文档文本内容
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第34 讲 电磁感应综合问题
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 与图像综合........................................................................................................................
考点二 与电路综合........................................................................................................................
考点三 与牛顿运动定律综合........................................................................................................
考点四 与动量、能量综合............................................................................................................
考点五 动生与感生综合................................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年黑龙江、吉林、辽
宁、内蒙古卷，第14 题
2024 年全国甲卷，第8 题
2024 年江西卷，第15 题
2023 年浙江1 月卷，第7 题
2023 年浙江1 月卷，第19 题
与图像综合
牛顿第二定律
动能定理
动量定理
闭合电路欧姆定律
安培力
1
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2022 年河北卷，第8 题
2022 年重庆卷，第7 题
2021 年辽宁卷，第9 题
2021 年湖北卷，第16 题
2025 年四川卷，第14 题
2023 年新课标卷，第13 题
与电路综合
动量定理
能量守恒定律
2025 年云南卷，第15 题
2025 年重庆卷，第10 题
2024 年安徽卷，第15 题
2023 年湖南卷，第14 题
2022 年湖北卷，第15 题
2021 年全国乙卷卷，第12 题
2021 年湖北卷，第16 题
2021 年天津卷，第12 题
与牛顿运动定律综合
匀变速直线运动规律
受力平衡
牛顿第二定律
动量定理
闭合电路欧姆定律
2025 年安徽卷，第15 题
2025 年甘肃卷，第15 题
2025 年海南卷，第12 题
2025 年河北卷，第15 题
2025 年湖南卷，第9 题
2025 年山东卷，第18 题
2025 年陕晋宁青卷，第7 题
2024 年湖北卷，第15 题
2024 年湖南卷，第8 题
2023 年福建卷，第4 题
2023 年全国甲卷，第12 题
2023 年重庆卷，第7 题
2022 年湖南卷，第10 题
2022 年辽宁卷，第15 题
2021 年湖南卷，第18 题
与动量、能量综合
受力平衡
牛顿第二定律
功率
动能定理
能量守恒定律
动量定理
动量守恒
电容器
焦耳热
闭合电路欧姆定律
2023 年广东卷，第14 题
动生与感生综合
电热
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查电磁感应中的综合问题。常与电路、力
的平衡、牛顿运动定律、功能关系、能量守恒及动量定理、动量守恒定律进行综合。
【备考策略】1.熟悉电磁感应中的各种综合问题。
2.具备数形结合的思想意识。
2
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【命题预测】本讲内容是新高考卷的常考内容，可选择，可计算。
一、电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv 或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
二、电磁感应中电荷量的计算
导出公式：q＝n
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt 内
通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q
＝n.
三、电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类
问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t 图还是Φ－t 图，或者E－t 图、I－t 图等；对切割磁感线产生感应电动势和
感应电流的情况，还常涉及E－x 图像和i－x 图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
3
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四、电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
五、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→―――→
2．求解焦耳热Q 的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
六、动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量
q、运动时间t、运动位移x 时常用动量定理求解．
七、动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩
擦力，且受到的安培力的合力为0 时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
4
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考点一 与图像综合
典例1．（2025·辽宁省辽西重点高中·二模）如图甲所示，粗细均匀的无限长光滑平行导轨固定在倾角
的斜面上，在边界EF 下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd
分别从磁场边界EF 上方
位置和边界EF 位置同时由静止释放，cd 棒运动的
图像如图乙所示，
其中OM、NP 段为曲线，其它段为直线。已知磁感应强度
，导轨间距
，导体棒的质量均
为
，导体棒电阻均为
，导轨电阻不计，g 取
。求：
（1）
的大小并直接写出ab 棒在整个运动过程中加速度的最大值；
（2）从
到
导体棒cd 位移大小
；
（3）导体棒ab 进入磁场后，通过导体棒ab
电荷量
。
【答案】（1）
（2）
（3）0.45C
【解析】
【小问1 详解】
设2s 前cd 达到匀速直线运动时的速度为
，cd 棒受平衡力
代入题中数据，解得
因为
5
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联立解得
2s 时ab 棒刚好进入磁场
电路中的感应电流
对
棒根据牛顿第二定律
可得ab 棒在整个运动过程中加速度的最大值
【小问2 详解】
cd 棒在0~2s 的运动过程，以
的方向为正方向，由动量定理得
因为
因为
联立解得
【小问3 详解】
ab 棒先做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
2s 时ab 棒刚好进入磁场，其速度大小
设ab 棒进入磁场后经过时间
与cd 棒速度相等，一起做匀加速直线运动，以
的方向为 正方向，则对cd
棒有
以沿斜面向下的方向为正方向，对ab 棒有
因为
联立解得
典例2．（2025·河南省洛阳市·三模）（多选）如图所示，M、N 是两根固定在绝缘水平台面上的光滑平行
金属导轨，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨间存在垂直于台面向下的匀强磁场。阻值相等的两金属棒
、
的质量分别为
、
，两棒置于导轨上，最初两棒间存在一定的距离。
时刻，
棒获得
一水平向右、大小为
（可调）的初速度，此后运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好。设
、
的间距为x，通过
棒的电荷量为q，安培力对
棒冲量的大小为I，从
时刻至两棒运动稳定，
棒上产生的焦耳热为Q。下列图像可能正确的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】A．
、
棒所受安培力大小相等、方向相反，因
棒质量为
棒质量的2 倍，可知每时每刻
棒的加速度大小为
棒的2 倍，由动量守恒定律可知最终两棒速度相同，设为
，有
得出
，故A 正确；
B．设时间内
、
棒的平均速度分别为
、
，记最初两棒之间距离为
，则
q 为x 的一次函数，在纵轴上的截距为负值，故B 错误；
C．安培力对
棒的冲量大小
I 为x 的一次函数，在x 轴上的截距为正，故C 正确；
D．由能量守恒定律可知
得出
，可知Q 为
的二次函数，故D 正确。
故选ACD。
典例3．（2025·安徽省芜湖市·二模）如图甲所示，相距为
的两条足够长光滑平行金属导轨，导轨
的倾斜部分和水平部分在c、d 处平滑连接，倾斜部分与水平面的夹角为
，一根质量为
、
电阻为
的金属棒PQ 垂直导轨放置。倾斜导轨顶端接有阻值为
的电阻，在电阻、导轨与PQ
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间有一面积为
的磁场区域Ⅰ，磁感应强度方向垂直导轨平面向下，磁场大小
随时间t 变化规律如
图乙所示，在0 到
内均匀增加到
，
之后磁感应强度保持不变。在边界ab 右侧存在磁感应
强度大小为
、方向也垂直倾斜导轨平面向下的匀强磁场区域Ⅱ，边界ab 与导轨垂直，到斜面底端
cd 的距离为
。
时刻将金属棒PQ 由静止释放，
时刻恰好运动到边界ab，在PQ 到达ab
边界时给它施加一平行倾斜导轨的作用力F，使它沿导轨向下运动速度随位移均匀增大，且
，
，导体棒运动到cd 时撤掉F，之后滑进导轨的水平部分最终停止。已知导体棒PQ 与导轨始终垂
直并接触良好，在cd 处进入水平导轨时无动能损失，不计导轨电阻，忽略磁场边界效应，重力加速度为
。求：
（1）求
内回路产生的热量
；
（2）金属棒PQ 在abcd 区域运动过程中产生的热量
和力F 做的功W（结果保留3 位有效数字）；
（3）金属棒PQ 在水平导轨上滑行的路程s（结果保留3 位有效数字）。
【答案】（1）0.5J
（2）
，
（3）
【解析】
【小问1 详解】
内的电动势
内的电动势
在进入区域Ⅱ之前回路产生的总热量
【小问2 详解】
到达ab 时，棒的速度
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进入区域Ⅱ后的速度
，
，
，
联立得
由图像中梯形面积得克服安培力做功
由功能关系知回路中产生的总热量
由
由题意知，棒到达cd 时的速度
由动能定理有
联立解得
。
【小问3 详解】
进入水平轨道后，对棒由动量定理得
，
联立得
解得
跟踪训练1．（2025·北京市大兴精华学校·三模）将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接
成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图1 所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强
度为
，电源电动势为
、内阻为
。导体棒的质量为
，电阻为
，长度恰好等于导轨间的宽度
，不
计金属轨道的电阻。求：
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（1）闭合开关瞬间导体棒加速度的大小
；
（2）分析导体棒运动情况，并在图2 中定性画出从静止到最大速度的图像；
（3）导体棒的速度从0 增加到
的过程中，通过导体棒的电量
。
【答案】（1）
（2）导体棒做加速度减小的加速运动，如图所示
（3）
【解析】
【小问1 详解】
闭合开关瞬间，电路中电流
根据牛顿第二定律有
联立解得导体棒加速度的大小
【小问2 详解】
导体棒受安培力作用向右加速，产生感应电动势，电路中总电动势为
电流为
根据牛顿第二定律
解得
，随
的增大而减小，所以棒做加速度减小的加速运动。
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【小问3 详解】
设平均电流为
，根据动量定理
，又
解得
跟踪训练2．（2025·安徽省·一模）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨左端接有
定值电阻，整个空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，导轨上静置一金属棒，金属棒和导轨电阻均不计。
现给金属棒一个向右的初速度，设金属棒向右运动的位移大小为x 时，速度大小为v，加速度大小为a，通
过定值电阻的电荷量为q，金属棒克服安培力做功的功率为P，则下列四个图像中可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】C．导体棒切割磁感线，产生感应电流，根据左手定则可知棒受安培力向左，开始向右做减速运
动。设磁感应强度为B，棒长为L，定值电阻阻值为R，产生的感应电动势为
感应电流大小
导体棒所受安培力
通过电阻的电荷量
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可知
与
成正比，C 错误；
A．对导体棒由动量定理
联立上述两式可解得
即速度
与位移
为线性递减函数，故A 正确；
B．由牛顿第二定律
联立上式化简得
即加速度
随
的图像也为线性递减函数，B 错误；
D．克服安培力的功率
即功率
与
为二次函数，D 错误。
故选A。
跟踪训练3．（2025·福建省龙岩市·一模）（多选）如图甲所示，轻质细线吊着一质量
、边长
、匝数
的正方形线圈，线圈总电阻
。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，重力加速度
。下列说法正确的
是（ ）
A.
内穿过线圈磁通量的变化量为
B. 线圈中产生的感应电流的大小为
C.
时轻质细线的拉力大小为
D.
内线圈产生的焦耳热为
【答案】BC
【解析】A．
内穿过线圈磁通量的变化量为
选项A 错误；
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B．由法拉第电磁感应定律得
根据闭合电路的欧姆定律可得线圈中的感应电流大小为
选项B 正确；
C．根据图乙可知，t=3s 时磁感应强度为B=1T
线圈受到的安培力大小为：F 安=nBIL=5×1×1×1N=5N
方向竖直向上，则轻质细线的拉力大小为
选项C 正确；
D．0～4s 内线圈产生的焦耳热为Q=I2rt=12×0.5×4J=2J
故D 错误。
故选BC。
考点二 与电路综合
典例1．（2025·西藏自治区日喀则市·二模）（多选）如图所示，abcd 为水平固定放置的U 形导体框，其
中
长为，右端接一阻值为
的定值电阻，长为
、阻值为
的均匀导体棒
始终与导体框垂直并
接触良好。整个装置处于垂直纸面的匀强磁场中，磁感应强度大小为
。导体框电阻不计，现使导体棒以
速度
水平向左匀速运动，下列说法正确的是（ ）
A.
时间内流过导体棒的电荷量为
B. 定值电阻上产生的焦耳热的热功率为
C. 导体棒两端的电势差为
D. 导体棒两端的电势差为
【答案】BC
【解析】A．导体棒以速度
水平向左匀速运动，等效电路如图所示，回路中电流
电荷量
，A 错误；
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B．定值电阻上产生的焦耳热功率
，B 正确；
CD．因为
，
闭合回路之外的电势差为
所以导体棒两端的电势差
，故C 正确，D 错误。
故选BC。
典例2．（2025·湖南省长沙市南雅中学·三模）（多选）如图所示，平行光滑金属导轨间距为
，导轨处在
竖直向上的匀强磁场中，两根长度均为
材料相同的金属棒
、
垂直于导轨平行放置，与导轨始终接
触良好，
、
金属棒质量分别为
、
。
棒的电阻为
。开始时
棒锁定在轨道上，对
棒施
加水平向右的恒定拉力
，经时间，
棒的速度达到最大值
，此时撤去拉力，同时解除对
棒的锁
定，导轨足够长且电阻不计。则（ ）
A. 匀强磁场的磁感应强度大小
为
B. 撤去拉力前
棒前进的距离为
C. 撤去拉力前
棒前进的距离为
D. 全过程中
棒产生的焦耳热为
【答案】CD
【解析】A．因ab、cd 棒材料、长度相同，质量分别为m、2m，则cd 棒的横截面积是ab 棒2 倍，由
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可知
ab 棒速度达到最大时，受力平衡，有
又
联立解得
，故A 错误；
BC．撤去拉力前，对ab 棒，根据动量定理，有
其中
解得
，故B 错误，C 正确。
D．解除锁定后两棒相互作用过程中动量守恒，最后以相同的速度运动，则有
对全过程由能量守恒定律
得
则
，故D 正确。
故选CD。
典例3．（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）国产电动汽车采用电磁式动力回收装置，可将部分动能转化为
电能并储存。如图所示为该装置
简化模型，“日”字形的金属线框放在光滑的水平面上，各边长均为l，
ab、cd、ef 边电阻均为R，其余部分电阻可忽略不计。线框以速度v 进入宽度为l 的匀强磁场，最终恰好穿
出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，边界与ab 边平行，则线框（ ）
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A. 刚进磁场时，a 端电势高于b 端电势
B. 刚进磁场时，a、b 两点间电势差为
C. 质量
D. 穿越磁场过程中ab 边产生的热量
【答案】C
【解析】A．由右手定则可知，线框刚进入磁场时b 端电势高，且其等效电路为：
可知，a 端电势低于b 端，且
，故AB 均错误；
C．由动量定理知，
，
解得
，故C 正确；
D．ab 棒发热分两个阶段：
（1）ab 棒在磁场中运动，由动量定理，有
，
解得
过程中产生的热量
（2）ab 棒在磁场外运动过程中产生的热量
所以
，故D 错误。
故选C。
跟踪训练1．（2025·福建省泉州市·一模）（多选）如图，顶角为60°的V 形光滑导轨POQ 倾斜固定，导
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轨平面倾角为30°。一绝缘轻弹簧上端固定于O 点，下端连接质量为m 的导体棒ab，已知弹簧原长为L，
劲度系数为k，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r。空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度
大小为B。弹簧处于原长时，ab 由静止释放，运动过程中，ab 始终保持水平且与导轨接触良好，弹簧始终
在角∠POQ 平分线OO′上。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A. ab 下滑过程中a 端电势比b 端高
B. ab 加速下滑过程中导体棒的电流恒定
C. ab 下滑距离L 过程中通过导体棒中间横截面的电荷量大小为
D. ab 从开始释放到最终静止过程中整个回路产生的热量等于
【答案】AC
【解析】A．导体棒向下运动过程中，根据右手定则，可判断棒中电流方向由b 指向a，由于导体棒相当于
电源，所以a 端电势比b 端高，故A 正确；
B．设导体棒到O 点的距离为
时，电路中的电阻为
若导体棒的电流恒定，即
不变，其中
，
即
不变，即导体棒做匀速运动时，导体棒的电流恒定，所以ab 加速下滑过程中导体棒的电流改变，故B 错
误；
C．ab 下滑距离L 过程中，此时
根据法拉第电磁感应定律可得
又
，
，
，
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联立，解得
，故C 正确；
D．导体棒最终静止时，速度为0，不产生感应电流，导体中不受安培力，则有
解得
根据能量守恒，有
解得
，故D 错误。
故选AC。
跟踪训练2．（2025·山东省烟台市·三模）（多选）如图所示，两条平行光滑金属导轨
间距为
，与水平面间的夹角
，导轨上端接有电阻
，在导轨间有一宽度为
的匀强磁
场区域，磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度大小
，在磁场区域上方有两根完全相同的导体
棒
垂直于导轨放置并处于锁定状态，二者之间相隔一定的距离。现将
由静止同时释放，导体棒
a 进入磁场后恰好开始做匀速直线运动，当a 刚好离开磁场时，b 恰好进入磁场。已知导体棒
质量都
为
，连入电路的电阻都为
，导轨足够长且电阻不计，两根导体棒和导轨接触良好，在运动过程中
始终与导轨垂直，重力加速度g 取
，下列说法正确的是（ ）
A. 刚释放时，
之间相隔的距离为
B. b 在通过磁场区域的过程中，流过电阻R 的电荷量为2C
C. b 刚进入磁场时的加速度大小为
D.
在通过磁场区域的过程中，系统产生的焦耳热为
【答案】AC
【解析】A．设导体棒a 刚进入磁场时的速度大小为
，则此时导体棒a 切割磁感线产生的电动势
，此时导体棒a 看成电源，导体棒
和定值电阻并联为外电路，此时电路总电阻
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，此时回路中的电流
导体棒a 所受安培力
，导体棒a 进入磁场后恰好开始做匀速直线运动，则有
即
解得
导体棒a 在进入磁场之前做匀加速直线运动，设其加速度为
，则
得
设导体棒a 在进入磁场之前做匀加速直线运动时间为
，则
，解得
设导体棒a 在进入磁场之后，在磁场中做匀速运动的时间
导体棒a 在进入磁场之前做匀加速直线运动的位移
导体棒
在进入磁场之前做匀加速直线运动，设其加速度为
，则
得
导体棒
从开始运动到刚好进入磁场时位移
刚释放时，
之间相隔的距离
故A 正确；
C．导体棒b 刚进入磁场时速度大小
，导体棒b 切割磁感线产生
的电动势
。此时导体棒
看成电源，导体棒
和定值电阻并联为外电路，
此时电路总电阻
，此时回路中的电流
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设b 刚进入磁场时的加速度大小
，则
解得
故C 正确；
B．导体棒b 在通过磁场区域的过程中，通过导体棒b 的电荷量
流过电阻R 的电荷量
故B 错误；
D．导体棒a 和b 在穿过磁场区域时两棒重力势能的减少量
，两棒穿越磁场后
动能也增加了，由能量守恒定律
在通过磁场区域的过程中，系统产生的焦耳热小于
。
故D 错误。
故选AC。
跟踪训练3．（2025·吉林省延边朝鲜族自治州·一模）半径为
的光滑的圆形导体环
处于垂直纸面
向里的匀强磁场内，其左侧留有一小缺口
，右侧与磁场外的电路连接，如图所示。磁感应强度为B，
总阻值为
、长为
、质量为
的金属棒
在恒力
的作用下从
位置由静止沿导轨向右运动，经
过圆环圆心
时的速度为
，外电路定值电阻阻值也为
，其余电阻不计，电容器的电容为
。求：
（1） 金属棒经过
点时，金属棒两端的电势差
；
（2） 金属棒经过
点时，电容器的带电量
；
（3） 从开始到金属棒经过
点的过程中，金属棒克服安培力做的功
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）金属棒经过
点时，闭合电路中的电动势为
通过R 的电流
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棒两端的电势差为
解得
（2）金属棒经过
点时，电容器两端的电压为
电容器的带电量
解得
（3）从开始到金属棒经过
点的过程中，对金属棒由动能定理可得
解得
金属棒克服安培力做的功
考点三 与牛顿运动定律综合
典例1．（2025·江苏省南通市如皋市·二模）如图所示，金属线框甲从匀强磁场的上边界由静止释放，末速
度为v 时线框还未完全进入磁场；相同的线框乙从磁场的下边界以速度v 竖直向上抛出，到达最高点时线
框也未完全进入磁场，两线框在上述进入磁场的过程中，甲线框（ ）
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A. 运动的时间短
B. 运动的位移大
C. 通过的电量小
D. 产生的内能少
【答案】B
【解析】A．由题知，甲向下做加速运动，速度由0 加速到v，速度变化量为
其下边切割磁感应线，产生逆时针的电流，根据左手定则，可知下边所受的安培力向上，根据牛顿第二定
律有
又
联立可得
可知随着甲的速度增大，加速度不断减小，故甲向下做加速度减小的加速运动；
乙向上做减速运动，速度由v 减到0，其上边切割磁感应线，产生逆时针的电流，根据左手定则，可知上
边所受的安培力向下，根据牛顿第二定律有
又
联立可得
可知随着乙的速度减小，加速度不断减小，故乙向上做加速度减小的减速运动；
此时可以将乙反向看成向下的加速运动，速度由0 加到v；速度变化量为
可知甲、乙的速度变化量都相等，根据
因甲的加速度大小小于乙的加速度大小，故甲运动的时间长，故A 错误；
B．由A 项分析，则在同一个v-t 图像中大致画出甲和乙的速度图像如图所示
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根据图像可知甲运动的位移大，即
，故B 正确；
C．设线框的电阻为R，边长为L，磁感应强度为B，根据电荷量的计算公式有
，
，
，
联立解得
由于甲的位移大，所以通过甲线框的电荷量大，故C 错误；
D．甲线框运动过程中速度越来越大，运动的位移更大，克服安培力做功多，产生的内能多，故D 错误。
故选B。
典例2．（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模）如图所示，MN、PQ 两平行光滑水平导轨分别与半
径r=0.5m 的相同竖直半圆导轨在N、Q 端平滑连接，M、P 端连接定值电阻R，质量M=2kg 的cd 绝缘杆垂
直静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q 端的区域内充满竖直向上的匀强磁场，现有质量m=1kg 的ab 金属
杆以初速度
=12m/s 水平向右与cd 绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd 绝缘杆则恰好通过半
圆导轨最高点，不计其他电阻和摩擦，ab 金属杆始终与导轨垂直且接触良好，（不考虑cd 杆通过半圆导
轨最高点以后的运动），求：
（1）cd 绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；
（2）正碰后ab 杆的速度大小；
（3）电阻R 产生的焦耳热Q．
【答案】(1)
(2)
(3) 2J
【解析】（1）cd 绝缘杆通过半圆导轨最高点时，由牛顿第二定律有：
解得：
（2）碰撞后cd 绝缘杆滑至最高点的过程中，由动能定理有：
解得碰撞后cd 绝缘杆的速度：
两杆碰撞过程，动量守恒，取向右为正方向，
则有：
解得碰撞后ab 金属杆的速度：v1=2m/s
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ab 金属杆进入磁场后，由能量守恒定律有：
解得：Q=2J
典例3．（2025·甘肃省白银市第一中学·二模）（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，空间
充满垂直导轨平面的匀强磁场，导轨上端接有单刀双掷开关、电阻R 和电容器，先将单刀双掷开关接1，
t=0 时刻释放与导轨接触的水平金属杆MN，t=2s 时立刻将单刀双掷开关接到2，已知导轨间距L=1.0m，磁
感应强度B=2.0T，电容器的电容C=1F，电阻
，金属杆质量m=1kg、电阻
，重力加速
度g 取
，金属杆MN 和导轨始终接触良好，不计导轨电阻和空气阻力，整个过程电容器未被击穿。
下列说法正确的是（ ）
A. 从释放金属杆到开关刚接2 时，金属杆移动的距离为4m
B. 开关刚接2 时，金属杆MN 的加速度大小是
C. 开关接2 后，金属杆先加速运动，后匀速运动
D. 从开关接2 到金属杆做匀速运动，金属杆所受合外力冲量大小为2N·s
【答案】ABD
【解析】A．单刀双掷开关接1 后，金属杆MN 在导轨上运动，电容器
充电电流为
电容器所带电荷量的变化量
感应电动势
E=U=BLv
则可知
而金属杆的加速度
由此可知
I=CBLa
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而根据牛顿第二定律有
解得
根据
即从释放金属杆到开关刚接2 时，金属杆移动的距离为4m，故A 正确；
BC．开关接2 时，对金属杆受力分析可得
其中
E=BLv
v=at
解得
方向竖直向上，金属杆先向下做加速度减小的减速运动，当安培力与重力平衡时向下做匀速运动，故B 正
确，C 错误；
D．根据上述，金属杆刚接2 时，金属杆的速度
金属杆向下匀速运动时
解得
则合外力冲量
故D 正确。
故选ABD。
跟踪训练1．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）如图所示，光滑的水平面上两虚线1、2 间存在方
向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，边长为L 的正方形导体框放在水平面上，且MN 边与两虚
线平行。某时刻在导体框上施加一水平向右的外力F，使导体框开始向右运动，已知该外力的功率恒为
P，经过一段时间导体框的MN 边刚好以速度v0（v0未知）匀速通过磁场；当MN 边经过虚线2 的瞬间，在
导体框上再施加一水平向左的外力F'，且外力的大小为F'=kv，k 为常量，v 为导体框的速度。已知两虚线
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之间的距离也为L，导体框的电阻为R。
（1）导体框匀速运动时的速度v0应为多大？
（2）导体框的PQ 边在磁场内的过程中导体框如何运动？
（3）如果导体框的PQ 边在磁场内的过程中外力F'做功的数值为W，则该过程中导体框中产生的热量为多
少？
【答案】（1）
；（2）导体框做加速度减小的减速运动，最后可能做匀速运动；（3）
【解析】（1）导体框的MN 边在磁场中运动时，回路中电流
导体框进入磁场内做匀速运动，由平衡条件得
外力F 的功率
解得
（2）导体框的PQ 边进入磁场后，导体框受水平向右的F、向左的安培力FA、向左的F′作用，此时导体框
的合力向左，导体框做减速运动。取向左为正方向，根据牛顿第二定律可得加速度大小
随着速度v 减小，加速度也减小，故导体框的PQ 边在磁场内的过程中，导体框做加速度减小的减速运动，
最后可能做匀速运动。
（3）导体框的速度为v 时，安培力
与速度v 成正比。又
与速度v 成正比，故两者的变化规律相同，必有
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由功能关系可知，导体框中产生的焦耳热
跟踪训练2．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）导轨a、b 由半径为
的四分之一光滑圆弧
平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨c、d 良好衔接，导轨a、b 部分宽度为
，导轨c、d
部分宽度为
，金属棒P 和Q 质量分别为
和
，电阻大小均为
，Q 棒静止
在c、d 导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
。现将P 棒从
圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过
时间P 棒到达轨道最低点，此时P 棒对导轨压力为其重力的
两倍，同时Q 棒解除锁定，两棒运动过程始终保持平行，水平导轨均足够长，且P 棒始终在ab 上运动，Q
棒始终在cd 上运动，金属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，经过足够长时间后，重力加速度为g 取
（结果可用分数表示），求：
（1）解除锁定前通过棒的电量；
（2）解除锁定前P 棒所受安培力和支持力的合力冲量大小；
（3）两金属棒最终速度大小。
【答案】（1）0.4C；（2）2Mg，
；（3）
，
【解析】（1）解除锁定前通过导体棒的电量
（2）导体棒P 到达圆弧导轨最低点时速度为
，由牛顿第二定律，有
且
得
P 棒沿导轨下滑过程所受安培力和支持力的合力冲量大小为I，根据动量定理
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作出矢量图如图所示
可得
（3）解除锁定后，P 棒做减速运动，Q 棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路电流为零，设两棒最
终速度分别为
和
，由于
由动量定理，对P 棒有
对Q 棒有
得
跟踪训练3．（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模）（多选）如图甲所示，半径为
带小缺口的刚性
金属圆环固定在竖直平面内，在圆环的缺口两端用导线分别与两块水平放置的平行金属板A、B 连接，两
板间距为
且足够大．有一变化的磁场垂直于圆环平面，规定向里为正，其变化规律如图乙所示。在平行
金属板A、B 正中间有一电荷量为
的带电液滴，液滴在
内处于静止状态。重力加速度为
。下列
说法正确的是（ ）
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A. 液滴带负电
B. 液滴的质量为
C.
时流滴的运动方向改变
D.
时液滴与初始位置相距
【答案】BD
【解析】A．由楞次定律可知，在
内金属圆环产生的感应电动势沿逆时针方向，B 板带正电，A 板
带负电，两板间存在竖直向上的电场，液滴处于静止状态，液滴受到向上的电场力和向下的重力平衡，液
滴所受电场力方向与场强方向相同，液滴带正电，A 错误；
B．根据法拉第电磁感应定律得
两极板间的电场强度
对液滴，由平衡条件得
解得
B 正确；
C．由楞次定律可知，在
内，金属圆环内感应电动势顺时针方向，上极板接高电势，下极板接
低电势，两极板间电场向下，电场力向下，根据牛顿第二定律得
解得
液滴向下做初速度为0 的匀加速运动，在
时速度最大，运动方向不改变，C 错误；
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D．由楞次定律可知，在
内，感应电动势逆时针方向，下极板接高电势，上极板接低电势，电场
方向向上，液滴在
做匀速直线运动，在
匀加速直线运动，位移
液滴在
做匀速直线运动，位移
时液滴与初始位置相距
D 正确。
故选BD。
考点四 与动量、能量综合
典例1．（2025·安徽省阜阳一中、阜阳三中·二模）（多选） 如图所示，相距为l 的平行光滑导轨ABCD
和MNPQ 两侧倾斜、中间水平，且电阻不计，在导轨的两端分别连有电阻
和
，且电阻
，
左侧倾角为θ，在ABNM 区域内存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
，水平部分虚线ef 和
gi 之间的矩形区域内，有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度也为
。一质量为m、电阻为r、长度也为l
的金属导体棒，从距水平轨道h 高处由静止释放，滑到底端时的速度为
，第一次穿过
磁场区域时速
度变为
。已知导轨和金属棒始终接触良好，倾斜部分轨道和水平部分平滑连接，则下列说法正确的有
（ ）
A. 导体棒从静止开始下滑到底端BN 过程中，电阻
上产生的热量为
B. 导体棒第一次通过水平区域磁场过程中通过导体棒的电荷量为
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C. 虚线ef 和gi 之间的距离
D. 导体棒最终停在水平磁场正中间
【答案】BCD
【解析】A．设此过程整个装置产生的热量为Q，
上产生的热量为
，根据能量守恒得
因为电阻
，所以通过导体棒的电流是
的2 倍，根据焦耳定律可知，导体棒产生的热量是
产
生热量的4 倍，所以
故A 错误；
B．设ef 和gi 之间的距离为x，穿过磁场过程流过导体棒的q1，根据动量定理可得
又
所以
故B 正确；
C．根据欧姆定律有
又
联立解得
故C 正确；
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D．设导体棒在ef 和gi 之间的磁场区经过的总路程为s，通过导体棒的电荷量为
，根据动量定理得
又
解得
故导体棒最终停在水平磁场的正中间，故D 正确。
故选BCD。
典例2．（2025·河北省保定市·二模）（多选）如图所示，光滑倾斜平行金属轨道与光滑水平平行金属轨道
平滑相接，导轨间距均为L，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，水平轨道的右端
连接阻值为R 的定值电阻。金属棒2 放在水平轨道的左端，且与水平轨道接触良好。金属棒1 在倾斜轨道
上，距离底端的高度为h。金属棒1、金属棒2 的质量均为m，长度均为L，电阻均为R。某时刻将金属棒
1 由静止释放，金属棒1 到达倾斜轨道底端与金属棒2 相碰（碰撞时间极短）并粘在一起进入磁场，整个
过程中金属棒都未与定值电阻相碰，不计倾斜轨道与水平轨道的电阻，重力加速度大小为g，下列说法正
确的是（ ）
A. 金属棒1、2 刚进入磁场时回路中的电流为
B. 金属棒1、2 进入磁场后通过定值电阻
电荷量为
C. 金属棒1、2 进入磁场后定值电阻产生的电热为
D. 金属棒1、2 进入磁场后的位移大小为
【答案】AC
【解析】A．设金属棒1 到达底端与金属棒2 碰前的速度为
，根据机械能守恒定律可得
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解得
碰撞后，两金属棒的共同速度为
，由动量守恒定律可得
解得
金属棒切割磁感线产生的电动势
结合欧姆定律可知，金属棒1、2 刚进入磁场时回路中的电流为
A 正确；
B．对两金属棒，根据动量定理可得
又因为
联立可得
B 错误；
C．根据能量守恒定理可知，回路中产生的总热量为
故定值电阻产生的热量
C 正确；
D．设金属棒1、2 进入磁场后的位移大小
，由动量定理可得
结合法拉第电磁感应定律可得
由欧姆定律可得
联立解得
D 错误。
故选AC。
典例3．（2025·福建省福州第一中学·一模）（多选）如图所示，用金属制作的导轨固定在水平面上，导轨
宽轨部分间距为2.0m，右端连接有开关K2和电容器，电容器的电容
；窄轨部分间距为1.0m，右
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端连接有开关K1，整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为1T。质量为0.4kg、阻值忽略不
计的金属棒M 垂直于导轨静止放置在宽轨导轨上；质量为0.4kg、长为1.0m 的金属棒P 静止在窄轨导轨上。
金属棒M 和金属棒P 在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，导轨足够长，金属棒M 总在宽
轨上运动，金属棒P 总在窄轨上运动，不计所有摩擦，电容器始终未损坏，导轨电阻不计。t=0 时，K1断
开，K2闭合，金属棒M 受到水平向左大小为0.8N 的恒力作用，则（ ）
A. 金属棒M 做加速度逐渐减小的加速运动
B. t=1.0s 时刻，金属棒M 的动能为0.2J
C. 若在t=1.0s 时刻撤去外力F，同时断开K2，闭合K1，稳定时金属棒M 的速度为0.5m/s
D. 若在t=1.0s 时刻撤去外力F，同时断开K2，闭合K1，稳定时金属棒M 的速度为0.2m/s
【答案】BD
【解析】A．K1断开，K2闭合，设金属棒M 的速率为v，由法拉第电磁感应定律有
因为
所以
对金属棒M，由牛顿第二定律有
解得
，即金属棒M 做匀加速运动，故A 错误；
B．t=1.0s 时刻，金属棒M 的速度为
其动能为
，故B 正确；
CD．若在t=1.0s 时刻撤去外力F，同时断开K2，闭合K1，设稳定时金属棒P、M 的速度为
、
，则
由动量定理，对M 有
对P 有
解得
、
，故C 错误；D 正确。
故选BD。
跟踪训练1．（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）【加试题】如图所示，倾角θ=370、间距l＝0.1m
足够长金属导轨底端接有阻值R=0.1Ω 的电阻，质量m=0.1kg 的金属棒ab 垂直导轨放置，与导轨间的动
摩擦因数μ=0.45．建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x．在0.2m≤x≤0.8m 区间有垂直导轨平面
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向上的匀强磁场．从t=0 时刻起，棒ab 在沿x 轴正方向的外力F 作用下从x=0 处由静止开始沿斜面向上运
动，其速度与位移x 满足v=kx（可导出a=kv）k=5s-1．当棒ab 运动至x1=0.2m 处时，电阻R 消耗的电功率
P=0.12W，运动至x2=0.8m 处时撤去外力F，此后棒ab 将继续运动，最终返回至x=0 处．棒ab 始终保持与
导轨垂直，不计其它电阻，求：（提示：可以用F－x 图象下的“面积”代表力F 做的功
（1）磁感应强度B 的大小
（2）外力F 随位移x 变化的关系式；
（3）在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q．
【答案】（1）
；（2）无磁场区间：
；有磁场区间：
；（3）
【解析】（1）由
E=Blv，
解得
（2）无磁场区间：
，a=5v=25x
有磁场区间：
（3）上升过程中克服安培力做功（梯形面积）
撤去外力后，棒ab 上升的最大距离为s，再次进入磁场时的速度为v＇，则：
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解得v＇=2m/s
由于
故棒再次进入磁场后做匀速运动；
下降过程中克服安培力做功：
跟踪训练2．（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）（多选）如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的
磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为
，导轨均足够长。质量为m 的导体棒
和质量为
的导体棒
均垂直于导轨放置，处于静止状态。
的电阻为R，
的电阻为
，两棒始终在对应
的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，现瞬间给
一水平向右的初速度
，直到二者稳定运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 导体棒
和
组成的系统动量守恒
B.
棒最终的速度
C. 此过程中，通过导体棒
的电荷量为
D. 此过程中
棒产生的焦耳热为
【答案】BC
【解析】A．由题意可知，流经两导体棒的电流相等，由于两导体棒在磁场中的长度不相等，因此受的安
培力大小不同，导体棒
和
组成的系统在水平方向的合外力不是零，则系统的动量不守恒，A 错误；
B．给
一水平向右的初速度
，由右手定则可知闭合电路产生逆时针方向的感应电流，由左手定则可知
导体棒
受向左的安培力，做减速运动，导体棒
受向右的安培力，由静止做加速运动，当
时电路中没有感应电流，此时则有
，两棒最终以不同的速度向右做匀速直线运动，取向右为正
方向，由动量定理，对ab 棒则有
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对cd 棒则有
联立解得
B 正确；
C．此过程中，对
棒由动量定理可得
通过导体棒
的电荷量为
C 正确；
D．由能量守恒定律，可知此过程中导体棒
和
组成的系统产生的焦耳热为
因
的电阻为R，
的电阻为
，可知
棒产生的焦耳热为
D 错误。
故选BC。
跟踪训练3．（2025·湖北省新八校协作体·三模）（多选）如图所示，水平金属导轨左侧接电容为1F 的电
容器，最右侧用一段长度可忽略不计的绝缘材料与倾角为
的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上
端接阻值为0.1Ω 的电阻，两导轨宽均为1m。水平导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场中，倾斜导轨也处
在垂直于导轨平面的磁场中，磁感应强度大小均为0.2T。质量为0.4kg 的金属棒a 静置在水平导轨上，距
水平导轨右端4.32m，质量为0.8kg 的金属棒b 放在倾斜导轨上，控制其不动，b 棒距导轨下端3.6m。对a
施加水平向右的大小为2.64N 的恒力，同时静止释放b。a 棒运动到水平导轨最右端时恰好与b 棒发生弹性
碰撞，碰撞前瞬间撤去拉力。导轨均光滑且不计导轨和a、b 的电阻，重力加速度大小为
。则（
）
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A. a 从开始运动到第一次碰撞前所用时间为1.2s
B. a 从开始运动第一次碰撞前，R 上消耗的焦耳热为19.2J
C. 两棒第一次碰撞后瞬间，a 的速度大小为7.2m/s
D. 两棒第一次碰撞后瞬间，b 的速度大小为3.4m/s
【答案】AD
【解析】A．由于金属棒a、b 同时由静止释放，且恰好在两导轨连接处发生弹性碰撞，则说明a、b 在到
达连接处所用的时间是相同的，对金属棒a 和电容器组成的回路有
对a 根据牛顿第二定律有
其中
，
联立有
则说明金属棒a 做匀加速直线运动，则有
，
联立解得
，
，
故A 正确；
B．金属棒b 下滑过程中根据动量定理有
其中
可求得碰前瞬间b 的速度为
则根据功能关系有
联立解得
故B 错误；
CD．由于两棒发生弹性碰撞，取a 棒碰前瞬间运动方向为正，有
，
联立解得
，
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故C 错误，D 正确。
故选AD。
考点五 动生与感生综合
典例1．（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）（多选）如图所示，半径为R 的
金属圆环ab 固定在水平
桌面上，有一垂直于圆环向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系为B=kt（k>0）。一长为2R
的金属直杆垂直磁场放置在圆环上，杆的一端与圆环的端口a 接触，t=0 时，杆从图示实线位置以角速度ω
顺时针绕a 在圆环所在平面内匀速转动，
时，金属杆转到虚线位置，与圆环另一端口b 刚好接触，
设
时金属杆和金属圆环构成的整个回路的总电阻为r，金属杆与圆环接触良好，下列说法正确的是
（ ）
A.
时，回路中的电流方向为逆时针方向
B. t=0 到
的过程中，回路中的感应电动势一直增大
C.
时，回路中的感应电动势大小为
D.
时，回路中的电流大小为
【答案】ABD
【解析】A．由楞次定律可知，感应电流方向为逆时针方向，故A 正确；
B．t=0 到
的过程中，回路中的感生电动势和动生电动势均增大，故B 正确；
C．
时，圆环与杆构成的回路由于磁场均匀增大，产生的感生电动势为
39
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动生电动势为
所以回路中的感应电动势大小为
故C 错误；
D．
时，回路中的电流大小为
故D 正确。
故选ABD。
典例2．（2025·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学·三模）（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在
绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L 和L，图中OO′左侧是电阻不计的金属导轨，OO′右侧是绝
缘轨道。金属导轨部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；OO′右侧以O 为原点，沿导轨
方向建立x 轴，OO′右侧存在分布规律为B=B0+kx（k>0）的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为
m、阻值为R、三边长度均为L 的U 形金属框，左端紧靠OO′平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处
于静止状态。长为2L、质量为2m、接入电路中的阻值为R 的导体棒a 处在间距为2L 的金属导轨上，长为
L、质量为m、接入电路中的阻值为R 的导体棒b 处在间距为L 的金属导轨上。现同时给导体棒a、b 大小
相同的水平向右的初速度v0，当导体棒b 运动至OO′时，导体棒a 中已无电流。导体棒b 与U 形金属框碰
撞后连接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a 被立柱挡住没有进入右侧
轨道。下列说法正确的是（ ）
A. 导体棒a、b 获得相同的水平向右的初速度v0后，导体棒a 做匀减速运动
B. 导体棒b 运动至OO′时的速度大小为
C. 导体棒b 运动至OO′前，导体棒a 和导体棒b 构成的回路产生的热量为
D. 导体棒b 与U 形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b 截面的电荷量为
【答案】BD
【解析】A．给导体棒a、b 大小相同的水平向右的初速度v0，由
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因为
，
解得a 棒所受安培力
由牛顿第二运动定律得
解得
可知a 棒运动的速度减小，加速度也减小，故A 错误；
B．设b 棒到达OO′时的速度大小为vb，此时导体棒a 的速度大小为va，因为此时已经无电流，即
设向右为正方向，对a、b 棒分别根据动量定理可得
，
联立解得
，
，故B 正确；
C ．导体棒b 运动至OO′ 前，导体棒a 和导体棒b 构成的回路产生的热量为
，故C 错误；
D．设b 棒与U 形金属框碰撞后共同速度为v1，设向右为正方向，根据动量守恒定律可得
解得
由OO′右侧磁场分布规律为
可知U 形金属框右边始终比U 形金属框左边的磁场大，即
从导体棒b 与U 形金属框碰撞后到最终静止
过程，回路中的平均电流为
，设向右为正方向，根据动量
定理可知
通过导体棒b 截面的电荷量为
联立解得
，故D 正确。
故选BD。
跟踪训练1．（2025·湖北省武汉二中·一模）（多选）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每
根导轨每米的电阻
，导轨的端点C、D 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l。有随时间变化的
匀强磁场垂直于桌面向里，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为B=kt，k 为大于零的比例系数。一电阻不计、
质量为m 的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直且接触良好。在t=0 时刻，金
属杆紧靠在C、D 端，在平行于导轨的外力F 作用下，杆以恒定的加速度a0从静止开始向导轨的右端滑动，
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下列说法正确的是（ ）
A. 导线CD 中感应电流的方向由D 指向C
B.
时刻感应电动势
大小
C.
时刻导体棒所受安培力
D. 在
时间内，作用在金属杆上外力F 的冲量
【答案】BD
【解析】A．由题意，根据楞次定律，可判断知导线CD 中感应电流的方向由C 指向D，故A 错误；
B．金属杆做匀加速直线运动，在
时刻，金属杆与初始位置的距离为
此时杆的速度为
这时，杆与导轨构成的回路的面积为
此时回路中的感应电动势为
，
联立求得
时刻感应电动势的大小
故B 正确；
C．
时刻回路中的总电阻
此时流经导体棒的电流
此时导体棒所受安培力
时刻导体棒所受安培力
故C 错误；
D．在
时间内，对金属杆由动量定理有
，
联立求得外力F 的冲量
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故D 正确。
故选BD。
跟踪训练2．（2025·湘豫名校联考·三模）如图甲所示，在光滑的绝缘水平面上，建立水平向右的
轴，整
个空间存在垂直于纸面的非均匀磁场，磁感应强度随位置坐标
及时间
的变化规律为
时，
图像如图乙所示。
为已知量，在
处磁场方向向上，在
处磁感应强度为零。一边长为
的正方形金属框
，质量为
，总电阻为
，在水平外力作用下以速
度
在水平面上沿
轴正方向匀速运动，在
时刻，金属框
边恰好运动到
处。忽略线圈的自
感。
（1）当
时，求
时刻，金属框中磁通量的变化率
的大小及金属框中电流的热功率
；
（2）当
时，求从
到
过程中拉力所做的功
；
（3）当
时，
轴上磁感应强度为零的点记作
点。若在
时撤去拉力，求金属框经过无限长
时间的最终速度
，以及金属框
边到达
点的最终距离
。
【答案】（1）
，
（2）
（3）
，
【解析】
【小问1 详解】
在
处磁感应强度为零，有
可知
设时刻，回路磁通量为
，
处磁感应强度
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处磁感应强度
又经过极短时间
，导体框移动距离
回路磁通量变为
回路中磁通量的变化率
可知
与金属框位置无关。
所以
时刻回路中磁通量的变化率
由法拉第电磁感应定律，回路中感应电动势
回路中感应电流
电流的热功率
【小问2 详解】
时刻，金属框所受安培力
金属框匀速运动，拉力
可知拉力
为恒力，不随时间变化。
从
到
过程，金属框前进距离
拉力做的功
【小问3 详解】
当
时，
轴上各处磁场都随时间变化。设磁感应强度为0 的点
在时刻的速度为
，时刻，
的位置为
，有
时刻，
的位置为
，有
在时刻的速度
联立解得
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相当于磁场在沿x 轴正方向以速度
匀速移动。
在
时撤去拉力后，设时刻速度为
，金属框相对磁场速度大小为
，方向沿
方向。
金属框所受安培力大小
，方向沿
方向
再经过极短时间
，导体框移动距离
，速度变化量
，磁场移动距离
，
由动量定理，有
可得
对加速的整个过程求和，有
可得
可知经过足够长时间，导体框
边与
的距离趋近于一个定值
所以金属框经过无限长时间最终的速度
金属框相对地面做加速度逐渐减小的加速运动，经过无限长时间，加速度趋近于0，速度趋近于
，全
过程
图如图所示。
1．（2025·安徽省“皖南八校”·三模）（多选）如图所示，足够长的粗糙U 型金属导轨NMQP 固定，导
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轨宽度为L，导轨平面与水平面之间的夹角为37°，在导轨所在区域，一匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁
感应强度为B，QM 之间接有阻值为R 的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻为2R 的金属棒ab 放在导
轨上，现给金属棒一个瞬时冲量，使其以初速度v0沿导轨平面向下开始滑行，棒与导轨之间的动摩擦因数
为0.75，（上述字母均为已知量，sin37°=0.6）由以上条件，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（
）
A. 导体棒通过的位移为
B. 回路电流随导体棒通过的位移而均匀减小
C. 运动过程中ab 两端的电压是MQ 两端电压的2 倍
D. 电阻R 上产生的焦耳热等于
【答案】ABD
【解析】B．导体棒下滑过程中受到重力、支持力、安培力、摩擦力，由于导体棒与导轨之间的动摩擦因
数
，所以重力沿导轨平面向下的分力和摩擦力大小相等，即整个下滑过程中导体棒沿导轨平面
方向只受安培力作用，沿导轨平面向上，阻碍导体棒下滑。设任意时刻导体棒的速度为
，由动量定理可
得
又
，
联立解得
由此可知导体棒速度随位移均匀减小，回路电流
可知回路电流I 也随位移均匀减小，故B 正确；
A．由B 选项分析可知导体棒最终静止在导轨上，对整个过程由动量定理得
根据
，
，
，
联立得
解得
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故A 正确；
D．由B 选项分析知整个下滑过程中，重力做功和克服摩擦力做功相等，根据能量守恒定律可知整个电路
产生的焦耳热等于导体棒动能的减少量，即
根据
可得电阻
上产生的焦耳热为
故D 正确；
C．导体棒下滑时切割磁感线，产生感应电动势，则导体棒等效为电源，其电阻等效为内阻，导体棒
两
端的电压即是路端电压，等于
两端电压，故C 错误。
故选ABD。
2．（2025·北京市大兴一中·一模）如图所示，光滑水平面内存在一有界匀强磁场，磁感应强度大小为
、
方向如图所示。一边长为
正方形单匝导线框位于水平面内，某时刻导线框以垂直磁场边界的初速度
从磁场左边缘进入磁场。已知导线框的质量为
、电阻为
。求线框完全进入磁场的过程中
（1）感应电流的最大值
；
（2）线框完全进入磁场时的速度；
（3）线框进入磁场产生的焦耳热。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
线框产生的最大电动势为
感应电流的最大值
【小问2 详解】
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根据动量定理，有
其中
平均电动势为
联立可得
【小问3 详解】
根据能量守恒可得线框进入磁场产生的焦耳热
3．（2025·北京市海淀区·三模）如图，相距L＝1m、电阻不计的平行光滑长金属导轨固定在绝缘水平面上，
两导轨左端间接有阻值R＝2Ω 的电阻，导轨所在足够长区域内加上与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感
应强度大小B＝1T。现有电阻r＝1Ω，质量m＝1kg 的导体棒ab 垂直导轨放置且接触良好，当导体棒ab 以
速度v＝12m/s 从边界MN 进入磁场后。
（1）求棒ab 刚进入磁场时的加速度大小；
（2）棒ab 进入磁场一段距离后，速度大小变为6m/s，求从进入磁场到此时的过程中电阻R 产生的焦耳热
为多少；
（3）求棒ab 最终停的位置。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）当导体棒进入磁场切割磁感线时，导体棒受安培力
由牛顿第二定律
解得
（2）对导体棒，由能量守恒得
两电阻热量之比
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总热量为
联立得
（3）在导体棒运动的极短时间
内，从t→
时间内，由动量定理
即
解得
4．（2025·甘肃省兰州市·一模）（多选）如图甲所示，单匝等腰直角三角形线框abc 的电阻
，直
角边长
，匀强磁场垂直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下
列说法中正确的是（ ）
A. 线框中的感应电流沿逆时针方向
B. 感应电流的大小为0.4A
C. 0~4s 内通过ab 边横截面的电荷量为0.8C
D. 0~4s 内线框内产生的热量为
【答案】AC
【解析】A．根据楞次定律可知，线框中的感应电流沿逆时针方向，选项A 正确；
B．感应电动势
感应电流的大小为
选项B 错误；
C．0~4s 内通过ab 边横截面的电荷量为q=It=0.8C
选项C 正确；
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D．0~4s 内线框内产生的热量为
选项D 错误。
故选AC。
5．（2025·甘肃省白银市·三模）（多选）如图所示，金属杆放置在足够长的光滑水平导轨上，与导轨垂直，
接入电路的有效长度为L，磁感应强度大小为B 的匀强磁场与导轨所在的平面成37°角斜向右上方，整个回
路的电阻恒为R。现给金属杆施加水平向右的恒定拉力，金属杆最终以大小为v 的速度做匀速直线运动，
且导轨对金属杆的弹力刚好为0，重力加速度大小为g，sin37°=0.6、cos37°=0.8，下列说法正确的是
（ ）
A. 金属杆的质量为
B. 水平向右的恒定拉力为
C. 若金属杆从静止到匀速运动的位移大小为x，则通过回路某一横截面的电荷量为
D. 若金属杆从静止到匀速运动的位移大小为x，则这段运动时间为
【答案】BD
【解析】AB．金属杆最终以大小为v
速度做匀速直线运动，此时有
，
，
可得
由右手定则结合左手定则可知安培力斜向左上方与水平方向的夹角成53°，由于导轨对金属杆的弹力刚好
为0，竖直方向由平衡条件可得
解得金属杆的质量为
水平方向根据平衡条件可得
解得水平向右的恒定拉力为
故A 错误，B 正确；
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C．若金属杆从静止到匀速运动的位移大小为x，则通过回路某一横截面的电荷量为
故C 错误；
D．若金属杆从静止到匀速运动的位移大小为x，根据动量定理可得
其中
联立解得这段运动时间为
故D 正确。
故选BD。
6．（2025·广西南宁市·三模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN 与水平面的夹角为
，间距
为l，P、M 间接有一定值电阻R，质量为m 的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，整个装置处于垂直导轨
平面向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中。
时刻，金属棒在沿导轨向上的恒力
作用下，
以初速度
沿导轨向下运动，此时金属棒的安培力大小为
，电阻R 的电功率为
。已知
重力加速度为
，导轨和金属棒电阻不计，若以初速度
的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力
、流过金属棒横截面的电荷量为q、电阻R 的电功率P 随时间t 变化的图像正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】A
【解析】A．金属棒的安培力为
其中
解得：
时刻，根据右手定则，判断金属棒中的电流方向，根据左手定则判断金属棒所受安培力方向沿负方向，
且
金属棒的合力为：
故金属棒先沿正方向减速运动，其加速度大小
可知
逐渐减小；当金属棒速度减为零后，沿负方向加速运动，安培力反向，其加速度大小
继续减小，当
时，
方向沿负方向，A 正确；
B．由上述分析
的方向先沿负方向再沿正方向，B 错误；
C．金属棒先沿正方向减速运动，后沿负方向加速运动，加速到最大值后速度不变，根据右手定则判断回
路的电流先沿逆时针，后沿顺时针方向，故流过属棒横截面的电荷量
可知
图像的斜率先减小后增大，最终不变，C 错误；
D．电阻R 的电功率
所以最终金属棒的电功率应该是
时刻的4 倍，D 错误。
故选A。
7．（2025·贵州省毕节市·三模）（多选）如图所示，平行且光滑的足够长金属导轨MN、PQ 固定于同一
绝缘水平面内，MP 间接有一电阻箱
，电阻不为零的导体棒ab 垂直静置于两导轨上，整个装置处于竖直
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向下的匀强磁场中。现给导体棒施加一水平向右、功率恒定的拉力
。若忽略空气阻力和金属导轨的电阻，
导体棒与导轨始终接触良好，则导体棒达到稳定状态时（ ）
A
取值越大，速度越小
B.
取值越大，速度越大
C.
取值越小，闭合回路的热功率越小
D. 无论
取值多大，闭合回路的热功率均相同
【答案】BD
【解析】AB．设导体棒功率为P，导体棒达到稳定状态时，棒做匀速直线运动，则有
因为
联立解得
可知
取值越大，速度越大，故A 错误，B 正确；
CD．根据能量守恒可知，导体棒达到稳定状态时，拉力
功率等于导体棒克服安培力做功的功率，即等于
回路的热功率，由于拉力功率恒定，故无论
取值多大，闭合回路的热功率均相同，故C 错误，D 正确。
故选BD。
8．（2025·河南省创新发展联盟·三模）如图所示，平行光滑金属导轨
分别由一段圆弧和水平部
分组成，水平部分固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，M、P 间接有阻值为R 的定值电阻，导轨水平部分
在
间有垂直导轨平面向上的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为
，
右侧有垂直导轨平面向下的
匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为
，金属棒b 垂直导轨放在导轨的
之间，金属棒a 在圆弧导轨
上离水平面高
处由静止释放，金属棒在导轨上运动过程中始终与导轨接触良好并与导轨垂直，两金属棒
接入电路的电阻均为
，质量均为
，
间的距离为
，重力加速度为
，金属棒a 与b 碰撞后
粘在一起，最后金属棒a、b 停在磁场Ⅱ区域内，求：
（1）金属棒a 通过磁场Ⅰ的过程中，通过定值电阻的电荷量；
（2）金属棒a 离开磁场Ⅰ时的速度大小；
（3）从a 棒开始运动到
两杆运动停止过程中，产生的焦耳热Q。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）金属棒a 通过磁场I 的过程中，通过金属棒a 的电量
根据法拉第电磁感应定律
根据闭合电路欧姆定律有
解得
则通过定值电阻的电量
（2）设金属棒a 进入磁场I 时的速度大小为
，根据机械能守恒有
解得
金属棒a 通过磁场I 的过程中，根据动量定理有
即
解得
（3）设金属棒a 与b 碰撞后的共同速度为
，根据动量守恒有
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则该碰撞过程损失的机械能为
由于最后金属棒a 与b 静止，根据能量守恒定律，可知从a 棒开始运动到
两杆运动停止过程中，有
求得
9．（2025·黑龙江省名校协作体·一模）（多选）如图所示，足够长的光滑导轨平行固定在水平绝缘桌面上，
导轨间距为L，电阻不计，两导轨间存在竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。导体棒ab、cd 放置
在导轨上，其质量分别为m、2m，电阻均为R，长度均为L，用不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮将cd 棒中
点与质量为m 的重物相连，绳与cd 棒垂直且平行于桌面。t=0 时刻将cd 棒由静止释放，t1时刻ab 棒的加速
度刚好达到最大值。已知t1时刻之前重物未着地，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
A. 0~t1时间内通过ab 棒的电流增大
B. t1时刻，两棒的加速度大小均为
C. t1时刻，两棒的加速度大小均为
D. t1时刻，两棒速度差的大小为
【答案】ABD
【解析】设运动过程ab 棒的速度大小为
，cd 棒的速度大小为
，以cd 棒和重物为系统，根据牛顿第
二定律可得加速度大小为
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以ab 棒为对象，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
又
由于一开始
，则cd 棒速度增加得比ab 棒的快，所以回路电流逐渐增大，cd 棒的加速度逐渐减小，
ab 棒的加速度逐渐增大，当
时，两棒速度增加一样快，回路电流保持不变，之后两棒做加速度相
等的匀加速直线运动；根据以上分析可知，0~t1时间内通过ab 棒的电流增大；t1时刻，两棒的加速度相等，
则有
解得
，
根据
可得t1时刻，两棒速度差的大小为
故选ABD。
10．（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）（多选）如图所示，两根间距为
，电阻不计的足够长光
滑平行金属导轨与水平面夹角
，导轨底端接入一阻值为
的定值电阻，所在区域内存在磁
感应强度为
的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置一质量为
、电阻为
的金属杆ab，开始时使金属杆ab 保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面
向上的恒力
，金属杆由静止开始运动了1.2m 达到最大速度，重力加速度
。金属杆从
静止到运动1.2m 的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 金属杆能获得的最大速度是3m/s
B. 通过电阻R 的电荷量是0.4C
C. 电阻R 产生的热量
D. 金属杆运动位移达1.2m 时刻，两端的电势差
【答案】AB
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【解析】A．对导体棒而言，当受力平衡时，设其速度最大
，此时导体棒产生的电动势为
根据欧姆定律可知，电路中的电流
由平衡条件可得
联立代入数据解得
A 正确；
B．根据法拉第电磁感应定律可得电路中的平均电动势
平均感应电流
又因为
整理可得
B 正确；
C．根据能量守恒可得
解得
则电阻R 产生的热量
C 错误；
D．当金属杆运动位移达1.2m 时刻，此时金属杆产生的感应电动势
根据右手定则可知，感应电流的方向由
，根据欧姆定律可知，导体棒ab 端的电势差为
D 错误。
故选AB。
11. （2025·辽宁省·三模）（多选）如图所示，光滑的水平金属导轨宽为
且足够长，电阻不计，匀强磁场
垂直导轨平面向上，磁感应强度为
；导轨左端接有电容为
的电容器，击穿电压足够大；质量为
、电
阻为
的金属棒与导轨垂直且在运动过程中接触良好。若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初速度
，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为
；若电容器开始带电量为
，金属棒初速度为
，闭合开
关后，导体棒最终匀速运动速度为
；则（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】AB．若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初速度
，则导体棒最终匀速运动速度为
时此
时电容器两板间电压等于金属棒产生的感应电动势，即U=BLv1
整个过程中由动量定理
其中
解得
选项A 错误，B 正确；
CD．若电容器开始带电量为Q，金属棒初速度为0，闭合开关后，电容器放电，金属棒向右加速运动，则
当金属棒切割磁感线产生的电动势跟电容器两极板之间的电压相等时，金属棒中电流为零，此后金属棒将
匀速运动下去；设闭合开关S 后，电容器的放电时间为Δt，金属棒获得的速度为v2，由动量定理可得
其中
解得
选项C 错误，D 正确。
故选BD。
1．（2025·天津市耀华中学·二模）如图所示的装置为了探究导体棒在有磁场存在的斜面上的运动情况，
MN、M'N'是两条相距为
的足够长的光滑金属导轨，放置在倾角均为
的对称斜面上，两
导轨平滑连接，连接处水平，两导轨右侧接有阻值为
的固定电阻，导轨电阻不计。左边斜面区
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域存在大小为
，方向垂直于左边斜面向上的匀强磁场，右侧斜面区域没有磁场。质量为
，
电阻为
的导体棒从左侧导轨足够高处自由释放，运动到底端时已匀速运动。运动过程中导体棒与
轨道接触良好且始终与轨道垂直，
。
（1）求导体棒第一次沿右侧斜面上滑
最大高度；
（2）若导体棒从最低点沿左侧斜面上滑的最大距离为
，求该上滑过程的时间；
（3）若从释放导体棒到导体棒最终静止的整个过程中，电阻
上产生的热量为
，求导体棒最初
释放点的高度
。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
导体棒从足够高处滑下，到导轨底部前已经匀速，根据平衡条件可得
其中
联立解得
根据动能定理可得
解得
【小问2 详解】
导体棒以2m/s 的速度向上运动，直到速度为0，这个过程中根据动量定理可得
其中
解得
【小问3 详解】
最终导体棒都停在导轨的底部，整个过程中能量守恒，有
59
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电阻R 产生的热量为
解得
2．（2025·河南省安阳市·三模）（多选）如图所示，水平面上有两条相距为l 的足够长的固定光滑平行金
属导轨，垂直于导轨的两虚线间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场内导轨上相隔一
定距离垂直导轨放置长度均为l 的导体棒a 和b。现让导体棒a、b 以相同的速率
同时沿导轨相向运动，
导体棒b 出磁场前加速度已经为0，导体棒a 出磁场时速度为
，a、b 棒的质量分别为2m、m，电阻均
为R。导轨电阻不计且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
A. 导体棒b 出磁场时的速度大小为
B. 整个过程流过导体棒b 的电荷量为
C. 整个过程系统产生的焦耳热为
D. 整个过程两棒的最近距离为
【答案】CD
【解析】A．b 出磁场时无加速度，说明a、b 棒已经在磁场中共速了，根据动量守恒定律有
解得b 出磁场时的速度大小
，故A 错误；
B．a 出磁场时的速度大小为
，根据能量守恒定律则，有
解得
，故C 正确；
C．b 出磁场前的动量改变量为
60
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动量改变量等于安培力的冲量，则有
解得
b 出磁场后至a 出磁场的过程，其动量改变量为
根据左手定则可判断此过程中电流流过b 的方向与前面电流通过b 的方向相同，同理有
解得
所以流过b 的电荷量为
，故B 错误；
C．a、b 棒已经在磁场中共速，距离最近，并保持到b 出磁场，之后a 切割磁感线，产生感应电动势，形
成感应电流，安培力使a 减速，又有
解得
，故D 正确。
故选CD。
3．（2025·安徽省江南十校·一模）（多选）如图所示，质量为2 kg 的单匝矩形线框PMNQ 恰好静止在倾
角
的粗糙绝缘固定斜面上，PQ、MN 的电阻分别为
和
， PM、QN 的电阻不计。虚线下方区
域存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为1 T。一质量为1kg 的光滑导体棒ab 水平放置在矩形线框
上，接入回路的有效长度为3 m，电阻为
。运动过程中导体棒始终与线框接触良好，且与 PQ 平行。
现将导体棒从距磁场边界S 处静止释放，进入磁场的瞬间，线框恰好不滑动。已知最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，重力加速度 g 取
。则下列说法正确的是（ ）
A. 导体棒进入磁场瞬间的加速度大小为
B. 距离S 为
61
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C. 导体棒匀速运动时的速度大小为
D. 导体棒进入磁场后，经
已达到匀速运动状态，此过程回路中产生的总焦耳热为
【答案】BD
【解析】A．由题意可知，线框在斜面上恰好静止，则有
，则有
。
导体棒进入磁场
瞬间，由右手定则可知，电流从b 到a，从P 到Q，且PQ 所受安培力沿斜面向下，由平
衡关系可知大小为6N。由
知
，再由电流关系可知
,所以ab 所受安培力大小为
，方向沿斜面向上。对ab 受力分析有
，解得加速度为
，方向沿斜面向
上，故 A 错误；
B．由公式
和
可知导体棒进入磁场时速度为
，再由运动学公式
，可知
释放距离S 为
，故B 正确；
C．速度稳定时有
，其中
,
解得速度为
，故C 错误；
D．由动量定理有
解得
，可知进入磁场后1s 内导体棒运动了15m，又由动能定理
，且
，故D 正确。
故选BD。
4．（2025·安徽省黄山市·二模）绝缘水平桌面上有一质量为
的“
”型金属框，框宽度为
，ab 间电阻
为
，两侧部分电阻不计且足够长。在竖直固定的绝缘挡板间放一根金属棒，挡板间隙略大于棒的直径，
棒与金属框垂直且接触良好，金属棒接入电路部分的电阻为
，不计一切摩擦。空间存在竖直向上的匀强
磁场，磁感应强度大小为
，现给框水平向左、大小为
的初速度，俯视图如图所示。则下列说法正确的
是（ ）
62
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A. 开始时金属框的加速度大小为
B. 开始时挡板给导体棒的作用力大小为
，方向水平向左
C. 金属框从开始运动到静止过程中通过金属棒的电荷量为
D. 金属框从开始运动到静止过程中金属棒上产生的热量为
【答案】C
【解析】 A．开始时金属框产生感应电动势大小为
，感应电流沿顺时针方向，大小为
其所受安培力大小为
则加速度大小为
故A 错误；
B．开始时导体棒所受安培力方向向左，大小也为
，但导体棒静止不动，受力平衡，则挡
板给导体棒的作用力大小为
，方向水平向右，故B 错误；
C．金属框从开始运动到静止，由动量定理，有
而金属框总位移
得
设总共用时为，则通过金属棒的电荷量为
故C 正确；
D．由能量守恒定律可知，金属框从开始运动到静止过程中，系统产生的总热量为
二者电阻相等，则金属棒上产生的热量为
故D 错误。
63
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故选C。
5．（2025·安徽省临泉第二中学·三模）如图所示，水平面上固定有两足够长的平行金属导轨，整个区域都
有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两根导轨间距为L，导体棒1、2 用轻质的绝缘细线连接，
垂直导轨放置且与导轨接触良好，其接入电路的电阻均为R，金属导轨的电阻忽略不计。现给导体棒2 施
加平行于导轨方向的恒力F，使之以速度大小
做匀速运动。某时刻剪断导体棒间的细线，从剪断细线开
始计时，经过时间t，导体棒2 达到最大速度，此时导体棒1 仍继续向前运动。已知两导体棒质量均为m，
与导轨间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求：
（1）导体棒1 和导体棒2 所能达到的稳定加速度大小；
（2）导体棒2 所能达到的最大速度；
（3）从剪断细线到导体棒2 达到最大速度的过程中，通过导体棒1 的电荷量和导体棒1、2 相对滑动的距
离。
【答案】（1）0，0 （2）
（3）
，
【解析】（1）据题意，未剪断细线时导体棒2 做匀速运动
对导体棒1、2 整体由平衡知识得
对导体棒2 由牛顿第二定律得
导体棒1、2 整体所受合外力为零，最终稳定后两导体棒均做匀速直线运动，故加速度大小均为零。
（2）以导体棒1、2 组成的系统为研究对象，两棒受到等大反向的安培力，系统受到的合外力为零
由系统动量守恒得
导体棒2 达到最大速度时有
由法拉第电磁感应定律得
感应电流
安培力
联立解得导体棒2 所能达到的最大速度
64
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（3）以导体棒1 为研究对象
由动量定理得
其中
联立解得通过导体棒1
电荷量
又
又
故得
联立解得导体棒1、2 相对滑动的距离
6．（2025·东北三省四市教研联合体·二模）如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH 处通过
绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为
，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够
远处连接有电感为L 的电感线圈。CD 与EF 间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形
ABCD 区域、EFGH 区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为
。
金属棒b 静止在EFGH 区域，金属棒a 在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h 的位置由静止释放，最终恰
好停在EF 边界处，此时金属棒b 恰能从GH 处滑入倾斜导轨。金属棒a 与CD、EF 间的粗糙导轨的动摩擦
因数为μ，金属棒a 的电阻为R，金属导轨与金属棒b 的电阻均不计，金属棒a、b 的质量均为m，长度均
为
，重力加速度取g。求：
（1）在金属棒a 刚进入磁场瞬间，金属棒a 的速度大小与金属棒b 的加速度大小；
（2）金属棒a 在离开ABCD 区域后产生的焦耳热Q；
（3）金属棒b 能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离
。（已知自感线圈的自感电动势
，其自身
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的电阻为零）
【答案】（1）
，
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
a 棒从圆弧轨道滑下，由机械能守恒的
解得金属棒a 刚进入磁场瞬间，金属棒a 的速度大小为
a 棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为
，
所以b 棒所受的安培力为
由牛顿第二定律得
解得金属棒b 的加速度大小
【小问2 详解】
设金属棒a 离开磁场ABCD 区域时的速度为
，此时金属棒b 的速度为
，金属棒a 在CD、EF 间做匀减
速运动，可得
金属棒a 穿越磁场ABCD 区域中，a 和b 组成的系统满足动量守恒，则有
解得
此后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b 此时的动能将全部转化为
金属棒a 的焦耳热
，则有
【小问3 详解】
金属棒b 恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0 开始下滑，因为b 棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，
所以必须满足
可得
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所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，则有
所以棒的运动方程为
可知金属棒做简谐运动，平衡位置时，
即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
7．（2025·福建省·二模）如图所示，导体棒
、
分别静置于水平固定的平行窄导轨和宽导轨上，导轨
间距分别为
、
，导轨电阻不计，所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为
的匀强磁场，
、
棒的质量分别为
，两导体棒总电阻为
，
棒与导
轨间无摩擦，
棒与导轨间的动摩擦因数
。
时刻，给导体棒
一个大小为
，方向
水平向右的恒力作用，
时
棒刚要滑动，再过一段时间后回路中电流大小为
且保持恒定。已知
棒距宽导轨足够远，
棒所在导轨足够长，导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，重力加速度大
小
取
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）
时，
棒中电流的大小和方向；
（2）
时间内，安培力对
棒的冲量大小；
（3）电流
的大小。
【答案】（1）0.5A，由d 指向c
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
当
时，对
棒受力分析，由平衡条件
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解得
棒中电流的大小
由右手定则可知，
棒中电流方向为由d 指向c；
【小问2 详解】
时，ab 棒产生的感应电动势为
由欧姆定律
代入数据解得
时间内，对ab 棒受力分析，由动量定理
解得
【小问3 详解】
稳定后，电路中电流一定，由欧姆定律得
再过
时间，ab 棒、cd 棒的速度变化量分别为
、
，则由
联立可得
其中
则
由牛顿第二定律
代入数据解得
8．（2025·福建省宁德市·三模）如图所示，质量分别为
、
的导体棒
、
静置在间距为
的水平平
行光滑导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，导体棒
、
在导轨间的电阻均为
，
棒
到导轨最右端MN 的距离为
。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
。现给
棒
一水平向右的初速度
，当
棒运动到导轨最右端MN 时速度为
，随即滑上足够长的光滑绝缘倾斜轨道。
棒始终在导轨上运动且未与
棒碰撞，感应电流产生的磁场及导轨的电阻均忽略不计。求：
68
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（1）
棒开始运动时的加速度大小；
（2）
棒从开始运动到第一次出磁场产生的热量；
（3）
棒从开始运动到第一次出磁场的时间；
（4）整个运动过程中
棒做减速运动的总长度。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【小问1 详解】
根据题意可知，
棒开始运动时，
棒切割磁感线，感应电动势为
感应电流为
对
棒，由牛顿第二定律有
联立解得
【小问2 详解】
棒开始运动到
棒第一次出磁场过程，
、
棒组成系统动量守恒，则有
、
棒组成系统产生的热量
其中
棒产生的热量
解得
小问3 详解】
设
棒开始运动到
棒第一次出磁场过程中所用的时间为，对于
棒，由动量定理有
感应电流
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感应电动势
且有
，
这一过程，
、
棒组成系统动量守恒，故有
即
联立上式可得
【小问4 详解】
导体棒
滑上光滑绝缘轨道后以原速率返回，期间导体棒
做匀速直线运动。
棒返回后系统合动量水平
向右，
棒做减速运动，
棒先向左减速后向右加速，以小于进磁场的速度再次滑上光滑绝缘轨道，此过
程中，
棒向左减速到零的距离小于
。此后
、
棒重复该过程，每次
棒向左减速距离逐渐减少，最
终
棒静止于水平导轨最右端MN 处，此时
棒速度也为零。从开始运动到最终静止，设
棒减速运动位
移为
，由动量定理
感应电流
又有
，
解得
9．（2025·广东省清远市·二模）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。ab 边右侧有足
够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。M、N 两细金属杆的质量均为m，在导轨间的电
阻均为R。初始时刻，磁场外的杆M 以初速度
向右运动，磁场内的杆N 距ab 边的距离为
且处于静止
状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，两杆始终未相撞，感应电流产生的磁场及
导轨的电阻忽略不计，求：
（1）杆M 所受安培力的最大值；
（2）杆M 在磁场内运动的速度最小值；
（3）两杆的最短距离。
【答案】（1）
70
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（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
杆M 刚进入磁场时所受安培力最大，此时杆M 产生的感应电动势
电路中的电流
杆M 所受安培力的最大值
【小问2 详解】
两杆在磁场中运动，当M、N 两细金属杆速度相等时，杆M 的速度最小，由动量守恒定律可得
解得最小速度
【小问3 详解】
当两杆达到共速时两杆距离最短，设最短距离为x，此时
又有
根据动量定理得
可得
联立解得
10．（2025·河北省沧州市·二模）如图所示，足够长的固定平行金属导轨A1B1B2A2与水平面的夹角θ=30°，
导轨的右端接有开关S 及阻值为R 的电阻，导轨的间距为2L，导轨上的C1C2下方存在随空间交替变化的
条形区域的匀强磁场，方向如图，磁感应强度大小均为B，每一条形磁场区域的宽度均为L。相同的金属
棒MN 和PQ 用绝缘轻质杆D1D2固定在一起组成一个“工”字形工件。现闭合开关S 并将“工”字形工件
从C1C2的上方某一位置由静止释放，金属棒MN 刚进入磁场时加速度变为零。已知金属棒MN 和PQ 的质
量均为3m、电阻均为2R、长度均为2L，二者之间的间距为L，运动过程中两金属棒与导轨始终接触良好，
不计金属棒与导轨之间的摩擦力，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
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（1）金属棒MN 刚进入磁场时，求电阻R 两端的电压；
（2）求“工”字形工件由静止释放时，金属棒MN 与C1C2之间的距离x1；
（3）当金属棒PQ 刚进入磁场时打开开关S 并开始计时，经过时间t，“工”字形工件的加速度再次变为
零，求此时金属棒PQ 与C1C2之间的距离x2。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
金属棒MN 刚进入磁场时加速度变为零，则可得
R 两端的电压
解得
【小问2 详解】
金属棒MN 刚进入磁场时有
，
工件从静止释放到金属棒MN 刚进入磁场，由动能定理可得
解得
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【小问3 详解】
工件完全进入磁场后有
，
工件受到的安培力
解得
工件再次加速度为零时，此时速度为v1，有
工件完全进入磁场后到再次加速度
零，由动量定理可得
其中
解得
11. （2025·河北省·三模）如图所示，在水平面上固定着足够长的“
”型金属导轨，整个导轨的电阻
忽略不计，其中平行导轨的间距为
，整个导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场（图中未画
出），规定垂直导轨平面向上为磁感应强度的正方向，磁感应强度
随时间
的变化规律为
。距导轨最左端
处静止放置一个质量为
、电阻为
的导体棒
，
导体棒
与平行导轨接触良好且能在平行导轨上自由滑动，滑动过程中导体棒
始终垂直于平行导轨。
已知导体棒
与平行导轨间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
。
（1）
时，求导体棒
所受的摩擦力
的大小和方向；
（2）
到
时，求通过导体棒
横截面的电荷量
；
（3）导体棒
刚要开始运动时，磁感应强度
不再发生变化，同时给导体棒
施加一个大小为
、水平向右的外力，使导体棒开始向右运动，求导体棒
的最大速度
的大小。
【答案】（1）
，水平向右
（2）
73
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（3）
【解析】
【小问1 详解】
根据楞次定律判断导体棒
中电流方向由
到
，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为
导体棒
中的感应电流为
导体棒
受到的安培力为
磁感应强度
随时间的变化规律为
解得
时的磁感应强度为
，感应电流为
导体棒
受到的安培力为
由于导体棒
所受的最大静摩擦力为
所以导体棒仍静止，根据二力平衡，导体棒
所受的摩擦力为
方向水平向右。
【小问2 详解】
由第（1）问解析可知
，根据
解得通过导体棒
横截面的电荷量为
【小问3 详解】
导体棒
刚要开始运动时，设磁感应强度为
，受到的安培力为
解得此时的磁感应强度为
导体棒
最终做匀速直线运动，导体棒所受安培力为
其中
解得
12. （2025·湖南省怀化市·二模）间距为
的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为
、方向
垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为
、电阻值为
的金属棒
静止垂直放在导轨之间，导轨右
侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为
的直流电流，电阻
，电容大小为
（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与
始终与导轨垂
直，开关的切换可在瞬间完成。
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（1）当开关与电源接通时，棒中电流由
流向
，求此时棒的加速度大小和方向。
（2）当金属棒加速到
时，开关瞬间与
接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为
。经过
一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为
，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一
直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒
定向移动的距离。
（3）当金属棒速度为
时，开关瞬间与
接通，同时给金属棒
一水平外力使其做匀速运动。某时刻
外力的功率为定值电阻
功率的3 倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通
到此时刻外力做的功。
【答案】（1）
，方向水平向右
（2）
（3）
，
【解析】
【小问1 详解】
由题意电源能提供大小为I 的恒定电流，当电流由M 经棒流向N 时，由牛顿第二定律得
解得
方向水平向右。
【小问2 详解】
当开关与P 接通时，有
，
当电子沿杆定向移动速率变为
时，有
，
联立可得此时导体棒的速度
设该段时间内导体棒中的电子沿棒方向定向移动的平均速度为
，则对导体棒由水平方向动量定理得
75
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其中
联立可得
又因为
可得
【小问3 详解】
当开关与Q 接通时，由闭合电路欧姆定律得
当棒匀速运动时，设任意时刻电流为i，则外力为
由题意得
化简有
再代入闭合电路欧姆定律，得
变力F 做功为
而
则有
13. （2025·江西省·三模）如图所示，在xOy 水平面内，固定着间距为d 的足够长光滑金属导轨，右端与电
容器相连，在
处用长度可忽略的绝缘材料连接，紧靠连接点右侧垂直导轨放置一根质量为m 的金
属棒ab。在
区域存在两个大小为
、垂直导轨平面、方向相反的匀强磁场，磁场边界满足
；在
区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场
。边长为d 的正方形导线框
质量也为m，
边和
边的电阻均为R，静置在导轨上，
位于
处。在外力作
用下导线框
沿x 轴正方向以速度
做匀速直线运动，当
到达
时撤去外力，导线框与
金属棒ab 发生弹性碰撞。不计其它电阻，电容器的储能公式
。求：
76
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（1）导线框中感应电动势的最大值；
（2）导线框
边运动到
的过程中流过导线框的总电量q；
（3）整个过程中外力对导线框所做的功W；
（4）电容器最终储存的能量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）当
运动到
时，导线框中
和
都在垂直切磁感线且同向叠加，因此感应
电动势最大
（2）导线框
边在
至
区间运动过程中，只有
边在切割，感应电动势的瞬时表达式
产生正弦交流电，等效于面积为S 的线圈在匀强磁场中做匀速圆周运动，转动角速度
由感应电动势最大值
解得
至
区间相当于绕圈转动角度
，磁通量变化量
感应电动势的平均值
感应电流的平均值
77
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流过导线框的总电量
（3）导线框
边在
至
区间运动过程中，产生正弦交流电，感应电动势最大值为
则有效值
回路中产生的焦耳热
导线框
边在
至
区间运动过程中，两边切割，感应电动势的瞬时表达式
同理，回路中产生的焦耳热
由功能关系可知，外力对导线框所做的功
（4）当
到达
瞬间撤去外力，导线框恰与金属棒ab 发生弹性碰撞，设碰撞后瞬间导线框速度
为
，金属棒ab 速度为
，由动量守恒定律有
由能量守恒有
解得
，
碰撞后导线框
边停在绝缘位置，金属棒ab 与电容器构成回路，金属棒ab 对电容器充电，当电容器电
压
78
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金属棒ab 稳定后做匀速直线运动。对金属棒ab 动量定理有
根据
解得
因此，电容器最终存储的能量
1．（2025 年安徽卷第15 题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连
接阻值为R 的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ 存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。某装置从MQ 左侧沿导轨水平向右发射第1 根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0 时
被锁定；从原位置再发射第2 根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定，以
此类推，直到发射第n 根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨
间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流
对原磁场的影响。
求：
（1）第1 根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率；
（2）第2 根导体棒从进入磁场到速度减为0 的过程中，其横截面上通过的电荷量；
（3）从第1 根导体棒进入磁场到第n 根导体棒速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的总热量。
【答案】（1）
79
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（2）
（3）
，n = 1，2，3，…
【解析】
【小问1 详解】
第1 根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0
则此时回路的电流为
此时导体棒受到的安培力F 安 = BIL
此时导体棒受安培力的功率
【小问2 详解】
第2 根导体棒从进入磁场到速度减为0 的过程中，根据动量定理有
其中
解得
【小问3 详解】
由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后
产生的总热量均为
第1 根导体棒进入磁场到速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的热量
第2 根导体棒进入磁场到速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的热量
第3 根导体棒进入磁场到速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的热量
第n 根导体棒进入磁场到速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的热量
则从第1 根导体棒进入磁场到第n 根导体棒速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上产生的总热量QR
= QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn
通过分式分解和观察数列的“望远镜求和”性质，得出
，n = 1，2，3，…
2．（2025 年甘肃卷第15 题）已知在一磁感强度为B 的磁场中存在一光滑双轨，左端接入电容C，两机械
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臂1 和机械臂2（可视为杆），质量均为m，两机械臂接入磁场中的长度均为L，电阻均为R。机械臂1 的
初速度为
，机械臂2 静止，两者不相撞。求：
（1）初始时刻机械臂1 的感应电动势大小和感应电流方向；
（2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为
和
，求此时两机械臂所受安培力的大小，以及此时电容器
电荷量的表达式；
（3）稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值。
【答案】（1）
，竖直向上
（2）
，
，
（3）
，
【解析】
【小问1 详解】
初始时刻机械臂1 的感应电动势大小为
由右手定则可知感应电流方向竖直向上。
【小问2 详解】
在达到稳定前，两机械臂电流分别为
和
，两机械臂安培力的大小分别为
，
设此时两机械臂的速度分别为v1、v2
根据动量守恒
，
而
，
电容器的带电量
电容器两端的电压
联立解得
所以此时电容器电荷量为
【小问3 详解】
当
时，两机械臂的速度相同，此时
81
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可得两机械臂的速度为
此过程中，对机械臂1，根据动量定理
对机械臂2，根据动量定理
初始距离的最小值
解得
3．（2025 年海南卷第12 题）间距为L 的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接
有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角
，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于
垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为
，两相同导体棒
、
与水平导轨的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均
，接入电路中的电阻均为
，
棒仅在水平导
轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重
力加速度为
。
（1）锁定水平导轨上的
棒，闭合开关，
棒静止在倾斜导轨上，求通过
棒的电流；断开开关，同
时解除
棒的锁定，当
棒下滑距离为
时，
棒开始运动，求
棒从解除锁定到开始运动过程中，
棒产生的焦耳热；
（2）此后
棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时
、
棒的速度大小之差；
（3）
棒中电流稳定之后继续下滑，从
棒到达水平导轨开始计时，
时刻
棒速度为零，加速度不
为零，此后某时刻，
棒的加速度为零，速度不为零，求从
时刻到某时刻，
、
的路程之差。
【答案】（1）
，
（2）
82
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（3）
【解析】
【小问1 详解】
棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得
，
解得通过
棒的电流为
设当
棒下滑距离为
时速度为
，
棒开始运动时回路中的电流为
，此时对cd 棒有
同时有
，
分析可知
棒从解除锁定到开始运动过程中，
棒产生的焦耳热与ab 棒产生的焦耳热相等，整个过程根
据能量守恒可得
联立解得
棒产生的焦耳热为
【小问2 详解】
分析可知
棒在下滑过程中产生的电动势与cd 棒在向左运动的过程中产生的电动势方向相反，故当电流
达到稳定时，两棒的速度差恒定，故可知此时两棒的加速度相等，由于两棒受到的安培力大小相等，对两
棒有
，
同时有
，
联立解得此时
、
棒的速度大小之差为
【小问3 详解】
分析可知从开始到
时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设
时刻ab 棒的速度为
，可知
解得
设某时刻时，ab 棒速度为
，cd 棒速度为
，
棒的加速度为零，可得
①
其中
分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得
②
83
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从
时刻到某时刻间，对两棒分别根据动量定理有
，
变式可得
，
两式相加得
③
同时有
④
联立①②③④可得从
到某时刻，
、
的路程之差为
4．（2025 年河北卷第15 题）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1000A 的恒定
电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a 可视为始终垂直导轨的导体棒，b 为表面
绝缘的无人机。初始时a 静止于MM′处，b 静止于a 右侧某处。现将开关S 接1 端，a 与b 正碰后锁定并一
起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a 运行至NN′时将S 接2 端，同时解除锁定，所储势能瞬间全
部转化为动能，a 与b 分离。已知电容器电容C 为10F，导轨间距为0.5m，磁感应强度大小为1T，MM′到
NN′的距离为5m，a、b 质量分别为2kg、8kg，a 在导轨间的电阻为0.01Ω。碰撞、分离时间极短，各部分
始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。
（1）若分离后某时刻a 的速度大小为10m/s，求此时通过a 的电流大小。
（2）忽略a、b 所受空气阻力，当a 与b 的初始间距为1.25m 时，求b 分离后的速度大小，分析其是否为b
能够获得的最大速度；并求a 运动过程中电容器的电压减小量。
（3）忽略a 所受空气阻力，若b 所受空气阻力大小与其速度v 的关系为f = kv2（k = 0.025N·s2/m2），初始
位置与（2）问一致，试估算a 运行至NN′时。a 分离前的速度大小能否达到（2）问中分离前速度的99%，
并给出结论。（0.992 = 0.980l）
【答案】（1）500A
（2）vb1 = 25m/s，能，ΔU = 40V
（3）能
【解析】
【小问1 详解】
分离后a 切割磁感线有E = BLv
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则通过a 的电流
解得I = 500A
【小问2 详解】
由于超级电容器经调控系统为电路提供I0 = 1000A 的恒定电流，则当a 与b 的初始间距为1.25m 时a 与b
碰撞前的速度为
a 与b 碰撞时根据动量守恒和能量守恒有mava = (ma＋mb)v 共，
a 与b 整体从MM′到NN′的过程中有
a 与b 分离时根据动量守恒和能量守恒有(ma＋mb)v 共1 = mava1＋mbvb1，
联立解得vb1 = 25m/s
由于a 和ab 组合体均做匀变速直线运动，分别有
，
则电容器流出的电荷量有Δq = I0(t1＋t2)
a 运动过程中电容器的电压减小量
【小问3 详解】
b 所受f = kv2(k = 0.025N·s2/m2）的空气阻力后，a 与b 整体从MM′到NN′的过程中有(BI0L－kv2) = (ma＋
mb)a，
求解出
则
a 分离前的速度大小能达到（2）问中分离前速度的99%。
5．（2025 年湖南卷第9 题）（多选）如图，关于x 轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物
线，顶点位于O 点。一足够长的金属杆初始位置与y 轴重合，金属杆的质量为m，单位长度的电阻为
。
整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x 轴正方向的初速度
，金属杆运
动过程中始终与y 轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
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A. 金属杆沿x 轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y 轴负方向
B. 金属杆可以在沿x 轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动
C. 金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为
D. 若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半
【答案】AC
【解析】A．根据右手定则可知金属杆沿x 轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y 轴负方向，故A 正确；
B ．若金属杆可以在沿x 轴正方向的恒力F 作用下做匀速直线运动，可知
，
可得
由于金属杆运动过程中接入导轨中的长度L 在变化，故F 在变化，故B 错误；
C ．取一微小时间
内，设此时金属杆接入导轨中的长度为
，根据动量定理有
同时有
联立得
对从开始到金属杆停止运动时整个过程累积可得
解得此时金属杆与导轨围成的面积为
故C 正确；
D．若金属杆的初速度减半，根据前面分析可知当金属杆停止运动时金属杆与导轨围成的面积为
，
根据抛物线的图像规律可知此时金属杆停止运动时经过的距离大于原来的一半，故D 错误。
86
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故选AC。
6．（2025 年山东卷第18 题）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线
与轨道垂直，以轨道上O 点为坐标原点，沿轨道向下为x 轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，
区域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方
向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随
时间t 均匀增加的匀强磁场和随x 轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R 的匀
质正方形闭合金属框epqf 时放置在轨道上，pq 边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长
且不可移动，磁场上、下边界均与x 轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计
自感。
（1）若金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v 和释放时pq
边与区域I 上边界的距离s；
（2）金属框沿轨道下滑，当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若
，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef 边移动的距离d。
【答案】（1）
，
（2）
【解析】
【小问1 详解】
金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，根据楞次定律可得，安培
力水平向左，则
切割磁感线产生的电动势
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线框中电流
线框做匀速直线运动，则
解得金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程的速率
金属框开始释放到pq 边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得
可得释放时pq 边与区域I 上边界的距离
【小问2 详解】
当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），设线框ef 边到O 点的距离为s 时，线框中产生的感应电动势
，其中
此时线路中的感应电流
线框pq 边受到沿轨道向上的安培力，大小为
线框ef 边受到沿轨道向下的安培力，大小为
则线框受到的安培力
代入
化简得
当线框平衡时
，可知此时线框速率为0。
则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得
即
对时间累积求和可得
可得
7．（2025 年陕晋宁青卷第7 题）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d 大于
的匀强磁场，其磁感
应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为
，宽均为L，电阻分别为R 和
。两
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线框在光滑水平面上以相同初速度
并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（ ）
A. 甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B. 甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为
C. 乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D. 甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为
【答案】D
【解析】A．根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，
故A 错误；
B．甲线框刚进磁场区域时，合力为
，
乙线框刚进磁场区域时，合力为
，
可知
；
故B 错误；
CD ．假设甲乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有
，
同理对乙有
，
解得
，
故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁
场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为
，
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即
；
故C 错误，D 正确。
故选D。
8．（2025 年四川卷第14 题）如图所示，长度均为s 的两根光滑金属直导轨MN 和PQ 固定在水平绝缘桌
面上，两者平行且相距l，M、P 连线垂直于导轨，定滑轮位于N、Q 连线中点正上方h 处。MN 和PQ 单位
长度的电阻均为r，M、P 间连接一阻值为
的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大
小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动，速
度大小为v。零时刻，金属杆位于M、P 连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好，重力加
速度大小为g。
（1）金属杆在导轨上运动时，回路的感应电动势；
（2）金属杆在导轨上与M、P 连线相距d 时，回路的热功率；
（3）金属杆在导轨上保持速度大小v 做匀速直线运动的最大路程。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
金属杆在导轨上运动时，切割磁感线，产生感应电动势
【小问2 详解】
金属杆运动距离d 时，电路中的总电阻为
故此时回路中的总的热功率为
【小问3 详解】
设金属杆保持速度大小v 做匀速直线运动的最大路程为
，此时刚好将要脱离导轨，此时绳子拉力为T，
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与水平方向的夹角为
，对金属杆根据受力平衡可知
，
根据位置关系有
同时有
，
联立解得
9．（2025 年云南卷第15 题）如图所示，光滑水平面上有一个长为L、宽为d 的长方体空绝缘箱，其四周
紧固一电阻为R 的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为M。与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截
面图中虚线PQ 所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度大小为B、方向竖直向下。
时刻，箱子在水平向右的恒力F（大小未知）作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁
上距离箱底h 处、质量为m 的木块（视为质点）恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，
木块与箱子分离；箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹（木块下落过
程中与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去F。运动过程中，箱子右侧壁始终与磁场边界平行，
忽略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。木块与箱子内壁间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）求F 的大小；
（2）求
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离；
（3）若
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为s（s 大于（2）问中最小距离），求最终木块与箱子
的速度大小。
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【小问1 详解】
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对木块与箱子整体受力分析由牛顿第二定律
对木块受力分析，水平方向由牛顿第二定律
竖直方向由平衡条件
联立可得
【小问2 详解】
设箱子刚进入磁场中时速度为v，产生的感应电动势为
由闭合电路欧姆定律得，感应电流为
安培力大小为
联立可得
若要使两物体分离，此时有
其中
解得
由运动学公式
解得
故
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离为
【小问3 详解】
水平方向由运动学公式
竖直方向有
其中
可得力F 作用的总时间为
水平方向对系统由动量定理
92
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其中
联立可得
当
时，最终木块与箱子的速度大小为
当
时，最终木块与箱子的速度大小为
10．（2025 年重庆卷第10 题）（多选）如图1 所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d 的正方形金属框
efgh 做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d 的正方形匀强磁场和无磁场区域，
磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh 段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F = kv＋b
（k > 0，b > 0），且gh 两端的电压随时间均匀增加；当gh 在无磁场区域运动时，F = 0。gh 段速度大小
v 与运动路程S 的关系如图2 所示，图中
为gh 每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦
力。则（ ）
A. gh 在任一磁场区域的运动时间为
B. 金属框的总电阻为
C. 小车质量为
D. 小车的最大速率为
【答案】BC
【解析】由题知gh 两端的电压随时间均匀增加，则说明gh 在磁场中运动时做匀变速直线运动，设运动的
速度为v 有E = Bdv，
，F 安 = Bid，F－F 安 = ma
联立有
B．由于gh 在磁场中运动时做匀变速直线运动，则有
，ma = b
解得
，故B 正确；
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CD．gh 在无磁场区域运动时，F = 0，根据动量定理有
gh 在磁场中运动时做匀变速直线运动有
结合ma = b
解得
，
，故C 正确，D 错误；
A．由于gh 在磁场中运动时做匀变速直线运动，则有vmax = v0＋at
解得
，故A 错误。
故选BC。
11．（2025 年黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古卷第14 题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方
形导体框
，置于始终竖直向下的匀强磁场中，
边与磁场边界平行，
边中点位于磁场边界。导
体框的质量
，电阻
、边长
。磁感应强度B 随时间t 连续变化，
内
图
像如图（b）所示。导体框中的感应电流I 与时间t 关系图像如图（c）所示，其中
内的图像未画出，
规定顺时针方向为电流正方向。
（1）求
时
边受到的安培力大小F；
（2）画出图(b)中
内
图像（无需写出计算过程）；
（3）从
开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度
，求ad 边离开磁场时的速度大小
。
【答案】（1）0.015N
（2）
（3）0.01m/s
【解析】
【小问1 详解】
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由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律可知，
内线框中的感应电流大小为
由图（b）可知，
时磁感应强度大小为
所以此时导线框
的安培力大小为
【小问2 详解】
内线框内的感应电流大小为
，根据楞次定律及安培定则可知感应电流方向为顺时针，由图
（c）可知
内的感应电流大小为
方向为逆时针，根据欧姆定律可知
内的感应电动势大小为
由法拉第电磁感应定律
可知
内磁感应强度的变化率为
解得
时磁感应强度大小为
方向垂直于纸面向里，故
的磁场随时间变化图为
【小问3 详解】
由动量定理可知
其中
联立解得
经过磁场边界的速度大小为
12．（2024 年全国甲卷第8 题）（多选）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑
轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸
面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在
时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动
过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v 随时间t 变
化的图像中可能正确的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】设线圈的上边进入磁场时的速度为v，设线圈的质量M，物块的质量m，图中线圈进入磁场时线
圈的加速度向下，则对线圈由牛顿第二定律可知
对滑块
其中
即
线圈向上做减速运动，随速度的减小，向下的加速度减小；当加速度为零时，即线圈匀速运动的速度为
A．若线圈进入磁场时的速度较小，则线圈进入磁场时做加速度减小的减速运动，线圈的速度和加速度都
趋近于零，则图像A 可能正确；
B．因t=0 时刻线圈就进入磁场，则进入磁场时线圈向上不可能做匀减速运动，则图像B 不可能；
CD．若线圈的质量等于物块的质量，且当线圈进入磁场时，且速度大于v0，线圈进入磁场做加速度减小的
减速运动，完全进入磁场后线圈做匀速运动；当线圈出离磁场时，受向下的安培力又做加速度减小的减速
运动，最终出离磁场时做匀速运动，则图像C 有可能，D 不可能。
故选AC。
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13．（2024 年江西卷第15 题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1 = 0.6，摩擦因数
，
足够长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B = 0.5T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角
满足sinθ2 = 0.8，摩擦因数
。现将质量为m 甲 = 6kg 的导体杆甲从斜面上高h = 4m 处由静止释
放，质量为m 乙 = 2kg 的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l =
2m，两杆电阻均为R = 1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且
若两杆发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g = 10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d 满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y 随时间t 的变化如图（b）所示（t1、t2、
t3、t4、b 均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0 ~ t3时间内未进入右侧倾
斜导轨，求d 的取值范围。
【答案】（1）a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右；（2）d ≥ 24m；（3）
【解析】（1）甲从静止运动至水平导轨时，根据动能定理有
甲刚进人磁场时，平动切割磁感线有
E0 = Blv0
则根据欧姆定律可知此时回路的感应电流为
根据楞次定律可知，回路中的感应电流沿逆时针方向（俯视），结合左手定则可知，乙所受安培力方向水
平向右，由牛顿第二定律有
BI0l = m2a 乙0
带入数据有
a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右
（2）甲和乙在磁场中运动的过程中，系统不受外力作用，则系统动量守恒，若两者共速时恰不相碰，则
有
m1v0 = (m1＋m2)v 共
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对乙根据动量定理有
其中
联立解得
dmin = Δx = 24m
则d 满足
d ≥ 24m
（3）根据（2）问可知，从甲刚进入磁场至甲、乙第一次在水平导轨运动稳定，相对位移为Δx = 24m，
且稳定时的速度v 共 = 6m/s 乙第一次在右侧斜轨上向上运动的过程中，根据牛顿第二定律有
m2gsinθ2＋μ2m2gcosθ2 = m2a 乙上
根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙上x 上 = v 共
2
乙第一次在右侧斜轨上向下运动的过程中，根据牛顿第二定律有
m2gsinθ2－μ2m2gcosθ2 = m2a 乙下
再根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙下x 下 = v1
2
且
x 上 = x 下
联立解得乙第一次滑下右侧轨道最低点的速度
v1 = 5m/s
由于两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，则甲乙整体第一次在右侧倾斜轨道上向上运动有
（m1＋m2）gsinθ2＋μ2（m1＋m2）gcosθ2 = (m1＋m2)a 共上
同理有
2a 共上x 共上 = v2
且由图（b）可知
x 上 = 4.84x 共上
解得甲、乙碰撞后的速度
乙第一次滑下右侧轨道最低点后与甲相互作用的过程中，甲、乙组成的系统合外力为零，根据动量守恒有
m1v2－m2v1 = (m1＋m2))v
解得乙第一次滑下右侧轨道最低点时甲的速度为
若乙第一次滑下右侧轨道最低点时与甲发生碰撞，则对应d 的最小值，乙第一次在右侧斜轨上运动的过程，
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对甲根据动量定理有
其中
解得
根据位移关系有
dmin′－Δx = Δx1
解得
若乙返回水平导轨后，当两者共速时恰好碰撞，则对应d 的最大值，对乙从返回水平导轨到与甲碰撞前瞬
间的过程，根据动量定理有
其中
解得
根据位移关系有
dmax－Δx－Δx1 = Δx2
解得
则d 的取值范围为
14．（2024 年安徽卷第15 题）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m
的金属棒ab 垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L 的正方形cdef 区域内，存在垂直于纸面向外
的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B 随时间的变化关
系均为B = kt（SI），k 为常数（k > 0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方
导轨的总电阻为R。t = 0 时，对ab 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a 的匀加速直线运
动，整个运动过程中ab 与两边导轨接触良好。已知ab 与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不
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计空气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t 变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab 中电流的方
向；
（2）求ab 所受安培力的大小随时间t 变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab 所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。
【答案】（1）kL2·t，kL2，从a 流向b；（2）
；（3）
【解析】（1）通过面积
的磁通量大小随时间t 变化的关系式为
根据法拉第电磁感应定律得
由楞次定律可知ab 中的电流从a 流向b。
（2）根据左手定则可知ab 受到的安培力方向垂直导轨面向里，大小为
F 安=BIL
其中
B=kt
设金属棒向上运动的位移为x，则根据运动学公式
所以导轨上方的电阻为
由闭合电路欧姆定律得
联立得ab 所受安培力的大小随时间t 变化的关系式为
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（3）由题知t = 0 时，对ab 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a 的匀加速直线运动，则对
ab 受力分析由牛顿第二定律
其中
联立可得
整理有
根据均值不等式可知，当
时，F 有最大值，故解得
F
最大值为
15．（2024 年湖北卷第15 题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定在同一水
平面内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的
圆弧导轨相切。MP 连线与直导轨垂
直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻
为R 的金属棒ab 跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的圆
环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可
能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，求
（1）ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP 的最小距离。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据题意可知，对金属棒ab 由静止释放到刚越过MP 过程中，由动能定理有
解得
则ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小为
（2）根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由
几何关系可得，每段圆弧的电阻为
可知，整个回路的总电阻为
ab 刚越过MP 时，通过ab 的感应电流为
对金属环由牛顿第二定律有
解得
（3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab 所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由
于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab
和金属环速度相等时，金属棒ab 恰好追上金属环，设此时速度为
，由动量守恒定律有
解得
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对金属棒
，由动量定理有
则有
设金属棒运动距离为
，金属环运动的距离为
，则有
联立解得
则金属环圆心初始位置到MP 的最小距离
16．（2024 年湖南卷第8 题）（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平
面内，导轨左端与一阻值为R 的定值电阻相连，导轨
段与
段粗糙，其余部分光滑，
右侧处于
竖直向下的匀强磁场中，一质量为m 的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度
沿导轨向右经过
进入磁场，最终恰好停在
处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为
，
。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 金属杆经过
的速度为
B. 在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
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C. 金属杆经过
与
区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D. 若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍
【答案】CD
【解析】A．设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B 区域向右运动的过程中切割磁感线有
E = BLv，
金属杆在AA1B1B 区域运动的过程中根据动量定理有
则
由于
，则上面方程左右两边累计求和，可得
则
设金属杆在BB1C1C 区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C 区域运动的过程中有
解得
综上有
则金属杆经过BB1的速度大于
，故A 错误；
B．在整个过程中，根据能量守恒有
则在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
故B 错误；
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C．金属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域，金属杆所受安培力的冲量为
则金属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域滑行距离均为
，金属杆所受安培力的冲量相同，故C 正确；
D．根据A 选项可得，金属杆以初速度
再磁场中运动有
金属杆的初速度加倍，则金属杆通过AA1B1B 区域时中有
则金属杆的初速度加倍，则金属杆通过
时速度为
则设金属杆通过BB1C1C 区域的时间为
， 则
，
则
，
则
由于
，则
可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍，故D 正确。
故选CD。
17．（2023 年1 月浙江卷第7 题）如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴
，接入电阻
R 构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度θ 静止释放，导体杆开
始下摆。当
时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当
时，导体
杆振动图像是( )
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A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：导体杆摆动时切割磁感线，产生感应电流，受安培力，安培力起阻力作用，故导体杆的振动为阻尼
振动。由垂直于磁感线方向的速度大小相同时电阻变大→电流变小→安培力（阻力）变小可知，当R 从
变为
时，导体杆振幅的衰减速度变慢，B 正确，ACD 错误。
18．（2023 年1 月浙江卷第19 题）如图1 所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m 的两根竖杆，与长为
的两轻质横杆组成，且
。线框通有恒定电流
，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O 为原
点、转轴为z 轴建立直角坐标系，在y 轴上距离O 为a 处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻为R
的小圆环，其平面垂直于y 轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω 匀速转动，当线框平面与xOz
平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y 分量
与时间的近似关系如图2 所示，图中
已知。
（1）求0 到
时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y 轴正方向看以逆时针为电流正方向，在
时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经
时间角速度减小量为
，设线框与圆环的能量转
换效率为k，求
的值[当
，有
]。
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答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)磁通量
感应电动势
则
(2)感应电流
时，
时，
(3)由有效值定义可得
解得
(4)根据题意，有
解得
19. （2023 年新课标卷第13 题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝
缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚
线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平
行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 = 2R0，导轨电阻可
忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运
动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）金属框进入磁场过程中有
则金属框进入磁场过程中流过回路的电荷量为
则金属框完全穿过磁场区域的过程中流过回路的电荷量为
且有
联立有
（2）设金属框的初速度为v0，则金属框进入磁场时的末速度为v1，向右为正方向。由于导轨电阻可忽略，
此时金属框上下部分被短路，故电路中的总电
再根据动量定理有
解得
则在此过程中根据能量守恒有
解得
其中
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此后线框完全进入磁场中，则线框左右两边均作为电源，且等效电路图如下
则此时回路的总电阻
设线框刚离开磁场时
速度为v2，再根据动量定理有
解得
v2= 0
则说明线框刚离开磁场时就停止运动了，则再根据能量守恒有
其中
则在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量
20. （2023 年湖南卷第14 题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，两导轨及其
所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中
金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度
，求速度
的大
小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
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【答案】（1 ）
；（2 ）
；（3 ）
，
【解析】（1）a 导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a 棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁
感应定律可得
有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得
，
a 棒受力平衡可得
联立记得
（2）由右手定则可知导体棒b 中电流向里，b 棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b 棒牛
顿第二定律可得
解得
（3）释放b 棒后a 棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a 棒动量定理
b 棒受到向下的安培力，对b 棒动量定理
联立解得
此过程流过b 棒的电荷量为q，则有
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由法拉第电磁感应定律可得
联立b 棒动量定理可得
21. （2023 年福建卷第4 题）如图，M、N 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电
阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界
垂直于导轨；阻值恒定的两均匀
金属棒a、b 均垂直于导轨放置，b 始终固定。a 以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直
且接触良好，并与b 不相碰。以O 为坐标原点，水平向右为正方向建立轴坐标；在运动过程中，a 的速度
记为v，a 克服安培力做功的功率记为P。下列v 或P 随x 变化的图像中，可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】AB．设导轨间磁场磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒总电阻为R，由题意导体棒a 进入磁
场后受到水平向左的安培力作用，做减速运动，根据动量定理有
根据
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可得
又因为
联立可得
根据表达式可知v 与x 成一次函数关系，故A 正确，B 错误；
CD．a 克服安培力做功的功率为
故
图像为开口向上的抛物线，由于F 和v 都在减小，故P 在减小,故CD 错误。
故选A。
22. （2023 年全国甲卷第12 题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分的间距为，导
轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘
棒Q 位于P 的左侧，以大小为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和
Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P
与Q 始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由于绝缘棒Q 与金属棒P 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
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联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P 滑出导
轨时的速度大小为
（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q 碰撞后，对金属棒P 分析，根据动量定理得
又
，
联立可得
由于Q 为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q 运动的时间为
23. （2023 年重庆卷第7 题）如图所示，与水平面夹角为θ 的绝缘斜面上固定有光滑U 型金属导轨。质量
为m、电阻不可忽略的导体杆MN 沿导轨向下运动，以大小为v 的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀
强磁场区域，在磁场中运动一段时间t 后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨
的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（ ）
A. 流过杆的感应电流方向从N 到M
B. 杆沿轨道下滑的距离为
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C. 流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D. 杆所受安培力的冲量大小为
【答案】D
【解析】A．根据右手定则，判断知流过杆的感应电流方向从M 到N，故A 错误；
B．依题意，设杆切割磁感线的有效长度为
，电阻为
。杆在磁场中运动的此段时间内，杆受到重力，
轨道支持力及沿轨道向上的安培力作用，根据牛顿第二定律可得
联立可得杆的加速度
可知，杆在磁场中运动的此段时间内做加速度逐渐减小的加速运动；若杆做匀加速直线运动，则杆运动的
距离为
根据
图像围成的面积表示位移，可知杆在时间t 内速度由
达到
，杆真实运动的距离大于匀加速情
况发生的距离，即大于
，故B 错误；
C．由于在磁场中运动的此段时间内，杆做加速度逐渐减小的加速运动，杆的动能增大。由动能定理可知，
重力对杆所做的功大于杆克服安培力所做的功，根据
可得安培力的平均功率小于重力的平均功率，
也即流过杆感应电流的平均电功率小于重力的平均功率，故C 错误；
D．杆在磁场中运动的此段时间内，根据动量定理，可得
得杆所受安培力的冲量大小为
故D 正确。
故选D。
24. （2023 年广东卷第14 题）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度
均为
，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间的变化如图（b）所示，
时间内，两区
域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为
和
，一电阻为
，边长为
的刚性正方形金属框
，平放在水平面上，
边与磁场边界平行．
时，线框
边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速
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度
向右运动．在
时刻，
边运动到距区域Ⅰ的左边界
处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，
如图（a）中的虚线框所示。随后在
时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；
时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
（1）
时线框所受的安培力
；
（2）
时穿过线框的磁通量
；
（3）
时间内，线框中产生的热量
。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）
；（3）
【解析】（1）由图可知
时线框切割磁感线的感应电动势为
则感应电流大小为
所受的安培力为
方向水平向左；
（2）在
时刻，
边运动到距区域Ⅰ的左边界
处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，则
时穿过线框的磁通量为
方向垂直纸面向里；
（3）
时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有
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感应电流大小为
则
时间内，线框中产生的热量为
116
