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第63 讲 电磁感应中的动量问题
核心考点
考点一 动量定理在电磁感应中的应用........................................................................................1
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用..............................................................................14
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
1．此类问题中常用到的几个公式
(1)安培力的冲量为：I 安＝BLt＝BLq。
(2)通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n。
(3)磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
(4)导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为I 其
他＋lBΔt＝mv－mv0或I 其他－lBΔt＝mv－mv0。
2．选用技巧：当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x 时常用动量定理
求解更方便。
►考向1 “导体棒＋电阻”模型
模
型
一
示意图
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速
度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足
够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷
量q
对金属棒应用动量定理－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝
求位
移x
对金属棒应用动量定理－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
基础过关
1
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模
型
二
示意图
间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为
m、接入电路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷量为q 或下
滑位移为x 时，速度达到v
求运动
时间
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x
＝Δt
►考向2 导线框模型
模
型
一
示意图
在安培力作用下穿越磁场
位移
速度
电荷
量的
计算
动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横
截面的电荷量：
(1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt；
(2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0
模
型
二
示意图
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场
时间的
计算
求时间：①－BLΔt＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其他·Δt＝mv2
－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
②－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F 其他为恒力，也可求出变加速运动的时间
►考向3 双棒在外力作用下模型
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
2
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示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
摩擦力Ffb＝Ffa
运动
分析
开始时，两杆受安培力做变
加速运动；稳定时，两杆以
相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff<F≤2Ff，则a 杆先变加速后匀速运
动；b 杆静止。若F>2Ff，a 杆先变加速后匀加速运
动，b 杆先静止后变加速最后和a 杆同时做匀加速
运动，且加速度相同
运动
图像
能量
观点
F 做的功转化为两杆的动能
和内能：WF＝ΔEk＋Q
F 做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩
擦热)：WF＝ΔEk＋Q 电＋Qf
动量
观点
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
►考向4 不等间距上的双棒模型
光滑不等距导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
运动情况
分析
杆b 受安培力做变减速运动，杆a 受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的
加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
动量
关系
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
3
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►考向5 “导体棒＋电容器”模型
模
型
一
示意图
(无外
力充
电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab 初速度为v0，质量为m，
电阻不计
运动
情况
分析
导体杆速度为v 时，感应电流I＝，导体杆受安培力F 安＝BIL，做减
速运动，v，电容器充电，UC，F 安，a，当BLv＝UC时，I＝0，
F 安＝0，杆匀速运动
最终
速度
计算
模
型
二
示意图
(无外
力放
电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab 质量为m，电阻为R
运动
情况
分析
电容器充满电后，S 合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝
BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力F 安＝BIL，做加速运动，v，
电容器放电UC减小，F 安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，杆
匀速运动
最终
速度
计算
【例1】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，水平方向的匀强磁场磁感应强度大小为B，左边
界MN 竖直。质量m 的单匝矩形线框ABCD 的AD 边长为L，且与MN 齐平，线框平面与磁场
方向垂直。线框在水平向右的恒力F 作用下，以水平向右的初速度
进入磁场，恰好沿水平
方向匀速运动，到BC 边刚进入磁场时，线框下落的高度为h。已知线框回路电阻为R，重力
加速度为g。
4
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(1)求水平恒力F 的大小；
(2)求AB 边的长度和线框进入磁场过程中产生的焦耳热；
(3)若将初速度大小减小为
，线框在水平方向运动位移x 后水平速度达到
此时BC 边还
未进入磁场，求在这段时间内，线框下落的高度。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）由线框水平方向匀速运动可知，线框受到的安培力与恒力F 平衡
故得
感应电流
感应电动势
联立解得
（2）设线框进入磁场过程中所用时间为
，线框下落高度为
，由运动学知识得
竖直方向
水平方向
解得
5
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导线框克服安培力做功
由功能关系得线框产生的焦耳热
联立解得
（3）设导线框速度从
增大到
所用时间为
，线框下落高度为
对导线框，水平方向由动量定理得
平均安培力
平均感应电流
平均感应电动势
运动位移
各式联立解得这段时间内导线框下落高度
【例2】（2025·湖北武汉·二模）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨
每米的电阻
，导轨的端点C、D 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l。有随时间
变化的匀强磁场垂直于桌面向里，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为B=kt，k 为大于零的比
例系数。一电阻不计、质量为m 的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导
轨垂直且接触良好。在t=0 时刻，金属杆紧靠在C、D 端，在平行于导轨的外力F 作用下，杆
以恒定的加速度a0从静止开始向导轨的右端滑动，下列说法正确的是（ ）
A．导线CD 中感应电流的方向由D 指向C
B．
时刻感应电动势的大小
C．
时刻导体棒所受安培力
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D．在
时间内，作用在金属杆上外力F 的冲量
【答案】BD
【详解】A．由题意，根据楞次定律，可判断知导线CD 中感应电流的方向由C 指向D，故A
错误；
B．金属杆做匀加速直线运动，在
时刻，金属杆与初始位置的距离为
此时杆的速度为
这时，杆与导轨构成的回路的面积为
此时回路中的感应电动势为
，
联立求得
时刻感应电动势的大小
故B 正确；
C．
时刻回路中的总电阻
此时流经导体棒的电流
此时导体棒所受安培力
时刻导体棒所受安培力
故C 错误；
D．在
时间内，对金属杆由动量定理有
，
联立求得外力F 的冲量
故D 正确。
故选BD。
【例3】（2025·浙江·二模）如图所示，间距
的两平行竖直导轨空间存在垂直平面向内
的匀强磁场，磁感应强度
，其中AB 两处为处于同一高度、长度可忽略不计的绝缘物
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质，其余部分均由金属材料制成，其上下分别接有电阻
和电容
，开始时电
容器不带电。现将一质量
的导体棒从上磁场边界上方不同高度
处紧贴导轨静止释
放，导体棒与导轨始终接触良好，导轨和导体棒的电阻极小，忽略一切摩擦，不计回路自感。
若AB 上下导轨足够长，
(1)试定性分析导体棒进入AB 上方磁场区时运动的情况，并在答题纸上画出其速率随时间变
化可能的关系曲线；
(2)导体棒通过AB 后一瞬间，求电容器C 所带的电荷量；
(3)求导体棒运动到AB 下方
处的速度。
【答案】(1)见解析
(2)1C
(3)
【详解】（1）（1）根据牛顿第二定律可知导体棒运动方程
导体棒做加速度减小的变速运动，当加速度为零时，做匀速运动，速度大小
画出其速率随时间变化可能的关系曲线为
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（2）导体棒运动到AB 之后一瞬间，由动量定理
回路
，充电电流极大，则
，即
，而
解得
，
（3）导体棒速度突变后，由牛顿定律，有
，
解得
根据
可得
【例4】（2025·山东·模拟预测）如图所示，两根平行光滑金属导轨之间的距离d=1m，倾角
θ=30°，导轨上端接有一个阻值R=2Ω 的电阻，在导轨间、电阻下方存在方向垂直导轨平面向
上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T。质量m=0.2kg 的金属棒水平置于导轨上，垂直于导轨
且与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数
。金属棒与电阻R 距离足够远，
金属棒沿导轨平面以初速度v0=6m/s 向上运动，t（t 为已知量，单位为秒）时间后速度减为零。
当金属棒速度减为零时，立即让磁场以大小v0=6m/s 的速度沿导轨平面匀速向下运动，金属
棒在磁场驱动下沿导轨平面向下运动距离L（L 为已知量，单位为米）时，金属棒恰好达到最
大速度且此后以此速度沿导轨平面匀速运动。金属棒在运动过程中始终处于磁场区域内，重
力加速度g=10m/s2，不计导轨和金属棒的电阻及空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
求：
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(1)金属棒开始沿导轨平面向上运动时的加速度大小；
(2)金属棒向上运动过程中通过电阻R 的电荷量和电阻R 产生的焦耳热；
(3)金属棒向下运动过程中加速运动的时间与该段时间内通过电阻R 的电荷量。
【答案】(1)25m/s2
(2)q=1.2−2t（C），Q 焦=8t−1.2（J）
(3)
，
【详解】（1）金属棒开始沿导轨平面向上运动时，有
，
，
联立可得
由牛顿第二定律得
解得
（2）对金属棒应用动量定理，得
又
联立可得
又
摩擦产生的热量为
重力势能的增加量为
由能量守恒可得
联立解得电阻R 产生的焦耳热为
（3）因
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可知金属棒速度最大时，速度与磁场速度相同，由动量定理有
安培力冲量
由位移关系有
联立解得
又安培力的冲量
解得
【例5】（2025·河南·模拟预测）如图所示，间距为
的两平行导轨由倾斜导轨和水平导轨组
成，两部分通过光滑绝缘的小圆弧轨道的相连接，其中光滑的倾斜导轨面
与水平
面的倾角
，
间接有电容为
的电容器，导轨间有垂直于导轨平面向下的匀强磁
场，磁感应强度为
；水平轨道
左侧粗糙且无磁场，
右侧光滑，有竖直向下的匀
强磁场，磁感应强度也为
。长度均为
的导体棒a、b 由不同材料制成，其质量分别为
，b 棒静置于
处，
与
间距为
，a 棒在倾斜导轨
处由静止释放，
滑到水平轨道上与b 棒弹性碰撞后向左运动，b 棒向右运动
后静止于
处。已知b 棒电
阻为
，不计导轨及a 棒电阻，不考虑电磁辐射，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接
触良好，重力加速度为
。求：
(1)a 棒离开倾斜导轨时电容器
带电量
；
(2)a 棒碰撞b 棒后的瞬间，b 棒的加速度大小
；
(3)a 棒与水平轨道
和
之间的动摩擦因数
。
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【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设导体棒a 在倾斜导轨上向下运动过程中很小一段时间Δt 内速度的变化量为
Δv，电容器带电量的变化量为ΔQ，电容器两端电压变化量为ΔU。
由法拉第电磁感应定律有ΔU=BdΔv
取沿导轨向下为正方向，根据动量定理可得
其中
a 棒的加速度大小为
联立解得
根据
可得a 棒离开倾斜导轨时电容器
带电量
（2）碰后对b 棒由动量定理
其中
解得
对b 由牛顿第二定律
（3）对ab 碰撞过程由动量守恒和能量关系可知
，
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解得
金属棒a 从
到
之间运动时有动能定理
其中
解得
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1.在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，
如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0 时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解
题比较方便。
2.双棒模型(不计摩擦力)
模型示意图及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别
为R1、R2，给棒2 一个初速度v0
电路特点
棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速运动，运动后产生反电动势
电流及速度变化
棒2 做变减速运动，棒1 做变加速运动，随着两棒相对速度的减
小，回路中的电流减小，I＝BL
v2−v1
R1＋R2
，安培力减小，加速度减
小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
最终状态
a＝0，I＝0，v1＝v2
系统规律
动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v
能量守恒Q＝1
2m2v0
2－1
2(m1＋m2)v2
两棒产生焦耳热之比
Q1
Q2
＝R1
R2
【例6】（2025·山东济南·二模）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右
基础过关
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两侧导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。两导
体棒MN、PQ 垂直放置在导轨上，已知导体棒MN 的电阻为R、长度为d、质量为m，导体棒
PQ 的电阻为2R、长度为2d，质量为2m。0 时刻，用水平恒力F 向右拉动PQ，此后运动了
足够长时间t，运动过程中，两导体棒均未脱离原宽度处的导轨且与导轨保持良好接触。已知
导轨足够长且电阻不计，从0 时刻到t 时刻的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．回路中始终产生顺时针方向的电流
B．PQ 加速度为a 时，MN 的加速度为2a
C．t 时刻后两导体棒的速度差恒为
D．通过两导体棒的电量为
【答案】ACD
【详解】A．设导体棒PQ 和MN 的速度分别为
和
，加速度分别为
和
，产生的感应
电动势分别为
和
，0 时刻回路中的电流为零，导体棒MN 的加速度为0，导体棒PQ 有
向右的加速度，此后两棒均向右加速，但
所以
又
，
所以
根据左手定则可知，回路中总的感应电动势等于两棒产生的感应电动势之差，所以回路中总
的感应电动势方向与导体棒PQ 产生的感应电动势方向相同，导体棒PQ 产生的感应电动势方
向为
，所以回路中的电流沿顺时针方向，回路中的电流
导体棒PQ 和MN 的加速度分别为
，
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随着时间推移，
越来越大，回路中的感应电流越来越大，
减小
增大，经过足够长
的时间后，两棒的加速度相等，此后
保持不变，两棒匀加速运动下去，所以从0 时刻
到t 时刻的过程中，回路中始终产生顺时针方向的电流，故A 正确；
B．在两棒的加速度达到相等之前，
减小
增大，两棒的加速度大小并不是恒定的倍数关
系，故B 错误；
C．t 时刻后
解得
又
解得
故C 正确；
D．通过两导体棒的电量为
，根据动量定理，对导体棒PQ 和MN 分别有
，
又
，
联立得
故D 正确。
故选ACD。
【例7】（2025·湖北荆州·三模）如图所示，水平金属导轨左侧接电容为1F 的电容器，最右
侧用一段长度可忽略不计的绝缘材料与倾角为
的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上
端接阻值为0.1Ω 的电阻，两导轨宽均为1m。水平导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场中，
倾斜导轨也处在垂直于导轨平面的磁场中，磁感应强度大小均为0.2T。质量为0.4kg 的金属
棒a 静置在水平导轨上，距水平导轨右端4.32m，质量为0.8kg 的金属棒b 放在倾斜导轨上，
控制其不动，b 棒距导轨下端3.6m。对a 施加水平向右的大小为2.64N 的恒力，同时静止释
放b。a 棒运动到水平导轨最右端时恰好与b 棒发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去拉力。导轨均
光滑且不计导轨和a、b 的电阻，重力加速度大小为
。则（ ）
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A．a 从开始运动到第一次碰撞前所用时间为1.2s
B．a 从开始运动第一次碰撞前，R 上消耗的焦耳热为19.2J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，a 的速度大小为7.2m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，b 的速度大小为3.4m/s
【答案】AD
【详解】A．由于金属棒a、b 同时由静止释放，且恰好在两导轨连接处发生弹性碰撞，则说
明a、b 在到达连接处所用的时间是相同的，对金属棒a 和电容器组成的回路有
对a 根据牛顿第二定律有
其中
，
联立有
则说明金属棒a 做匀加速直线运动，则有
，
联立解得
，
，
故A 正确；
B．金属棒b 下滑过程中根据动量定理有
其中
可求得碰前瞬间b 的速度为
则根据功能关系有
联立解得
故B 错误；
CD．由于两棒发生弹性碰撞，取a 棒碰前瞬间运动方向为正，有
，
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联立解得
，
故C 错误，D 正确。
故选AD。
【例8】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，两根足够长的平行金属光滑导轨
、
固定在倾角为
的斜面上，导轨电阻不计。
与
间距为
，
与
间距为
。在
与
区域有方向垂直斜面向下的匀强磁场，在
与
区域有方向
垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为
。在
与
区域中，将质
量为
，电阻为
，长度为
的导体棒
置于导轨上，且被两立柱挡住。
与
区域中
将质量为
，电阻为
，长度为
的导体棒
置于导轨上。
由静止下滑，经时间
恰好
离开立柱，
、
始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为
。则（
）
A．两导体棒最终做匀速直线运动
B．时刻，
的速度大小为
C．
内，
下滑的距离为
D．
中电流的最大值为
【答案】BD
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【详解】A．若a 棒最终做匀速直线运动，则有
此时对b 棒则有
可见两导体棒最终不会都做匀速直线运动，A 错误；
B．设时刻，
的速度大小为v，a 棒产生的感应电动势
由闭合电路欧姆定律
分析b 受力
解得
B 正确；
C．在时间t 内，对a 棒由动量定理有
解得
C 错误；
D．由闭合电路欧姆定律，a 棒中的电流满足
对b 棒，由牛顿第二定律
对a 棒，由牛顿第二定律
显然，当电流最大时，
最大，有
即
解得
D 正确。
故选BD。
【例9】（2025·山东·三模）如图所示，间距为
的两固定平行光滑金属导轨由倾斜部分和水
平部分（均足够长）平滑连接而成，连接处绝缘，倾斜部分导轨与水平面的夹角为
，导轨
上端接有一个阻值为
的定值电阻。倾斜导轨处存在方向垂直于倾斜导轨平面向上的匀强磁
场，水平导轨处存在方向竖直向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为
。初始时，
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导体棒
放置在水平导轨上离倾斜导轨底端足够远的位置，导体棒
从倾斜导轨上某处由静
止释放，到达倾斜导轨底端前已经匀速运动。导体棒
进入水平导轨后始终没有和导体棒
相碰。导体棒
、
接入电路的阻值均为
，质量均为
，运动过程中始终垂直于导轨且与
导轨接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为
。求：
(1)导体棒
在倾斜导轨上的最大速度；
(2)整个过程，导体棒
产生的热量。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）刚开始导体棒a 在倾斜导轨上做加速运动，加速度为零时，速度达到最大，由
牛顿第二定律有
导体棒a 在倾斜导轨上以最大速度匀速动时产生的感应电动势
联立解得导体棒
在倾斜导轨上的最大速度
（2）导体棒a、b 整体合外力为零，由动量守恒有
最后两根导体棒做匀速直线运动，由能量守恒有导体棒
产生的热量
联立解得导体棒
产生的热量为
【例10】（2025·陕西宝鸡·三模）如图所示为放置在水平面上的光滑金属导轨，由左侧的圆
弧轨道和右侧足够长的水平轨道平滑连接组成。圆弧轨道最上端连接一个电容
的电
容器，导轨间距为
。在图中虚线de 右侧区域存在磁感应强度大小，
，方向竖
直向上的匀强磁场，金属棒b 静止在磁场内水平导轨上。现断开开关S，将金属棒a 从圆弧导
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轨由静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为
。已知金属棒a 的质量
，
金属棒b 质量
，两金属棒在导轨间的电阻均为
。在运动过程中两金属棒始
终与导轨接触良好且与导轨垂直，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，重力加速度
。求：
(1)当金属棒b 的速度为
时，金属棒a 速度；
(2)要使两金属棒在磁场内运动过程中不相撞，求初始时刻金属棒b 到de 的最小距离x；
(3)若金属棒b 的速度为
时从导轨上取走金属棒b，同时闭合开关S，求金属棒a 的最小
速度。
【答案】(1)
(2)6m
(3)3m/s
【详解】（1）设金属棒a 滑上水平导轨时速度为
，下滑过程中由机械能守恒定律可得：
当金属棒b 的速度
时，设金属棒a 的速度为
，由动量守恒定律有：
代入数据解得：
（2）由题意可得，金属杆a 在磁场内做减速运动，金属杆b 在磁场内做加速运动。要使两金
属棒在磁场中不相撞，则金属杆a 追上金属杆b 时恰好共速。所以由动量守恒定律有：
从金属杆a 进入磁场到二者共速的过程中，设通过闭合回路的电量为q，回路中的平均电流为
：
，
，
，
在此过程中，对于金属杆b 由动量定理得：
20
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联立以上各式可得，初始时刻金属棒b 到de 的最小距离：
（3）由题意可得，取走金属棒b，闭合开关S，金属棒a 以速度5m/s 向右切割磁感线，给电
容器充电。当金属棒a 产生的感应电动势和电容器电压相等时，金属棒a 开始匀速运动，速
度达到最小。
则
，
对于金属棒b 由动量定理可得：
联立以上各式可得：
代入数据可得：
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