文档文本内容
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第43 讲 电磁感应的综合应用
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 电磁感应中的电路问题........................................................................................................4
知识点 电磁感应中的电路问题.........................................................................................................4
考向 电磁感应中的电路问题..................................................................................................................... 5
考点二 电磁感应中的图像问题........................................................................................................8
知识点 电磁感应中的图像问题.................................................................................................................8
考向 电磁感应中的图像问题..................................................................................................................... 8
考点三 电磁感应中的动力学和能量问题......................................................................................16
知识点1 电磁感应中的动力学问题................................................................................................16
知识点2 电磁感应中的“单杆＋轨道”模型........................................................................................17
知识点3 电磁感应中的“单杆＋自感线圈”模型................................................................................17
知识点4 电磁感应中的“单导体棒＋电源”模型................................................................................19
知识点5 电磁感应中的“含电容器无外力放电式单导体棒”模型....................................................19
知识点6 电磁感应中的能量问题....................................................................................................20
考向 电磁感应中的图像问题................................................................................................................... 20
考向 电磁感应中的图像问题................................................................................................................... 23
考向 电磁感应中的图像问题................................................................................................................... 28
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................34
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
电磁感应中的电
路和图像问题
选择题
非选择题
\
全国甲卷T22,20 分
全国甲卷T8,6 分
\
电磁感应中的动
力学和能量问题
选择题
非选择题
四川卷T14,12 分
全国甲卷T22,20 分
全国甲卷T22，20 分
考情分析：
1．电磁感应与电路综合：此为核心考点，频繁考查。依据闭合电路的相关规律确定感应电动势大小，再
结合电路规律求解感应电流。根据电磁感应过程选图像：考查学生对电磁感应现象中物理量变化规律的理
解。
2．从命题思路上看，试题情景为电磁感应中的电路和图像问题会与电场、磁场、力学、能量等知识进一
步融合。将电磁感应中的能量转化与电路中的电功率计算相结合，分析能量的转移和转化过程。
3.电磁感应中的动力学和能量问题是重点考查内容，出现频率较高。过去几年的选考试卷里，几乎每套都
有涉及该部分知识的题目。
复习目标：
目标一：能明确电磁感应电路的电源类型：动生电动势（导体切割磁感线）中，导体棒为电源，其电阻为
内阻；感生电动势（磁场变化）中，整个线圈为电源，线圈电阻为内阻。
目标二：图像问题：遵循 “明确物理量关系→推导函数表达式→绘制 / 解读图像→提取数据计算” 的
步骤
目标三：精准分析受力情况，明确安培力的作用。熟练判断运动状态，分析加速度与速度的变化。应对复
杂运动过程，拆解多阶段变化。
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3
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考点一 电磁感应中的电路问题
知识点 电磁感应中的电路问题
1.电磁感应中电路知识的关系图
2.解决电磁感应中电路问题的“三部曲”
思维建模
计算感应电荷量的公式：q＝n ΔФ
R总
在电磁感应过程中，只要闭合回路中产生感应电流，则在Δt 时间内通过导体横截面的电荷量q＝IΔt＝E
R总
Δt＝n ΔΦ
R总Δt Δt＝n ΔΦ
R总
，即q＝n ΔΦ
R总
。
注意 感应电荷量的大小由线圈匝数n、磁通量的变化量ΔΦ、回路的总电阻R 总共同决定，与时间Δt 无关。
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考向 电磁感应中的电路问题
例1（多选）（2025·四川资阳·高三月考）如图甲所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距
d=1m，虚线O1O2垂直于导轨。O1O2左侧导轨与电容C=50mF 的平行板电容器AB 相连，且由不计电阻的
光滑金属材料制成。O1O2右侧导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN 通
过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为M=0.2kg 的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。
t=0 时刻，将垂直于导轨的金属棒MN 由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN 越过虚
线O1O2后，作出金属棒的v−t 图像如图乙所示。g 取10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正
确的是（ ）
A．电容器的A 极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.8
C．匀强磁场的磁感应强度大小为4T
D．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
【变式训练1】（多选）（2025·四川绵阳·高三月考）某一驱动装置的原理图如图所示，正方形线圈
ABCD 和金属导轨相连接，均放置在某一水平面上。线圈内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小随时
间变化的规律为B=0.1+kt（T），平行导轨间距L=0.5 m，其间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
B1=1T，质量m=0.1kg的导体棒PQ 垂直导轨放置，且与导轨接触良好。已知正方形线圈的边长a=0.2m
，匝数n=100，电阻r =1Ω；导体棒的电阻R =3Ω，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.2，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，其余电阻不计。若k=k1时导体棒PQ 刚好能滑动；若k=0.6 时，导
体棒从静止开始加速，经3.6s 达到最大速度。则正确的是（ ）
A．k1=0.4
B．k1=0.5
C．k =0.6时，导体棒最终速度为1.6m/s
D．k =0.6时，导体棒加速过程的位移为1.6m
【变式训练2】（多选）（2025·四川绵阳·高三月考）如图所示，两根足够长的光滑平行金属轨道
ab、cd 固定在水平面内，相距为L，电阻不计，导轨平面处在竖直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中，
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ac 间接有阻值为R 的电阻，电阻为r、质量为m 的金属导体棒MN 垂直于ab、cd 放在轨道上，与轨道接触
良好，导体棒MN 的中点用轻绳经过滑轮与质量为也为m 的物块相连。物块放在倾角为θ 的绝缘斜面上，
轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。若某时刻给导体棒一个水平向左的初速度为v0，导体棒向左运动s 后速
度为零，运动过程中导体棒始终未离开水平导轨，物块始终未离开斜面，运动过程中细线始终与斜面平行
且处于绷紧状态，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻棒的加速度大小为B
2 L
2v0
m(R+r) + gsinθ
B．从开始到速度为零时，电阻R 上产生的热量为mR(v0
2−gssinθ)
R+r
C．导体棒的加速度先增大后减小
D．导体棒最终的速度为mg(R+r)sinθ
B
2 L
2
考点二 电磁感应中的图像问题
知识点 电磁感应中的图像问题
解答电磁感应中的图像问题的四个关键
图像类型
（1）随时间变化的图像：如B-t 图像、Φ-t 图像、E-t 图像、I-t 图像、F-t 图像等。
（2）随位移变化的图像：如E-x 图像、I-x 图像等
问题类型
（1）根据电磁感应过程选择图像。
（2）根据图像分析电磁感应过程。
（3）电磁感应中的图像转换
常用规律
判断
方向
右手定则、楞次定律、左手定则、安培定则等
计算
大小
切割公式、法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律及其他有关规律
常用方法
排除
定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势（增大还是减小）、变化快慢（均
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法
匀变化还是非均匀变化），特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项
函数
法
根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图
像进行分析和判断
考向 电磁感应中的图像问题
例1 如图甲所示，边长为0.1m、匝数为100、电阻为1Ω 的正方形线圈左半边存在垂直线圈平面的磁场，
规定磁场垂直纸面向外为正，磁感应强度B 随时间t 变化的规律如图乙所示，定值电阻R 的阻值为4Ω，导
线电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．0~5s 内，线框有收缩的趋势
B．0~10s 内，线圈中的电流方向会改变
C．0~10s 内，线圈受到的安培力方向不变
D．0~10s 内，流过定值电阻的电荷量为0.2C
例2 如图所示，在光滑绝缘水平面上有一竖直向下宽度为d的磁场区域，以磁场左边界为坐标原点
建立坐标轴Ox，磁感应强度大小B =kx，k为大于零的常量。有一边长为l（l>d）、电阻为R的正方形导
线框沿x轴正方向以速度v0匀速通过磁场区域，线框的左右两边与磁场的边界平行。关于线框所受安培力
F随x变化关系的图像正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
例3 如图所示，平面直角坐标系xOy 中，第二、四象限内分别存在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁
感应强度大小相等，方向相反。圆心角为90°的扇形金属框OPQ 绕O 点在平面内顺时针匀速转动。规定顺
时针电流为正，从图示位置开始计时，下列表示线框中的i−t关系的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】如图甲所示，两均匀磁场的磁感应强度B1和B2方向相反，金属圆环的水平直径与两
磁场的边界重合。B1和B2随时间变化的图像如图乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正方向，下列说法
正确的是（ ）
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A．0~t0时间内整个圆环具有收缩的趋势
B．t0时刻的圆环内的磁通量为零，感应电流也为零
C．0∼2t0时间内圆环中产生逆时针方向的感应电流
D．0∼2t0时间内圆环中感应电流的方向先逆时针再顺时针
【变式训练2】如图所示，一顶角为60°的菱形线框abcd 边长为2a，放置在绝缘平面上，线框右侧
有一宽度为2a 的匀强磁场区域，pq、mn 为磁场边界线，pq//mn//bd，线框以垂直pq 方向的速度匀速向右
运动。设线框中感应电流为I，磁场对线框的安培力为F。以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平
向左为安培力的正方向。线框c 点进入磁场时开始计时，下列图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】如图，“日”字形导线框，其中abdc 和cdfe 为边长为l 的正方形，导线ab、cd、ef
的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度为l 的匀强磁场，磁感应强度为B，导线框以速
度v 匀速穿过磁场区域，运动过程中线框始终和磁场垂直且无转动。线框穿越磁场的过程中，ab 两点电势
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差Uab随位移变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】在实验室里，有一水平方向的匀强磁场，其上下边界分别是 MN、PQ，磁场宽度为
L。如图甲所示，一个边长为 a 的正方形导线框ABCD（L>2a），从磁场上方某处下落，运动过程中
上下两边始终与磁场边界平行。线框进入磁场过程中AD 边电压U AD随时间t 变化的图像如图乙所示，则线
框从磁场中穿出过程中AD 边电压U AD随时间t 变化的图像可能是（）
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A．
B．
C．
D．
【变式训练5】如图所示，一个条形磁铁垂直、匀速地自上而下穿过自感系数为L 的超导线圈（电
阻为0），那么线圈中的感应电流随时间变化的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6】（多选）如图甲，光滑平行导轨MN、PQ水平放置，电阻不计。两导轨间距
d =10cm，导体棒ab、cd放在导轨上，并与导轨垂直。每根棒在导轨间部分的电阻均为R =2.0Ω，质量
均为m=2.0×10
−5kg，用长为L=20cm的绝缘丝线将两棒系住，整个装置处在竖直方向的磁场中，取向
上为正方向。t =0时刻，丝线刚好伸直且没有拉力，丝线最大能承受1.5×10
−5 N的拉力，磁场从此时刻开
始按如图乙所示规律变化。不计感应电流磁场的影响，在整个研究过程中导体棒没有碰撞。则下列说法正
确的是（ ）
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A．0∼3s的时间内，电路中电流为顺时针方向
B．0∼2s的时间内，丝线所受到的拉力逐渐减小
C．0∼2s的时间内，丝线所受到的拉力先变大后变小
D．在3s时，丝线会被拉断
考点三 电磁感应中的动力学与能量问题
知识点1 电磁感应中的动力学问题
1.理解电磁感应过程中导体的两种状态
状态
特征
方法
平衡态
加速度为零
利用平衡条件列式解答
非平衡态
加速度不为零
利用牛顿第二定律结合运动学公式解答
2.抓住“两个研究对象”“四步分析”
3.关注两个“桥梁”：联系力学对象与电学对象的“桥梁”——感应电流I、切割速度v。
知识点2 电磁感应中的“单杆＋轨道”模型
类型
拉力恒定（含电阻）
拉力恒定（含电容器）
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示意
图
轨道水平光滑，单杆ab 质量为m，电阻不计，
两平行导轨间距为l，拉力F 恒定
轨道水平光滑，单杆ab 质量为m，电阻不计，两平
行导轨间距为l，拉力F 恒定
力学
观点
开始时a＝F
m，杆ab 速度v↑⇒感应电动势E＝
Blv↑⇒I↑⇒安培力F 安＝IlB↑，由F－F 安＝ma 知
a↓，当a＝0 时，v 最大，vm＝FR
B
2l
2
开始时a＝F
m，杆ab 速度v↑⇒感应电动势E＝
Blv↑，经过Δt 速度为v＋Δv，此时感应电动势E'＝
Bl（v＋Δv），Δt 时间内流入电容器的电荷量Δq＝
CΔU＝C（E'－E）＝CBlΔv，电流I＝Δq
Δt ＝CBl Δv
Δt
＝CBla，安培力F 安＝IlB＝CB2l2a，F－F 安＝ma，a
＝
F
m＋B
2l
2C ，所以杆以恒定的加速度做匀加速
运动
图像
观点
能量
观点
F 做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电
热：WF＝Q＋1
2mvm
2
F 做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场
能：WF＝1
2mv2＋EC
知识点3 电磁感应中的“单杆＋自感线圈”模型
水平线框+自感线圈
水平线框+自感线圈
如图所示,水平面内有一足够长的光滑平行直金属导轨,间距为d。导轨左
端接一自感系数为L 的电感,导轨上有一质量为m 导体棒。整个装置处在
竖直向下的匀强磁场中磁感应强度为B。导体棒具有沿导轨向右的初速
度。整个回路的电阻忽略不计。
过程分析
线圈产生电动势： L Δi
Δt = Bdv
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整理得到： Δi= Bdv
L
Δt
即： i= Bd
L x
回路产生的安培力： F = Bid = B
2d
2
L
x =kx
即产生的回复力F 与位移成线性关系。导体棒做简谐运动。
周期： T =2π√
m
k =2π √mL
Bd ……①
振幅满足： 1
2 mv
2=∑BidΔx 1
2 m v
2= B
2d
2
2 L x
2
解得振幅： x =√
mv
2 L
B
2d
2 ……②
竖直线框+自感线圈
竖直线框+自感线圈
如图所示,竖直面内有一足够长的光滑平行直金属导轨,间距为d。导轨上
端接一自感系数为L 的电感,导轨上有一质量为m 导体棒。整个装置处在
垂直纸面向里的匀强磁场中磁感应强度为B。整个回路的电阻忽略不计。
过程分析
导体棒初始状态只受重力： a= g
线圈产生电动势： L Δi
Δt = Bdv
整理得到： Δi= Bdv
L
Δt
即： i= Bd
L x
导体棒在平衡位置： mg= Bid = B
2d
2
L
x0
x0= mgL
B
2d
2
令 x
' = x−x0,
则 F合=ma=mg−B
2d
2
L
(x
' + x0)=mg−B
2d
2
L (x
' + mgL
B
2d
2)=−B
2d
2
L
x
'
则导体棒也是做简谐运动，振幅为x₀ 周期与水平线框一致
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知识点4 电磁感应中的“单导体棒＋电源”模型
轨道水平光滑，单杆ab 质量为m，电阻不计，
两平行导轨间距为l
当E 感＝E 时，v 最大，且vm＝，最后以vm匀速
运动
电能转化为动能和内能，E 电＝mv＋Q
知识点5 电磁感应中的“含电容器无外力放电式单导体棒”模型
知识点6 电磁感应中的能量问题
1.电磁感应过程中的能量转化
2.求解焦耳热Q 的三种方法
基本
模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动.
电流的特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电
流减小，直至电流为零，此时UC＝BLv.
运动特点及最终
特征
a 减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0.
最大速度vm
电容器充电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：Q＝CU＝CBLvm
电容器放电荷量：ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：mvm＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t 图象
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焦耳定律
Q＝I2Rt，电流、电阻都不变时适用
功能关系
Q＝W 克服安培力，任意情况都适用
能量转化
Q＝ΔE 其他能的减少量，任意情况都适用
考向1 线框模型
例1 如图所示，甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线线框，a、b是边界范围、磁感应强度大小和方向
都相同的两个匀强磁场区域，只是a区域到地面的高度比b高一些。甲、乙线框分别从磁场区域的正上方相
同高度处同时由静止释放，穿过磁场后落到地面。下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。以下说
法正确的是（ ）
A．下落过程中甲框产生的焦耳热大
B．下落过程中两框产生的焦耳热一样大
C．落地时甲框的速度比乙框小
D．落地时甲框的速度比乙框大
【变式训练1】（2025·四川达州·高三月考）如图所示，用长为L的不可伸长绝缘轻绳将铜制闭合小
环悬挂于O点，小环半径为r、质量为m。在O点正下方水平放置一根与小环共面的通电直导线，直导线中
的恒定电流方向水平向右。a为小环的初始释放位置，oa与竖直方向夹角为θ，b位置在O点正下方，c位
置为小环摆动到ob右侧的最高点，现将小环从a点无初速释放，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则
（ ）
A．小环从a到b的过程中会产生逆时针方向的感应电流
B．小环从b到c的过程中所受安培力方向始终与运动方向相反
C．小环最终会停在b点，且产生的热量为mg(L+r)(1−cosθ)
D．增大导线中的恒定电流，小环从开始摆动到停止摆动所用时间会减小，产生的热量会增大
【变式训练2】（多选）如图所示，正方形线框abcd 放在光滑的绝缘水平面上，OO
′为正方形线框
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的对称轴，在OO
′的左侧存在竖直向下的匀强磁场。第一次以速度v0使正方形线框匀速向右运动，直到ab
边刚好与OO
′重合；第二次以速度2v0使正方形线框匀速向右运动，直到ab 边刚好与OO
′重合。下列说法
正确的是（ ）
A．从上往下看，两次线框中均产生顺时针方向的感应电流
B．两次线框中产生的感应电动势之比为1:2
C．两次线框中产生的焦耳热之比为1:4
D．两次流过线框某一横截面的电荷量之比为1:2
【变式训练3】（多选）如图所示正方形匀质刚性金属框，边长L=0.1m，质量m=0.02kg，电阻
R =0.4 Ω，距离金属框底边H 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B =2T，磁场区域
上下边界水平，高度为L=0.1m，左右宽度足够大。把金属框在竖直平面内以v0=2m/s的初速度水平无旋
转地向右抛出，金属框恰好匀速通过磁场，不计空气阻力。g 取10 m/s
2，下列说法正确的是（ ）
A．H =0.2m
B．通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C．通过磁场的过程中，克服安培力做功的功率P 为0.4W
D．金属框通过磁场的过程中产生的热量Q 为0.04J
考向2 单杆模型
例1 如图所示，两根足够长平行金属导轨倾斜放置，处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，导轨顶端与一
电容器相连，一金属杆垂直导轨放置，与导轨接触良好。将金属杆从导轨上某处由静止释放，不计一切电
阻和摩擦。下列关于金属杆的速度v、加速度a、电容器上储存的电能E、通过金属杆的电荷量q，随金属
杆运动时间t、位移x变化的图像正确的是（ ）
17
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A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（多选）如图所示，倾斜放置、电阻不计的平行光滑导轨间距为L，顶端连接阻值
为R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨平面处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁
场中。现将质量为m 的导体棒垂直导轨放置，由静止释放，经过时间t 后，导体棒速度达到最大。已知导
体棒接入回路的电阻为R
3 ，重力加速度为g，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨足够长。下列说法
正确的是（ ）
A．导体棒运动的最大速度vm = 4 mgR tanθ
3 B
2 L
2
B．导体棒从开始运动至刚好达到最大速度的过程中，安培力、重力和支持力的合力的冲量为
4 m
2 gR sinθ
3 B
2 L
2cos
2θ
C．由题干给出的条件，可以求出导体棒从开始运动至速度刚好达到最大的过程中运动的距离
D．由题干给出的条件，不能求出导体棒从开始运动至速度刚好达到最大的过程中回路中产生的焦耳热
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【变式训练2】（多选）如图甲，左侧接有定值电阻R=2Ω 的水平平行且足够长的粗糙导轨，处于
垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，导轨间距L=2m。一质量m=2kg、接入电路的阻值r=2Ω
的金属棒，在拉力F 的作用下由静止开始从CD 处沿导轨向右加速运动，金属棒的v-x 图像如图乙。若金
属棒与导轨垂直且接触良好，与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，取g=10 m/s
2，在金属棒从
静止开始向右运动的位移x=1m 的过程中，则（ ）
A．金属棒中感应电流的方向为C→D
B．通过定值电阻的电荷量为1C
C．定值电阻产生的焦耳热为4J
D．拉力F 做的功为15J
【变式训练3】（多选）如图两根足够长、间距为L的光滑竖直平行金属导轨，导轨上端接有开
关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器的电容为C（不会击穿、初始不带电），金属棒MN水平
放置，质量为m。空间存在垂直轨道向外、磁感应强度为B的匀强磁场，不计金属棒和导轨的电阻。闭合
某一开关后，让MN沿导轨由静止开始释放，金属棒MN始终与导轨接触良好并保持水平，重力加速度大小
为g。下列说法正确的是（ ）
A．只闭合开关S1，金属棒做匀加速直线运动
B．只闭合开关S1，金属棒MN下降时间t时速度为v，则下降高度h= m(¿−v) R
B
2 L
2
C．只闭合开关S2，电容器右侧金属板带负电
D．只闭合开关S2，某时刻金属棒MN的加速度大小a=
mg
m+ B
2 L
2C
2
【变式训练4】（多选）如图所示，间距为L 的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定放置，导
轨平面倾角为30°，平行于底边的虚线ef 下方存在垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
一质量为m、电阻为R 的导体棒垂直导轨放置于ef 上方的无磁场区，导轨上端接有电动势E = mgR
BL 的电
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源。将导体棒由静止释放后，第一次到达ef 进入磁场时速度大小为v1，一段时间后再次回到ef 位置时速度
大小为v2，已知除导体棒外，其余电阻均不计，重力加速度大小为g，则（ ）
A．v1<v2
B．导体棒第一次到达ef 进入磁场瞬间的加速度大小a= B
2 L
2v1
mR
+ g
2
C．导体棒从第一次到达ef 到再次回到ef 所用的时间t = 2(v1+ v2)
g
D．导体棒从第一次到达ef 到再次回到ef 所用的时间t = 6 v1+2v2
3 g
考向3 双杆模型
例1（多选）某物理兴趣小组设计出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用一根金属棒在磁
场中运动产生感应电流从而使另一根金属棒获得速度，这样就避免了直接接触所带来的磨损和接触性损
伤，该系统可以抽象为在足够长的固定水平平行金属导轨上放有两根金属棒MN 和PQ，磁感应强度
B =0.5T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小可忽略不计。如图为模型俯视
图，导轨间的距离L=0.2m，两根金属棒质量均为m=0.1kg，电阻均为R =0.5Ω，可在导轨上无摩擦滑
动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好；在t =0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导
轨平行、大小为F =0.2N的恒力作用于金属棒MN 上使其滑动，经过时间t =5s，金属棒MN 的速度
v MN =8.15 m/s。关于两金属棒说法正确的是（ ）
A．回路中感应电流的方向为NMQP 方向
B．t =5s时，MN 杆的加速度aMN =1.37 m/s
2
C．t =5s时，PQ 杆获得的速度vPQ=1.58 m/s
D．金属棒MN、PQ 在运动过程中的最大速度差Δvm =10 m/s
例2 如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M 1 N 1、M 2 N 2，窄轨O1 P1、O2 P2两
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部分组成，宽轨部分间距为2 L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd
分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2 L，两金属棒
在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B 的
匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终
在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列
说法正确（ ）
A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d →c
B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为1
3 v0
C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为mv0
3 BL
D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为2
9 m v0
2
【变式训练1】（多选）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在
导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2的电阻，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略
电流产生的磁场。将开关S 从1 拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（ ）
A．S 拨到2 的瞬间，L1中的电流大于L2中的电流
B．S 拨到2 的瞬间，L1的加速度小于L2中的加速度
C．运动稳定后，电容器C 的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【变式训练2】（多选）（2025·四川绵阳·高三月考）如图所示，两条间距为l且足够长的平行光滑直导轨
MN、PQ固定在水平面内，水平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。ab和cd是两
根质量均为m、电阻均为R的金属细杆，与导轨垂直且接触良好。cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过定
滑轮悬挂质量为m的重物，轻绳的水平部分与导轨平行。不计一切摩擦和导轨的电阻。重力加速度为g。
现将两杆及重物同时由静止释放，则（ ）
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A．释放瞬间，cd杆的加速度大小为1
2 g
B．运动稳定后，回路中的电流大小为mg
2Bl
C．运动稳定后，ab和cd两杆的速度差恒为2mgR
3 B
2l
2
D．运动稳定后，cd杆所受安培力的大小为1
2 mg
【变式训练3】（多选）如图，P、Q 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨
足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG 矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场。在t =t1时刻，两均匀金属棒a、b 分别从磁场边界EF、GH 进入磁场，速度大小均为v0；一段时间
后，流经a 棒的电流为0，此时t =t2，b 棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b 长度均为L，电阻分别为R
和2R，质量分别为2m 和m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b 棒没有相碰，则（
）
A．t2时刻b 棒的速度为0
B．t1时刻b 棒加速度大小为2B
2 L
2v0
3mR
C．t1~t2时间内，a 棒产生的焦耳热为4
9 mv0
2
D．t1~t2时间内，通过a 棒横截面的电荷量是b 棒的2 倍
【变式训练4】（多选）如图所示，M、N、P、Q四条光滑的足够长的金属导轨平行放置，导轨
间距分别为2 L和L，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内。导轨间存在竖直向下的、磁感应强度为
B的匀强磁场，两根质量分别为2m与m、接入电路电阻均为R的导体棒C、D分别垂直于导轨放置，且均
处于静止状态，其余部分电阻不计。t =0时使导体棒C获得瞬时速度v0向右运动，两导体棒在运动过程中
始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒C未到两组导轨连接处。则下列说法正确的
是（ ）
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A．t =0时，导体棒D的加速度大小为a= 2B
2 L
2v0
2
mR
B．达到稳定运动时，C棒的速度为1
3 v0
C．从t =0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为1
3 m v0
2
D．从t =0时至达到稳定运动的过程中，通过导体棒C的电荷量为2mv0
3 BL
【变式训练5】（多选）如图所示，足够长的水平放置的光滑平行导轨，宽轨道的间距为窄轨道的
2 倍，轨道处于竖直方向的匀强磁场中，甲、乙两导体棒垂直导轨放置，质量分别为2m、m，电阻分别为
2R、R。某时刻甲以速度v0向右滑动，若甲始终在宽轨道上运动，最终（ ）
A．甲的速度为v0
3
B．甲的速度为2v0
3
C．乙产生的热量为2
9 m v0
2
D．乙产生的热量为1
3 mv0
2
【变式训练6】（多选）如图所示，足够长光滑水平导轨由左、右两部分组成，左侧部分间距为2 L
，右侧部分间距为L，两部分导轨平滑连接。整个区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
两根导体棒MN 和PQ 分别垂直放置在导轨的左、右部分，其中MN 的质量为2m、电阻为2 R，PQ 的质量
为m、电阻为R。初始时MN、PQ 均静止，现导体棒PQ 获得水平向右的初速度v0，之后两棒始终在各自
导轨上运动，导轨电阻忽略不计。则下列说法正确的是（ ）
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A．最终MN 的速度为1
6 v0，PQ 的速度为1
3 v0
B．通过回路的总电荷量为m v0
3 BL
C．回路中产生的总焦耳热为5
16 mv0
2
D．全过程中PQ 所受安培力的冲量大小为1
3 mv0
1.（上海·高考真题）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生
变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（ ）
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1>W2
C．t1>t2，W1＜W2
D．t1>t2，W1>W2
2.（全国II 卷·高考真题）如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀
强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为3
2 l的正方形金属线框
在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i 随时间t 变化的正确图线可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
3.（安徽·高考真题）如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长
相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料，不同粗细的导线绕制（Ⅰ为细导线）．两线圈在距
磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面，运动过程中，线圈平面始终保持在
竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界，设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时
产生的热量分别为Q1、Q2，不计空气阻力，则
A．v1<v2,Q1<Q2
B．v1= v2,Q1=Q2
C．v1<v2,Q1>Q2
D．v1= v2,Q1<Q2
4.（新课标Ⅰ·高考真题）如图，在水平面（纸面）内有三根相同的均匀金属棒ab、ac 和MN，其中ab、ac
在a 点接触，构成“V”字型导轨．空间存在垂直于纸面的均匀磁场．用力使MN 向右匀速运动，从图示位
置开始计时，运动中MN 始终与∠bac 的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i 与时间
t 的关系图线．可能正确的是
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A．
B．
C．
D．
5.（2025·广西·高考真题）如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距
为l，导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R 的定值电阻，形成闭合回路：质量为m 的金属棒垂直导
轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k 的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与
导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能E p与形变量x 的关系为
E p= 1
2 k x
2；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面
向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a 后静止释放，金属棒
沿导轨向下运动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过
程中（ ）
A．金属棒所受安培力冲量大小为B
2l
2(a+b)
R
B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为B
2l
2(a+b)
4 R
+ mgt sinθ
2
C．每个定值电阻产生的热量为k (a
2−b
2)
8
+ mg(a+b)sinθ
4
D．金属棒的平均输出功率为k (a
2−b
2)+mg(a+b)sinθ
2t
6.（多选）（山东·高考真题）如图所示，xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O 为圆心、半径为
√2 L的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为L 的正方形金属框绕其始终在O 点的顶点、在
xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动，t =0时刻，金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响，关于金
属框中感应电动势E 随时间t 变化规律的描述正确的是（ ）
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A．在t =0到t = π
2ω的过程中，E 一直增大
B．在t =0到t = π
2ω的过程中，E 先增大后减小
C．在t =0到t = π
4 ω的过程中，E 的变化率一直增大
D．在t =0到t = π
4 ω的过程中，E 的变化率一直减小
7.（多选）（湖南·高考真题）两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，通过长为L的绝缘轻
质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁
场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋
转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．B与v0无关，与√H成反比
B．通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C．通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D．调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
8.（多选）（山东·高考真题）如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大
小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形。一位于Oxy 平面内的刚性
导体框abcde 在外力作用下以恒定速度沿y 轴正方向运动（不发生转动）。从图示位置开始计时，4s 末bc
边刚好进入磁场。在此过程中，导体框内感应电流的大小为I， ab 边所受安培力的大小为Fab，二者与时
间t 的关系图像，可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
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