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1.命题情境源自生产生活中的与电磁感应的相关的情境或科学探究情境，解题时能从具体情境中抽象出物
理模型，正确应用楞次定律、法拉第电磁感应定律、左手定则、右手定则、安培定则、牛顿运动定律、运
动学公式及动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律解决物理实际问题。
2.选择题命题中主要考查导体棒和导体框进出磁场时力电综合问题、经常结合图像进行考查。
3.命题中经常注重物理建模思想的应用，具体问题情境中，抽象出物体模型。有切割磁感线的导体，分析
等效电源和外电路的连接方式。安培力是变力时，安培力的冲量常常和电荷量结合，利用动量定理解题。
一、楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
1．判断感应电流方向的两种方法
(1)利用右手定则，即根据导体在磁场中做切割磁感线运动的情况进行判断．
(2)利用楞次定律，即根据穿过闭合回路的磁通量的变化情况进行判断．
2．求感应电动势的两种方法
(1)E＝n，用来计算感应电动势的平均值，常用来求解电荷量．
(2)E＝Blv 或E＝Bl2ω，主要用来计算感应电动势的瞬时值．
二、电磁感应中动力学分析和能量分析
1．电荷量的求解
电荷量q＝IΔt，其中I 必须是电流的平均值．由E＝n，I＝，q＝IΔt 联立可得q＝n，与时间无关．
2．求解焦耳热Q 的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt.
(2)功能关系：Q＝W 克服安培力．
(3)能量转化：Q＝ΔE 其他能的减少量．
3．用到的物理规律
匀变速直线运动的规律、牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等．
4. 解决感应电路综合问题的一般思路是“先电后力”，即：
1．“源”的分析——分析电路中由电磁感应所产生的“电源”，求出电源参数E 和r；
2．“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相关部分的电流大小，以便求解安培力；
3．“力”的分析——分析研究对象(通常是金属棒、导体、线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；
接着进行“运动状态”的分析——根据力和运动的关系，建立正确的运动模型；
4．“动量”和“能量”的分析——寻找电磁感应过程和研究对象的运动过程中，其能量转化和守恒的关
系，并判断系统动量是否守恒．
重难点13 电磁感应
1
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（建议用时：30 分钟）
一、单题
1．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R 的正方形导线框，在导
线框右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方向
竖直向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—x
（速度—位移）图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】线圈进入磁场时，设某时刻进入磁场的距离为x，此时线圈的速度为v，则由动量定理
其中
则
当完全进入磁场后，不受到安培力，所以做匀速直线运动，当出磁场时，速度v 与位移x 的关系与进入磁
场相似。
2
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故选B。
2．如图甲所示，连接电流传感器的线圈套在竖直放置的长玻璃管上。将强磁铁从离玻璃管上端高为h 处由
静止释放，磁铁在玻璃管内下落并穿过线圈。如图乙所示是实验中观察到的线圈中电流随时间变化的图像，
则（ ）
A．t1~t3过程中线圈对磁铁作用力方向先向上后向下
B．磁铁上下翻转后重复实验，电流方向先负向后正向
C．线圈匝数加倍后重复实验，电流峰值将加倍
D．h 加倍后重复实验，电流峰值将加倍
【答案】B
【解析】A．由楞次定律的“来拒去留”可知，t1~t3过程中线圈对磁铁作用力方向一直向上，A 错误；
B．磁铁上下翻转后重复实验，穿过圆环过程中，磁通量方向相反，根据楞次定律可知，将会产生负向电
流后产生正向电流，B 正确；
C．若将线圈匝数加倍后，根据法拉第电磁感应定律
可知，线圈中感应电动势也加倍，由电阻定律
可知，线圈匝数加倍，长度也加倍，电阻加倍，由欧姆定律
可知，线圈中感应电流的峰值不会加倍，C 错误；
D．若没有磁场力，则由机械能守恒定律
可得
若将h 加倍，速度并非变为原来的2 倍，实际中存在磁场力做负功，速度也不是原来的2 倍，则线圈中产
生的电流峰值不会加倍，D 错误。
3
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故选B。
3．如图所示，MN、PQ 是两条水平平行放置的光滑金属导轨，导轨的有端接理想变压器的原线圈，变压
器的副线圈与电阻
组成闭合回路，变压器原副线圈匝数之比
，导轨宽
，质量
、电阻不计的导体棒ab 垂直MN、PQ 放在导轨上，在水平外力F 作用下，从
时刻开始在图示
的两虚线范围内往复运动，其速度随时间变化的规律是
），垂直轨道平面的匀强磁场的
磁感应强度B=4T，导轨、导线和线圈电阻均不计，则（ ）
A．ab 棒中产生的电动势的表达式为20sin20πt（V）
B．电阻R 上的电功率为2000W
C．从
到
的时间内，外力F 所做的功为
D．从
到
的时间内，电阻R 上产生的热量为
J
【答案】B
【解析】A．ab 棒中产生的电动势的表达式为
故A 错误；
B．由
可得
由
得
故B 正确；
C．根据
可得
4
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从
到t1=0.025s 经历了四分之一个周期，这段时间内电阻R 上产生的热量
ab 棒的速度
，由能量守恒定律
故C 错误：
D．从
到
的时间内，电阻R 上产生的热量
故D 错误。
故选B。
4．如图所示，间距
的光滑U 形金属导轨固定在绝缘斜面上，斜面倾角
。区域Ⅰ、Ⅱ分别
以
、
为边界，均存在垂直于斜面向上的磁场，Ⅰ区中磁感应强度从0 开始随时间均匀增加，Ⅱ区中
为匀强磁场，磁感应强度
，
与
之间为无磁场区域。质量
、电阻
的导体棒
垂直于导轨放置，从两磁场之间的无磁场区域由静止释放，经过
进入Ⅱ区恰好匀速下滑。运动中棒
与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻不计。重力加速度
，
。则下列说法错
误的是（ ）
A．进入Ⅱ区后，导体棒中的电流
B．无磁场区域的面积至少为
C．前
导体棒产生的焦耳热
D．若Ⅰ区磁场面积为
，则Ⅰ区的磁感应强度随时间变化的表达式为
【答案】B
【解析】A．导体棒进入Ⅱ区恰好匀速下滑，则有
导体棒中的电流为
5
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故A 正确；
B．导体棒进入Ⅱ区域磁场的速度为
根据牛顿第二定律
导体棒在无磁场区域做匀加速直线运动，则
无磁场区域的面积最小值为
代入数据联立解得
故B 错误；
C．导体棒进入Ⅱ区域后，Ⅰ区中磁感应强度变化产生的感生电动势为
，Ⅱ区域导体棒切割磁感线产生
的动生电动势为
，则
解得感生电动势为
前
导体棒未切割磁感线，则产生的焦耳热为
故C 正确，不符合题意；
D．根据电磁感应定律
若Ⅰ区磁场面积为
，Ⅰ区磁感应强度的变化率为
由题意，Ⅰ区中磁感应强度从0 开始随时间均匀增加，则Ⅰ区的磁感应强度随时间变化的表达式为
故D 正确。
本题选错误的，故选B。
二、多选题
5．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，导轨间有方向竖直向下
的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，质量均为m、有效电阻均为R 的金属棒
和
垂直于导轨放置，
均处于静止状态，现给
棒一个方向水平向左、大小为
的初速度，下列说法正确的是（ ）
6
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A．从
棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
B．从
棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
C．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
D．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
【答案】BC
【解析】AB．
棒存在方向水平向左、大小为
的初速度，此时磁通量改变，电路产生感应电流，在安
培力的作用下，
棒向左运动，最终闭合回路间的磁通量不发生改变，即金属棒
和
共速，由水平方
向上动量守恒，可得
解得
根据能量守恒可得
解得
故A 错误，B 正确；
CD．金属棒受到的安培力为
根据动量定理可得
解得
7
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故C 正确，D 错误；
故选BC。
6．（2023·广东·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平桌面上放置一边长为L、质量为m、阻值为R 的正方
形导体框ABCD，四条平行的水平虚线将空间分成五个区域，其中在虚线12、虚线34 间分别存在垂直水
平桌面向上、向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。已知虚线12 间（称区域Ⅰ）、虚线23 间、虚线
34 间（称区域Ⅱ）的距离分别为L、2L、L。开始时导体框的CD 边与虚线1 重合，
时刻给导体框一水
平向右的瞬时冲量，最终导体框的AB 边与虚线4 重合时，速度刚好减为零。下列说法正确的是（ ）
A．进入区域Ⅰ和离开区域Ⅱ时导体框中的电流方向相同
B．导体框从AB 边刚离开区域Ⅰ到CD 边刚进入区域Ⅱ所用的时间为
C．导体框CD 边刚要离开区域Ⅱ时的加速度大小为
D．导体框经过区域Ⅰ和区域Ⅱ的过程中，产生的焦耳热之比为
【答案】ABC
【解析】A. 由右手定则可知，导体框进入区域Ⅰ的过程，从上向下看导体框中产生的感应电流沿顺时针方
向，导体框离开区域Ⅱ的过程，从上向下看导体框中产生的感应电流也沿顺时针方向，故A 正确；
B. 由法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律得
又
综合可得
设CD 边刚进入区域Ⅰ时导体框的速度为
，AB 边刚离开区域Ⅰ时导体框的速度为
，导体框在区域Ⅰ中
运动时由动量定理有
同理，导体框在区域Ⅱ中运动时由动量定理有
8
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又
由以上解得
，
导体框从AB 边刚离开区域Ⅰ到CD 边刚进入区域Ⅱ的过程以
做匀速直线运动，位移为L，运动时间为
故B 正确。
C. 设CD 边刚离开区域Ⅱ时导体框的速度为
，导体框从CD 边刚进入区域Ⅱ到CD 边刚离开区域Ⅱ的过
程，由动量定理有
该过程有
解得
导体框CD 边刚要离开区域Ⅱ时，由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得
又由牛顿第二定律可知导体框的加速度为
解得
故C 正确；
D. 由能量守恒定律得，导体框经过区域Ⅰ产生的焦耳热为
9
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导体框经过区域Ⅱ产生的焦耳热为
又
解得
故D 错误。
故选ABC。
三、解答题
7．（2024·浙江嘉兴·统考一模）如图甲所示，两光滑金属导轨
和
处在同一水平面内，相互
平行部分的间距为，其中
上
点处有一小段导轨绝缘。交叉部分
和
彼此不接触。质量均为
、
长度均为的两金属棒
，通过长为
的绝缘轻质杆固定连接成“工”形架，将其置于导轨左侧。导轨
右侧有一根被锁定的质量为
的金属棒
，T 与
点的水平距离为。整个装置处在竖直向上的匀强磁场
中，其磁感应强度大小随时间的变化关系如图乙所示，
均为已知量。
和
的电阻均为
，
其余电阻不计。
时刻，“工”形架受到水平向右的恒力
作用，
时刻撤去恒力
，此时
恰好运动
到
点。
（1）求
时刻，“工”形架速度和
两端电压
；
（2）求从
到
过程中“工”形架产生的焦耳热；
（3）求
运动至
点时的速度；
（4）当
运动至
点时将
解除锁定，求
从
点开始经时间后与
的水平距离。（此过程“工”形架
和
均未运动至
交叉部分）。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
过程“工”形架所围回路磁通量磁通量不变，无感应电流，“工”形架合外力为
由
牛顿第二定律得
又
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“工”形架的速度
由
得
（2）
的过程，由法拉第电磁感应定律
得
焦耳热
代入得
（3）
时刻速度
“工”形架穿过
的过程中
和
构成回路，由动量定理
得
（4）“工”形架等效为电阻为
的一根金属棒，从解锁开始对于“工”形架整体，经任意
时间的速度
为
时间内的平均电流为
，则
棒受安培力向左
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所以始终有
时间内相对位移为
8．（2023·浙江温州·统考一模）如图甲所示，间距为L=0.2m 的平行金属导轨由上方水平区域、左侧竖直
区域、下方倾斜区域依次对接组成。上方导轨右端连接电容C=0.1F 的电容器，长度
的倾斜金属
导轨下端连接阻值R=1.8Ω 的定值电阻。开关S 断开时，电容器极板所带的电荷量q=0.08C 质量m=1g 的导
体杆ab 静止在水平导轨上。t=0 时刻闭合开关S，导体杆ab 受到安培力开始向左运动，经过一段时间导体
杆达到匀速；此后，t1时刻导体杆无碰撞通过对接点CC′进入竖直导轨运动，竖直导轨上端DD′略错开
CC′，t2时刻导体杆进入与水平方向成30°角的倾斜导轨匀速下滑。已知整个空间存在方向竖直向下的匀强
磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的图像如图乙所示，其中B1=0.5T，B2=0.3T，t1、t2未知；与导轨始终垂直
且接触良好的导体杆ab 的电阻r=0.9Ω，与竖直导轨间的动摩擦因数μ=0.25；不计其余轨道摩擦阻力和电阻，
导体杆ab 通过轨道连接处无机械能损失。
（1）导体杆ab 在上方水平导轨向左匀速运动时，a、b 两端点的电势φa_____φb（选填“>”或“<”）；在下
方倾斜导轨向下滑行时，a、b 两端点的电势φa_____φb（选填“>”或“<”）；
（2）求导体杆ab 在上方水平轨道匀速运动时，电容器极板所带的电荷量q′；
（3）求导体杆ab 在下方倾斜导轨匀速下滑过程中，整个回路的热功率P；
（4）求导体杆ab 在竖直导轨上运动的时间t。
【答案】（1）>，<；（2）0.04C；（3）0.025W；（4）
【解析】（1）导体杆ab 在上方水平导轨向左匀速运动时，根据左手定则可知，电流方向由a 流向b，所
以a 点的电势φa大于b 点电势φb；在下方倾斜导轨向下滑行时，导体杆为电源，根据右手定则可知，a 点
的电势φa小于b 点电势φb；
（2）导体杆ab 在上方水平轨道匀速运动时，流过导体杆的电流为零，则
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联立解得
（3）导体杆ab 在下方倾斜导轨匀速下滑过程中，有
整个回路的热功率为
联立解得
（4）t1~t2时间内，由于穿过倾斜导轨的磁通量发生变化，从而产生感应电流，根据左手定则可知，导体杆
ab 受到水平向左的安培力，水平向右的支持力，竖直向下的重力和竖直向上的摩擦力，所以
联立解得
（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．如图所示，AOC 是光滑的直角金属导轨，AO 竖直，OC 水平。质量分布均匀的金属棒ab 长度为L，质
量为m，电阻为R，两端置于导轨内。设金属杆与竖直导轨夹角为θ，当θ=30°时静止释放金属杆。已知空
间存在着磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里，不计金属导轨的电阻，则（ ）
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A．回路中感应电流方向始终为逆时针方向
B．整个过程中，ab 棒产生的焦耳热为
mgL
C．当θ=60°时，若a 点速度大小为v，则b 点速度大小为2v
D．在θ=30°到θ=45°过程中通过ab 棒的电荷量为
【答案】D
【解析】A．根据几何关系金属杆下滑过程，围成的面积先增大后减小，根据楞次定律和安培定则可知，
感应电流方向先逆时针再顺时针，故A 错误；
B．整个过程中，金属棒重力势能减少量为
根据能量守恒可知，整个过程中，ab 棒产生的焦耳热不可能等于
mgL，故B 错误；
C．当θ=60°时，a 和b 两点沿杆方向的速度相等，有
解得
故C 错误；
D．在θ=30°到θ=45°过程中，产生的平均感应电流
通过ab 棒的电荷量
故D 正确。
故选D。
2．如图1 所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为
的匀强磁场，正方形闭合导线框
的边长为，
放在桌面上，
边与磁场边界平行，
。让导线框在沿
方向的恒力
作用下穿过匀强磁场，导线框
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的
图像如图2 所示。以下判断正确的是（ ）
A．
时间内，导线框受到的安培力逐渐增大
B．
时间内，
对导线框做的功等于其动能的增加量
C．
时间内，
图中阴影部分的面积表示磁场的宽度
D．
时间内，导线框产生的焦耳热大于
【答案】D
【解析】A．
时刻，导线框开始进入磁场区域，减速运动，安培力大于恒力
，加速度逐渐变小，安培
力减小，故A 错误；
C．
时刻，导线框全部进入磁场区域，
时刻，导线框开始离开磁场区域，
时间段图线和坐标轴围
成的面积表示磁场的宽度
，故C 错误；
B．
时间内，由动能定理可得
故B 错误；
D．因为
段的安培力大于恒力
，位移是，故导线框产生的焦耳热大于
，故D 正确。
故选D。
3．（2023·全国·校联考一模）如图所示，边长为
正方形金属回路（总电阻为
）正好与虚线圆形边界相
切，虚线圆形边界内（包括边界）存在与圆面垂直的匀强磁场，其磁感应强度与时间的关系式为
（
且为常量），则金属回路产生的感应电流大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】回路产生的感应电动势
则金属回路产生的感应电流大小为
故选B。
4．（2024·河南·统考二模）如图所示，一个质量为m、电阻为R、边长为L 的正方形金属线框abcd，放在
光滑绝缘水平面上，空间存在一磁感应强度为B、方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场的左右边界刚好和
线框的ab 边、cd 边重合。现在线框cd 的中点加一水平向右的恒力F，使线框从图示位置由静止开始水平
向右运动。已知经过时间t，线框的ab 边刚好向右运动到磁场的右边界处，此时线框的速度大小为v。若
在同一时间t 内，线框内产生的热量与一恒定电流I 在该线框内产生的热量相同，则关于该恒定电流I 的表
达式，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对线框根据能量守恒有
线框内产生的热量与一恒定电流I 在该线框内产生的热量相同，则恒定电流产生的热量为
解得
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故选D。
二、多选题
5．（2024·河南郑州·统考一模）如图甲所示，一个
匝的圆形导体线圈面积
，总电阻
。在线圈内存在面积
的垂直线圈平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度B 随时间t 变化的
关系如图乙所示。有一个
的电阻，将其与图甲中线圈的两端a、b 分别相连接，其余电阻不计，下
列说法正确的是（ ）
A．
内a、b 间的电势差
B．
内a、b 间的电势差
C．
内通过电阻R 的电荷量为
D．
内电阻R 上产生的焦耳热为
【答案】BCD
【解析】AC．
内根据法拉第电磁感应定律得线圈中产生的感应电动势为
回路电流
在0 4s
∼
时间内，B 增大，穿过线圈的磁通量向外增加，根据楞次定律知，线圈中产生的感应电流由b 流经
电阻R 回到a，a、b 间的电势差
通过电阻R 的电荷量为
故A 错误C 正确；
BD．在4 6s
∼
时间内，线圈产生的感应电动势为
感应电流为
根据楞次定律知，线圈中产生的感应电流由a 流经电阻R 回到b，a、b 间的电势差
电阻R 上产生的焦耳热为
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故BD 正确。
故选BCD。
6．如图所示，水平面内固定放置两足够长的光滑平行金属导轨AB 和CD，在导轨上有垂直导轨放置的完
全相同的直导体P 和Q，质量均为m，有竖直方向的匀强磁场垂直穿过导轨平面。在直导体P 上作用一与
导轨平行的水平恒力F，使P 由静止开始运动，经一段时间t，P 向右的位移大小为x，P 和Q 还没有达到
稳定状态，此时P 和Q 的瞬时速度分别是
和
，瞬时加速度分别为
和
，，这一过程直导体P 上产生
的热量为E，两直导体始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。则关于这一过程，下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】A．直导体P 和Q 所受安培力大小相等、方向相反，视为内力，则外力对系统的冲量等于系统动
量的变化量，即
A 正确；
BC．外力对系统做功等于系统动能的增加量与热量之和，即
BC 错误；
D．对直导体P 和Q，分别由牛顿第二定律
，
得
D 正确。
故选AD。
7．（2023·吉林·统考二模）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一水平矩形线
框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab 和
cd 长度均为L（L 小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应
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强度的大小为B，方向竖直向上。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力
恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法正确的是（ ）
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．列车ab 边进入磁场瞬间，加速度大小
C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量为
D．从车头进入磁场到停止所用的时间为
【答案】ABD
【解析】A．根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针（俯视），即列车进站过程中
电流方向为abcd，故A 正确；
B．列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为
则回路中产生的瞬时感应电流的大小为
可得车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为
则由牛顿第二定律有
联立解得
故B 正确；
C．在列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒
有
解得
故C 错误；
19
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D．根据动量定理有
其中
而根据法拉第电磁感应定律有
可得
联立以上各式解得
故D 正确。
故选ABD。
三、解答题
8．如图所示，间距为L 的两光滑平行金属导轨竖直放置，在导轨的上端连接阻值为R 的电阻，边长均为L
的Ⅰ、Ⅱ两个正方形区域内存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，Ⅰ的下边界与Ⅱ的上边界之间的距离也为
L。一电阻不计、质量为m 的导体棒与导轨垂直放置，从距离Ⅰ的上边界间距为L 处由静止释放，导体棒
在经过两个磁场区域的过程中均做匀速运动，导体棒下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，重力
加速度大小为g。求：
（1）Ⅰ、Ⅱ两个区域的匀强磁场的磁感应强度之比；
（2）导体棒在经过两个磁场区域的过程中，流过电阻R 的总电荷。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设导体棒在Ⅰ、Ⅱ两个区域匀速运动的速度分别
、
，根据自由落体运动规律有
，
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解得
，
导体棒切割磁感线产生的感应电动势为
感应电流为
导体棒所受安培力为
由于导体棒做匀速直线运动，根据平衡条件有
解得
设Ⅰ、Ⅱ两个区域的匀强磁场的磁感应强度分别为
、
，结合上述有
，
解得
（2）根据法律的电磁感应定律可知，平均感应电动势为
平均感应电流为
流过电阻R 的电荷量为
解得
可知导体棒分别在Ⅰ、Ⅱ两个区域中运动过程中，流过电阻R 的电荷大小分别为
，
根据右手定则可知，导体棒分别在Ⅰ、Ⅱ两个区域中运动过程中，通过电阻R 的电流方向相反，则流过电
阻R 的总电荷为
结合上述解得
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9．（2024·陕西商洛·校联考一模）如图所示，电阻不计的U 形导轨P 放置在光滑的水平面上，导轨质量M
＝3kg，宽度L＝1m，导体棒ab 放置在导轨上并与导轨垂直，导体棒质量m＝1kg、电阻R＝1Ω。右侧区域
内存在着竖直向上的有界磁场，磁感应强度大小B＝2T，初始时导体棒ab 距磁场左边界距离
，距
导轨左端距离
，现对导轨施加水平向右的恒力F＝20N，使导轨与导体棒ab 一起做加速运动。导体
棒ab 进入磁场刚好做匀速运动（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），当导体棒ab 离开磁场的瞬间，导轨左
端正好进入磁场，导轨出磁场前与导体棒ab 达到共同速度并一起做匀速运动，重力加速度取
。
求：
（1）导体棒进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒与导轨间动摩擦因数和磁场宽度d；
（3）导轨左端离开磁场时的速度；
（4）U 形导轨P 的左端穿越磁场所用的时间。
【答案】（1）2m/s；（2）0.8，2m；（3）5m/s；（4）0.4s
【解析】（1）导体棒进入磁场前，对导轨和导体棒整体分析，由牛顿第二定律得
由匀变速直线运动规律得
解得导体棒进入磁场时的速度大小为
（2）导体棒在磁场中做匀速直线运动，产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律，可得流过导体棒的电流为
对导体棒受力分析，由平衡条件可得
解得
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设导体棒在磁场中运动的时间为
，则有
在时间
内，对导轨受力分析，由牛顿第二定律得
由匀变速直线运动规律
解得
（3）设导轨出磁场前与导体棒达到的共同速度为，共速时导轨左端产生的电动势为
流过导轨的电流为
由于一起做匀速运动，则有
可得导轨左端离开磁场时的速度为
（4）导轨左端刚进入磁场时的速度为
设导轨的左端穿越磁场所用的时间为
，对导体棒和导轨整体分析，由动量定理可得
又因为
解得
10．（2024·河南·统考二模）如图所示，两条相距为d 的光滑平行金属导轨固定在同一绝缘水平面内，其
左端接一阻值为R 的电阻，一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为
S 的区域，在该区域中存在竖直向下的均匀磁场，磁感应强度大小B 随时间t 的变化关系为B=kt，式中k 为
常量、且k>0。在金属棒右侧还有一宽度为L 匀强磁场区域，区域左边界为ab（虚线）、右边界为cd（虚
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线），边界ab 和cd 均与导轨垂直，该匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向也竖直向下。金属棒通过平
行于导轨的绝缘细线跨过光滑轻质定滑轮与一物体相连。开始时，用手托着物体静止不动，使连接金属棒
的细线处于水平伸直状态。现突然把手撤去，金属棒从静止开始向右运动，在某一时刻（此时t=0）恰好
以速度v 越过ab，此后金属棒在磁场B0中向右做匀速直线运动。设金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，
金属棒和两导轨的电阻均忽略不计；金属棒向右运动过程中，物体始终在空中运动；重力加速度为g。求：
（1）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，通过金属棒的电流大小；
（2）物体的质量；
（3）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量；
（4）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）设金属棒在磁场B0中运动的过程中，通过金属棒的电流大小为I，设在时间t 内，金属棒的
位移为x，有
在时间t 时刻，对于磁场B，穿过回路的磁通量为
对于匀强磁场B0，穿过回路的磁通量为
回路的总磁通量为
联立可得，在时刻t 穿过回路的总磁通量为
在t 到
的时间间隔内，总磁通量的改变量为
由法拉第电磁感应定律得，回路中感应电动势的大小为
由闭合电路的欧姆定律得
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联立可得，通过金属棒的电流大小为
（2）设在t 时刻，金属棒上细线的拉力为F，由于金属棒在ab 右侧做匀速运动，则有
设物体的质量为m，在t 时刻，对物体有
联立以上各式可得，物体的质量为
（3）设金属棒在磁场B0中从ab 向右运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量为
，则
其中
则金属棒从ab 运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量为
（4）设金属棒在磁场B0中从ab 向右运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量为Q，运动时间为
，由
，
其中
联立可得，金属棒从ab 运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量为
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