导轨间距均为L，分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小
均为B，竖直导轨上端接电容为C的电容器。现将质量为m，电阻不计的导体杆甲从竖直导轨
上某处静止释放，质量为m电阻为R的导体杆乙静止在水平导轨上。甲杆以速度v0在水平导轨
上与乙杆发生完全弹性碰撞，之后甲杆被锁定。忽略所有摩擦和其余电阻，杆与导轨始终垂直
且接触良好。
(1)甲杆在竖直导轨处运动时，求：
①当速度为v0
2
时，电容器所积累的电荷量q；
②该过程的加速度a。
(2)从两杆碰撞到乙杆速度减为v0
10
，求该过程中，乙杆产生的焦耳热Q。
32. 如图所示，PQ 和MN 是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于
纸面向里。PM 间接一电容为C 的电容器，ab 是一与导轨垂直且始终接触良好的金属杆。现
让 ab 由静止开始自由下落，电容器两端的电压为U，金属杆的动能为Eₖ、动量为p、机械能
为E，金属杆运动的位移为x、时间为t。假设整个过程电容器始终未被击穿，导轨及金属杆的
电阻忽略不计，则上述物理量间关系的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
33. 如图所示，足够长倾斜U型导轨顶端连有一电容器，电容器规格为“0.01F，100V”，
导轨处有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B =10T，导轨倾角θ =37°。将质
量为m=1kg的金属棒在导轨某处由静止释放，一段时间后，电容器被击穿。已知倾斜导轨宽
度为L=1m，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，sin37° =0.6，重力加速度g取10 m/s
2，
导轨及金属棒电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。以金属棒开始运动为计时起点，
下列说法正确的是（ ）
A．金属棒向下做加速度减小的加速运动，最后匀速
B．t =10s时，电容器被击穿
C．t =2s时，金属棒下滑的距离为4 m
D．t =2s时，电容器储存的电能为2J
34. 我国首艘弹射型航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电
磁弹射轨道。为了研究问题方便，将其简化为如图所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为
两个固定在水平面上、间距为L且相互平行的足够长金属导轨，整个导轨平面处在竖直向下、
磁感应强度大小为B的匀强磁场中。发射导轨的左端为储能装置电容器，电容为C。舰载机等
载体被简化为一根质量为m、长度也为L、阻值为R的金属导体棒。金属导体棒垂直放置于平
行金属导轨上，忽略一切摩擦以及导轨和导线的电阻。每次发射前对电容器进行充电，满电带
电荷量为Q，则（ ）
A．导体棒能获得的最大发射速度为BLQ
m
B．闭合开关瞬间，导体棒的加速度为BQL
CmR
C．闭合开关后，导体棒做匀加速直线运动
D．整个发射过程中流过导体棒的电荷量最大为
mQ
m+C B
2 L
2
35. 某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不
同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为
R 的金属棒MN 通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小
均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为
E，内阻为r 的电源给金属棒供电，棒MN 受到阻力f 方向与速度相反，大小与速度成正比，
f =kv，k 为已知常数。当MN 运动的路程为s 时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，
给电容为C 的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN 静止，电路其余部分的电阻不计。
(1)在开关接通1 瞬间，求棒MN 受安培力大小；
(2)开关接通1，求稳定后棒MN 的最大速度vm；
(3)接第（2）问，若最大速度已知，记为vm，则
①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能；
②达到最大速度vm后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此
时电容器C 上的带电量Q。
题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们
不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0 时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。
36. 如图所示，两根固定的平行金属导轨（足够长，电阻不计）由倾角为θ的倾斜部分和
水平部分平滑连接构成，两导轨的间距为L，整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，
倾斜导轨区域的磁场方向垂直导轨所在平面向上，水平导轨区域的磁场方向竖直向上。现将一
质量为m、电阻为R、长度为L的导体棒b锁定在水平导轨的左端，从倾斜导轨顶端由静止释放
另一相同的导体棒a，a棒到达倾斜导轨底端前已匀速运动，当a棒刚到达水平导轨左端时，将
b棒解锁，两棒在水平导轨上发生弹性正碰，碰撞时间极短。两棒始终与导轨垂直且接触良好，
重力加速度大小为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．碰撞前瞬间，a棒的速率为2mgR sinθ
B
2 L
2
B．碰撞后，a棒的最大加速度为1
2 gsinθ
C．两棒最终以相同的速率匀速运动
D．从碰撞结束到两棒稳定运动，系统产生的总焦耳热为m
3 g
2 R
2sin
2θ
B
4 L
4
37. 如图所示，相距L=0.1m的平行光滑金属导轨由水平和倾斜两部分组成，水平部分导
轨足够长，处在竖直向下的磁感应强度大小为B =2T的匀强磁场中，倾斜部分导轨与水平导轨
平滑连接。有两根完全相同的金属棒甲和乙固定在倾斜导轨上，将甲从图中位置由静止释放，
到达倾斜导轨底端的速度v0=3 m /s，当甲进入磁场后速度为零时，将乙从图中位置由静止释
放，最后乙与甲达到稳定状态（未相碰）。已知甲、乙的初始位置到倾斜导轨底端的距离之比
为9
16
，甲和乙的质量均为m=0.02kg，接入电路的电阻均为R =0.1Ω，运动过程中甲、乙始
终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求：
(1)金属棒乙运动到倾斜导轨底端时的速度大小；
(2)金属棒甲速度为零前在磁场中运动的距离；
(3)整个过程甲金属棒产生的焦耳热.
38. 如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空
间中存在磁感应强度方向竖直向下、大小为B 的匀强磁场，两根材料相同、横截面积不同、长
度均为L 的金属棒ab、cd 分别静置在导轨上。现使ab 棒获得水平向右的瞬时速度v0，ab 棒的
速度随时间变化的关系如图乙所示。cd 棒的质量为m，电阻为R，两金属棒运动过程中，始终
与导轨垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．ab 棒和cd 棒组成的系统动量守恒
B．ab 棒的电阻为2R
C．0~t0时间内，cd 棒产生的热量为1
12 mv0
2
D．0~t0时间内，通过cd 棒任一横截面的电荷量为m v0
3 BL
39. 如图所示，e1f1g1和e2f2g2是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中
f1g1和f2g2为轨道的水平部分，e1f1和e2f2是倾角θ=37°的倾斜部分。在f1f2右侧空间中存在磁感
应强度大小B=2T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将导体
棒ab 置于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度h=5m，另一完全相同的导体棒cd 静止于水平
导轨上，导轨间距均为L=1m，导体棒ab 的质量为m=1kg，电阻R=10Ω，t=0 时，导体棒ab 从
静止释放，到两棒最终稳定运动过程中，ab、cd 棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持
垂直，g 取10m/s2。求：
(1)ab 棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；
(2)从cd 棒开始运动，到最终运动达到稳定的过程中，cd 棒产生的热量；
(3)从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。
40. 如图所示，光滑平行的四分之一圆弧金属导轨ab、a′b′，半径为r=1.25m，与水平固
定的光滑平行金属导轨bc、b′c′平滑连接，圆弧部分在竖直平面内，足够长的光滑平行金属导
轨ef、e′f′固定在水平面上，两导轨间距均为L=1m，c′点与e′点的高度差为h=0.2m，水平距离
为x=0.9m，导轨ab、a′b′左端接阻值为R=0.8Ω 的定值电阻，两导轨水平部分均处在垂直于导
轨平面竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小均为B=0.3T。质量为m2=0.15kg，电阻
R2=0.4Ω 的金属棒Q 垂直静止放在金属导轨ef、e′f′上，距离左端d=2m。质量为m1=0.3kg，电
阻R1=0.2Ω 的金属棒P，从导轨ab、a′b′的顶端处由静止自由释放，从cc′处水平飞出后恰好落
在ee′端，此时，金属棒P 在竖直方向的分速度变为零，水平方向的分速度不变，并沿着ef、
e′f′向右滑行与金属棒Q 发生碰撞粘合在一起。重力加速度大小为g=10m/s2，不计导轨电阻，
不计一切摩擦及空气阻力。运动过程中两金属棒P、Q 始终与金属导轨垂直并接触良好。求：
(1)金属棒P 刚进入磁场时的安培力；
(2)平行金属导轨bc 的长度；
(3)在整个过程中，金属棒P 上产生的焦耳热。
